Fiche de mathématiques

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Bac Mauritanie 2022

Séries M-TMGM

Durée : 4 heures
Coefficient : 9 (série M) - 6 (série TMGM)
3 points

exercice 1

On considère la suite $(x_n)$ d'entiers naturels définie $\forall n\in\N$ par : $x_0=14 \text{ et }x_{n+1}=5x_n-6$ .

1) Calculer $x_1,x_2\text{ et }x_3$ .

2-a) Montrer que $\forall n\in\N\text{ ; }x_{n+2}\equiv x_n[4]$ .
b) En déduire que $\forall p\in\N\text{ ; }x_{2p}\equiv 2[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0[4]$ .

3-a) Par récurrence , montrer que $\forall n\in\N\text{ ; }2x_n=5^{n+2}+3$ et en déduire que $2x_n\equiv 28[100]$ .
b) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $x_n$ suivant les valeurs de $n$ .

5 points

exercice 2

1) Soit $P(z)=z^3-(5+6i)z^2+(-6+16i)z+20+10i\text{ ; }z\in\C$ .
a) Calculer $P(-1+i)$ puis déterminer les complexes $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z+1-i)(z^2+az+b)$ .
b) En déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$ .
On notera $z_1\text{ , }z_2 \text{ et }z_3$ les solutions de cette équation avec $|z_1|<|z_2|<|z_3|$ .

2) Dans le plan complexe , muni d'un repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A,B\text{ et }C$ d'affixes respectives $z_1,z_2\text{ et }z_3$ .
a) Placer les points $A,B,C \text{ et }I$ où $I$ est le milieu du segment $[AB]$ .
b) Soit $D$ le barycentre du système $\lbrace{(A;3),(B;1)\rbrace$ . Vérifier que $z_D=i$ et placer $D$ .

3) Soit $H$ l'hyperbole de foyers $A$ et $B$ dont $D$ est un sommet .
a) Déterminer le centre et l'excentricité de $H$ .
b) Vérifier que l'équation réduite de $H$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ s'écrit $(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1$ .
c) Déterminer le 2e sommet , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole $H$ et la construire .

4 points

exercice 3

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct de centre $O$ et $D$ le symétrique de $O$ par rapport à $(AC)$ $\text{[math]}$ . On note $I,J\text{ et }K$ les milieux respectifs des segments $[AB],[BC]\text{ et }[CA]$ .

1) Faire une figure soignée illustrant les données précédentes .

2-a) Montrer qu'il existe un unique déplacement $f$ qui transforme $B$ en $C$ et $O$ en $D$ .
b) Justifier que $f$ est une rotation et préciser ses éléments caractéristiques .
c) En utilisant une décomposition convenable , déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $t_{\overrightarrow{AB}}\circ f$ $\text{[math]}$ .

3-a) Montrer qu'il existe un unique antidéplacement $g$ qui transforme $A$ en $C$ et $K$ en $J$ $\text{[math]}$ .
b) Prouver que $g$ est une symétrie glissante et donner sa forme réduite .

4) On considère la transformation $S=h\circ f$ où $h$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $f$ la transformation définie dans la question 2) .
a) Déterminer $S(O)$ puis caractériser $S$ .
b) On considère la suite des points $(M_n)$ définie par $M_0=A$ et $\forall n\in\N\text{ : }M_{n+1}=S(M_n)$ .
Montrer que : $\forall n\in\N\text{ , }\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi$ puis en déduire que $M_{2022}\in[OA]$ .

4 points

exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-3-\dfrac{3\ln x}{x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1) Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $u(x)=x^2-3+3\ln x$ .
a) Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ .
b) Montrer que l'équation $u(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $1,4<\alpha<1,41$ .
c) En déduire le signe de $u(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

2-a) Calculer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
b) Montrer que la courbe $(C)$ admet une asymptote oblique $D$ et étudier sa position relative par rapport à $(C)$ .

