Fiche de mathématiques
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Bac Maroc

Sciences économiques 2022

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Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

4,5 points

exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par : u_0=3 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5} \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1. Calculer u_1 \text{ et }u_2 .

2. Montrer par récurrence que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n>2

3.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{5}(2-u_n) .
3.b. En déduire que (u_n)_{n\in\N} est une suite décroissante .

4.Déduire de ce qui précède que la suite (u_n)_{n\in\N} est convergente .

5. On pose pour tout n\text{ de }\N\text{ : }v_n=u_n-2
5.a. Calculer v_0.
5.b. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{5} .
5.c. Donner v_n en fonction de n .

6.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+2 .
6.b. Calculer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n .

11 points

exercice 2

Partie I

On considère la fonction numérique h de la variable réelle x définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }h(x)=x^2-\ln x

1. Montrer que h'(x)=\dfrac{2x^2-1}{x} \text{ pour tout } x \text{ de }]0;+\infty[ .

2. Etudier le signe de h'(x) sur ]0;+\infty[ .

3. Vérifier que h\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1+\ln 2}{2} et dresser le tableau de variations de h (Le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé) .

4. En déduire que : h(x)>0 pour tout x de ]0;+\infty[ .

Partie II

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}+x
et soit (\mathcal C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) .

1.a. Calculer \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\x>0\end{smallmatrix}}f(x) .
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Montrer que \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty .
2.b. Montrer que \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(f(x)-x\right)=0
2.c. Déduire de ce qui précède une interprétation géométrique du résultat .

3.a. Montrer que f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^2} \text{pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ .
3.b. Déduire de la question 4. de la partie I que f est strictement croissante sur ]0;+\infty[ .

4. Soit (\Delta) la droite d'équation y=x .
4.a. Calculer f\left(\dfrac{1}{e}\right) .
4.b. Etudier le signe de f(x)-x .
4.c. En déduire la position relative de (\mathcal C) par rapport à (\Delta) sur chacun des intervalles \left]0;\dfrac{1}{e}\right] \text{ et }\left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[ .

5. Dans la figure ci-dessous (\mathcal C ) est al courbe représentative de f et (\Delta) la droite d'équation y=x dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .
5.a. Calculer \displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x \text{ et calculer }\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x .

5.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .
Bac Maroc 2022 ECO : image 1


4,5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Un sac contient cinq boules blanches numérotées 1-2-3-3-3 et quatre boules noires numérotées 1-2-3-3.
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard deux boules du sac .
On considère les événements suivants :

A: " Les deux boules tirées sont de même couleur"
B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3"

1.a. Montrer que p(A)=\dfrac{4}{9} .
1.b. Calculer p(B) .
1.c. Calculer p(A\cap B) .
1.d. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse .

2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3 .
2.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\  \hline p(X=x_i) & \dfrac{15}{36}&\enskip& \\ \hline   \end{array}

2.b. Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X .







exercice 1

1) Calcul de u_1\text{ et de }u_2 \text{ : }

u_1=\dfrac{1}{5}u_0+\dfrac{8}{5}=\dfrac{1}{5}\times 3+\dfrac{8}{5}=\dfrac{11}{5}

u_2=\dfrac{1}{5}u_1+\dfrac{8}{5}=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{11}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{11}{25}+\dfrac{40}{25}=\dfrac{51}{25}

\boxed{u_1=\dfrac{11}{5}\text{ et }u_2=\dfrac{51}{25}}


2) Montrons par récurrence que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n>2

Initialisation : Pour n=0\text{ , on a }u_0=3>2
La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N \text{ , } u_n>2\text{ , } montrons alors que dans ce cas , on a aussi u_{n+1}>2

On a \begin{matrix}u_n>2&\Rightarrow& \dfrac{1}{5}u_n>\dfrac{2}{5}& \Rightarrow& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}>\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{5} &\Rightarrow &u_{n+1}>\dfrac{10}{5}=2\end{matrix}

Par conséquent\text{ : }u_{n+1}>2

Conclusion : On conclut par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>2}


