Fiche de mathématiques
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Bac Mauritanie 2022

Série C

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Durée : 4 heures
Coefficient : 9

3 points

exercice 1

Les statistiques montrent que 5\% des candidats au bac normal 2019 étaient en série C .
On choisit , de façon aléatoire , de l'ensemble des candidats en 2019 , un échantillon de n candidats (n\geq 2).
On suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats au bac C choisis dans cet échantillon .

1) Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique .

2) Calculer en fonction de n la probabilité de chacun des événements A et B suivants :

A: "Seulement deux candidats au bac C ont été choisis"
B: "Au moins un candidat au bac C a été choisi"

3) Soit p_n la probabilité d'avoir choisi au moins un candidat au bac C , donc p_n=p(B) .
a) Calculer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n et interpréter le résultat .
b) Quel est le nombre minimal de candidats qu'il faut choisir pour que p_n\geq 0,99 ?

5 points

exercice 2

1) Soit P(z)=z^3-(5+6i)z^2+(-6+16i)z+20+10i\text{ ; }z\in\C .
a) Calculer P(-1+i) puis déterminer les complexes a et b tels que P(z)=(z+1-i)(z^2+az+b) .
b) En déduire les solutions de l'équation P(z)=0 .
On notera z_1\text{ , }z_2 \text{ et }z_3 les solutions de cette équation avec |z_1|<|z_2|<|z_3| .

2) Dans le plan complexe , muni d'un repère orthonormal direct (O,\vec{u},\vec{v}) , on considère les points A,B\text{ et }C d'affixes respectives z_1,z_2\text{ et }z_3 .
a) Placer les points A,B,C \text{ et }II est le milieu du segment [AB] .
b) Soit D le barycentre du système \lbrace{(A;3),(B;1)\rbrace . Vérifier que z_D=i et placer D .

3) Soit H l'hyperbole de foyers A et B dont D est un sommet .
a) Déterminer le centre et l'excentricité de H .
b) Vérifier que l'équation réduite de H dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}) s'écrit (x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1 .
c) Déterminer le 2e sommet , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole H et la construire .

4 points

exercice 3

Soit ABC un triangle équilatéral direct de centre O et D le symétrique de O par rapport à (AC). On note I,J\text{ et }K les milieux respectifs des segments [AB],[BC]\text{ et }[CA] .

1) Faire une figure soignée illustrant les données précédentes .

2-a) Montrer qu'il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et O en D .
b) Justifier que f est une rotation et préciser ses éléments caractéristiques .
c) En utilisant une décomposition convenable , déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation t_{\overrightarrow{AB}}\circ f .

3-a) Montrer qu'il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en C et K en J .
b) Prouver que g est une symétrie glissante et donner sa forme réduite .

4) On considère la transformation S=h\circ fh est l'homothétie de centre B et de rapport \dfrac{1}{2} et f la transformation définie dans la question 2) .
a) Déterminer S(O) puis caractériser S .
b) On considère la suite des points (M_n) définie par M_0=A et \forall n\in\N\text{ : }M_{n+1}=S(M_n) .
Montrer que : \forall n\in\N\text{ , }\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi puis en déduire que M_{2022}\in[OA] .

4 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=x-3-\dfrac{3\ln x}{x} et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

1) Soit u la fonction définie sur ]0;+\infty[ par u(x)=x^2-3+3\ln x .
a) Dresser le tableau de variations de la fonction u .
b) Montrer que l'équation u(x)=0 admet une unique solution \alpha et que 1,4<\alpha<1,41 .
c) En déduire le signe de u(x) sur ]0;+\infty[ .

2-a) Calculer les limites suivantes : \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty}f(x) .
b) Montrer que la courbe (C) admet une asymptote oblique D et étudier sa position relative par rapport à (C) .

3-a) Montrer que f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2} puis dresser le tableau de variation de f .
b) Construire la courbe (C) .

4) Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=1 \text{ et }x=e .

5) Soit \varphi la restriction de f sur l'intervalle I=]0;\alpha] .
a) Montrer que \varphi réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer .
b) Construire , dans le repère précédent , la courbe (C') de la réciproque \varphi^{-1} de \varphi .

4 points

exercice 5

Pour tout entier naturel n non nul , on définit sur \R la fonction g_n par g_n(x)=x^ne^{-x} .

1-a) Calculer , suivant la parité de n , \displaystyle\lim_{x\to-\infty}g_n(x)\text{ et }\lim_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x} .
b) Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g_n(x) .

2-a) Montrer que \forall n\in\N\text{ , }g'_n(x)=(n-x)x^{n-1}e^{-x} .
b) Dresser le tableau de variation de g_n selon la parité de n .

3) On pose I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x\text{ et }\forall n\in\N^{*}\text{ , }I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x .
a) Justifier que I_0=1-\dfrac{1}{e} .
b) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que \forall n\in\N\text{ : }I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1} .

4) Montrer que \forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1} et en déduire la limite de la suite (I_n) .

5) \forall n\in\N\text{ , on pose }u_n=\dfrac{1}{n!}I_n .
Montrer que \forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_n=-\dfrac{e^{-1}}{(n+1)!} et en déduire que e(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}





Bac Mauritanie 2022 série C

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3 points

exercice 1

Les statistiques montrent que 5% des candidats au bac normal 2019 étaient en série C .
On choisit, de façon aléatoire, de l'ensemble des candidats en 2019, un échantillon de n  candidats (n  supegal 2).
On suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise.
Soit X  la variable aléatoire égale au nombre de candidats au bac C choisis dans cet échantillon.