3-a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2}$ puis dresser le tableau de variation de $f$ .
b) Construire la courbe $(C)$ .

4) Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1 \text{ et }x=e$ .

5) Soit $\varphi$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $I=]0;\alpha]$ .
a) Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer .
b) Construire , dans le repère précédent , la courbe $(C')$ de la réciproque $\varphi^{-1}$ de $\varphi$ .

4 points

exercice 5

Pour tout entier naturel $n$ non nul , on définit sur $\R$ la fonction $g_n$ par $g_n(x)=x^ne^{-x}$ .

1-a) Calculer , suivant la parité de $n$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g_n(x)\text{ et }\lim_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}$ .
b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g_n(x)$ .

2-a) Montrer que $\forall n\in\N\text{ , }g'_n(x)=(n-x)x^{n-1}e^{-x}$ .
b) Dresser le tableau de variation de $g_n$ selon la parité de $n$ .

3) On pose $I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x\text{ et }\forall n\in\N^{*}\text{ , }I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x$ .
a) Justifier que $I_0=1-\dfrac{1}{e}$ .
b) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que $\forall n\in\N\text{ : }I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1}$ .

4) Montrer que $\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$ .

5) $\forall n\in\N\text{ , on pose }u_n=\dfrac{1}{n!}I_n$ .
Montrer que $\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_n=-\dfrac{e^{-1}}{(n+1)!}$ et en déduire que $e(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$ .

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Bac Mauritanie 2022 séries M-TMGM

3 points

exercice 1

On considère la suite $\overset{{\white{.}}}{(x_n)}$ d'entiers naturels définie $\forall n\in\N$ par : $x_0=14 \text{ et }x_{n+1}=5x_n-6 .$

1. Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{x_1,x_2\text{ et }x_3 .}$

$\bullet\;\boxed{x_0=14} \\\\\bullet\;x_{1}=5x_0-6=5\times14-6=64\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_1=64} \\\\\bullet\;x_{2}=5x_1-6=5\times64-6=314\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_2=314} \\\\\bullet\;x_{3}=5x_2-6=5\times314-6=1564\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_3=1564}$

2. a) Montrons que $\forall n\in\N\text{ ; }x_{n+2}\equiv x_n\,[4] .$

Pour tout entier naturel n ,

$x_{n+2}=5x_{n+1}-6 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x_{n+2}}=5(5x_{n}-6)-6} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x_{n+2}}=25x_{n}-30-6} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x_{n+2}}=25x_{n}-36} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{x_{n+2}}=x_n+24x_{n}-36} \\\\\Longrightarrow\boxed{x_{n+2}=x_n+(24x_n-36)}$

Or $\overset{{\white{.}}}{24x_n-36=4(6x_n-9)\equiv0\,[4].}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ ; }x_{n+2}\equiv x_n\,[4]}}$

2. b) Démontrons par récurrence que $\overset{{\white{.}}}{\forall p\in\N\text{ ; }x_{2p}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0\,[4] .}$

Initialisation : Montrons que les propriétés sont vraies pour p = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{x_{0}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{1}\equiv 0\,[4] .}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}{x_0=14=3\times4+2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_0\equiv 2\,[4]}} \\\overset{{\phantom{.}}}{x_1=64=16\times4+0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_1\equiv 0\,[4]}}\end{matrix}\right.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel p fixé, les propriétés sont vraies au rang p , alors elles sont encore vraies au rang (p +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel p fixé, $\overset{{\white{.}}}{x_{2p}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0\,[4]}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{x_{2p+2}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+3}\equiv 0\,[4]}$
En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix}x_{2p+2}\equiv x_{2p}\,[4]\quad(\text{voir question 2. a)\quad}\\\overset{{\white{.}}}{x_{2p}\equiv 2\,[4]\quad(\text{hypothèse de récurrence})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_{2p+2}\equiv 2\,[4]} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}x_{2p+3}\equiv x_{2p+1}\,[4]\quad(\text{voir question 2. a)\quad}\\\overset{{\white{.}}}{x_{2p+1}\equiv 0\,[4]\quad(\text{hypothèse de récurrence})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_{2p+3}\equiv 0\,[4]}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que   $\overset{{\white{.}}}{\forall p\in\N\text{ ; }x_{2p}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0\,[4] .}$

