Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
4,5 points
exercice 1
Soit la suite numérique définie par :
1. Calculer .
2. Montrer par récurrence que pour tout
3.a. Montrer que pour tout .
3.b. En déduire que est une suite décroissante .
4.Déduire de ce qui précède que la suite est convergente .
5. On pose pour tout 5.a. Calculer .
5.b. Montrer que est une suite géométrique de raison .
5.c. Donner en fonction de .
6.a. Montrer que pour tout .
6.b. Calculer .
11 points
exercice 2
Partie I
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur
1. Montrer que .
2. Etudier le signe de sur .
3. Vérifier que et dresser le tableau de variations de (Le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé) .
4. En déduire que : pour tout de .
Partie II
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1.a. Calculer .
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat .
2.a. Montrer que .
2.b. Montrer que 2.c. Déduire de ce qui précède une interprétation géométrique du résultat .
3.a. Montrer que .
3.b. Déduire de la question 4. de la partie I que est strictement croissante sur .
4. Soit la droite d'équation .
4.a. Calculer .
4.b. Etudier le signe de .
4.c. En déduire la position relative de par rapport à sur chacun des intervalles .
5. Dans la figure ci-dessous est al courbe représentative de et la droite d'équation dans un repère orthonormé .
5.a. Calculer .
5.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .
4,5 points
exercice 3
(On donnera les résultats sous forme de fraction)
Un sac contient cinq boules blanches numérotées et quatre boules noires numérotées .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard deux boules du sac .
On considère les événements suivants :
A: " Les deux boules tirées sont de même couleur" B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3"
1.a. Montrer que .
1.b. Calculer .
1.c. Calculer .
1.d. Les événements et sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse .
2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3.
2.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .
2.b. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
Initialisation : Pour La proposition est vérifiée pour
Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain montrons alors que dans ce cas , on a aussi
On a
Par conséquent
Conclusion : On conclut par récurrence que :
3-a) Pour tout entier naturel
3-b) Puisque pour tout de
Il s'ensuit alors que , pour tout
D'où
4) On a vu que :
Donc :
5-a) On a directement :
b) Pour tout entier
Conclusion :
c) Puisque est géométrique de raison et de premier terme
Alors :
6-a) Puisque pour tout de
D'où :
b) comme , alors
On obtient :
exercice 2
Partie I
1) La fonction définie sur est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle .
D'où , pour tout réel strictement positif
2) Puisque est celui de , de plus , on sait que :
Pour tout
Et , pour tout
Alors le signe de est finalement celui de , on trace le tableau de signe :
On obtient :
3) On a directement :
Et on dresse le tableau de variations de :
4) On déduit du tableau de variations que le minimum de la fonction sur est .
On a alors pour tout de . De plus ,
D'où :
Partie II
La fonction est définie sur
1-a) Puisque
De plus ,
D'où :
b)Interprétation graphique :
2-a) Puisque
Alors :
b) On a :
c)Interprétation graphique :
3-a) est une fonction dérivable sur comme quotient et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :
Donc :
b) On a vu en 4) de la partie I que :
Et puisque pour tout , alors :
On obtient donc :
4-a) On a :
b) Pour tout
Et puisque le signe de est celui de .
D'autre part :
Et
On en déduit que :
c) On déduit de ce qui précède , que :
5-a) Puisque une primitive de est .
On a alors :
Et :
b) L'aire de la partie hachurée qui est délimité par la courbe et la droite et les droites d'équations est en unités d'aire (UA) :
Et d'après 4-b) ,
L'aire de la partie hachurée est en unité d'aire :
exercice 3
Un sac contient cinq boules blanches numérotées 1-2-3-3-3 et quatre boules noires numérotées 1-2-3-3 , donc 9 au total . Et on tire simultanément au hasard deux boules du sac .
Donc :
1-a) On a A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc
b) On a B: "L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3" . Donc
c) On a :
Donc
d) On a
Donc , d'où :
2-a) étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3.
Et puisque qu'il y en a 3 boules de ce genre dans le sac , donc les valeurs prises par sont :
.
Vérification :
Et on remplit le tableau :
b) L'espérance mathématique se calcule par :
Conclusion :
Publié par malou/Panter
le
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