Soit la fonction h définie sur par :
Montrer que : revient à montrer que : , soit à montrer que :
La fonction h est dérivable sur (somme de fonctions dérivables sur ).
Étudions le signe de h' (x ) et les variations de h sur
La fonction h est décroissante sur ]- ; 0[ et croissante sur ]0 ; +[.
Elle admet un minimum égal à 0 pour x = 0.
Nous en déduisons que : , soit que
Par conséquent,
2. a) Nous devons montrer que
D'autre part, l'inégalité démontrée dans la question 1) est vraie pour tout x réel.
Nous pouvons l'appliquer en remplaçant x par (-x ).
Nous obtenons alors : , soit
En conclusion,
2. b) Nous devons en déduire que :
Par la question 2. a), nous savons que
Dès lors, ,
soit
soit
soit
En remplaçant x par t , nous obtenons :
Effectuons de nouveau une intégration de 0 à x .
soit
soit
soit
Par conséquent,
2. c) Nous devons montrer que
Par la question 2. b), nous obtenons : ,
Divisons les trois membres des inégalités par x2 0.
Nous obtenons :
Or
En appliquant le ''théorème des gendarmes'', nous en déduisons que
Partie B
On considère la fonction f définie sur I = [0 ; +[ par
1. a) Nous devons montrer que f est continue à droite de 0.
Calculons d'abord
Modifions l'expression algébrique de f (x ) si x > 0.
D'une part,
D'autre part, si g est la fonction définie sur par alors
De plus, nous savons que
Dès lors
Par conséquent, f est continue à droite de 0.
1. b) Nous devons vérifier que :
En effet, pour tout x > 0,
d'une part, nous obtenons :
d'autre part, nous obtenons :
Par conséquent,
1. c) Nous devons montrer que f est dérivable à droite de 0.
Nous devons donc montrer que existe et est un nombre réel,
soit que existe et est un nombre réel.
Nous venons de montrer dans la question 1. b) que
Or
De même,
Par conséquent, f est dérivable à droite de 0 et le nombre dérivé de f à droite de 0 est
2. a) Nous devons montrer que :
La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[.
2. b) Nous devons montrer que :
Pour tout x > 0, nous savons par la question 1. - Partie A que :
Dès lors,
2. c) Nous devons en déduire le sens de variations de f sur I = [0 ; +[.
D'une part, nous savons par la question 2. b) - Partie B que
Donc sur l'intervalle ]0 ; +[.
D'autre part, nous savons par la question 1. c) - Partie B que
Par conséquent, f est strictement décroissante sur I = [0 ; +[.
3. On admet que :
3. a) Nous devons montrer que :
Par la question 1. a) -Partie A, nous savons que
Dès lors, ,
soit
soit
soit
Par conséquent,
3. b) Nous devons en déduire que :
En effet,
Dès lors, en développant le membre de droite de la dernière inéquation, nous obtenons :
Il en découle que :
soit que
Par conséquent,
4. On admet que
4. a) Nous devons montrer que
Nous savons que :
Modifions l'expression algébrique de f' (x ) si x > 0.
Donc
soit
4. b) Nous devons en déduire que
En utilisant les résultats des questions précédentes, nous obtenons le tableau de variations de la fonction dérivée f' sur l'intervalle I .
Nous en déduisons que
Par conséquent,
5. a) Nous devons calculer
Pour tout x > 0,
D'où
Par conséquent,
Nous déduisons que la courbe (C ) admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 au voisinage de +.
5. b) Tableau de variations de f .
En utilisant les résultats des questions précédentes, nous pouvons dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +[.
5. c) Nous avons montré dans la question 3 - Partie B que
La courbe (C ) est donc convexe sur I .
Par conséquent, la courbe (C ) est au-dessus de sa demi-tangente au point T (0 ; 1).
5. d) Représentation graphique de la courbe (C ) dans le repère
Partie C
1. Pour tout x de [0 ; 1], on pose
1. a) La fonction g est dérivable sur [0 ; 1] (somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1]).
Nous en déduisons que cette fonction g est continue sur [0 ; 1].
De plus, pour tout x de [0 ; 1],
Or nous avons montré dans la question 2. c) - Partie B que f' (x ) < 0 sur I .
Il s'ensuit que sur [0 ; 1] et donc que la fonction g est strictement décroissante sur [0 ; 1].
D'où, la fonction g est une bijection de [0 ; 1] vers g ([0 ; 1]).
Or et
Par conséquent, la fonction g est une bijection de [0 ; 1] vers
1. b) Nous avons montré dans l'exercice précédent que la fonction g est une bijection de [0 ; 1] vers
Or car
Nous en déduisons que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; 1[.
Il existe donc un unique réel ]0 ; 1] tel que
Par conséquent, Il existe un unique réel ]0 ; 1] tel que
2. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier on considère les nombres réels et on pose : et
2. a) Nous devons montrer que
En effet,
Par comparaison de la valeur absolue de l'intégrale et de l'intégrale de la valeur absolue, nous obtenons :
Utilisons le théorème de l'inégalité des accroissements finis pour la fonction f sur les intervalles .
Nous savons que f est dérivable sur les intervalles et nous savons également par la question 4. b) - Partie B que
Selon le théorème de l'inégalité des accroissements finis, nous en déduisons que
2. b) Nous devons en déduire que
Nous avons montré dans l'exercice précédent que
3. On pose :
3. a) Montrons que :
Nous avons montré dans l'exercice précédent que
Donc
Or d'une part, la valeur absolue d'une somme de nombres réels est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces nombres réels.
Il s'ensuit que
D'autre part, est une somme de n termes égaux à .
Il en découle que
Par conséquent,
D'où , soit
soit
Or, en utilisant la définition de Jk , nous obtenons :
De plus, en utilisant la définition de Ik , nous obtenons :
Par conséquent,
3. b) Nous avons montré dans la question précédente que
Puisque est une constante,
Dès lors, en utilisant le théorème des gendarmes, nous obtenons :
points
exercice 2
Soit
Partie I- On considère dans l'ensemble l'équation d'inconnue z ,
1. a) Calculons le discriminant de l'équation (Em ).
1. b) Déterminons et les deux solutions de l'équation (Em ).