1.  Lors de cette expérience, on répète n  fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le candidat est en série C" dont la probabilité est p = 0,05 (qui correspond à 5%).
Echec : "le candidat n'est pas en série C" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.
La variable aléatoire X  compte le nombre de candidats au bac C choisis dans cet échantillon, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale  \overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n\,;\,0,05)} .
Cette loi est donnée par :

\boxed{p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,05^k\times0,95^{n-k}}


L'espérance mathématique de X  est  \overset{{\white{.}}}{E(X)=np} , soit  \overset{{\white{.}}}{\boxed{E(X)=0,05n}}

2.  Calculons la probabilité de chacun événements A  et B  suivants :

 A  : "Seulement deux candidats au bac C ont été choisis"
 B  : "Au moins un candidat au bac C a été choisi".

\bullet{\white{x}}Calculons p (A ).

p(A)=p(X=2)=\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}\times0,05^2\times0,95^{n-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times0,05^2\times\dfrac{0,95^n}{0,95^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times\dfrac{0,05^2}{0,95^2}\times0,95^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times\left(\dfrac{0,05}{0,95}\right)^2\times0,95^n}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times\left(\dfrac{1}{19}\right)^2\times0,95^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times\dfrac{1}{361}\times0,95^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(A)=p(X=2)}=\dfrac{n(n-1)}{722}\times0,95^n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(A)=\dfrac{n(n-1)}{722}\times0,95^n}

\bullet{\white{x}}Calculons p (B ).

L'événement contraire de B  est  \overline{B}  : "Aucun candidat au bac C n'a été choisi".

p(B)=1-p(\overline{B}) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(B)}=1-p(X=0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,05^0\times0,95^{n-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=1-1\times1\times0,95^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=1-0,95^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=1-0,95^{n}}

3.  Soit pn  la probabilité d'avoir choisi au moins un candidat au bac C , donc pn = p (B ).

3. a)  Nous devons calculer  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n.}

\lim\limits_{n\to+\infty}0,95^n=0\quad(\text{car }0<0,95<1)\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}(1-0,95^n)=1 \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}0,95^n=0\quad(\text{car }0<0,95<1)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=1}

Nous pouvons en déduire qu'à partir d'un certain nombre de candidats, la probabilité d'avoir choisi au moins un candidat au bac C sera toujours proche de 1.

3. b)  Nous devons déterminer le nombre minimal de candidats qu'il faut choisir pour obtenir pn  supegal 0,99.

p_n\ge0,99\quad\Longleftrightarrow\quad  1-0,95^n\ge0,99 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n\ge0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad  0,95^n\le1-0,99} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n\ge0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad  0,95^n\le0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n\ge0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad  \ln(0,95^n)\le\ln0,01}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n\ge0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad  n\times\ln0,95\le\ln0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n\ge0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad  n\ge\dfrac{\ln0,01}{\ln0,95}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln0,95<0)} \\\\\text{Or }\dfrac{\ln0,01}{\ln0,95}\approx89,78.
Le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inégalité est n  = 90.
Par conséquent, il faut choisir au minimum 90 candidats pour obtenir pn  supegal 0,99.

5 points

exercice 2

1.  Soit  \overset{{\white{.}}}{P(z)=z^3-(5+6\,\text{i})z^2+(-6+16\,\text{i})z+20+10\,\text{i}\quad ; \quad z\in\C .}

1. a)  Nous devons calculer  \overset{{\white{.}}}{ P(-1+\text{i}).}

P(-1+\text{i})=(-1+\text{i})^3-(5+6\,\text{i})(-1+\text{i})^2+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(-1+\text{i})^2(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(-1+\text{i})^2+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(1-2\,\text{i}-1)(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(1-2\,\text{i}-1)+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(-2\,\text{i})(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(-2\,\text{i})+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(2\,\text{i}+2)-(-10\,\text{i}+12)+(6-6\,\text{i}-16\,\text{i}-16)+20+10\,\text{i}}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=2\,\text{i}+2+10\,\text{i}-12-22\,\text{i}-10+20+10\,\text{i}}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=0}  \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-1+\text{i})=0}

Donc P  est factorisable par (z  - (-1 + i)), soit par (z  + 1 - i).
Nous en déduisons qu'il existe un polynôme {\white i}az²+bz+c{\white i} à coefficients complexes tel que \overset{{\white{.}}}{{\white i}P(z)=(z+1-\text i)(az²+bz+c).{\white i}}

Déterminons les coefficients a, b  et c .

Développons le produit  (z+1-\text i)(az²+bz+c).

(z+1-\text i)(az²+bz+c)=az^3+bz^2+cz+(1-\text{i})az^2+(1-\text{i})bz+(1-2\text{i})c \\\\\Longrightarrow\boxed{(z+1-\text i)(az²+bz+c)=az^3+[b+(1-\text{i})a]z^2+[c+(1-\text{i})b]z+(1-\text{i})c}

Donc l'égalité  P(z)=(z+1-\text i)(az²+bz+c)  peut s'écrire :

z^3-(5+6\,\text{i})z^2+(-6+16\,\text{i})z+20+10\,\text{i}=az^3+[b+(1-\text{i})a]z^2+[c+(1-\text{i})b]z+(1-\text{i})c

Par identification des coefficients, nous obtenons :

 \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\white{.}}}{b+(1-\text{i})a=-(5+6\text i)}\\\overset{{\white{.}}}{c+(1-\text{i})b=-6+16\text i}\\\overset{{\white{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b+1-\text{i}=-5-6\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c+(1-\text{i})b=-6+16\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right.
{\white{.}}\\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-6-5\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c+(1-\text{i})(-6-5\text{i})=-6+16\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-6-5\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c=5+15\text{i}}\end{matrix}\right.

Par conséquent,  \boxed{P(z)=(z+1-\text i)(z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i)}\,.

