On considère la suite d'entiers naturels définie par : .
1) Calculer .
2-a) Montrer que .
b) En déduire que .
3-a) Par récurrence , montrer que et en déduire que .
b) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de suivant les valeurs de .
5 points
exercice 2
1) Soit .
a) Calculer puis déterminer les complexes et tels que .
b) En déduire les solutions de l'équation .
On notera les solutions de cette équation avec .
2) Dans le plan complexe , muni d'un repère orthonormal direct , on considère les points d'affixes respectives .
a) Placer les points où est le milieu du segment .
b) Soit le barycentre du système . Vérifier que et placer .
3) Soit l'hyperbole de foyers et dont est un sommet .
a) Déterminer le centre et l'excentricité de .
b) Vérifier que l'équation réduite de dans le repère s'écrit .
c) Déterminer le 2e sommet , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole et la construire .
4 points
exercice 3
Soit un triangle équilatéral direct de centre et le symétrique de par rapport à .
On note les milieux respectifs des segments .
1) Faire une figure soignée illustrant les données précédentes .
2-a) Montrer qu'il existe un unique déplacement qui transforme en et en .
b) Justifier que est une rotation et préciser ses éléments caractéristiques .
c) En utilisant une décomposition convenable , déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
3-a) Montrer qu'il existe un unique antidéplacement qui transforme en et en .
b) Prouver que est une symétrie glissante et donner sa forme réduite .
4) On considère la transformation où est l'homothétie de centre et de rapport et la transformation définie dans la question 2) .
a) Déterminer puis caractériser .
b) On considère la suite des points définie par et .
Montrer que : puis en déduire que .
4 points
exercice 4
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1) Soit la fonction définie sur par .
a) Dresser le tableau de variations de la fonction .
b) Montrer que l'équation admet une unique solution et que .
c) En déduire le signe de sur .
2-a) Calculer les limites suivantes : .
b) Montrer que la courbe admet une asymptote oblique et étudier sa position relative par rapport à .
3-a) Montrer que puis dresser le tableau de variation de .
b) Construire la courbe .
4) Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives .
5) Soit la restriction de sur l'intervalle .
a) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle à déterminer .
b) Construire , dans le repère précédent , la courbe de la réciproque de .
4 points
exercice 5
Pour tout entier naturel non nul , on définit sur la fonction par .
1-a) Calculer , suivant la parité de , .
b) Calculer .
2-a) Montrer que .
b) Dresser le tableau de variation de selon la parité de .
3) On pose .
a) Justifier que .
b) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que .
4) Montrer que et en déduire la limite de la suite .
On considère la suite d'entiers naturels définie par :
1. Nous devons calculer
2. a) Montrons que
Pour tout entier naturel n ,
Or
Par conséquent,
2. b) Démontrons par récurrence que
Initialisation : Montrons que les propriétés sont vraies pour p = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel p fixé, les propriétés sont vraies au rang p , alors elles sont encore vraies au rang (p +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel p fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que
3. a)Nous devons montrer par récurrence que
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que
Nous devons en déduire que
Nous avons montré dans la question 2. b) que
Donc pour tout entier naturel p ,
Dès lors, pour tout entier naturel n ,
Nous savons également que
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n ,
Par conséquent,
3. b) Nous devons déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de suivant les valeurs de n .
Nous avons montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 28, soit que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 14 ou 64.
Nous avons également montré dans la question 2. b) que
Supposons que n est pair, soit
Alors
Si les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 64 et sachant que , alors nous obtenons , ce qui est contradictoire avec la relation
Les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de ne sont pas 64.
Par conséquent, les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 14.
Supposons que n est impair, soit
Alors
Si les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 14 et sachant que , alors nous obtenons , ce qui est contradictoire avec la relation
Les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de ne sont pas 14.
Par conséquent, les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 64.
En conclusion, les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de sont 14 si n est pair ou 64 si n est impair.
5 points
exercice 2
1. Soit
1. a) Nous devons calculer
Donc P est factorisable par (z - (-1 + i)), soit par (z + 1 - i).
Nous en déduisons qu'il existe un polynôme à coefficients complexes tel que
Déterminons les coefficients a, b et c .
Développons le produit
Donc l'égalité peut s'écrire :
Par identification des coefficients, nous obtenons :
2. Dans le plan complexe, muni d'un repère orthonormal direct , on considère les points d'affixes respectives
2. a) Plaçons les points où est le milieu du segment [AB ] . Le graphique est représenté dans la question 3. c).
2. b) Soit D le barycentre du système {(A ; 3), (B ; 1)}.
Nous obtenons :
Plaçons le point D sur le graphique (voir la question 3. c).
3. Soit H l'hyperbole de foyers A et B dont D est un sommet.
3. a) Nous devons déterminer le centre et l'excentricité de H .