3. a) $_{\bullet}{\white{x}}$ Nous devons montrer par récurrence que $\forall n\in\N\text{ ; }2x_n=5^{n+2}+3.$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $2x_0=5^{2}+3.$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}2\,x_0=2\times14\\\overset{{\phantom{.}}}{5^2+3=28\phantom{w}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2\,x_0=28\\\overset{{\phantom{.}}}{5^2+3=28}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{2\,x_0=5^2+3}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $2x_n=5^{n+2}+3$ , alors $2x_{n+1}=5^{n+3}+3.$
En effet,

$2\,x_{n+1}=2(5\,x_n-6) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_{n+1}}=10\,x_n-12} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_{n+1}}=5\times2\,x_n-12} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_{n+1}}=5\times(5^{n+2}+3)-12}\quad(\text{par hypothèse de récurrence})$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_{n+1}}=5^{n+3}+15-12} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_{n+1}}=5^{n+3}+3} \\\\\Longrightarrow\boxed{2\,x_{n+1}=5^{n+3}+3}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que   $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ ; }2x_n=5^{n+2}+3.}$

$_{\bullet}{\white{x}}$ Nous devons en déduire que $\overset{{\white{.}}}{2x_n\equiv 28[100].}$

Nous avons montré dans la question 2. b) que $\overset{{\white{.}}}{\forall p\in\N\text{ ; }x_{2p}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0\,[4] .}$
Donc pour tout entier naturel p ,    $\overset{{\white{.}}}{2x_{2p}\equiv 0\,[4]\text{ et }2x_{2p+1}\equiv 0\,[4] .}$

Dès lors, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{2\,x_{n}\equiv 0\,[4].}$

Nous savons également que $\forall n\in\N\text{ ; }2x_n=5^{n+2}+3.$

$\text{Or }\;2x_n=5^{n+2}+3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;2x_n}=5^{n}\times5^2+3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;2x_n}=25\times5^{n}+3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;2x_n}=24\times5^{n}+5^{n}+3} \\\\\Longrightarrow\boxed{2x_n\equiv5^n+3\,[4]}$

Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , $\left\lbrace\begin{matrix}2\,x_{n}\equiv 0\,[4]\phantom{xxxx}\\\overset{{\white{.}}}{2\,x_n\equiv5^n+3\,[4]}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\exists k\in\N\;:\;5^n=4k+1$

Par conséquent,

$2\,x_n=25(4k+1)+3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_n}=100k+25+3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2\,x_n}=100k+28} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2\,x_n\equiv28\,[100]}$

3. b) Nous devons déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ suivant les valeurs de n .

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{2\,x_n\equiv28\,[100].}$

Nous en déduisons que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{2\,x_n}$ sont 28, soit que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 14 ou 64.

Nous avons également montré dans la question 2. b) que $\overset{{\white{.}}}{\forall p\in\N\text{ ; }x_{2p}\equiv 2\,[4]\text{ et }x_{2p+1}\equiv 0\,[4] .}$

$_{\bullet}{\white{x}}$ Supposons que n est pair, soit $\overset{{\white{.}}}{n=2p\quad(p\in\N).}$
Alors $\overset{{\white{.}}}{x_n=x_{2p}\equiv 2\,[4]}$

Si les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 64 et sachant que $\overset{{\white{.}}}{64\equiv 0\,[4]}$ , alors nous obtenons $\overset{{\white{.}}}{x_n\equiv 0\,[4]}$ , ce qui est contradictoire avec la relation $\overset{{\white{.}}}{x_n\equiv 2\,[4].}$
Les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ ne sont pas 64.
Par conséquent, les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 14.