1. b)  Résolvons dans  \C  l'équation  \overset{{\white{.}}}{P(z)=0.} 

P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z+1-\text i)(z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z+1-\text i=0\quad\text{ou}\quad z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i=0} \\\\\bullet\quad z+1-\text i=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=-1+\text i \\\\\bullet\quad z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i=0

Discriminant :

 \Delta=(-(6+5\,\text i))^2-4\times1\times(5+15\,\text{i}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=36+60\,\text{i}-25-20-60\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=-9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(3\,\text{i})^2}

Solutions de l'équation z² - (6 + 5i)z + 5 + 15i = 0 :

\rightarrow\quad z'=\dfrac{6+5\,\text{i}-3\,\text{i}}{2}=\dfrac{6+2\,\text{i}}{2}=3+\text{i} \\\overset{{\white{.}}}{\rightarrow\quad z''=\dfrac{6+5\,\text{i}+3\,\text{i}}{2}=\dfrac{6+8\,\text{i}}{2}=3+4\,\text{i}}

D'où l'ensemble des solutions de l'équation  \overset{{\white{.}}}{P(z)=0}  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace-1+\text{i}\,;\,3+\text{i}\;;\,3+4\,\text{i}\rbrace}\,.}

On notera  \overset{{\white{.}}}{z_1\text{ , }z_2 \text{ et }z_3}  les solutions de cette équation avec  \overset{{\white{.}}}{|z_1|<|z_2|<|z_3| .}

 \text{Nous savons que : }|\,-1+\text{i}\,|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ \text{Nous savons que : }}|\,3+\text{i}\,|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ \text{Nous savons que : }}|\,3+4\,\text{i}\,|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5}

Donc  \overset{{\white{.}}}{|\,-1+\text{i}\,|<|\,3+\text{i}\,|<|\,3+4\,\text{i}\,|.}

Dès lors,  \left\lbrace\begin{matrix}z_1=-1+\text{i}\\z_2=3+\text{i}\phantom{x}\\z_3=3+4\,\text{i}.\end{matrix}\right.

2.  Dans le plan complexe, muni d'un repère orthonormal direct  \overset{{\white{.}}}{(O,\vec{u},\vec{v})} , on considère les points  \overset{{\white{.}}}{A,B\text{ et }C}  d'affixes respectives  \overset{{\white{.}}}{z_1,z_2\text{ et }z_3 .}

2. a)  Plaçons les points  \overset{{\white{.}}}{A,B, C\text{ et }I}  où  \overset{{\white{.}}}{I}  est le milieu du segment [AB ] .
{\white{www}}Le graphique est représenté dans la question 3. c).

2. b)  Soit D  le barycentre du système {(A  ; 3), (B  ; 1)}.

Nous obtenons :

3\,\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(z_A-z_D)+(z_B-z_D)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 3z_1-3\,z_D+z_2-z_D=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(-1+\text{i})-3\,z_D+(3+\text{i})-z_D=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad -3+3\,\text{i}-3\,z_D+3+\text{i}-z_D=0}
{\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad -4\,z_D+4\,\text{i}=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\,z_D=4\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_D=\text{i}}\,.}

Plaçons le point D  sur le graphique (voir la question 3. c).

3.  Soit H  l'hyperbole de foyers A  et B  dont D  est un sommet.

3. a)  Nous devons déterminer le centre et l'excentricité de H .

Le centre de l'hyperbole H  est le milieu du segment [AB ] soit le point  \overset{{\white{.}}}{I.}
L'affixe du point  \overset{{\white{.}}}{I}  est :  \overset{{\white{.}}}{z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{-1+\text i+3+\text i}{2}=\dfrac{2+2\,\text i}{2}=1+\text i.}

D'où le centre de l'hyperbole H  est le point  \overset{{\white{.}}}{I} d'affixe 1 + i, soit le point  \overset{{\white{.}}}{I} de coordonnées (1 ; 1).

L'excentricité e  est donnée par le rapport  \dfrac{IA}{ID}=\dfrac{2}{1}=2.
Donc l'excentricité de H  est e  = 2.

3. b)  Nous devons vérifier que l'équation réduite de H  dans le repère  (O,\vec{u},\vec{v})  s'écrit  (x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1.

L'équation cartésienne réduite d'une hyperbole de centre omegamaj d'affixe  z_{\Omega}=x_0+\text i \,y_0  et d'axe focal parallèle à l'axe réel est de la forme  \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1. 
Dans cette équation, a  est la distance entre le centre et un sommet.
Si c  représente la distance entre le centre et un foyer, alors nous avons la relation  c^2=a^2+b^2  et nous définissons b  par  b=\sqrt{c^2-a^2}.

Dans cet exercice, nous obtenons alors :

z_{\Omega}=1+\text i\quad\Longrightarrow\quad  (x_0\,;\,y_0)=(1\,;\,1)\\\overset{{\white{.}}}{a=ID=1}\\\overset{{\white{.}}}{c=IA=2}\\\overset{{\white{.}}}{b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}} \\\\\Longrightarrow\quad (H):\dfrac{(x-1)^2}{1^2}-\dfrac{(y-1)^2}{(\sqrt{3})^2}=1.

Par conséquent, l'équation réduite de H  dans le repère  (O,\vec{u},\vec{v})  s'écrit  \boxed{(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1}\,.

3. c)  Nous devons déterminer le 2e sommet C , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole H et la construire .