3-a) Pour tout entier naturel n\in\N\text{ : }

\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}-u_n &=& \left(\dfrac{1}{5}-1\right)u_n+\dfrac{8}{5}\\\\&=& -\dfrac{4}{5}u_n +\dfrac{8}{5} &=& \dfrac{4}{5}\left(-u_n+2\right) \\\\&=& \dfrac{4}{5}(2-u_n)\end{matrix}

\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{5}(2-u_n) }


3-b) Puisque pour tout n de \N \text{ : } u_n>2\text{ , d'où }\enskip 0>2-u_n

Il s'ensuit alors que , pour tout n\in\N\text{ : }0>\dfrac{4}{5}(2-u_n)

D'où \text{ : }\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n<0

\boxed{(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite décroissante }}


4) On a vu que :

(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite décroissante }

(u_n)_{n\in\N} \text{ est minorée par }2

Donc :

\boxed{(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente }}


5-a) On a directement :

v_0=u_0-2=3-2=1

\boxed{v_0=1}


b) Pour tout entier n\in\N\text{ : }

\begin{matrix}v_{n+1}&=&u_{n+1}-2 &=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8}{5}-2 \\\\&=& \dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{8-10}{5} &=& \dfrac{1}{5}u_n-\dfrac{2}{5} \\\\&=& \dfrac{1}{5}\left(u_n-2\right)&=& \boxed{\dfrac{1}{5}v_n}\end{matrix}

Conclusion :

\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{5}\text{ et de premier terme }v_0=1 }


c) Puisque (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{5} et de premier terme v_0=1

Alors : \forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{1}{5}\right)^n =\left(\dfrac{1}{5}\right)^n

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}


6-a) Puisque pour tout n de \N\text{ on a : }v_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\text{ et }v_n=u_n-2 \text{ , alors : }u_n=v_n+2

D'où :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+2}


b) comme -1<\dfrac{1}{5}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n=0

On obtient :
\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=2}


exercice 2

Partie I

1) La fonction h définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }h(x)=x^2-\ln x est dérivable sur ]0;+\infty[ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle .

D'où , pour tout réel x strictement positif \text{ : }

\begin{matrix}h'(x)&=&(x^2-\ln x)'&=&(x^2)'-(\ln x)'&=&2x-\dfrac{1}{x}&=&\dfrac{2x^2-1}{x}\end{matrix}

\boxed{ h'(x)=\dfrac{2x^2-1}{x} \text{ pour tout } x \text{ de }]0;+\infty[ }


2) Puisque x\in]0;+\infty[ \text{ , alors le signe de }h'(x) est celui de 2x^2-1 , de plus , on sait que :

Pour tout x\in]0;+\infty[\text{ : }2x^2-1=\left(\sqrt{2}x\right)^2-1 =(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)

Et , pour tout x\in]0;+\infty[\text{ : }\sqrt{2} x+1 >0

Alors le signe de h'(x) est finalement celui de \sqrt{2}x-1 , on trace le tableau de signe :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x       & 0       &      & 1/\sqrt{2} &   & +\infty   \\  \hline \sqrt{2}x-1     &\dbarre & -    &   \barre{0}                   &    +&      \\  \hline h'(x)     &\dbarre  &  -     &   \barre{0}                   &    +&       \\   \hline \end{array}


On obtient :

\boxed{\begin{matrix} \text{ Pour tout }x\in\left] 0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]\text{ : }h'(x)\leq 0 \\\text{ Pour tout }x\in\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty\right[\text{ : }h'(x)\geq 0\end{matrix}}


3) On a directement :

\begin{matrix}h\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)&=&\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)&=&\dfrac{1}{2} +\ln (\sqrt{2}) \\\\&=& \dfrac{1}{2}+\ln \left(2^{1/2}\right) &=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ln 2 \\\\&=&\boxed{ \dfrac{1+\ln 2}{2}}\end{matrix}

Et on dresse le tableau de variations de h :
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &     &        & 1/\sqrt{2}  &    &      +\infty    \\ \hline h'(x)     &\dbarre& &- & \barre{0} &  +    &                                 \\ \hline               & \dbarre& &  &      &  &       \\      h      &\dbarre &      &   \searrow     && \nearrow&  \\                    & \dbarre&&        &(1+\ln 2)/2& &  \\                    & \dbarre&&        && &     \\   \hline \end{array}


4) On déduit du tableau de variations que le minimum de la fonction h sur ]0;+\infty[ est \dfrac{1+\ln 2}{2}.

