Fiche de mathématiques
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Bac Maroc

Techniques de gestion et comptabilité

2022

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Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

4 points

exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par : u_0=0 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3}{5}u_n-2 \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1. Calculer u_1 \text{ et }u_2 .

2. On pose pour tout n\text{ de }\N\text{ : }v_n=u_n+5
2.a. Calculer v_0.
2.b. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{3}{5} .
2.c. Donner l'expression de v_n en fonction de n .

3.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left[\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-1\right] .
3.b. Calculer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n .

11 points

exercice 2

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ par : }f(x)=e^{x}-\dfrac{x}{x-1}
et soit (\mathcal C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) .

1.a. Calculer \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Montrer que \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=+\infty\text{ et que }\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=-\infty .
2.b. Donner une interprétation géométrique des résultats .

3.a. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) .
3.b. Montrer que \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=+\infty
3.c. Donner une interprétation géométrique du résultat .

4.a. Montrer que pour tout x\text{ de }]-\infty\,;\, 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }f'(x)=e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2} .
4.b. Montrer que f est croissante sur chacun des intervalles ]-\infty; 1[\text{ et }]1;+\infty[ .
4.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[ .

5. Dans la figure ci-dessous (\mathcal C_f ) est la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

Bac Maroc 2022 TGC (techniques gestion comptabilité) : image 1


5.a. Donner , à partir de la courbe (\mathcal C_f) , le nombre de solutions de l'équation f(x)=1 .
5.b. Donner , à partir de la courbe (\mathcal C_f) , le nombre de solutions de l'équation f(x)=-1 . 5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Un sac contient 6 boules : trois portant chacune le nombre 2 , deux portant chacune le nombre 1 , et une seule porte le nombre 0 .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard deux boules du sac .
On considère les événements suivants :

A: " Les deux boules tirées portent le nombre 2"
B: "Les deux boules tirées portent des nombres différents"

1.a. Montrer que p(A)=\dfrac{1}{5} .
1.b. Montrer que p\left(\overline{B}\right)=\dfrac{4}{15} et en déduire p(B) . (\overline{B} est l'événement contraire de B) .

2. Soit X la variable aléatoire qui est égale au produit des deux nombres portés par les deux boules tirées .
2.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2&4\\  \hline p(X=x_i) & &\enskip& &\\ \hline   \end{array}

2.b. Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X .







exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par : u_0=0 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3}{5}u_n-2 \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1) On a :

u_1=\dfrac{3}{5}u_0-2=\dfrac{3}{5}\times 0 - 2  =-2
u_2=\dfrac{3}{5}u_1-2=\dfrac{3}{5}\times \left(-2\right) - 2 = -\dfrac{6}{5}-\dfrac{10}{5}=-\dfrac{16}{5}

\boxed{u_1=-2\enskip\text{ , }\enskip u_2=-\dfrac{16}{5}}


2-a) Directement : v_0=u_0+5=0+5=5

\boxed{v_0=5}


b) Pour tout n\in\N\text{ : }

\begin{matrix}v_{n+1}&=&u_{n+1}+5&=&\dfrac{3}{5}u_n-2+5\\\\&=&\dfrac{3}{5}u_n+3&=&\dfrac{3}{5}\left(u_n+5\right) \\\\&=& \dfrac{3}{5}v_n \end{matrix}

On trouve :
\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }v_{n+1}=\dfrac{3}{5}v_n


D'où :
\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{3}{5}\text{ et de premier terme }v_0=5 }


c) D'après ce qui précède :

\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \enskip\iff\enskip\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }v_n=5\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}

3-a) On a pour tout n\in\N\text{ : }v_n=u_n+5\text{ , d'où }\enskip u_n=v_n-5

On obtient donc : \text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-5\enskip\iff\enskip\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=5\left[\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-1\right]}

b) Comme -1<\dfrac{3}{5}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0

On obtient :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=5(0-1)\iff \boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=-5}


exercice 2

La fonction f est définie sur ]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ par : }f(x)=e^{x}-\dfrac{x}{x-1}

1-a) On sait que \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x = 0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x}=1

D'où : \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x-\dfrac{x}{x-1}=0-1=-1

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1}


b) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La droite d'équation }y=-1 \text{ est une asymptote horizontale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ au voisinage de }-\infty}


2-a) On sait que : \begin{cases}x-1=0&\text{si } x=1 \\x-1>0&\text{si }x>1\\x-1<0&\text{si }x<1\end{cases} , traçons donc le tableau de signe de x-1 \text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x       & -\infty       &    & 1  &    &  +\infty    \\ \hline x-1     & & - & \barre{0} & +      &  \\\hline \end{array}


\text{On obtient : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}x-1=0^{-}\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}x-1=0^{+}

\text{D'où : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty

\text{Ou encore : }\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}-\dfrac{x}{x-1}=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}-\dfrac{x}{x-1}=-\infty

On en déduit que : \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}e^x-\dfrac{x}{x-1}=e+\infty=+\infty

Et : \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}e^x-\dfrac{x}{x-1}=e-\infty=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x<1\end{smallmatrix}}f(x)=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\displaystyle \lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\x>1\end{smallmatrix}}f(x)=-\infty }


b) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La droite d'équation }x=1 \text{ est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ à gauche et à droite }}


3-a) On sait que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1

D'où : \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x-\dfrac{x}{x-1}=+\infty-1=+\infty

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}


b) On a \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x(x-1)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-1} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0

D'où : \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}-\dfrac{1}{x-1}=+\infty-0=+\infty

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}


c) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La courbe }(\mathcal{C}_f) \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des abscisses au voisinage de }+\infty}


4-a) La fonction f est dérivable sur ]-\infty ; 1[\cup]1;+\infty[ comme somme de fonctions dérivables sur cet ensemble .