2) On prend uniquement dans cette question avec
Nous devons écrire et sous forme exponentielle.
Partie II- Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct On considère les points A et B d'affixes respectives et
1. Montrons que les points O , A et B sont alignés si et seulement si
2. On suppose que m n'est pas un nombre réel.
2. a) Le point C d'affixe c est l'image du point B d'affixe par la rotation de centre A d'affixe et d'angle
Nous savons qu'une rotation de centre et d'angle qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' peut s'exprimer par la relation
En utilisant cette égalité, nous obtenons :
soit
soit
Le point D d'affixe d est l'image du point A d'affixe par la rotation de centre O d'affixe et d'angle
En utilisant l'expression complexe de la rotation, nous obtenons :
soit
2. b) Soient et les milieux respectifs des segments [AC ], [AD ] et [OB ].
Par définition des affixes des milieux de segments, nous déduisons que :
2. c) Nous devons montrer que
Par conséquent,
2. d) La relation exprime que le point Q est l'image du point P par la rotation de centre R et d'angle
Dès lors, RP = RQ et
Or un triangle ayant deux côtés de même longueur et possédant un angle dont la mesure est vaut est un triangle équilatéral.
Nous en déduisons que le triangle PQR est équilatéral.
points
exercice 3
Pour tout réel a , on pose : et soit
1. Soit l'application définie de vers par :
1. a) Nous devons montrer que est un homomorphisme de vers
Cela revient à montrer que pour tout
En effet :
Par conséquent,
1. b) Montrons que
De plus, dans le cadre des homomorphismes de structures, nous savons que si f est un homomorphisme de dans et si est un groupe commutatif, alors son image homomorphe est également un groupe commutatif.
Or nous avons montré que est un homomorphisme de vers
Nous savons en outre que est un groupe commutatif.
Il s'ensuit que est un groupe commutatif,
soit est un groupe commutatif.
1. c) Nous devons déterminer l'élément neutre dans
Nous savons que si f est un homomorphisme de dans et si n est neutre dans , alors est neutre dans
Sachant que 0 est l'élément neutre dans le groupe , nous en déduisons que est l'élément neutre dans
1. d) Nous devons déterminer l'inverse de dans
Puisque par définition, nous devons déterminer l'inverse de dans
Nous savons que si f est un homomorphisme de dans et si x admet un symétrique x' dans , alors est le symétrique de dans
Sachant que tout réel a admet (-a ) comme symétrique dans le groupe , nous en déduisons que est le symétrique de dans
Par conséquent, l'inverse de dans est
1. e) Nous devons résoudre dans l'équation :
Soit l'inverse de dans
D'où l'ensemble S des solutions de l'équation est
2. a) Nous devons montrer que
En effet,
est l'élément neutre dans et
Il s'ensuit que
est l'élément neutre dans et
Il s'ensuit que
D'où
2. b) Nous devons en déduire que pour tout n'est pas inversible dans
Par l'absurde, supposons qu'il existe tel que soit inversible dans et notons l'inverse de dans
Par suite,
Dans la question précédente, nous avons montré que
Dans ce cas, nous obtenons :
Or est absurde car
La supposition est donc fausse.
Par conséquent, pour tout n'est pas inversible dans
2. c) Soient les matrices de la forme
Nous savons que et
Dès lors,
Par conséquent, les matrices de la forme sont des solutions dans de l'équation :
points
exercice 4
1. Nous devons montrer que 137 est un nombre premier.
Nous allons nous baser sur le théorème suivant : Si un nombre naturel n n'est pas premier, alors il admet un diviseur premier p tel que
Ce théorème peut également s'énoncer comme suit : Si un nombre naturel n n'admet pas de diviseur premier p tel que alors ce nombre naturel n est un nombre premier.
Le nombre 137 peut être encadré par les carrés de deux nombres entiers successifs, les carrés de 11 et de 12.
En effet, nous savons que 121 < 137 < 144.
Dans l'ensemble des nombres naturels, nous obtenons alors :
Déterminons s'il existe un diviseur premier p de 137 tel que
Les diviseurs premiers strictement inférieurs à 12 sont 2, 3, 5, 7, 11. 137 n'est pas divisible par 2 car le chiffre des unités (7) est impair. 137 n'est pas divisible par 3 car 1 + 3 + 7 = 11 et 11 n'est pas un multiple de 3. 137 n'est pas divisible par 5 car 137 ne se termine pas par 0 ni par 5. 137 n'est pas divisible par 7 car 137 = 7 19 + 4. 137 n'est pas divisible par 11 car 137 = 11 12 + 5.
Donc, il n'existe aucun diviseur premier p de 137 tel que
Par conséquent, selon le théorème rappelé ci-dessus, nous en déduisons que 137 est un nombre premier.
2. Nous devons déterminer un couple (u,v ) de tel que
En utilisant l'algorithme d'Euclide, montrons que PGCD(38,136)=2.
Donc PGCD(38 , 136) = 2.
Ensuite, réécrivons les égalités (sauf la dernière avec le reste nul) de manière à isoler le reste de la division euclidienne.
En remontant à partir de la dernière égalité, nous obtenons :
Par conséquent, il existe un couple (u,v ) de tel que : le couple
3. Soit tel que :
3. a) Nous devons montrer que x et 137 sont premiers entre eux.
Raisonnons par l'absurde et supposons que x et 137 ne sont pas premiers entre eux.
Puisque nous avons montré que 137 est un nombre premier, si x et 137 ne sont pas premiers entre eux, alors x divise 137.
Cela signifie que
Dès lors, nous avons :
Il s'ensuit que :
Nous en déduisons alors que 137 divise 1, ce qui est absurde.
D'où la supposition de départ est fausse.
Par conséquent, x et 137 sont premiers entre eux.
3. b) Nous devons montrer que
Le petit théorème de Fermat peut s'énoncer comme suit : Si p est un nombre premier et a est un nombre entier premier avec p, alors .
Le nombre 137 est un nombre premier et x et 137 sont premiers entre eux.
Selon le petit théorème de Fermat, nous obtenons : , soit
3. c) Nous devons montrer que
Dans la question 2, nous avons obtenu l'égalité suivante :
Dès lors,
4. Nous devons résoudre dans l'équation
Soit x une solution de l'équation (E ).