$_{\bullet}{\white{x}}$ Supposons que n est impair, soit $\overset{{\white{.}}}{n=2p+1\quad(p\in\N).}$
Alors $\overset{{\white{.}}}{x_n=x_{2p+1}\equiv 0\,[4]}$

Si les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 14 et sachant que $\overset{{\white{.}}}{14\equiv 2\,[4]}$ , alors nous obtenons $\overset{{\white{.}}}{x_n\equiv 2\,[4]}$ , ce qui est contradictoire avec la relation $\overset{{\white{.}}}{x_n\equiv 0\,[4].}$
Les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ ne sont pas 14.
Par conséquent, les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 64.

En conclusion,
les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ sont 14 si n est pair ou 64 si n est impair.

5 points

exercice 2

1. Soit $\overset{{\white{.}}}{P(z)=z^3-(5+6\,\text{i})z^2+(-6+16\,\text{i})z+20+10\,\text{i}\quad ; \quad z\in\C .}$

1. a) Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{ P(-1+\text{i}).}$

$P(-1+\text{i})=(-1+\text{i})^3-(5+6\,\text{i})(-1+\text{i})^2+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(-1+\text{i})^2(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(-1+\text{i})^2+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(1-2\,\text{i}-1)(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(1-2\,\text{i}-1)+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(-2\,\text{i})(-1+\text{i})-(5+6\,\text{i})(-2\,\text{i})+(-6+16\,\text{i})(-1+\text{i})+20+10\,\text{i}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=(2\,\text{i}+2)-(-10\,\text{i}+12)+(6-6\,\text{i}-16\,\text{i}-16)+20+10\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=2\,\text{i}+2+10\,\text{i}-12-22\,\text{i}-10+20+10\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(-1+\text{i})}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-1+\text{i})=0}$

Donc P est factorisable par (z - (-1 + i)), soit par (z + 1 - i).
Nous en déduisons qu'il existe un polynôme ${\white i}az²+bz+c{\white i}$ à coefficients complexes tel que $\overset{{\white{.}}}{{\white i}P(z)=(z+1-\text i)(az²+bz+c).{\white i}}$

Déterminons les coefficients a, b et c .

Développons le produit $(z+1-\text i)(az²+bz+c).$

$(z+1-\text i)(az²+bz+c)=az^3+bz^2+cz+(1-\text{i})az^2+(1-\text{i})bz+(1-2\text{i})c \\\\\Longrightarrow\boxed{(z+1-\text i)(az²+bz+c)=az^3+[b+(1-\text{i})a]z^2+[c+(1-\text{i})b]z+(1-\text{i})c}$

Donc l'égalité $P(z)=(z+1-\text i)(az²+bz+c)$ peut s'écrire :

$z^3-(5+6\,\text{i})z^2+(-6+16\,\text{i})z+20+10\,\text{i}=az^3+[b+(1-\text{i})a]z^2+[c+(1-\text{i})b]z+(1-\text{i})c$

Par identification des coefficients, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\white{.}}}{b+(1-\text{i})a=-(5+6\text i)}\\\overset{{\white{.}}}{c+(1-\text{i})b=-6+16\text i}\\\overset{{\white{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b+1-\text{i}=-5-6\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c+(1-\text{i})b=-6+16\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right.$
${\white{.}}\\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-6-5\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c+(1-\text{i})(-6-5\text{i})=-6+16\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{(1-\text{i})c=20+10}\text i\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-6-5\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c=5+15\text{i}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, $\boxed{P(z)=(z+1-\text i)(z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i)}\,.$

1. b) Résolvons dans $\C$ l'équation $\overset{{\white{.}}}{P(z)=0.}$

$P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z+1-\text i)(z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z+1-\text i=0\quad\text{ou}\quad z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i=0} \\\\\bullet\quad z+1-\text i=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=-1+\text i \\\\\bullet\quad z²-(6+5\text i)z+5+15\,\text i=0$

Discriminant :

