Fiche de mathématiques

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Bac Maroc

Sciences économiques 2022

Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
4,5 points

exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite numérique définie par : $u_0=3 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5} \text{ pour tout }n\text{ de }\N$

1. Calculer $u_1 \text{ et }u_2$ .

2. Montrer par récurrence que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n>2$

3.a. Montrer que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{5}(2-u_n)$ .
3.b. En déduire que $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante .

4.Déduire de ce qui précède que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente .

5. On pose pour tout $n\text{ de }\N\text{ : }v_n=u_n-2$
5.a. Calculer $v_0$ .
5.b. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ .
5.c. Donner $v_n$ en fonction de $n$ .

6.a. Montrer que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+2$ .
6.b. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

11 points

exercice 2

Partie I

On considère la fonction numérique $h$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }h(x)=x^2-\ln x$

1. Montrer que $h'(x)=\dfrac{2x^2-1}{x} \text{ pour tout } x \text{ de }]0;+\infty[$ .

2. Etudier le signe de $h'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

3. Vérifier que $h\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1+\ln 2}{2}$ et dresser le tableau de variations de $h$ (Le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé) .

4. En déduire que : $h(x)>0$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ .

Partie II

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}+x$
et soit $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

1.a. Calculer $\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\x>0\end{smallmatrix}}f(x)$ .
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ .
2.b. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(f(x)-x\right)=0$
2.c. Déduire de ce qui précède une interprétation géométrique du résultat .

3.a. Montrer que $f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^2} \text{pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[$ .
3.b. Déduire de la question 4. de la partie I que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

4. Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y=x$ .
4.a. Calculer $f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ .
4.b. Etudier le signe de $f(x)-x$ .
4.c. En déduire la position relative de $(\mathcal C)$ par rapport à $(\Delta)$ sur chacun des intervalles $\left]0;\dfrac{1}{e}\right] \text{ et }\left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[$ .

5. Dans la figure ci-dessous $(\mathcal C )$ est al courbe représentative de $f$ et $(\Delta)$ la droite d'équation $y=x$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
5.a. Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x \text{ et calculer }\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x$ .

5.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .

4,5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Un sac contient cinq boules blanches numérotées $1-2-3-3-3$ et quatre boules noires numérotées $1-2-3-3$ .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard deux boules du sac .
On considère les événements suivants :

A: " Les deux boules tirées sont de même couleur"
B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3"

1.a. Montrer que $p(A)=\dfrac{4}{9}$ .
1.b. Calculer $p(B)$ .
1.c. Calculer $p(A\cap B)$ .
1.d. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse .

2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3 .
2.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\ \hline p(X=x_i) & \dfrac{15}{36}&\enskip& \\ \hline \end{array}$
2.b. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ .

Voir la correction

exercice 1

1) Calcul de $u_1\text{ et de }u_2 \text{ : }$

$u_1=\dfrac{1}{5}u_0+\dfrac{8}{5}=\dfrac{1}{5}\times 3+\dfrac{8}{5}=\dfrac{11}{5}$

$u_2=\dfrac{1}{5}u_1+\dfrac{8}{5}=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{11}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{11}{25}+\dfrac{40}{25}=\dfrac{51}{25}$

$\boxed{u_1=\dfrac{11}{5}\text{ et }u_2=\dfrac{51}{25}}$

2) Montrons par récurrence que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n>2$

Initialisation : Pour $n=0\text{ , on a }u_0=3>2$
La proposition est vérifiée pour $n=0$

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain $n\in\N \text{ , } u_n>2\text{ , }$ montrons alors que dans ce cas , on a aussi $u_{n+1}>2$

On a $\begin{matrix}u_n>2&\Rightarrow& \dfrac{1}{5}u_n>\dfrac{2}{5}& \Rightarrow& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}>\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{5} &\Rightarrow &u_{n+1}>\dfrac{10}{5}=2\end{matrix}$

Par conséquent $\text{ : }u_{n+1}>2$

Conclusion : On conclut par récurrence que :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>2}$