Utilisons le théorème suivant : Si un nombre entier p est premier et si p divise le produit ab (où a et b sont des nombres entiers), alors p divise a ou p divise b.
Une réécriture de ce théorème est la suivante : Si un nombre entier p est premier et si (où a et b sont des nombres entiers), alors ou
Or nous avons montré dans la question 1. que 137 est un nombre premier.
Selon le théorème ci-dessus, nous en déduisons que :
Nous venons de montrer que si x une solution de l'équation (E ), alors
Vérifions si ces deux valeurs de x sont solutions de l'équation (E ).
Donc est solution de l'équation (E ).
Mais car 1 - (-1) n'est pas divisible par 137 puisque 137 ne divise pas 2.
Dès lors, n'est pas solution de l'équation (E ).
Par conséquent, est la seule solution de l'équation (E )
c'est-à-dire que l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est
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 \, :\, 1+x\leq \text{e}^x.})
par : =\text{e}^x-x-1.})
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revient à montrer que :  \, :\, \text{e}^x-x-1\ge0 })
, soit à montrer que :  \, :\, h(x)\ge0}\,.})
 \, :\, h'(x)=\text{e}^x-1.)
=\text{e}^0-0-1=1-1=0\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&&0&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\h'(x)=\text{e}^x-1&&&-&0&+&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\h(x)&&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&&0&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
; 0[ et croissante sur ]0 ; + \, :\, h(x)\ge0})
, soit que  \, :\, \boxed{1+x\leq \text{e}^x}\,.})
 \, :\, 0\le1-\text{e}^{-x}\le x.})
\,,\enskip0\le1-\text{e}^{-x}}})
démontrée dans la question 1) est vraie pour tout x réel.\leq \text{e}^{-x}})
, soit 
 \, :\, 0\le1-\text{e}^{-x}\le x.}})
 \enskip :\enskip 0\leq 1-x+\dfrac{x^2}{2}-\text{e}^{-x}\leq \dfrac{x^3}{6})
 \enskip :\enskip 0\le 1-\text{e}^{-t}\le t.)
 \enskip :\enskip \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}0\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}\left(1-\text{e}^{-t}\right)\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}t\,\text d t\end{aligned})
,![\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip 0\le\left[\overset{}{t+\text{e}^{-t}}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^2}{2}\right]\limits_{0}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip 0\le\left[\overset{}{t+\text{e}^{-t}}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^2}{2}\right]\limits_{0}^{x})
 \enskip :\enskip 0\le\left(\overset{}{x+ \text{e}^{-x}}\right)-\left(\overset{}{0+\text{e}^0}\right)\le \dfrac{x^2}{2}-0)
 \enskip :\enskip0\le x+\text{e}^{-x}-1\le \dfrac{x^2}{2})
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![\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip0\le \left[\overset{}{\dfrac{t^2}{2}-\text{e}^{-t}-t}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^3}{6}\right]\limits_{0}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip0\le \left[\overset{}{\dfrac{t^2}{2}-\text{e}^{-t}-t}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^3}{6}\right]\limits_{0}^{x})
 \enskip :\enskip0\le \left(\overset{}{\dfrac{x^2}{2}-\text{e}^{-x}-x}\right)-\left(\overset{}{0-\text{e}^{0}-0}\right)\le \dfrac{x^3}{6}-0)
 \enskip :\enskip0\le\dfrac{x^2}{2}-\text{e}^{-x}-x+1\le \dfrac{x^3}{6})
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=-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.)
![\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.)
Calculons d'abord .})
![(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)\quad f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}=\dfrac{\text{e}^{-2x+x}-\text{e}^{-2x}}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=\dfrac{\text{e}^{-2x}\,\text{e}^{x}-\text{e}^{-2x}}{x}=\dfrac{\text{e}^{-2x}(\text{e}^{x}-1)}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)\quad f(x)=\text{e}^{-2x}\times\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)\quad f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}=\dfrac{\text{e}^{-2x+x}-\text{e}^{-2x}}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=\dfrac{\text{e}^{-2x}\,\text{e}^{x}-\text{e}^{-2x}}{x}=\dfrac{\text{e}^{-2x}(\text{e}^{x}-1)}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)\quad f(x)=\text{e}^{-2x}\times\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}})
=\text{e}^x,)
alors } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=1\quad\text{car }g'(x)=(\text{e}^x)'=\text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad g'(0)=\text{e}^0=1} \\\\\Longrightarrow\quad {\blue{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}=1}})
=1})
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=f(0)}\,.)
 \enskip :\enskip\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1-2x-\text{e}^{-2x}}{x^2}-\dfrac{1-x-\text{e}^{-x}}{x^2}.)
-1}{x}=\dfrac{\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}-1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWw}=\dfrac{\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}-x}{x}}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWw}=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}-x}{x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{f(x)-1}{x}={\red{\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}-x}{x^2}}} })
 \enskip :\enskip\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1-2x-\text{e}^{-2x}}{x^2}-\dfrac{1-x-\text{e}^{-x}}{x^2}.})
-f(0)}{x-0})
existe et est un nombre réel,-1}{x})
existe et est un nombre réel. - Partie A}})})
^2}=-\dfrac{1}{2}\quad(\text{en posant }X=2x) \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWv}\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1-2x-\text{e}^{-2x}}{4x^2}=-\dfrac{1}{2}})
-1}{x}=-2-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2+\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x}=-\dfrac{3}{2}})
.})
 \enskip :\enskip f'(x)=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left(\overset{}{2x+1-\text{e}^x(1+x)}\right).)