  Le deuxième sommet C  de l'hyperbole est le symétrique du premier sommet D  par rapport au centre omegamaj.
Donc, nous obtenons :

z_{I}=\dfrac{z_C+z_D}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C+z_D=2\,z_{I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2\,z_{I}-z_D} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2\,(1+\text i)-\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2+2\,\text i-\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_C=2+\text i}}
Par conséquent, le deuxième sommet de l'hyperbole est le point C d'affixe  \overset{{\white{.}}}{z_C=2+\text i} , soit le point C  de coordonnées (2 ; 1).

  Les équations des directrices sont de la forme  x=x_0\pm\dfrac{a^2}{c}.

Or nous savons que  x_0=1\,,\,a=1\,;\,c=2\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_0+\dfrac{a^2}{c}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{x_0-\dfrac{a^2}{c}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.

D'où les équations des directrices  \mathscr D   et  \mathscr D'  de l'hyperbole H  sont :  \boxed{\mathscr D:x=\dfrac{3}{2}}  et  \boxed{\mathscr D':x=\dfrac{1}{2}}\,.

  Les équations des asymptotes sont de la forme  y=\pm\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0.

Or nous savons que  a=1\,;\,b=\sqrt{3}\,;\,x_0=1\,;\,y_0=1

Dès lors,

y=\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\sqrt{3}}{1}(x-1)+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWdWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1} \\\\y=-\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\dfrac{\sqrt{3}}{1}(x-1)+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWwVWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}+1}

Par conséquent, les équations des asymptotes de l'hyperbole H  sont  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1}}  et  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}+1}\,.}

Nous aurions pu retrouver ces équations à partir de l'équation réduite de H  dans laquelle le membre de droite est remplacé par 0.

(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(x-1-\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}\right)\left(x-1+\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}\right)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1-\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=0\quad\text{ou}\quad x-1+\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=x-1\quad\text{ou}\quad \dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=-x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y-1=\sqrt{3}\,x-\sqrt{3}\,\quad\text{ou}\quad y-1=-\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}\,} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y=\sqrt{3}\,x-\sqrt{3}+1}\quad\text{ou}\quad \boxed{y=-\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}+1}}

Représentation graphique de H .

Bac Mauritanie 2022 série C : image 4


4 points

exercice 3

Soit ABC  un triangle équilatéral direct de centre O  et D  le symétrique de O  par rapport à (AC ).
On note I, J  et K  les milieux respectifs des segments [AB ], [BC ] et [CA ].

1.  La figure suivante représente les données précédentes complétées par les nouvelles données récoltées au cours de l'exercice.

Bac Mauritanie 2022 série C : image 1


2. a)  Nous devons montrer qu'il existe un unique déplacement f  qui transforme B  en C  et O  en D.

BO  = CO  car O  est le centre du triangle ABC , et par suite, le triangle OBC  est isocèle en O .
CO  = CD  car D  est le symétrique de O  par rapport à C .
Nous en déduisons que BO  = CD .
Par conséquent, il existe un unique déplacement f  qui transforme B  en C  et O  en D.

2. b)  Nous devons justifier que f  est une rotation.

Montrons que  \overrightarrow{BO}\neq\overrightarrow{CD}. 
La droite (BK ) est la médiatrice du triangle équilatéral ABC issue du sommet B .
Donc les points B , O  et K  sont alignés.
De plus, les points O , K  et D  sont alignés par construction du point D .
Dès lors, les points B , O  et D  sont alignés et appartiennent à la médiatrice de [AC ].
Or le point C  n'appartient pas à cette médiatrice de [AC ].
Nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{BO}  et  \overrightarrow{CD}  ne sont pas colinéaires.
Il s'ensuit que  \overrightarrow{BO}\neq\overrightarrow{CD}. 
Nous en déduisons que le déplacement f  n'est pas une translation.
Par conséquent, le déplacement f  est une rotation.

\bullet{\white{x}}Déterminons l'angle alpha de la rotation f .

{\white{xx}}\alpha\equiv(\overrightarrow{BO}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{BO}\,,\,\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{OB}\,,\,\overrightarrow{OC})+\pi+(\overrightarrow{CO}\,,\,\overrightarrow{CD})+\pi\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{OB}\,,\,\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{CO}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi]}
{\white{xx}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}
D'où f  est une rotation d'angle  \dfrac{\pi}{3}.

\bullet{\white{x}}Déterminons le centre de la rotation f .

Le centre de la rotation f  est le point d'intersection entre les médiatrices de [BC ] et de [OD ]
Ces médiatrices sont respectivement les droites (AJ ) et (AC ) qui se coupent au point A .
D'où le centre de la rotation f  est le point A .

Par conséquent, f  est la rotation de centre A  et d'angle  \dfrac{\pi}{3}.

2. c)  En utilisant une décomposition convenable, nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f .}

\bullet{\white{x}}Transformons la translation  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}}  en composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles.

Soit  \mathscr D  la droite passant par le point A  et orthogonale à la direction du vecteur  \overrightarrow{AB}
{\white{xxx}} \mathscr D' l'image de la droite  \mathscr D  par la translation de vecteur  \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
Alors nous obtenons :  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{t_{\overrightarrow{AB}}=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D}}}

\bullet{\white{x}}Transformons la rotation f  de centre A  et d'angle  \dfrac{\pi}{3}  en composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants.

Soit  \mathscr D  la droite passant par le point A  et orthogonale à la direction du vecteur  \overrightarrow{AB}
{\white{xxx}} \mathscr D'' l'image de la droite  \mathscr D  par la rotation de centre A et d'angle  -\dfrac{\pi}{6}.
Alors nous obtenons :  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{f=S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D''}}}

Nous en déduisons que  

t_{\overrightarrow{AB}}\circ f=(S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D})\circ(S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D''}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}=S_{\mathscr D'}\circ (S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D})\circ S_{\mathscr D''}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D''}} \\\\\Longrightarrow\boxed{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D''}}

Les droites  \mathscr D'  et  \mathscr D''  se coupent au point C .