3-a) Pour tout entier naturel $n\in\N\text{ : }$

$\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}-u_n &=& \left(\dfrac{1}{5}-1\right)u_n+\dfrac{8}{5}\\\\&=& -\dfrac{4}{5}u_n +\dfrac{8}{5} &=& \dfrac{4}{5}\left(-u_n+2\right) \\\\&=& \dfrac{4}{5}(2-u_n)\end{matrix}$

$\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{5}(2-u_n) }$

3-b) Puisque pour tout $n$ de $\N \text{ : } u_n>2\text{ , d'où }\enskip 0>2-u_n$

Il s'ensuit alors que , pour tout $n\in\N\text{ : }0>\dfrac{4}{5}(2-u_n)$

D'où $\text{ : }\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n<0$

$\boxed{(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite décroissante }}$

4) On a vu que :

$(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite décroissante }$

$(u_n)_{n\in\N} \text{ est minorée par }2$

Donc :

$\boxed{(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente }}$

5-a) On a directement :

$v_0=u_0-2=3-2=1$

$\boxed{v_0=1}$

b) Pour tout entier $n\in\N\text{ : }$

$\begin{matrix}v_{n+1}&=&u_{n+1}-2 &=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}-2 \\\\&=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8-10}{5} &=& \dfrac{1}{5}u_n-\dfrac{2}{5} \\\\&=& \dfrac{1}{5}\left(u_n-2\right)&=& \boxed{\dfrac{1}{5}v_n}\end{matrix}$

Conclusion :

$\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{5}\text{ et de premier terme }v_0=1 }$

c) Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0=1$

Alors : $\forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{1}{5}\right)^n =\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$

6-a) Puisque pour tout $n$ de $\N\text{ on a : }v_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\text{ et }v_n=u_n-2 \text{ , alors : }u_n=v_n+2$

D'où : $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+2}$

b) comme $-1<\dfrac{1}{5}<1$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n=0$

On obtient :
$\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=2}$

exercice 2

Partie I

1) La fonction $h$ définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }h(x)=x^2-\ln x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle .

D'où , pour tout réel $x$ strictement positif $\text{ : }$

$\begin{matrix}h'(x)&=&(x^2-\ln x)'&=&(x^2)'-(\ln x)'&=&2x-\dfrac{1}{x}&=&\dfrac{2x^2-1}{x}\end{matrix}$

$\boxed{ h'(x)=\dfrac{2x^2-1}{x} \text{ pour tout } x \text{ de }]0;+\infty[ }$

2) Puisque $x\in]0;+\infty[ \text{ , alors le signe de }h'(x)$ est celui de $2x^2-1$ , de plus , on sait que :

Pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }2x^2-1=\left(\sqrt{2}x\right)^2-1 =(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)$

Et , pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }\sqrt{2} x+1 >0$

Alors le signe de $h'(x)$ est finalement celui de $\sqrt{2}x-1$ , on trace le tableau de signe :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 1/\sqrt{2} & & +\infty \\ \hline \sqrt{2}x-1 &\dbarre & - & \barre{0} & +& \\ \hline h'(x) &\dbarre & - & \barre{0} & +& \\ \hline \end{array}$

On obtient :

$\boxed{\begin{matrix} \text{ Pour tout }x\in\left] 0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]\text{ : }h'(x)\leq 0 \\\text{ Pour tout }x\in\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty\right[\text{ : }h'(x)\geq 0\end{matrix}}$

3) On a directement :

$\begin{matrix}h\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)&=&\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)&=&\dfrac{1}{2} +\ln (\sqrt{2}) \\\\&=& \dfrac{1}{2}+\ln \left(2^{1/2}\right) &=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ln 2 \\\\&=&\boxed{ \dfrac{1+\ln 2}{2}}\end{matrix}$

Et on dresse le tableau de variations de $h$ :
$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & 1/\sqrt{2} & & +\infty \\ \hline h'(x) &\dbarre& &- & \barre{0} & + & \\ \hline & \dbarre& & & & & \\ h &\dbarre & & \searrow && \nearrow& \\ & \dbarre&& &(1+\ln 2)/2& & \\ & \dbarre&& && & \\ \hline \end{array}$

4) On déduit du tableau de variations que le minimum de la fonction $h$ sur $]0;+\infty[$ est $\dfrac{1+\ln 2}{2}$ .