=\dfrac{(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})'\times x-(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})\times x'}{x^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left(\overset{}{(-x)'\text{e}^{-x}-(-2x)'\text{e}^{-2x}}\right)\times x-(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})\times 1}{x^2} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left(\overset{}{(-1)\,\text{e}^{-x}-(-2)\,\text{e}^{-2x}}\right)\times x-(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})}{x^2} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left(\overset{}{-\text{e}^{-x}+2\text{e}^{-2x}}\right)\times x-(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})}{x^2} })
![\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}\left(\overset{}{-\text{e}^{x}+2}\right)\times x-\text{e}^{-2x}(\text{e}^{x}-1)}{x^2} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[(\overset{}{-\text{e}^{x}+2})x-(\text{e}^{x}-1)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{-x\text{e}^{x}+2x}-\text{e}^{x}+1\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}\left(\overset{}{-\text{e}^{x}+2}\right)\times x-\text{e}^{-2x}(\text{e}^{x}-1)}{x^2} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[(\overset{}{-\text{e}^{x}+2})x-(\text{e}^{x}-1)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{-x\text{e}^{x}+2x}-\text{e}^{x}+1\right]})
![\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{2x+1-x\text{e}^{x}}-\text{e}^{x}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{2x+1-\text{e}^{x}(x+1)}\right]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f'(x)=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left[\overset{}{2x+1-\text{e}^{x}(1+x)}\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{2x+1-x\text{e}^{x}}-\text{e}^{x}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\left[\overset{}{2x+1-\text{e}^{x}(x+1)}\right]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f'(x)=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left[\overset{}{2x+1-\text{e}^{x}(1+x)}\right]})
 \enskip :\enskip f'(x)\le-\text{e}^{-2x}.)
![1+x\leq \text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad (1+x)^2\leq (1+x)\,\text{e}^x\quad\quad\text{car }1+x>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1+2x+x^2\leq (1+x)\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\leq -x^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x^2}\left[1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\right]\leq -1\quad\text{car }x^2\neq0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+x\leq \text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad (1+x)^2\leq (1+x)\,\text{e}^x\quad\quad\text{car }1+x>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1+2x+x^2\leq (1+x)\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\leq -x^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x^2}\left[1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\right]\leq -1\quad\text{car }x^2\neq0})
![\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left[1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\right]\leq -\text{e}^{-2x}\quad\quad\text{car }\text{e}^{-2x}>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad f'(x)\leq -\text{e}^{-2x}} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f'(x)\le-\text{e}^{-2x}}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left[1+2x-(1+x)\,\text{e}^x\right]\leq -\text{e}^{-2x}\quad\quad\text{car }\text{e}^{-2x}>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad f'(x)\leq -\text{e}^{-2x}} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f'(x)\le-\text{e}^{-2x}}\,.)
![\overset{{\white{.}}}{\left(\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\right) \enskip :\enskip f'(x)\le-\text{e}^{-2x}<0.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\left(\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\right) \enskip :\enskip f'(x)\le-\text{e}^{-2x}<0.})
<0})
sur l'intervalle ]0 ; +=-\dfrac{3}{2}<0.})
![\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f''(x)=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^3}\left[\overset{}{-4x^2-4x-2+\text{e}^{x}(2+2x+x^2)}\right].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x>0\right) \enskip :\enskip f''(x)=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^3}\left[\overset{}{-4x^2-4x-2+\text{e}^{x}(2+2x+x^2)}\right].)
 \enskip :\enskip 1+x+\dfrac{x^2}{2}\le \text{e}^x.)
 \enskip :\enskip 1+t\le\text{e}^{t}.)
 \enskip :\enskip \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}\left(1+t\right)\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}\text{e}^{t}\,\text d t\end{aligned})
,![\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip\left[\overset{}{t+\dfrac{t^2}{2}}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\overset{}{\text{e}^t}\right]\limits_{0}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip\left[\overset{}{t+\dfrac{t^2}{2}}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\overset{}{\text{e}^t}\right]\limits_{0}^{x})
 \enskip :\enskip \left(\overset{}{x+ \dfrac{x^2}{2}}\right)-\left(\overset{}{0+0}\right)\le \text{e}^{x}-\text{e}^{0})
 \enskip :\enskip x+ \dfrac{x^2}{2}\le \text{e}^x-1)
 \enskip :\enskip 1+x+\dfrac{x^2}{2}\le \text{e}^x}})
 \enskip :\enskip f''(x)>0.)
)
\ge{\blue{(1+x+\dfrac{x^2}{2})}}(2+2x+x^2)>0)
\ge2+2x+x^2+2x+2x^2+x^3+x^2+x^3+\dfrac{x^4}{2} \\\Longrightarrow\quad \text{e}^x(2+2x+x^2)\ge\dfrac{x^4}{2}+2x^3+4x^2+4x+2 \\\Longrightarrow\quad -4x^2-4x-2+\text{e}^x(2+2x+x^2)\ge\dfrac{x^4}{2}+2x^3\,{\blue{>0}}\quad\text{car }\,{\blue{x>0}})
 \enskip :\enskip-4x^2-4x-2+\text{e}^x(2+2x+x^2)>0,)
![\left(\forall x\ge0\right) \enskip :\enskip \dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^3}\left[\overset{}{-4x^2-4x-2+\text{e}^{x}(2+2x+x^2)}\right]>0\quad\quad\text{car }\text{e}^{-2x}>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \left(\forall x\ge0\right) \enskip :\enskip \dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^3}\left[\overset{}{-4x^2-4x-2+\text{e}^{x}(2+2x+x^2)}\right]>0\quad\quad\text{car }\text{e}^{-2x}>0)
 \enskip :\enskip f''(x)>0}\,.)
=\dfrac{3}{2}.)
=0.})
=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left(\overset{}{2x+1-\text{e}^x(1+x)}\right) \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\left(2x+1\right)-\dfrac{\text{e}^{-2x}}{x^2}\times\text{e}^x(1+x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{2x+1}{x^2}\right)-\text{e}^{-x}\left(\dfrac{1+x}{x^2}\right)})
}{=}\enskip\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\phantom{WWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x+1}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{x}\right)=0}\end{matrix}\right.)
=0})
}{=}\enskip\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\phantom{WWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1+x}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0}\end{matrix}\right.)
=0}})
![\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{2x+1}{x^2}\right)-\text{e}^{-x}\left(\dfrac{1+x}{x^2}\right)\right]=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{2x+1}{x^2}\right)-\text{e}^{-x}\left(\dfrac{1+x}{x^2}\right)\right]=0)
=0}\,.)
\quad:\quad\left|\,\overset{}{f'(x)}\,\right|\le\dfrac{3}{2}.)
