Fiche de mathématiques

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Bac Maroc

Techniques de gestion et comptabilité

2022

Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
4 points

exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite numérique définie par : $u_0=0 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3}{5}u_n-2 \text{ pour tout }n\text{ de }\N$

1. Calculer $u_1 \text{ et }u_2$ .

2. On pose pour tout $n\text{ de }\N\text{ : }v_n=u_n+5$
2.a. Calculer $v_0$ .
2.b. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{3}{5}$ .
2.c. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .

3.a. Montrer que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left[\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-1\right]$ .
3.b. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

11 points

exercice 2

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ par : }f(x)=e^{x}-\dfrac{x}{x-1}$
et soit $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

1.a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Montrer que $\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=+\infty\text{ et que }\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=-\infty$ .
2.b. Donner une interprétation géométrique des résultats .

3.a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ .
3.b. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=+\infty$
3.c. Donner une interprétation géométrique du résultat .

4.a. Montrer que pour tout $x\text{ de }]-\infty\,;\, 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }f'(x)=e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2}$ .
4.b. Montrer que $f$ est croissante sur chacun des intervalles $]-\infty; 1[\text{ et }]1;+\infty[$ .
4.c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[$ .

5. Dans la figure ci-dessous $(\mathcal C_f )$ est la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Bac Maroc 2022 TGC (techniques gestion comptabilité) : image 1

5.a. Donner , à partir de la courbe $(\mathcal C_f)$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ .
5.b. Donner , à partir de la courbe $(\mathcal C_f)$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-1$ . 5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Un sac contient $6$ boules : trois portant chacune le nombre $2$ , deux portant chacune le nombre $1$ , et une seule porte le nombre $0$ .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard deux boules du sac .
On considère les événements suivants :

A: " Les deux boules tirées portent le nombre 2"
B: "Les deux boules tirées portent des nombres différents"

1.a. Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{5}$ .
1.b. Montrer que $p\left(\overline{B}\right)=\dfrac{4}{15}$ et en déduire $p(B)$ . ( $\overline{B}$ est l'événement contraire de $B$ ) .

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au produit des deux nombres portés par les deux boules tirées .
2.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2&4\\ \hline p(X=x_i) & &\enskip& &\\ \hline \end{array}$
2.b. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ .

Voir la correction

exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite numérique définie par : $u_0=0 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3}{5}u_n-2 \text{ pour tout }n\text{ de }\N$

1) On a :

$u_1=\dfrac{3}{5}u_0-2=\dfrac{3}{5}\times 0 - 2 =-2$
$u_2=\dfrac{3}{5}u_1-2=\dfrac{3}{5}\times \left(-2\right) - 2 = -\dfrac{6}{5}-\dfrac{10}{5}=-\dfrac{16}{5}$

$\boxed{u_1=-2\enskip\text{ , }\enskip u_2=-\dfrac{16}{5}}$

2-a) Directement : $v_0=u_0+5=0+5=5$

$\boxed{v_0=5}$

b) Pour tout $n\in\N\text{ : }$

$\begin{matrix}v_{n+1}&=&u_{n+1}+5&=&\dfrac{3}{5}u_n-2+5\\\\&=&\dfrac{3}{5}u_n+3&=&\dfrac{3}{5}\left(u_n+5\right) \\\\&=& \dfrac{3}{5}v_n \end{matrix}$

On trouve : $\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }v_{n+1}=\dfrac{3}{5}v_n$

D'où :
$\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{3}{5}\text{ et de premier terme }v_0=5 }$

c) D'après ce qui précède :

$\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \enskip\iff\enskip\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }v_n=5\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$

3-a) On a pour tout $n\in\N\text{ : }v_n=u_n+5\text{ , d'où }\enskip u_n=v_n-5$

On obtient donc : $\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-5\enskip\iff\enskip\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left[\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-1\right]}$

b) Comme $-1<\dfrac{3}{5}<1$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0$

On obtient :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=5(0-1)\iff \boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=-5}$

exercice 2

La fonction $f$ est définie sur $]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ par : }f(x)=e^{x}-\dfrac{x}{x-1}$

1-a) On sait que $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x = 0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x}=1$

D'où : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x-\dfrac{x}{x-1}=0-1=-1$

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1}$

b) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ La droite d'équation }y=-1 \text{ est une asymptote horizontale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ au voisinage de }-\infty}$

2-a) On sait que : $\begin{cases}x-1=0&\text{si } x=1 \\x-1>0&\text{si }x>1\\x-1<0&\text{si }x<1\end{cases}$ , traçons donc le tableau de signe de $x-1 \text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline x-1 & & - & \barre{0} & + & \\\hline \end{array}$

$\text{On obtient : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}x-1=0^{-}\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}x-1=0^{+}$

$\text{D'où : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

$\text{Ou encore : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}-\dfrac{x}{x-1}=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}-\dfrac{x}{x-1}=-\infty$

On en déduit que : $\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}e^x-\dfrac{x}{x-1}=e+\infty=+\infty$

Et : $\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}e^x-\dfrac{x}{x-1}=e-\infty=-\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\displaystyle \lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=-\infty }$

b) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ La droite d'équation }x=1 \text{ est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ à gauche et à droite }}$

3-a) On sait que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1$

D'où : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x-\dfrac{x}{x-1}=+\infty-1=+\infty$

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

b) On a $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x(x-1)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$

D'où : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}-\dfrac{1}{x-1}=+\infty-0=+\infty$

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

c) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ La courbe }(\mathcal{C}_f) \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des abscisses au voisinage de }+\infty}$

4-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 1[\cup]1;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet ensemble .