Donc :

\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty ; 1[\cup]1;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(e^x-\dfrac{x}{x-1}\right)'&=&(e^x)'-\left(\dfrac{x}{x-1}\right)' \\\\&=& e^x - \dfrac{x'(x-1)-x(x-1)'}{(x-1)^2} &=& e^x -\dfrac{x-1-x}{(x-1)^2}\\\\ &=& e^x -\dfrac{-1}{(x-1)^2}&=& e^x +\dfrac{1}{(x-1)^2}   \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }f'(x)=e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2}}


b) Pour tout réel x\enskip\text{ : }\enskip e^x>0\enskip\text{ et }\enskip\dfrac{1}{(x-1)^2}>0

Donc , \text{pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ ; }e^x+\dfrac{1}{(x-1)^2}>0

Il s'ensuit que :
\boxed{\text{pour tout }x\text{ de }]-\infty; 1[\cup]1;+\infty[\text{ : }f'(x)>0}


On en déduit que :

\boxed{f \text{ est (strictement) croissante sur chacun des intervalles }]-\infty; 1[\text{ et }]1;+\infty[ }


c) D'après ce qui précède :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x       & -\infty       &      &  & 1 &   & & +\infty    \\  \hline f'(x)     & & + & &\dbarre& &  +     &        \\   \hline &   & &+\infty &\dbarre& &     &    +\infty   \\  f   &&\nearrow&&\dbarre&&\nearrow & \\    &-1 &&&\dbarre&-\infty& &     \\ \hline\end{array}


5-a) Le nombre de solutions de l'équation f(x)=1 est le nombre de fois que la courbe (\mathcal{C}_f) coupe la droite horizontale d'équation y=1 .

Donc :

\boxed{\text{Le nombre de solutions de l'équation }f(x)=1\text{ est }2}


b Le nombre de solutions de l'équation f(x)=-1 est le nombre de fois que la courbe (\mathcal{C}_f) coupe la droite horizontale d'équation y=-1 .

Donc :
\boxed{\text{Le nombre de solutions de l'équation }f(x)=-1\text{ est }1}


Bac Maroc 2022 TGC (techniques gestion comptabilité) : image 2


exercice 3

Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher : trois portant chacune le nombre 2 , deux portant chacune le nombre 1 , et une seule porte le nombre 0 . Et On tire simultanément au hasard 2 boules du sac .

Donc :
\boxed{\text{Card }\Omega={6\choose 2}=15}


1-a) On a A " Les deux boules tirées portent le nombre 2" . Donc A=\lbrace 2\text{ , }2\rbrace

p(A)=\dfrac{ {3\choose 2}}{15}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}

\boxed{p(A)=\dfrac{1}{5}}


b) On a B: "Les deux boules tirées portent des nombres différents" .

Donc \bar{B}\text{ : } "Les deux boules tirées portent le même nombre"

On en déduit que : \bar{B}=\lbrace 1\text{ , }1\rbrace\text{ ou }\lbrace 2\text{ , }2\rbrace

p(B)=\dfrac{ {2\choose 2 } +{3\choose 2 }}{15}=\dfrac{1+3}{15}=\dfrac{4}{15}

\boxed{p(\bar{B})=\dfrac{4}{15}}


On en déduit :

p(B)=1-p(\bar{B})=1-\dfrac{4}{15}\iff \boxed{p(B)=\dfrac{11}{15}}


3) X étant la variable aléatoire qui correspond au produit des deux nombres portés par les deux boules tirées.
Alors X peut prendre les valeurs 0 , 1 ,2 ou 4 .

(X=0) : Une boule doit être la boule 0 et l'autre peut-être n'importe laquelle parmi les 5 restantes , donc \lbrace 0\text{ , }?\rbrace

p(X=0)=\dfrac{{1\choose 1 }{5\choose 1 }}{15}=\dfrac{5}{15}\Rightarrow\boxed{p(X=0)=\dfrac{1}{3}}

(X=1) , on a la possibilité suivante seulement : \lbrace 1\text{ , }1\rbrace

Donc :
\boxed{p(X=1)=\dfrac{ {2\choose 2}}{15}=\dfrac{1}{15}}

(X=2) , on a la possibilité suivante seulement : \lbrace 1\text{ , }2\rbrace

p(X=2)=\dfrac{ {2\choose 1} {3\choose 1}}{15}=\dfrac{2\times 3 }{15}\Longrightarrow \boxed{p(X=2)=\dfrac{6}{15} }

(X=4) , on a la possibilité suivante : \lbrace 2\text{ , }2\rbrace

p(X=4)=p(A)\Longrightarrow \boxed{p(X=4)=\dfrac{1}{5} }


Vérification : p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{6}{15}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5+1+6+3}{15}=\dfrac{15}{15}=1

Et on remplie le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2&4\\\hline   &  &&&\\   p(X=x_i) & \dfrac{1}{3} &\dfrac{1}{15}&\dfrac{6}{15}&\dfrac{1}{5}\\   && & &\\ \hline   \end{array}


b) L'espérance mathématique se calcule par : E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)

\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{1}{3}+1\times\dfrac{1}{15}+2\times\dfrac{6}{15}+4\times\dfrac{1}{5}\\\\&=&\dfrac{1+12+12}{15}\\\\&=&\dfrac{25}{15}\\\\&=&\dfrac{5}{3}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{E(X)=\dfrac{5}{3}}
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