Si  \overrightarrow{u}_{\mathscr D'}  et \overrightarrow{u}_{\mathscr D''}  sont respectivement des vecteurs directeurs des droites  \mathscr D'  et  \mathscr D'' , alors nous déduisons que la transformation  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}  est une rotation de centre C  et d'angle  2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'}) .

2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv{\white{i}}2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D})+{\white{i}}2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\,[2\pi].

Or  \overset{{\white{.}}}{(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D})\equiv\dfrac{\pi}{6}\,[\pi]}   et  \overset{{\white{.}}}{(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv \pi\,[\pi]}

D'où  \overset{{\white{.}}}{2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr  D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv\,\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].}

Par conséquent,  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}  est une rotation de centre C  et d'angle  \dfrac{\pi}{3} .

3. a)  Nous devons montrer qu'il existe un unique antidéplacement g  qui transforme A  en C  et K  en J  .

Puisque le triangle ABC  est équilatéral, nous savons que  \left\lbrace\begin{matrix}AK=\dfrac{1}{2}\,AC\\\overset{{\white{.}}}{CJ=\dfrac{1}{2}\,CB}\\\overset{{\white{.}}}{AC=CB}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{AK=CJ\neq0}

Par conséquent, il existe un unique antidéplacement g  qui transforme A  en C  et K  en J.

3. b)  Nous devons prouver que g  est une symétrie glissante et donner sa forme réduite.

Dans le plan, un antidéplacement est une symétrie orthogonale ou une symétrie glissante.
Puisque [AC ] et [KJ ] n'ont pas la même médiatrice, g  n'est pas une symétrie orthogonale.
Nous en déduisons que g  est une symétrie glissante.

Déterminons l'axe deltamaj de cette symétrie.
\overset{{\white{.}}}{g(A)=C\quad\Longrightarrow\quad{\white{.}} }   le milieu K  de [AC ] appartient à deltamaj.
\overset{{\white{.}}}{g(K)=J\quad\Longrightarrow\quad{\white{.}} }   le milieu L  de [KJ ] appartient à deltamaj.
Nous en déduisons que deltamaj est la droite (KL ).
Les points K , L  et J  sont alignés car L  est le milieu de [KJ ].
Dès lors, l'axe deltamaj de la symétrie glissante g  est la droite (KJ ).
Un vecteur directeur de deltamaj est le vecteur  \overrightarrow{KJ}.

Soit  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{KJ}}}  la translation de vecteur  \overrightarrow{KJ}  et  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{S_{(KJ)}}  la symétrie orthogonale d'axe (KJ ).

La forme réduite de la symétrie glissante est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{g=t_{\overrightarrow{KJ}}\circ S_{(KJ)}=S_{(KJ)}\circ t_{\overrightarrow{KJ}}}\,.}

4.  On considère la transformation  \overset{{\white{.}}}{S=h\circ f}  où h  est l'homothétie de centre B  et de rapport  \dfrac{1}{2}  et f  est la rotation de centre A  et d'angle  \dfrac{\pi}{3}..

4. a)  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{S(O)}  puis caractériser S .

S(O)=h(f(O))=h(D)=O\quad\Longrightarrow\quad\boxed{S(O)=O}

La transformation S  est une similitude de centre O , de rapport  \dfrac{1}{2}  et d'angle  \dfrac{\pi}{3}. 

4. b)   On considère la suite des points  \overset{{\white{.}}}{(M_n)}  définie par  \overset{{\white{.}}}{M_0=A}  et  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ : }M_{n+1}=S(M_n)} .
Nous devons montrer que :  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi.} 
Pour tout entier naturel n ,

\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+1}}\right)+\left(\overrightarrow{OM_{n+1}},\overrightarrow{OM_{n+2}}\right)+\left(\overrightarrow{OM_{n+2}},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=\pi} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi}

Montrons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA].}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  \overset{{\white{.}}}{M_{0}\in[OA].}
C'est une évidence car  \overset{{\white{.}}}{M_0=A.}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA]} , alors  \overset{{\white{.}}}{M_{3(n+1)}\in[OA].}
En effet, nous savons que pour tout entier naturel n,  \overset{{\white{.}}}{\left(\overrightarrow{OM_{3n}},\overrightarrow{OM_{3n+3}}\right)=\pi.} 

Or, par hypothèse, nous savons que  \overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA].} 
Nous en déduisons que  \overset{{\white{.}}}{M_{3n+3}\in[OA]} , soit que  \overset{{\white{.}}}{M_{3(n+1)}\in[OA]} 
D'où, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;\boxed{M_{3n}\in[OA]}\,.}

Posons n  = 674.

M_{3n}\in[OA]\quad\Longrightarrow\quad M_{3\times674}\in[OA] \\\\\phantom{M_{3n}\in[OA]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{M_{2022}\in[OA]}

4 points

exercice 4

Soit f  la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par  f(x)=x-3-\dfrac{3\ln x}{x}.

1.  Soit u  la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par  u(x)=x^2-3+3\ln x .

1. a)  Nous devons dresser le tableau de variations de la fonction u .

La fonction u  est dérivable sur ]0 ; +infini[ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +infini[)

u(x)=x^2-3+3\ln x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2x+\dfrac{3}{x} \\\\\phantom{WWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u'(x)>0}\quad(\text{car }x\in\,]0\;,\,+\infty[)

Donc la fonction u  est strictement croissante sur ]0 ; +infini[.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x^2=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(x^2-3+3\ln x)=-\infty \\\phantom{WWjWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}u(x)=-\infty}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(x^2-3+3\ln x)=+\infty \\\phantom{WWjWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}u(x)=+\infty}

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction u  sur ]0 ; +infini[.