$\Delta=(-(6+5\,\text i))^2-4\times1\times(5+15\,\text{i}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=36+60\,\text{i}-25-20-60\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=-9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=(3\,\text{i})^2}$

Solutions de l'équation z² - (6 + 5i)z + 5 + 15i = 0 :

$\rightarrow\quad z'=\dfrac{6+5\,\text{i}-3\,\text{i}}{2}=\dfrac{6+2\,\text{i}}{2}=3+\text{i} \\\overset{{\white{.}}}{\rightarrow\quad z''=\dfrac{6+5\,\text{i}+3\,\text{i}}{2}=\dfrac{6+8\,\text{i}}{2}=3+4\,\text{i}}$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{P(z)=0}$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace-1+\text{i}\,;\,3+\text{i}\;;\,3+4\,\text{i}\rbrace}\,.}$

On notera $\overset{{\white{.}}}{z_1\text{ , }z_2 \text{ et }z_3}$ les solutions de cette équation avec $\overset{{\white{.}}}{|z_1|<|z_2|<|z_3| .}$

$\text{Nous savons que : }|\,-1+\text{i}\,|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ \text{Nous savons que : }}|\,3+\text{i}\,|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ \text{Nous savons que : }}|\,3+4\,\text{i}\,|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5}$

Donc $\overset{{\white{.}}}{|\,-1+\text{i}\,|<|\,3+\text{i}\,|<|\,3+4\,\text{i}\,|.}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}z_1=-1+\text{i}\\z_2=3+\text{i}\phantom{x}\\z_3=3+4\,\text{i}.\end{matrix}\right.$

2. Dans le plan complexe, muni d'un repère orthonormal direct $\overset{{\white{.}}}{(O,\vec{u},\vec{v})}$ , on considère les points $\overset{{\white{.}}}{A,B\text{ et }C}$ d'affixes respectives $\overset{{\white{.}}}{z_1,z_2\text{ et }z_3 .}$

2. a) Plaçons les points $\overset{{\white{.}}}{A,B, C\text{ et }I}$ où $\overset{{\white{.}}}{I}$ est le milieu du segment [AB ] .
${\white{www}}$ Le graphique est représenté dans la question 3. c).

2. b) Soit D le barycentre du système {(A ; 3), (B ; 1)}.

Nous obtenons :

$3\,\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(z_A-z_D)+(z_B-z_D)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 3z_1-3\,z_D+z_2-z_D=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(-1+\text{i})-3\,z_D+(3+\text{i})-z_D=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad -3+3\,\text{i}-3\,z_D+3+\text{i}-z_D=0}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad -4\,z_D+4\,\text{i}=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\,z_D=4\,\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwWWWxwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_D=\text{i}}\,.}$

Plaçons le point D sur le graphique (voir la question 3. c).

3. Soit H l'hyperbole de foyers A et B dont D est un sommet.

3. a) Nous devons déterminer le centre et l'excentricité de H .

Le centre de l'hyperbole H est le milieu du segment [AB ] soit le point $\overset{{\white{.}}}{I.}$
L'affixe du point $\overset{{\white{.}}}{I}$ est : $\overset{{\white{.}}}{z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{-1+\text i+3+\text i}{2}=\dfrac{2+2\,\text i}{2}=1+\text i.}$

D'où le centre de l'hyperbole H est le point $\overset{{\white{.}}}{I}$ d'affixe 1 + i, soit le point $\overset{{\white{.}}}{I}$ de coordonnées (1 ; 1).

L'excentricité e est donnée par le rapport $\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{2}{1}=2.$
Donc l'excentricité de H est e = 2.