Le centre de l'hyperbole H est le milieu du segment [AB ] soit le point
L'affixe du point est :
D'où le centre de l'hyperbole H est le point d'affixe 1 + i, soit le point de coordonnées (1 ; 1).
L'excentricité e est donnée par le rapport
Donc l'excentricité de H est e = 2.
3. b) Nous devons vérifier que l'équation réduite de H dans le repère s'écrit
L'équation cartésienne réduite d'une hyperbole de centre d'affixe et d'axe focal parallèle à l'axe réel est de la forme
Dans cette équation, a est la distance entre le centre et un sommet.
Si c représente la distance entre le centre et un foyer, alors nous avons la relation et nous définissons b par
Dans cet exercice, nous obtenons alors :
Par conséquent, l'équation réduite de H dans le repère s'écrit
3. c) Nous devons déterminer le 2e sommet C , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole H et la construire .
Le deuxième sommet C de l'hyperbole est le symétrique du premier sommet D par rapport au centre .
Donc, nous obtenons :
Par conséquent, le deuxième sommet de l'hyperbole est le point C d'affixe , soit le point C de coordonnées (2 ; 1).
Les équations des directrices sont de la forme
Or nous savons que
D'où les équations des directrices et de l'hyperbole H sont : et
Les équations des asymptotes sont de la forme
Or nous savons que
Dès lors,
Par conséquent, les équations des asymptotes de l'hyperbole H sont et
Nous aurions pu retrouver ces équations à partir de l'équation réduite de H dans laquelle le membre de droite est remplacé par 0.
Représentation graphique de H .
4 points
exercice 3
Soit ABC un triangle équilatéral direct de centre O et D le symétrique de O par rapport à (AC ).
On note I, J et K les milieux respectifs des segments [AB ], [BC ] et [CA ].
1. La figure suivante représente les données précédentes complétées par les nouvelles données récoltées au cours de l'exercice.
2. a) Nous devons montrer qu'il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et O en D.
BO = CO car O est le centre du triangle ABC , et par suite, le triangle OBC est isocèle en O . CO = CD car D est le symétrique de O par rapport à C .
Nous en déduisons que BO = CD .
Par conséquent, il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et O en D.
2. b) Nous devons justifier que f est une rotation.
Montrons que
La droite (BK ) est la médiatrice du triangle équilatéral ABC issue du sommet B .
Donc les points B , O et K sont alignés.
De plus, les points O , K et D sont alignés par construction du point D .
Dès lors, les points B , O et D sont alignés et appartiennent à la médiatrice de [AC ].
Or le point C n'appartient pas à cette médiatrice de [AC ].
Nous en déduisons que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Il s'ensuit que
Nous en déduisons que le déplacement f n'est pas une translation.
Par conséquent, le déplacement f est une rotation.
Déterminons l'angle de la rotation f .
D'où f est une rotation d'angle
Déterminons le centre de la rotation f .
Le centre de la rotation f est le point d'intersection entre les médiatrices de [BC ] et de [OD ]
Ces médiatrices sont respectivement les droites (AJ ) et (AC ) qui se coupent au point A .
D'où le centre de la rotation f est le point A .
Par conséquent, f est la rotation de centre A et d'angle
2. c) En utilisant une décomposition convenable, nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation
Transformons la translation en composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles.
Soit la droite passant par le point A et orthogonale à la direction du vecteur l'image de la droite par la translation de vecteur
Alors nous obtenons :
Transformons la rotation f de centre A et d'angle en composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants.
Soit la droite passant par le point A et orthogonale à la direction du vecteur l'image de la droite par la rotation de centre A et d'angle
Alors nous obtenons :
Nous en déduisons que
Les droites et se coupent au point C .
Si et sont respectivement des vecteurs directeurs des droites et ,
alors nous déduisons que la transformation est une rotation de centre C et d'angle .
Or et
D'où
Par conséquent, est une rotation de centre C et d'angle .
3. a) Nous devons montrer qu'il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en C et K en J .
Puisque le triangle ABC est équilatéral, nous savons que
Par conséquent, il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en C et K en J.
3. b) Nous devons prouver que g est une symétrie glissante et donner sa forme réduite.
Dans le plan, un antidéplacement est une symétrie orthogonale ou une symétrie glissante.
Puisque [AC ] et [KJ ] n'ont pas la même médiatrice, g n'est pas une symétrie orthogonale.
Nous en déduisons que g est une symétrie glissante.
Déterminons l'axe de cette symétrie. le milieu K de [AC ] appartient à . le milieu L de [KJ ] appartient à .
Nous en déduisons que est la droite (KL ).
Les points K , L et J sont alignés car L est le milieu de [KJ ].
Dès lors, l'axe de la symétrie glissante g est la droite (KJ ).