On a alors pour tout x de ]0;+\infty[\text{ , } h(x) \geq  \dfrac{1+\ln 2}{2} . De plus , \dfrac{1+\ln 2}{2}>0

D'où :

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h(x)>0}



Partie II

La fonction f est définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}+x


1-a) Puisque \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x =-\infty \enskip\text{ , donc }\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x + 1 =-\infty

De plus , \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x} =+\infty\enskip\text{ , d'où }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x+1}{x} =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}\times (\ln x +1) =(+\infty) \times(-\infty )=-\infty

D'où : \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1+\ln x}{x}+x=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =-\infty}


b) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C})\text{ de }f}


2-a) Puisque \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0\enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} =0

Alors :\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1+\ln x}{x}+x=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}+x=0+0+\infty=+\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =+\infty}


b) On a :

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-x =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1+\ln x}{x}+x-x=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=0

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-x =0}


c) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La droite d'équation }y=x \text{ est une asymptote oblique à la courbe }(\mathcal{C})\text{ au voisinage de }+\infty}


3-a) f est une fonction dérivable sur ]0;+\infty[ comme quotient et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(\dfrac{1+\ln x}{x}+x\right)'&=& \dfrac{(1+\ln x)'x-(1+\ln x)}{x^2}+1\\\\&=&  \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-(1+\ln x)}{x^2}+1&=& \dfrac{1-1-\ln x}{x^2}+1\\\\&=& \dfrac{-\ln x+x^2}{x^2}&=&\dfrac{x^2-\ln x}{x^2}\end{matrix}

Donc :
\boxed{f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^2} \text{ , pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ }


b) On a vu en 4) de la partie I que : \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h(x)>0

Et puisque x^2>0 pour tout x\in]0;+\infty[ , alors :

\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)>0


On obtient donc :

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty[}


4-a) On a :

 \begin{matrix} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &=&\dfrac{1+\ln \left(\dfrac{1}{e}\right)}{\dfrac{1}{e}}+\dfrac{1}{e}&=&e(1+\ln(e^{-1}))+\dfrac{1}{e}\\&=&e(1-\ln e)+\dfrac{1}{e}&=&e(1-1)+\dfrac{1}{e}\\&=&\dfrac{1}{e}\end{matrix}

\boxed{f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}}


b) Pour tout x\in]0;+\infty[\enskip\text{ : }\enskip\begin{matrix} f(x)-x&=&\dfrac{1+\ln x}{x}\end{matrix}

Et puisque x>0\text{ , alors } le signe de f(x)-x est celui de 1+\ln x .

D'autre part : 1+\ln x\geq 0 \iff \ln x\geq -1 \iff x\geq e^{-1}\iff x\geq \dfrac{1}{e}

Et 1+\ln x\leq 0 \iff x\leq \dfrac{1}{e}

On en déduit que :

\boxed{\begin{matrix} \forall x\in \left]0;\dfrac{1}{e}\right]\text{ : }f(x)-x\leq 0 \\ \forall x\in \left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[\text{ : }f(x)-x\geq 0 \end{matrix}}


c) On déduit de ce qui précède , que :

\boxed{\begin{matrix} (\mathcal{C})\text{ est en dessous de }(\Delta)\text{ sur } \left]0;\dfrac{1}{e}\right] \\  (\mathcal{C})\text{ est au-dessus de }(\Delta)\text{ sur } \left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[ \\  (\mathcal{C})\text{ coupe }(\Delta)\text{ au point }\left(\dfrac{1}{e};\dfrac{1}{e}\right)\end{matrix}}


5-a) Puisque x\in\left[\dfrac{1}{e};1\right] \text{ , } une primitive de \dfrac{1}{x} est \ln x .