On a alors pour tout $x$ de $]0;+\infty[\text{ , } h(x) \geq \dfrac{1+\ln 2}{2}$ . De plus , $\dfrac{1+\ln 2}{2}>0$

D'où :

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h(x)>0}$

Partie II

La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}+x$

1-a) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x =-\infty \enskip\text{ , donc }\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x + 1 =-\infty$

De plus , $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x} =+\infty\enskip\text{ , d'où }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x+1}{x} =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}\times (\ln x +1) =(+\infty) \times(-\infty )=-\infty$

D'où : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1+\ln x}{x}+x=-\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =-\infty}$

b) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C})\text{ de }f}$

2-a) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0\enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} =0$

Alors : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1+\ln x}{x}+x=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}+x=0+0+\infty=+\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =+\infty}$

b) On a :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-x =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1+\ln x}{x}+x-x=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=0$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-x =0}$

c) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ La droite d'équation }y=x \text{ est une asymptote oblique à la courbe }(\mathcal{C})\text{ au voisinage de }+\infty}$

3-a) $f$ est une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(\dfrac{1+\ln x}{x}+x\right)'&=& \dfrac{(1+\ln x)'x-(1+\ln x)}{x^2}+1\\\\&=& \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-(1+\ln x)}{x^2}+1&=& \dfrac{1-1-\ln x}{x^2}+1\\\\&=& \dfrac{-\ln x+x^2}{x^2}&=&\dfrac{x^2-\ln x}{x^2}\end{matrix}$

Donc : $\boxed{f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^2} \text{ , pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ }$

b) On a vu en 4) de la partie I que : $\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h(x)>0$

Et puisque $x^2>0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$ , alors :

$\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)>0$

On obtient donc :

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty[}$

4-a) On a :

$\begin{matrix} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &=&\dfrac{1+\ln \left(\dfrac{1}{e}\right)}{\dfrac{1}{e}}+\dfrac{1}{e}&=&e(1+\ln(e^{-1}))+\dfrac{1}{e}\\&=&e(1-\ln e)+\dfrac{1}{e}&=&e(1-1)+\dfrac{1}{e}\\&=&\dfrac{1}{e}\end{matrix}$

$\boxed{f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}}$

b) Pour tout $x\in]0;+\infty[\enskip\text{ : }\enskip\begin{matrix} f(x)-x&=&\dfrac{1+\ln x}{x}\end{matrix}$

Et puisque $x>0\text{ , alors }$ le signe de $f(x)-x$ est celui de $1+\ln x$ .

D'autre part : $1+\ln x\geq 0 \iff \ln x\geq -1 \iff x\geq e^{-1}\iff x\geq \dfrac{1}{e}$

Et $1+\ln x\leq 0 \iff x\leq \dfrac{1}{e}$

On en déduit que :

$\boxed{\begin{matrix} \forall x\in \left]0;\dfrac{1}{e}\right]\text{ : }f(x)-x\leq 0 \\ \forall x\in \left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[\text{ : }f(x)-x\geq 0 \end{matrix}}$

c) On déduit de ce qui précède , que :

$\boxed{\begin{matrix} (\mathcal{C})\text{ est en dessous de }(\Delta)\text{ sur } \left]0;\dfrac{1}{e}\right] \\ (\mathcal{C})\text{ est au-dessus de }(\Delta)\text{ sur } \left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[ \\ (\mathcal{C})\text{ coupe }(\Delta)\text{ au point }\left(\dfrac{1}{e};\dfrac{1}{e}\right)\end{matrix}}$

5-a) Puisque $x\in\left[\dfrac{1}{e};1\right] \text{ , }$ une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ .

On a alors :

$\begin{matrix}\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x &=&\left[\ln x\right]_{\frac{1}{e}}^{1} &=& \ln 1 -\ln \left(\dfrac{1}{e}\right) \\\\&=& 0-(-\ln e) &=& \ln e \\\\&=& 1 \end{matrix}$

Et :

$\begin{matrix}\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\left(\ln x\right)'\ln x \text{ d}x \\\\&=& \left[\dfrac{\ln ^2 x}{2}\right]_{\frac{1}{e}}^{1} &=& \dfrac{\ln ^2 (1)}{2}-\dfrac{\ln ^2 \left(\dfrac{1}{e}\right)}{2} \\\\&=& -\dfrac{1}{2}(-\ln e )^2 &=& -\dfrac{1}{2} \end{matrix}$

$\boxed{\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x =1\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x=-\dfrac{1}{2}}$

b) L'aire de la partie hachurée qui est délimité par la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{e}\text{ et } x=1$ est en unités d'aire (UA) :

$\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-y|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-x|\text{ d}x$

Et d'après 4-b) , $f(x)-x\geq 0 \text{ , pour tout }x\in\left[\dfrac{1}{e}; 1 \right]$

L'aire de la partie hachurée est en unité d'aire $(UA)$ :

$\begin{matrix}\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-x|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} f(x)-x\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1+\ln x}{x}\text{ d}x\\\\&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1}{x} \text{ d}x +\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x \\\\&=&1-\dfrac{1}{2} &=&\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

$\boxed{\text{ L'aire de la partie hachurée vaut en unité d'aire }\dfrac{1}{2}\enskip(UA)}$

exercice 3

Un sac contient cinq boules blanches numérotées 1-2-3-3-3 et quatre boules noires numérotées 1-2-3-3 , donc 9 au total . Et on tire simultanément au hasard deux boules du sac .

Donc : $\text{Card }\Omega={9\choose 2}=36$

1-a) On a A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc $A=\lbrace B\text{ , }B\rbrace \text{ ou }\lbrace N\text{ , }N\rbrace$

$p(A)=\dfrac{ {5\choose 2 }+ {4\choose 2 }}{36}=\dfrac{10+6}{36}=\dfrac{4}{9}$

$\boxed{p(A)=\dfrac{4}{9}}$

b) On a B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3" . Donc $B=\lbrace 3\text{ , }\text{ non }3\rbrace$

$p(B)=\dfrac{ {5\choose 1 } {4\choose 1 }}{36}=\dfrac{5\times 4}{36}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}$

$\boxed{p(B)=\dfrac{5}{9}}$

c) On a : $A\cap B = \lbrace B_3 \text{ ; }B_{\text{ non }3}\rbrace \text{ ou }\lbrace N_3 \text{ ; }N_{\text{ non }3}\rbrace$

Donc $p(A\cap B)= \dfrac{ {3\choose 1 } {2\choose 1 }+ {2\choose 1 } {2\choose 1 }}{36}=\dfrac{3\times 2 + 2\times 2 }{36}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$

$\boxed{p(A\cap B)=\dfrac{5}{18}}$

d) On a $p(A)\text{ . }p(B)=\dfrac{4}{9}\times \dfrac{5}{9}=\dfrac{20}{81} \neq \dfrac{5}{18}$

Donc $p(A)\text{ . }p(B)\neq p(A\cap B)$ , d'où :

$\boxed{\text{ Les événements }A\text{ et }B\text{ ne sont pas indépendants }}$

2-a) $X$ étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3.

Et puisque qu'il y en a 3 boules de ce genre dans le sac , donc les valeurs prises par $X$ sont : $0;1;2$

$p(X=0)=\dfrac{{6\choose 2}}{36}=\dfrac{15}{36}$
$p(X=1)=\dfrac{{3\choose 1}{6\choose 1}}{36}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$ .
$p(X=2)=\dfrac{{3\choose 2}}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$

Vérification : $p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=\dfrac{15+18+3}{36}=\dfrac{36}{36}=1$

Et on remplit le tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\\hline & &&\\ p(X=x_i) & \dfrac{15}{36} &\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{12}\\ && &\\ \hline \end{array}$

b) L'espérance mathématique se calcule par : $E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)$

$\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{15}{36}+1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{12}\\&=& \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\\&=&\dfrac{3+1}{6}\\&=&\dfrac{2}{3}\end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{E(X)=\dfrac{2}{3}}$

Publié par malou/Panter le 28-04-2024

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