>0\quad(\text{question 3. b)}\\\\\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=\dfrac{3}{2}\quad(\text{question 4.)}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0\quad(\text{question 4. a)}\end{matrix} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\f''(x)&||&+&+&+&\\&||&&&&\\\hline&&&&&(0)\\f'(x)&&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&(-\frac{3}{2})&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
\quad:\quad -\dfrac{3}{2}\le f'(x)\le 0)
\quad:\quad\left|\,\overset{}{f'(x)}\,\right|\le\dfrac{3}{2}}\,.)
.})
=\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=\dfrac{1}{x}\times(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})}\,.)
}{=}\enskip\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}\enskip\underset{(X=-2x)}{=}\enskip\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\end{matrix}\right.)
![\lim\limits_{x\to+\infty}\,\left[\dfrac{1}{x}\times(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})\right]=0\times(0-0).](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to+\infty}\,\left[\dfrac{1}{x}\times(\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x})\right]=0\times(0-0).)
=0}\,.})
&(-\frac{3}{2})&-&-&-&\\&||&&&&\\\hline&\overset{{\white{.}}}{1}&&&&\\f(x)&&\searrow&\searrow&\searrow&\\&&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix})
 \enskip :\enskip f''(x)>0.})
.)
=f(x)-x.})
=f'(x)-1.)
=f'(x)-1<0})
sur [0 ; 1] et donc que la fonction g est strictement décroissante sur [0 ; 1].=f(0)-0=1-0=1)
et =f(1)-1=\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\approx-0,77.)
![\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right].)
![\overset{{\white{.}}}{\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right].})
![\overset{{\white{.}}}{0\in\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{0\in\left[\text{e}^{-1}-\text{e}^{-2}-1\,;\,1\right]})
car 
=0)
admet une unique solution 
dans l'intervalle ]0 ; 1[.
]0 ; 1] tel que =0.)
=0\quad\Longleftrightarrow\quad f(\alpha)-\alpha=0} \\\phantom{WWWnnW}\quad\Longleftrightarrow\quad f(\alpha)=\alpha.)
=\alpha.})
on considère les nombres réels 
et on pose : \,dt})
et \,dt.})
\,dt.})
\,dt-\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,dt \right|=\left|\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} \left(\overset{}{f(x_k)-f(t)}\right)\,dt \right| \\\phantom{WvWW}=\left|\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} \left(\overset{}{f(t)-f(x_k)}\right)\,dt\right|)
-f(x_k)}\right)\,dt\right| \\\\\phantom{xWWW}\le\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}\left|\overset{}{ f(t)-f(x_k)}\right|\,dt)
![[x_k\,;\,t]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[x_k\,;\,t])
. ![(\forall\, x\in [x_k\,;\,t])\quad:\quad\left|\,\overset{}{f'(x)}\,\right|\le\dfrac{3}{2}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\forall\, x\in [x_k\,;\,t])\quad:\quad\left|\,\overset{}{f'(x)}\,\right|\le\dfrac{3}{2}.)
-f(x_k)}\right|\le\dfrac{3}{2}\,|t-x_k|.)
-f(x_k)}\right|\,dt \\\\\phantom{xWWWWW}\le\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}\dfrac{3}{2}\,|t-x_k|\,dt \\\\\phantom{xWWWWW}\le\displaystyle\int_{x_k}^{x_{k+1}} \dfrac{3}{2}\,(t-x_k)\,dt\quad\text{car }t\ge x_k\Longrightarrow t-x_k\ge0)
\,dt \\\\\Longrightarrow\boxed{\left|\overset{}{J_k-I_k}\right|\le \dfrac{3}{2}\,\int_{x_k}^{x_{k+1}}\,(t-x_k)\,dt})
^2.)
\,dt.)
![\text{Or }\,\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt=\left[\dfrac{t^2}{2}-x_k\,t\right]_{x_k}^{x_{k+1}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\left(\dfrac{x_{k+1}^2}{2}-\dfrac{x_{k}^2}{2}\right)-x_k\,(x_{k+1}-x_{k})} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\left(\dfrac{(k+1)^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k^2\alpha^2}{2n^2}\right)-\dfrac{k\alpha}{n}\,\left(\dfrac{(k+1)\alpha}{n}-\dfrac{k\alpha}{n}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{(k+1)^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k(k+1)\alpha^2}{n^2}+\dfrac{k^2\alpha^2}{n^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Or }\,\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt=\left[\dfrac{t^2}{2}-x_k\,t\right]_{x_k}^{x_{k+1}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\left(\dfrac{x_{k+1}^2}{2}-\dfrac{x_{k}^2}{2}\right)-x_k\,(x_{k+1}-x_{k})} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\left(\dfrac{(k+1)^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k^2\alpha^2}{2n^2}\right)-\dfrac{k\alpha}{n}\,\left(\dfrac{(k+1)\alpha}{n}-\dfrac{k\alpha}{n}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{(k+1)^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k^2\alpha^2}{2n^2}-\dfrac{k(k+1)\alpha^2}{n^2}+\dfrac{k^2\alpha^2}{n^2}})
![\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}\left[\overset{}{(k+1)^2-k^2-2k(k+1)+2k^2}\right]}\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}\left[\overset{}{k^2+2k+1-k^2-2k^2-2k+2k^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}\left[\overset{}{(k+1)^2-k^2-2k(k+1)+2k^2}\right]}\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}\left[\overset{}{k^2+2k+1-k^2-2k^2-2k+2k^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt=\dfrac{\alpha^2}{2n^2}})
\,dt \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\le\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\alpha^2}{2n^2}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\le\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\alpha^2}{n^2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,k\in\lbrace0\,;1\,;\,\cdots\cdots\,;n\rbrace,\left|J_k-I_k\right|\le\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2})
\,dt.)
-L\,\right|\le\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\alpha^2}{n}.)
^2.)
^2.)
\right|\le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left|J_k-I_k\right|.)