 {\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& u'(x)&& + && + & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&+\infty\\ u(x)&&\nearrow&&\nearrow&&\nearrow&\\&-\infty&&& &&&\\ \hline \end{array}

1. b)  Nous devons montrer que l'équation u (x )=0 admet une unique solution alpha et que 1,4 < alpha < 1,41.

La fonction u  est dérivable sur ]0 ; +infini[ et est donc continue sur ]0 ; +infini[.
Nous avons montré que la fonction u  est strictement croissante sur ]0 ; +infini[.
De plus,  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}u(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}u(x)=+\infty}.

Donc la fonction u  est une bijection de ]0 ; +infini[ sur  \R.

Nous en déduisons que l'équation u (x ) = 0 admet une unique solution alpha dans ]0 ; +infini[.

\left\lbrace\begin{matrix}u(1,4)=1,4^2-3+3\ln1,4\approx-0,03<0\\u(1,41)=1,41^2-3+3\ln1,41\approx0,02>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u(1,4)\times u(1,41)<0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{1,4<\alpha<1,41}

1. c)  Nous devons en déduire le signe de u (x ) sur ]0 ; +infini[.

En utilisant le tableau ci-dessous ,

 {\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&+\infty\\ u(x)&&\nearrow&&0&&\nearrow&\\&-\infty&&& &&&\\ \hline&&&&&&&\\ u(x)&&{\red{-}}&&0&&{\red{+}}&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array},

nous déduisons que u (x ) < 0 si 0 < x  < alpha
{\white{WWWWWWW}}
et u (x ) > 0 si x  > alpha

2. a)  Nous devons calculer les limites suivantes :  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)}  et  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x).}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\times\ln x=-\infty}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}

2. b)  Montrons que la courbe (C ) admet une asymptote oblique D .

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\overset{}{f(x)-(x-3)}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=0^-\quad(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\overset{}{f(x)-(x-3)}\right)=0^{\red{-}}}

Par conséquent, la courbe (C ) admet une asymptote oblique D  d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=x-3} et la droite D  est au-dessus de la courbe.

3. a)  Montrons que  f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2} .

f'(x)=\left(x-3-\dfrac{3\ln x }{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1-0-3\times\left(\dfrac{\ln x }{x}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x \times x' }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x \times 1 }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{1-\ln x }{x^2}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{3-3\,\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2-3+3\,\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{u(x)}{x^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2}}

Étudions les variations de la fonction f  sur ]0 ; +infini[.
Le signe de f' (x ) est le signe de u (x ) car x 2 > 0.
Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f' (x ) et les variations de la fonction f .

{\white{xxxxxx}} \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha\approx1,41&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& u(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&& f'(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&+\infty&&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&f(\alpha)\approx-2,32 &&&\\ \hline \end{array}

3. b)  Nous devons construire la courbe (C ) .

Bac Mauritanie 2022 série C : image 3


4.  Calculons l'aire  \mathscr{A}  du domaine plan délimité par la courbe (C ) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x  = 1 et x  = e.

Étudions d'abord les variations de f  sur l'intervalle [1 ; e].

Sur base du tableau de la question 3. a), nous obtenons :

 {\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &1&&&\alpha\approx1,41&&&\text{e}\\ &&&&&&& \\ \hline&-2&&&&&&-1,39\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&f(\alpha)\approx-2,32 &&&\\ \hline \end{array}

Dès lors, la fonction f  est négative sur l'intervalle [1 ; e].

Nous en déduisons que l'aire  \mathscr{A}  se calcule par :

\mathscr A=-\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\text{ d}x=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}f(x)\text{ d}x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ A}=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)\text{ d}x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ A}=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3\right)\text{ d}x-3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x}

\text{Or }\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3\right)\text{ d}x=\left[\dfrac{(x-3)^2}{2}\right]_{\text{e}}^{1} \\\\\phantom{WWWWwWW}=\dfrac{(1-3)^2}{2}-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}}
\\\\\text{et }\,3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x=3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x=3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}(\ln x)'\times \ln x\text{ d}x \\\\\phantom{WWWwWW}=3\left[\dfrac{\ln^2x}{2}\right]_{\text{e}}^{1}=3\left(\dfrac{\ln^21}{2}-\dfrac{\ln^2\text{e}}{2}\right) \\\\\phantom{WWWwWW}=3\left(0-\dfrac{1}{2}\right) =-\dfrac{3}{2}

Nous obtenons alors :

\mathscr A=\left(2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}+\dfrac{3}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{1}{2}(7-(\text{e}-3)^2)=\dfrac{1}{2}(7-(\text{e}^2-6\,\text{e}+9))} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{1}{2}(-2+6\,\text e-\text e^2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr A=\dfrac{1}{2}(-2+6\,\text e-\text e^2)\text{ u.a.}\approx3,46\text{ u.a.}}

5.  Soit  \varphi  la restriction de f  sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{I=\;]0\,;\,\alpha]\,.}

5. a)  Nous devons montrer que  \varphi  réalise une bijection de I  sur un intervalle J  à déterminer .

La fonction f  est dérivable sur ]0 ; +infini[ et est donc continue sur ]0 ; +infini[.
Donc la fonction  \varphi  est continue sur ]0 ; alpha].
Nous avons montré dans le tableau de variation de f  à la question 3. a) que la fonction f  est strictement décroissante sur ]0 ; alpha] et à la question 2. a) que   \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}
Donc la fonction  \varphi  est strictement décroissante sur ]0 ; alpha] et   \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\varphi(x)=+\infty}
Dès lors,  \varphi  constitue une bijection entre  \overset{{\white{.}}}{I=\;]0\,;\,\alpha]}  et  \overset{{\white{.}}}{J=\;[\varphi(\alpha)\,;\,+\infty[}  en sachant que  \overset{{\white{.}}}{\alpha\approx1,41}  et que  \varphi(\alpha)\approx-2,32.