Un vecteur directeur de est le vecteur
Soit la translation de vecteur et la symétrie orthogonale d'axe (KJ ).
La forme réduite de la symétrie glissante est
4. On considère la transformation où h est l'homothétie de centre B et de rapport et f est la rotation de centre A et d'angle .
4. a) Nous devons déterminer puis caractériser S .
La transformation S est une similitude de centre O , de rapport et d'angle
4. b) On considère la suite des points définie par et .
Nous devons montrer que :
Pour tout entier naturel n ,
Montrons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet, nous savons que pour tout entier naturel n,
Or, par hypothèse, nous savons que
Nous en déduisons que , soit que
D'où, l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout
Posons n = 674.
4 points
exercice 4
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +[ par
1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +[ par
1. a) Nous devons dresser le tableau de variations de la fonction u .
La fonction u est dérivable sur ]0 ; +[ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +[)
Donc la fonction u est strictement croissante sur ]0 ; +[.
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction u sur ]0 ; +[.
1. b) Nous devons montrer que l'équation u (x )=0 admet une unique solution et que 1,4 < < 1,41.
La fonction u est dérivable sur ]0 ; +[ et est donc continue sur ]0 ; +[.
Nous avons montré que la fonction u est strictement croissante sur ]0 ; +[.
De plus, et
Donc la fonction u est une bijection de ]0 ; +[ sur
Nous en déduisons que l'équation u (x ) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +[.
1. c) Nous devons en déduire le signe de u (x ) sur ]0 ; +[.
En utilisant le tableau ci-dessous ,
,
nous déduisons que u (x ) < 0 si 0 < x < et u (x ) > 0 si x >
2. a) Nous devons calculer les limites suivantes : et
2. b) Montrons que la courbe (C ) admet une asymptote oblique D .
Par conséquent, la courbe (C ) admet une asymptote oblique D d'équation et la droite D est au-dessus de la courbe.
3. a) Montrons que .
Étudions les variations de la fonction f sur ]0 ; +[.
Le signe de f' (x ) est le signe de u (x ) car x2 > 0.
Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f' (x ) et les variations de la fonction f .
3. b) Nous devons construire la courbe (C ) .
4. Calculons l'aire du domaine plan délimité par la courbe (C ) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 1 et x = e.
Étudions d'abord les variations de f sur l'intervalle [1 ; e].
Sur base du tableau de la question 3. a), nous obtenons :
Dès lors, la fonction f est négative sur l'intervalle [1 ; e].
Nous en déduisons que l'aire se calcule par :
Nous obtenons alors :
5. Soit la restriction de f sur l'intervalle
5. a) Nous devons montrer que réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer .
La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ et est donc continue sur ]0 ; +[.
Donc la fonction est continue sur ]0 ; ].
Nous avons montré dans le tableau de variation de f à la question 3. a) que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; ] et à la question 2. a) que
Donc la fonction est strictement décroissante sur ]0 ; ] et
Dès lors, constitue une bijection entre et en sachant que et que
5. b) Nous devons construire , dans le repère précédent , la courbe (C' ) de la réciproque de
4 points
exercice 5
Pour tout entier naturel n non nul, on définit sur la fonction par
1. a) Nous devons calculer , suivant la parité de n ,
D'où,
Nous observons que
D'où,
1. b) Nous devons calculer
Donc
2. a) La fonction est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur
2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de selon la parité de n .
Étudions le signe de , soit le signe de
Premier cas : Soit n un entier naturel non nul et pair.
Dans ce cas, n - 1 est un entier naturel impair et le signe de est le même que le signe de
L'exponentielle est strictement positive sur
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de sur
Deuxième cas : Soit n un entier naturel impair.
Dans ce cas, n - 1 est un entier naturel pair et pour tout réel
L'exponentielle est strictement positive sur
Donc le signe de est le signe de
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de sur
3. On pose
3. a) Calculons
3. b) A l'aide d'une intégration par parties , montrons que
4. Montrons que
Montrons que
A l'aide du tableau de variation de (question 2. b), nous déduisons que pour tout et pour tout
Dès lors, pour tout et pour tout
Il s'ensuit que pour tout
Or (voir question 3. b)
D'où pour tout soit
En divisant les deux membres de l'inégalité par n + 1 0, nous obtenons :
Par conséquent,
Montrons que
Nous savons que la fonction est strictement décroissante sur
En conclusion,
De plus,
5. on pose
Nous devons montrer que
Pour tout entier naturel n ,
Nous devons en déduire que
Calcul préliminaire :
Ensuite nous savons que ,
soit que
Nous obtenons alors les égalités suivantes :
En additionnant membre à membre ces (n + 1) égalités, nous obtenons :
Nous en déduisons que
Publié par malou/Panter
le
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