^2)
est une somme de n termes égaux à ^2)
.^2=n\times\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2)
\right|\le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left|J_k-I_k\right|\\\\\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left|J_k-I_k\right|\le\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2\\\\\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2=n\times\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2\end{matrix}\right\rbrace \quad\Longrightarrow\quad \left|\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(J_k-I_k)\right|\le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left|J_k-I_k\right|\le\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2=n\times\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2)
\right|\le n\times\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2)
, 
soit 
![J_k=\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x_k)\,dt=f(x_k)\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} 1\,dt=\left(\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} 1\,dt\right)\times f(x_k) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=\left[\overset{{\phantom{.}}}{t}\right]_{x_k}^{x_{k+1}}\times f(x_k)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=(x_{k+1}-x_k)\times f(x_k)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=\left(\dfrac{(k+1)\alpha}{n}-\dfrac{k\alpha}{n}\right)\times f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_k=\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x_k)\,dt=f(x_k)\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} 1\,dt=\left(\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} 1\,dt\right)\times f(x_k) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=\left[\overset{{\phantom{.}}}{t}\right]_{x_k}^{x_{k+1}}\times f(x_k)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=(x_{k+1}-x_k)\times f(x_k)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=\left(\dfrac{(k+1)\alpha}{n}-\dfrac{k\alpha}{n}\right)\times f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)})
\times f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_k}=\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)\times f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}J_k=\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)\times \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)})
\,dt\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}I_k=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWii}=\displaystyle \int_{x_0}^{x_{1}} f(t)\,dt+\displaystyle \int_{x_1}^{x_{2}} f(t)\,dt+\cdots+\displaystyle \int_{x_{n-1}}^{x_{n}} f(t)\,dt} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWii}=\displaystyle \int_{x_0}^{x_{n}} f(t)\,dt=\displaystyle \int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt})
-L\,\right|\le\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\alpha^2}{n}})
-L\,\right|\le\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\alpha^2}{n}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\alpha^2}{n}=0\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left|\,\dfrac{\alpha}{n}\,\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)-L\,\right|=0 \\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\,\dfrac{\alpha}{n}\,\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)-L\,\right)=0)
=L \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\alpha}{n}\,\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)=\displaystyle \int_{0}^{\alpha}f(t)\,dt})
l'équation d'inconnue z , 
\enskip:\enskip mz^2-(m-1)^2z-(m-1)^2=0.})
de l'équation (Em ).![\Delta=((m-1)^2)^2-4\times m \times[-(m-1)^2] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^4+4 m (m-1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^2[(m-1)^2+4 m ]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^2(m^2-2m+1+4 m )}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=((m-1)^2)^2-4\times m \times[-(m-1)^2] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^4+4 m (m-1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^2[(m-1)^2+4 m ]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(m-1)^2(m^2-2m+1+4 m )})
![\\\overset{{\white{.}}}{=(m-1)^2(m^2+2m+1)} \\\overset{{\white{.}}}{=(m-1)^2(m+1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{=[(m-1)(m+1)]^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{=(m^2-1)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{=(m-1)^2(m^2+2m+1)} \\\overset{{\white{.}}}{=(m-1)^2(m+1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{=[(m-1)(m+1)]^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{=(m^2-1)^2})
^2})
et 
les deux solutions de l'équation (Em ).^2+(m^2-1)}{2m} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_1}=\dfrac{m^2-2m+1+m^2-1}{2m}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_1}=\dfrac{2m^2-2m}{2m}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_1}=\dfrac{2m(m-1)}{2m}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=m-1})
^2-(m^2-1)}{2m} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_2}=\dfrac{m^2-2m+1-m^2+1}{2m}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_2}=\dfrac{-2m+2}{2m}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_2}=\dfrac{2(-m+1)}{2m}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=\dfrac{1-m}{m}})
avec 
} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{z_1=m-1}=2\left(\dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}-\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}}{2}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}})
\,\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{z_1=m-1}=2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{z_1=m-1}=2\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{\text{i}(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2})}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=2\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{\text{i}(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2})}})
\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWw}=-2\left(\dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}-\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}}{2}\right)\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}})
\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWw}=2\,\text{e}^{\text{i}(-\frac{\pi}{2})}\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWWWWWWWw}=2\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{\text{i}(-\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=2\sin(\dfrac{\theta}{2})\,\text{e}^{\text{i}(-\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})}})
.)
et 
-0}{(m-1)-0}\in\R \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWiWW}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\dfrac{1-m}{m}}{m-1}\in\R} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWiWW}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1-m}{m}\times\dfrac{1}{m-1}\in\R} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWiWW}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{-(m-1)}{m(m-1)}\in\R})
par la rotation de centre A d'affixe 
et d'angle 
)
et d'angle 
qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' peut s'exprimer par la relation \,\text{e}^{\text{i}\theta}}\,.)
=\left(\left(\dfrac{1}{m}-1\right)-(m-1)\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}})
+\left(\dfrac{1}{m}-1-m+1\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}})
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}})
et d'angle -0)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}})
\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}})
,\, Q(q)})
et })
les milieux respectifs des segments [AC ], [AD ] et [OB ].![\bullet\,\left\lbrace\begin{matrix}p=\dfrac{(m-1)+\left[m-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right]}{2}\\\\r=\dfrac{0+\left(\dfrac{1}{m}-1\right)}{2}\phantom{WWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}2p=2(m-1)+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\\2r=\dfrac{1}{m}-1\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet\,\left\lbrace\begin{matrix}p=\dfrac{(m-1)+\left[m-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right]}{2}\\\\r=\dfrac{0+\left(\dfrac{1}{m}-1\right)}{2}\phantom{WWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}2p=2(m-1)+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\\2r=\dfrac{1}{m}-1\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.)
=2p-2r \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwW}=2(m-1)+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\dfrac{1}{m}+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWwWWW}=2m-2+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\dfrac{1}{m}+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW_{}}=2m-\dfrac{1}{m}-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}})
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwWWWW}=m-1-\dfrac{1}{m}+m+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwWWWW}=m-1-\left(\dfrac{1}{m}-m\right)+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{2(p-r)=m-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-1\right)})
+(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}{2}\\\\r=\dfrac{0+\left(\dfrac{1}{m}-1\right)}{2}\phantom{WWWW}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}2q=m-1+(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\\2r=\dfrac{1}{m}-1\phantom{WWWWWW}\end{matrix}\right.)
=2q-2r \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwW}=m-1+(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\dfrac{1}{m}+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWwWWW}=m+(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\dfrac{1}{m}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW_{}}=(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\left(\dfrac{1}{m}-m\right)})
=(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\left(\dfrac{1}{m}-m\right)})
.)