On a alors :

\begin{matrix}\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x &=&\left[\ln x\right]_{\frac{1}{e}}^{1} &=& \ln 1 -\ln \left(\dfrac{1}{e}\right) \\\\&=& 0-(-\ln e) &=& \ln e \\\\&=& 1 \end{matrix}

Et :

\begin{matrix}\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\left(\ln x\right)'\ln x \text{ d}x \\\\&=& \left[\dfrac{\ln ^2 x}{2}\right]_{\frac{1}{e}}^{1} &=& \dfrac{\ln ^2 (1)}{2}-\dfrac{\ln ^2 \left(\dfrac{1}{e}\right)}{2} \\\\&=& -\dfrac{1}{2}(-\ln e )^2 &=& -\dfrac{1}{2} \end{matrix}

\boxed{\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x =1\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x=-\dfrac{1}{2}}


b) L'aire de la partie hachurée qui est délimité par la courbe (\mathcal{C}) et la droite (\Delta) et les droites d'équations x=\dfrac{1}{e}\text{ et } x=1 est en unités d'aire (UA) :

\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-y|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-x|\text{ d}x


Et d'après 4-b) , f(x)-x\geq 0 \text{ , pour tout }x\in\left[\dfrac{1}{e}; 1 \right]

L'aire de la partie hachurée est en unité d'aire (UA) :

\begin{matrix}\displaystyle \int_{1/e}^{1} |f(x)-x|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} f(x)-x\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1+\ln x}{x}\text{ d}x\\\\&=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{1}{x} \text{ d}x +\displaystyle \int_{1/e}^{1} \dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x \\\\&=&1-\dfrac{1}{2} &=&\dfrac{1}{2}\end{matrix}

\boxed{\text{  L'aire de la partie hachurée vaut en unité d'aire }\dfrac{1}{2}\enskip(UA)}


exercice 3

Un sac contient cinq boules blanches numérotées 1-2-3-3-3 et quatre boules noires numérotées 1-2-3-3 , donc 9 au total . Et on tire simultanément au hasard deux boules du sac .

Donc : \text{Card }\Omega={9\choose 2}=36

1-a) On a A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc A=\lbrace B\text{ , }B\rbrace \text{ ou }\lbrace N\text{ , }N\rbrace

p(A)=\dfrac{ {5\choose 2 }+ {4\choose 2 }}{36}=\dfrac{10+6}{36}=\dfrac{4}{9}

\boxed{p(A)=\dfrac{4}{9}}


b) On a B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3" . Donc B=\lbrace 3\text{ , }\text{ non }3\rbrace

p(B)=\dfrac{ {5\choose 1 } {4\choose 1 }}{36}=\dfrac{5\times 4}{36}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}

\boxed{p(B)=\dfrac{5}{9}}


c) On a : A\cap B = \lbrace B_3 \text{ ; }B_{\text{ non }3}\rbrace \text{ ou }\lbrace N_3 \text{ ; }N_{\text{ non }3}\rbrace

Donc p(A\cap B)= \dfrac{ {3\choose 1 } {2\choose 1 }+ {2\choose 1 } {2\choose 1 }}{36}=\dfrac{3\times 2 + 2\times 2 }{36}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}



\boxed{p(A\cap B)=\dfrac{5}{18}}


d) On a p(A)\text{ . }p(B)=\dfrac{4}{9}\times \dfrac{5}{9}=\dfrac{20}{81} \neq \dfrac{5}{18}

Donc p(A)\text{ . }p(B)\neq p(A\cap B) , d'où :

\boxed{\text{ Les événements }A\text{ et }B\text{ ne sont pas indépendants }}


2-a) X étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3.

Et puisque qu'il y en a 3 boules de ce genre dans le sac , donc les valeurs prises par X sont : 0;1;2

p(X=0)=\dfrac{{6\choose 2}}{36}=\dfrac{15}{36}
p(X=1)=\dfrac{{3\choose 1}{6\choose 1}}{36}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2} .
p(X=2)=\dfrac{{3\choose 2}}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}

Vérification : p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=\dfrac{15+18+3}{36}=\dfrac{36}{36}=1

Et on remplit le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\\hline   &  &&\\   p(X=x_i) & \dfrac{15}{36} &\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{12}\\   &&  &\\ \hline   \end{array}


b) L'espérance mathématique se calcule par : E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)

\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{15}{36}+1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{12}\\&=& \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\\&=&\dfrac{3+1}{6}\\&=&\dfrac{2}{3}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{E(X)=\dfrac{2}{3}}
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