Donc :

$\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty ; 1[\cup]1;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(e^x-\dfrac{x}{x-1}\right)'&=&(e^x)'-\left(\dfrac{x}{x-1}\right)' \\\\&=& e^x - \dfrac{x'(x-1)-x(x-1)'}{(x-1)^2} &=& e^x -\dfrac{x-1-x}{(x-1)^2}\\\\ &=& e^x -\dfrac{-1}{(x-1)^2}&=& e^x +\dfrac{1}{(x-1)^2} \end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }f'(x)=e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2}}$

b) Pour tout réel $x\enskip\text{ : }\enskip e^x>0\enskip\text{ et }\enskip\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$

Donc , $\text{pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$

Il s'ensuit que : $\boxed{\text{pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ : }f'(x)>0}$

On en déduit que :

$\boxed{f \text{ est (strictement) croissante sur chacun des intervalles }]-\infty; 1[\text{ et }]1;+\infty[ }$

c) D'après ce qui précède :

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & & 1 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & &\dbarre& & + & \\ \hline & & &+\infty &\dbarre& & & +\infty \\ f &&\nearrow&&\dbarre&&\nearrow & \\ &-1 &&&\dbarre&-\infty& & \\ \hline\end{array}$

5-a) Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ est le nombre de fois que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ coupe la droite horizontale d'équation $y=1$ .

Donc :

$\boxed{\text{Le nombre de solutions de l'équation }f(x)=1\text{ est }2}$

b Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-1$ est le nombre de fois que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ coupe la droite horizontale d'équation $y=-1$ .

Donc : $\boxed{\text{Le nombre de solutions de l'équation }f(x)=-1\text{ est }1}$

Bac Maroc 2022 TGC (techniques gestion comptabilité) : image 2

exercice 3

Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher : trois portant chacune le nombre 2 , deux portant chacune le nombre 1 , et une seule porte le nombre 0 . Et On tire simultanément au hasard 2 boules du sac .

Donc : $\boxed{\text{Card }\Omega={6\choose 2}=15}$

1-a) On a A " Les deux boules tirées portent le nombre 2" . Donc $A=\lbrace 2\text{ , }2\rbrace$

$p(A)=\dfrac{ {3\choose 2}}{15}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$

$\boxed{p(A)=\dfrac{1}{5}}$

b) On a B: "Les deux boules tirées portent des nombres différents" .

Donc $\bar{B}\text{ : }$ "Les deux boules tirées portent le même nombre"

On en déduit que : $\bar{B}=\lbrace 1\text{ , }1\rbrace\text{ ou }\lbrace 2\text{ , }2\rbrace$

$p(B)=\dfrac{ {2\choose 2 } +{3\choose 2 }}{15}=\dfrac{1+3}{15}=\dfrac{4}{15}$

$\boxed{p(\bar{B})=\dfrac{4}{15}}$

On en déduit :

$p(B)=1-p(\bar{B})=1-\dfrac{4}{15}\iff \boxed{p(B)=\dfrac{11}{15}}$

3) $X$ étant la variable aléatoire qui correspond au produit des deux nombres portés par les deux boules tirées.
Alors $X$ peut prendre les valeurs 0 , 1 ,2 ou 4 .

$(X=0)$ : Une boule doit être la boule $0$ et l'autre peut-être n'importe laquelle parmi les $5$ restantes , donc $\lbrace 0\text{ , }?\rbrace$

$p(X=0)=\dfrac{{1\choose 1 }{5\choose 1 }}{15}=\dfrac{5}{15}\Rightarrow\boxed{p(X=0)=\dfrac{1}{3}}$
$(X=1)$ , on a la possibilité suivante seulement : $\lbrace 1\text{ , }1\rbrace$

Donc : $\boxed{p(X=1)=\dfrac{ {2\choose 2}}{15}=\dfrac{1}{15}}$
$(X=2)$ , on a la possibilité suivante seulement : $\lbrace 1\text{ , }2\rbrace$

$p(X=2)=\dfrac{ {2\choose 1} {3\choose 1}}{15}=\dfrac{2\times 3 }{15}\Longrightarrow \boxed{p(X=2)=\dfrac{6}{15} }$
$(X=4)$ , on a la possibilité suivante : $\lbrace 2\text{ , }2\rbrace$

$p(X=4)=p(A)\Longrightarrow \boxed{p(X=4)=\dfrac{1}{5} }$

Vérification : $p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{6}{15}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5+1+6+3}{15}=\dfrac{15}{15}=1$

Et on remplie le tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2&4\\\hline & &&&\\ p(X=x_i) & \dfrac{1}{3} &\dfrac{1}{15}&\dfrac{6}{15}&\dfrac{1}{5}\\ && & &\\ \hline \end{array}$

b) L'espérance mathématique se calcule par : $E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)$

$\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{1}{3}+1\times\dfrac{1}{15}+2\times\dfrac{6}{15}+4\times\dfrac{1}{5}\\\\&=&\dfrac{1+12+12}{15}\\\\&=&\dfrac{25}{15}\\\\&=&\dfrac{5}{3}\end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{E(X)=\dfrac{5}{3}}$

Publié par malou/Panter le 14-12-2022

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