5. b)  Nous devons construire , dans le repère précédent , la courbe (C' ) de la réciproque  \varphi^{-1}  de  \overset{{\white{.}}}{\varphi.}

Bac Mauritanie 2022 série C : image 2


4 points

exercice 5

Pour tout entier naturel n  non nul, on définit sur  \R  la fonction  \overset{{\white{.}}}{g_n}  par  g_n(x)=x^ne^{-x}.

1. a)  Nous devons calculer , suivant la parité de n  ,  \displaystyle\lim_{x\to-\infty}g_n(x)\text{ et }\lim_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x} .

\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=\left\lbrace\begin{matrix}+\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\-\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right. \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\quad\underset{(X=-x)}{=}\quad\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty

D'où,  \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g_n(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^n\text{e}^{-x}=\left\lbrace\begin{matrix}+\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\-\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right.}

Nous observons que  \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^n\text{e}^{-x}}{x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}\text{e}^{-x}}

\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}=\left\lbrace\begin{matrix}-\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\+\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right. \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty

D'où,  \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}\text{e}^{-x}=\left\lbrace\begin{matrix}-\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\+\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right.}

1. b)  Nous devons calculer  \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g_n(x) .

\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0

Donc  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g_n(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}\text{e}^{-x}=0\quad(\text{croissances comparées)}}}

2. a)  La fonction  \overset{{\white{.}}}{g_n}  est dérivable sur  \R  comme produit de deux fonctions dérivables sur  \R.

g_n'(x)=(x^n\,\text e^{-x})'=(x^n)'\times \text{e}^{-x}+x^n\times (\text e^{-x})' \\\phantom{g_n'(x)}=n\,x^{n-1}\times \text{e}^{-x}+x^n\times (-\text e^{-x}) \\\phantom{g_n'(x)}=n\,x^{n-1}\, \text{e}^{-x}-x\times x^{n-1}\,\text e^{-x} \\\phantom{g_n'(x)}=(n-x)\times x^{n-1}\,\text e^{-x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\,\in\N,\;g_n'(x)=(n-x)\, x^{n-1}\,\text e^{-x}}

2. b)  Nous devons dresser le tableau de variation de  \overset{{\white{.}}}{g_n}  selon la parité de n .

Étudions le signe de  g_n'(x) , soit le signe de  (n-x)\, x^{n-1}\,\text e^{-x}.

Premier cas : Soit n  un entier naturel non nul et pair.

Dans ce cas, n  - 1 est un entier naturel impair et le signe de  x^{n-1}  est le même que le signe de  \overset{{\white{.}}}{x.} 
L'exponentielle est strictement positive sur  \R.
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de  \overset{{\white{.}}}{g_n}  sur  \R.

\begin{matrix}{\red{\underline{n \text{ est un entier naturel non nul et pair}}}}\\\\n-x<0\quad\Longleftrightarrow x>n\\\\n-x=0\quad\Longleftrightarrow x=n\\\\ n-x>0\quad\Longleftrightarrow x<n\end{matrix} {\phantom{w}}  \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&0&&n&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& n-x& &+&+&+&0 &-& \\ x^{n-1}& &-&0&+&+ &+&\\ e^{-x}& &+&+&+&+ &+&\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&g'_n(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline&+\infty&&&&n^n\,\text{}e^{-n}&&\\ g_n(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&0&&&&(0)\\ \hline \end{array}

Deuxième cas : Soit n  un entier naturel impair.

Dans ce cas, n  - 1 est un entier naturel pair et  x^{n-1}\ge 0  pour tout réel  \overset{{\white{.}}}{x.} 
L'exponentielle est strictement positive sur  \R.
Donc le signe de  g_n'(x)  est le signe de  \overset{{\white{.}}}{(n-x).}
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de  \overset{{\white{.}}}{g_n}  sur  \R.

\begin{matrix}{\red{\underline{n \text{ est un entier naturel impair}}}}\\\\n-x<0\quad\Longleftrightarrow x>n\\\\n-x=0\quad\Longleftrightarrow x=n\\\\n-x>0\quad\Longleftrightarrow x<n\end{matrix} {\phantom{www}}  \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&0&&n&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& n-x& &+&+&+&0 &-&\\x^{n-1}&&+&0&+&+&+\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&g'_n(x)&&+&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&n^n\,\text{}e^{-n}&&\\ g_n(x)&&\nearrow&0&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&&&(0)\\ \hline \end{array}

3.  On pose  \overset{{\white{.}}}{I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x\text{ et }\forall n\in\N^{*}\text{ , }I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x .}

3. a)  Calculons  \overset{{\white{.}}}{I_0.}

I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x=-\displaystyle\int_{0}^{1}-e^{-x}\text{ d}x=-\left[\overset{}{e^{-x}}\right]_0^1=-\left(\overset{}{e^{-1}-e^{0}}\right)=-\left(\dfrac{1}{\text{e}}-1\right) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_0=1-\dfrac{1}{\text{e}}}

3. b)  A l'aide d'une intégration par parties , montrons que  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ : }I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1}.}

\left\lbrace\begin{matrix}\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x\quad(n\in\N^*)\\\overset{{\white{.}}}{g_n(x)=x^n\,\text{e}^{-x}\quad(n\in\N^*)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}=\int_{0}^{1}x^{n+1}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x}

\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{0}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}.  \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{w}u'(x)=(n+1)\,x^n\phantom{www}\\\overset{{\white{.}}}{v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{wwwww}\Longrightarrow\quad v(x)=-\text{e}^{-x}\phantom{wwwwww}}\end{matrix}\right.