![2(q-r)=(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\left(\dfrac{1}{m}-m\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)-\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2(q-r)=(m-1)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-\left(\dfrac{1}{m}-m\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)-\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right]})
 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWwWWW}=2\times\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWwWWW}=1} \\\\\Longrightarrow\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}+\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-1=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}})
![\text{Donc }\,2(q-r)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)-\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)+\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-1\right)\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\times2(p-r)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(p-r)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Donc }\,2(q-r)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)-\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left[(m-1)+\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}-1\right)\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\times2(p-r)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,2(q-r)}=2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(p-r)})
}\,.)
)
exprime que le point Q est l'image du point P par la rotation de centre R et d'angle =\dfrac{\pi}{3}.})
est un triangle équilatéral.=\begin{pmatrix}1&0&0\\a+1&3&-1\\2a+3&6&-2\end{pmatrix}})
et soit \,/\,a\in\R\rbrace.})
l'application définie de })
par : \enskip : \enskip \varphi(a)=M(a).})
)
vers ,\times).)
=\varphi(a)\times \varphi(b).})
\times\varphi(b)=\begin{pmatrix}1&0&0\\a+1&3&-1\\2a+3&6&-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\b+1&3&-1\\2b+3&6&-2\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWx}=\begin{pmatrix}1+0+0&0+0+0&0+0+0\\a+1+3(b+1)-(2b+3)&0+9-6&0-3+2\\2a+3+6(b+1)-2(2b+3)&0+18-12&0-6+4\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWx}=\begin{pmatrix}1&0&0\\a+1+3b+3-2b-3&3&-1\\2a+3+6b+6-4b-6&6&-2\end{pmatrix}})
\times\varphi(b)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ (a+b)+1&3&-1\\2(a+b)+3&6&-2\end{pmatrix}} )
=\begin{pmatrix}1&0&0\\ (a+b)+1&3&-1\\2(a+b)+3&6&-2\end{pmatrix}})
=\varphi(a)\times \varphi(b)}}}\,.})
=G.)
=\lbrace\varphi(a)\,/\,a\in\R\rbrace \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\varphi(\R)}=\lbrace M(a)\,/\,a\in\R\rbrace}\quad(\text{par définition de }\varphi) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\varphi(\R)}=G}\quad(\text{par définition de }G) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\varphi(\R)=G})
})
dans })
et si ,\bullet)})
est également un groupe commutatif.})
vers ,\times).})
,\times)})
est un groupe commutatif,})
est un groupe commutatif.
l'élément neutre dans .})
)
est neutre dans ,\bullet).})
})
est l'élément neutre dans  .\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,J}=M(0)} .\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,J}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&3&-1\\3&6&-2\end{pmatrix}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{J=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&3&-1\\3&6&-2\end{pmatrix}\,.})
})
dans \enskip : \enskip \varphi(a)=M(a),})
nous devons déterminer l'inverse de })
dans )
est le symétrique de )
dans })
est le symétrique de =M(-a) .\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\varphi(-a)}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-a+1&3&-1\\-2a+3&6&-2\end{pmatrix}})
=\begin{pmatrix}1&0&0\\-a+1&3&-1\\-2a+3&6&-2\end{pmatrix}}\,.})
\times X=M(2).})
)'})
l'inverse de })
dans \times X=M(2)\quad\Longleftrightarrow\quad (M(1))'\times M(1)\times X=(M(1))'\times M(2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad J\times X=M(-1)\times M(2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad X=M(-1)\times M(2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad X=\varphi(-1)\times \varphi(2)} )
\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad X=\varphi(-1+2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad X=\varphi(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad X=M(1)} )
\times X=M(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{X=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\5&6&-2\end{pmatrix}}} )
\times X=M(2)})
est \rbrace=\left\lbrace\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\5&6&-2\end{pmatrix}\right\rbrace} \,.)
\enskip : \enskip M(a)\times J=M(a)\times I.})
est l'élément neutre dans \in G.})
\times J = M(a).})
est l'élément neutre dans ,\times)})
et \in M_3(\R).})
\times I = M(a).})
}\enskip : \enskip\left\lbrace\begin{matrix}M(a)\times J=M(a)\\M(a)\times I=M(a)\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \boxed{M(a)\times J=M(a)\times I}\,.)
})
n'est pas inversible dans ,\times).})
tel que )^{-1}})
l'inverse de )^{-1}\times\,M(a)=I.)
![M(a)\times J=M(a)\times I\quad\Longrightarrow\quad {\red{(M(a))^{-1}\times\,}} [M(a)\times J]={\red{(M(a))^{-1}\times\,}} [M(a)\times I] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad {\red{[}}(M(a))^{-1}\times\ M(a){\red{]}}\times J={\red{[}}(M(a))^{-1}\times\,M(a){\red{]}}\times I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad I\times J=I\times I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad J=I\quad\text{car }I\text{ est le neutre dans }(M_3(\R),\times)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M(a)\times J=M(a)\times I\quad\Longrightarrow\quad {\red{(M(a))^{-1}\times\,}} [M(a)\times J]={\red{(M(a))^{-1}\times\,}} [M(a)\times I] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad {\red{[}}(M(a))^{-1}\times\ M(a){\red{]}}\times J={\red{[}}(M(a))^{-1}\times\,M(a){\red{]}}\times I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad I\times J=I\times I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad J=I\quad\text{car }I\text{ est le neutre dans }(M_3(\R),\times)})
est absurde car 
=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\5&6&-2\end{pmatrix}})
et =\begin{pmatrix}1&0&0\\3&3&-1\\7&6&-2\end{pmatrix}.})
\times X=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\5&6&-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\x+2&3&0\\3x+5&6&1\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{M(1)\times X}=\begin{pmatrix}1+0+0&0+0+0&0+0+0\\2+3(x+2)-(3x+5)&0+9-6&0+0-1\\5+6(x+2)-2(3x+5)&0+18-12&0+0-2\end{pmatrix}})
\times X}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2+3x+6-3x-5&3&-1\\5+6x+12-6x-10&6&-2\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X}=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&3&-1\\7&6&-2\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(1)\times X}=M(2)})
sont des solutions dans 
alors ce nombre naturel n est un nombre premier.
137 n'est pas divisible par 2 car le chiffre des unités (7) est impair.