\text{Dès lors, }\ \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n+1}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x=-\left[\overset{}{x^{n+1}}\,\text{e}^{-x}\right]\limits_0^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_0^{1}(n+1)\,x^n\,(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}=-(1\times\text{e}^{-1}-0)+(n+1)\begin{aligned}\int\nolimits_0^{1}\,x^n\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}=-\text{e}^{-1}+(n+1)\,I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\text e^{-1}}

4.  Montrons que  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}.}

\bullet{\white{x}}Montrons que  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n.}
A l'aide du tableau de variation de  \overset{{\white{.}}}{g_n} (question 2. b), nous déduisons que pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N}  et pour tout \overset{{\white{.}}}{x\in [0 ; 1],\;g_n(x)\ge 0.} 

Dès lors, pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N}  et pour tout \overset{{\white{.}}}{x\in [0 ; 1],\;g_{n+1}(x)\ge 0.} 

Il s'ensuit que pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,}  I_{n+1}=\displaystyle\int_{0}^{1}g_{n+1}(x)\text{ d}x\ge 0.
Or  I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\text e^{-1}  (voir question 3. b)
D'où pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,}  (n+1)\,I_n-\text e^{-1}\ge 0,  soit  (n+1)\,I_n\ge \dfrac{1}{\text e}

En divisant les deux membres de l'inégalité par n  + 1 different 0, nous obtenons :  \,I_n\ge \dfrac{1}{(n+1)\,\text e}.
Par conséquent, \overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n}\,.}

\bullet{\white{x}}Montrons que  \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }I_n\leq \dfrac{1}{n+1}.}
Nous savons que la fonction  x\mapsto\text e^{-x}  est strictement décroissante sur  \R.

\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}\le\text e^0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}\le 1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad x^n\,\text e^{-x}\le x^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x\le\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\text{ d}x}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad I_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}} {n+1}\right]_0^1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad I_n\le\dfrac{1}{n+1}-0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall n\in\N\text{ , }I_n\leq \dfrac{1}{n+1}}

\bullet{\white{x}}En conclusion,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}}\,.}

De plus,

\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}=0}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0}\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{théorème d'encadrement}}{\Longrightarrow}\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}

5.   \overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N,}  on pose  u_n=\dfrac{1}{n!}\,I_n .

Nous devons montrer que   \forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_n=-\dfrac{e^{-1}}{(n+1)!}

Pour tout entier naturel n ,

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)!}\,I_{n+1}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{(n+1)!}\,\left(\overset{}{(n+1)\,I_n-\text e^{-1}}\right)-\dfrac{1}{n!}\,I_n}\quad(\text{voir question }{\red{\text{3. b}}}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}\right)-\dfrac{1}{n!}\,I_n
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)\times n!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{n!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n=-\dfrac{\text e^{-1}}{(n+1)!}}

Nous devons en déduire que  \overset{{\white{.}}}{\text e(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}}

Calcul préliminaire :
\overset{{\white{.}}}{1-u_{0}=1-\dfrac{1}{0!}\,I_0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=1-\dfrac{1}{1}\,(1-\dfrac{1}{\text{e}})\quad(\text{voir question {\red{3. a}})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=1-1+\dfrac{1}{\text{e}}}

\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=\dfrac{1}{\text e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=\dfrac{1}{0!}\,\dfrac{1}{\text e}} \\\\\Longrightarrow\boxed{1-u_{0}=\dfrac{1}{0!}\,\dfrac{1}{\text e}}

Ensuite nous savons que  \forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n=-\dfrac{\text e^{-1}}{(n+1)!} ,

soit que   \forall\,n\in\N,\;u_{n}-u_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}

Nous obtenons alors les égalités suivantes :

{\white{xxxx}}u_{n-1}-u_{n}=\dfrac{1}{n!}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{u_{n-2}-u_{n-1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{u_{n-3}-u_{n-2}=\dfrac{1}{(n-2)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}}

{\white{xxxx}}\\\cdots\cdots\cdots\cdots

{\white{xxxx}}\\\overset{{\phantom{.}}}{u_{0}-u_{1}=\dfrac{1}{1!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{1-u_{0}=\dfrac{1}{0!}\times\dfrac{1}{\text{e}}}

En additionnant membre à membre ces (n  + 1) égalités, nous obtenons :

{\white{xxxx}}{\red{\cancel{u_{n-1}}}}-u_{n}=\dfrac{1}{n!}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{{\blue{\cancel{u_{n-2}}}}-{\red{\cancel{u_{n-1}}}}=\dfrac{1}{(n-1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{{\red{\cancel{u_{n-3}}}}-{\blue{\cancel{u_{n-2}}}}=\dfrac{1}{(n-2)!}}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\cdots\cdots\cdots{\red{\cancel{\cdots}}} \\ {\blue{\cancel{\cdots}}}\cdots\cdots\cdots \\\overset{{\phantom{.}}}{{\red{\cancel{u_{0}}}}-{\blue{\cancel{u_{1}}}}=\dfrac{1}{1!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\underline{\overset{{\white{.}}}{1-{\red{\cancel{u_{0}}}}=\dfrac{1}{0!}\times\dfrac{1}{\text{e}}\quad\quad\quad\quad\quad}} \\\\1-u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\times\dfrac{1}{\text{e}}

Nous en déduisons que  \boxed{\forall\,n\in\N,\;\text e\,(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}}


{\red{\sim \sim \sim\ \mathscr{F}IN\sim \sim \sim }}
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