19 + 4.
tel que 
=2}}\\\\\\\end{array}\end{matrix})
} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad 2=6-1\times16+2\times6\phantom{wi}} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2=3\times6-1\times16}\phantom{www}}\end{matrix}{\phantom{xxx}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\\end{matrix}{\phantom{xxx}})
-1\times16} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad 2=3\times22-3\times16-1\times16\phantom{wi}} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2=3\times22-4\times16}\phantom{wwwww}}\end{matrix})
} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad 2=3\times22-4\times38+4\times22\phantom{wi}} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2=7\times22-4\times38}\phantom{wwwww}}\end{matrix}{\phantom{xxx}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\\end{matrix}{\phantom{xxx}})
-4\times38} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad 2=7\times136-21\times38-4\times38\phantom{w}} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\red{2=-25\times38+7\times136}}}\phantom{wwxwx}}\end{matrix})
: le couple =(-25\,,7)}\,.)
tel que : ![x^{38}\equiv1\,[137].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{38}\equiv1\,[137].)
![\overset{{\white{.}}}{x\equiv0\,[137].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\equiv0\,[137].})
![x\equiv0\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{138}\equiv0^{138}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\equiv0\,[137]}}\quad\Longrightarrow\quad x^{138}\equiv0\,[137]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\equiv0\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{138}\equiv0^{138}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\equiv0\,[137]}}\quad\Longrightarrow\quad x^{138}\equiv0\,[137])
![\left\lbrace\begin{matrix} x^{138}\equiv0\,[137]\\ x^{138}\equiv1\,[137]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} 0\equiv x^{138}\,[137]\\ x^{138}\equiv1\,[137]\end{matrix}\right. \\\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad0\equiv1\,[137] \\\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\equiv0\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix} x^{138}\equiv0\,[137]\\ x^{138}\equiv1\,[137]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} 0\equiv x^{138}\,[137]\\ x^{138}\equiv1\,[137]\end{matrix}\right. \\\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad0\equiv1\,[137] \\\\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\equiv0\,[137]})
![\overset{{\white{.}}}{x^{136}\equiv 1\,[137].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x^{136}\equiv 1\,[137].})
![\overset{{\white{.}}}{\boxed{a^{p-1}\equiv1\,[p]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\boxed{a^{p-1}\equiv1\,[p]}})
.![\overset{{\white{.}}}{x^{137-1}\equiv1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x^{137-1}\equiv1\,[137]})
, soit ![\overset{{\white{.}}}{\boxed{x^{136}\equiv1\,[137]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\boxed{x^{136}\equiv1\,[137]}})
![x^{2}\equiv 1\,[137].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{2}\equiv 1\,[137].)
+136\times7=2.})
+136\times7=2\quad\Longleftrightarrow\quad 2+38\times25=136\times7 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWxWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{2+38\times25}=x^{136\times7}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWxWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\times x^{38\times25}=x^{136\times7}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWxWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\times \left(x^{38}\right)^{25}=\left(x^{136}\right)^7})
![\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}x^{38}\equiv 1\,[137]\quad(\text{par définition de }x)\\x^{136}\equiv 1\,[137]\quad(\text{voir question 3. b})\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\,x^{2}\times \left(x^{38}\right)^{25}=\left(x^{136}\right)^7\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\times1^{25}\equiv1^7\,[137] \\\\\phantom{WWWWWWWwWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{2}\equiv1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}x^{38}\equiv 1\,[137]\quad(\text{par définition de }x)\\x^{136}\equiv 1\,[137]\quad(\text{voir question 3. b})\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\,x^{2}\times \left(x^{38}\right)^{25}=\left(x^{136}\right)^7\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\times1^{25}\equiv1^7\,[137] \\\\\phantom{WWWWWWWwWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{2}\equiv1\,[137]})
l'équation ![(E):\quad x^{19}\equiv1\,[137].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E):\quad x^{19}\equiv1\,[137].)
![\text{Alors }\,x^{19}\equiv1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad \left(x^{19}\right)^2\equiv1^2\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWiWWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{38}\equiv1\,[137]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\equiv1\,[137]\quad(\text{voir question 3. c})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1\equiv0\,[137]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)\equiv0\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Alors }\,x^{19}\equiv1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad \left(x^{19}\right)^2\equiv1^2\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWiWWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{38}\equiv1\,[137]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\equiv1\,[137]\quad(\text{voir question 3. c})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1\equiv0\,[137]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)\equiv0\,[137]})
![\overset{{\white{.}}}{ab\equiv0\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{ab\equiv0\,[p]})
(où a et b sont des nombres entiers), alors ![\overset{{\white{.}}}{a\equiv0\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{a\equiv0\,[p]})
ou ![\overset{{\white{.}}}{b\equiv0\,[p].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{b\equiv0\,[p].})
![(x-1)(x+1)\equiv0\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x-1\equiv0\,[137]\quad\text{ou}\quad x+1\equiv0\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longrightarrow\quad x\equiv1\,[137]\quad\text{ou}\quad x\equiv-1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x-1)(x+1)\equiv0\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x-1\equiv0\,[137]\quad\text{ou}\quad x+1\equiv0\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longrightarrow\quad x\equiv1\,[137]\quad\text{ou}\quad x\equiv-1\,[137]})
![\overset{{\white{.}}}{x\equiv1\,[137]\quad\text{ou}\quad x\equiv-1\,[137].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\equiv1\,[137]\quad\text{ou}\quad x\equiv-1\,[137].})
![\bullet\quad x\equiv 1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv 1^{19}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv 1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet\quad x\equiv 1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv 1^{19}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv 1\,[137]})
![\overset{{\white{.}}}{x\equiv 1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\equiv 1\,[137]})
est solution de l'équation (E ).![\bullet\quad x\equiv -1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv (-1)^{19}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv -1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet\quad x\equiv -1\,[137]\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv (-1)^{19}\,[137] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad x^{19}\equiv -1\,[137]})
![\overset{{\white{.}}}{-1\not\equiv1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{-1\not\equiv1\,[137]})
car 1 - (-1) n'est pas divisible par 137 puisque 137 ne divise pas 2.![\overset{{\white{.}}}{x\equiv -1\,[137]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\equiv -1\,[137]})
n'est pas solution de l'équation (E ).
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