3. b) Nous devons vérifier que l'équation réduite de H dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ s'écrit $(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1.$

L'équation cartésienne réduite d'une hyperbole de centre omegamaj

d'affixe $z_{\Omega}=x_0+\text i \,y_0$ et d'axe focal parallèle à l'axe réel est de la forme $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1.$
Dans cette équation, a est la distance entre le centre et un sommet.
Si c représente la distance entre le centre et un foyer, alors nous avons la relation $c^2=a^2+b^2$ et nous définissons b par $b=\sqrt{c^2-a^2}.$

Dans cet exercice, nous obtenons alors :

$z_{\Omega}=1+\text i\quad\Longrightarrow\quad (x_0\,;\,y_0)=(1\,;\,1)\\\overset{{\white{.}}}{a=ID=1}\\\overset{{\white{.}}}{c=IA=2}\\\overset{{\white{.}}}{b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}} \\\\\Longrightarrow\quad (H):\dfrac{(x-1)^2}{1^2}-\dfrac{(y-1)^2}{(\sqrt{3})^2}=1.$

Par conséquent, l'équation réduite de H dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ s'écrit $\boxed{(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=1}\,.$

3. c) Nous devons déterminer le 2e sommet C , les directrices et les asymptotes de l'hyperbole H et la construire .

Le deuxième sommet C de l'hyperbole est le symétrique du premier sommet D par rapport au centre omegamaj

.
Donc, nous obtenons :

$z_{I}=\dfrac{z_C+z_D}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C+z_D=2\,z_{I} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2\,z_{I}-z_D} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2\,(1+\text i)-\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z_C=2+2\,\text i-\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_C=2+\text i}}$
Par conséquent, le deuxième sommet de l'hyperbole est le point C d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_C=2+\text i}$ , soit le point C de coordonnées (2 ; 1).

Les équations des directrices sont de la forme $x=x_0\pm\dfrac{a^2}{c}.$

Or nous savons que $x_0=1\,,\,a=1\,;\,c=2\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_0+\dfrac{a^2}{c}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{x_0-\dfrac{a^2}{c}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.$

D'où les équations des directrices $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ de l'hyperbole H sont : $\boxed{\mathscr D:x=\dfrac{3}{2}}$ et $\boxed{\mathscr D':x=\dfrac{1}{2}}\,.$

Les équations des asymptotes sont de la forme $y=\pm\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0.$

Or nous savons que $a=1\,;\,b=\sqrt{3}\,;\,x_0=1\,;\,y_0=1$

Dès lors,

$y=\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\sqrt{3}}{1}(x-1)+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWdWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1} \\\\y=-\dfrac{b}{a}(x-x_0)+y_0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\dfrac{\sqrt{3}}{1}(x-1)+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWwVWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}+1}$

Par conséquent, les équations des asymptotes de l'hyperbole H sont $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}+1}\,.}$

Nous aurions pu retrouver ces équations à partir de l'équation réduite de H dans laquelle le membre de droite est remplacé par 0.

$(x-1)^2-\dfrac{(y-1)^2}{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(x-1-\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}\right)\left(x-1+\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}\right)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1-\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=0\quad\text{ou}\quad x-1+\dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=x-1\quad\text{ou}\quad \dfrac{y-1}{\sqrt{3}}=-x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y-1=\sqrt{3}\,x-\sqrt{3}\,\quad\text{ou}\quad y-1=-\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}\,} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWwWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y=\sqrt{3}\,x-\sqrt{3}+1}\quad\text{ou}\quad \boxed{y=-\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}+1}}$

Représentation graphique de H .

Bac Mauritanie 2022 séries M-TMGM : image 10

4 points

exercice 3

Soit ABC un triangle équilatéral direct de centre O et D le symétrique de O par rapport à (AC ).
On note I, J et K les milieux respectifs des segments [AB ], [BC ] et [CA ].

1. La figure suivante représente les données précédentes complétées par les nouvelles données récoltées au cours de l'exercice.

Bac Mauritanie 2022 séries M-TMGM : image 11

2. a) Nous devons montrer qu'il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et O en D.

BO = CO car O est le centre du triangle ABC , et par suite, le triangle OBC est isocèle en O .
CO = CD car D est le symétrique de O par rapport à C .
Nous en déduisons que BO = CD .
Par conséquent, il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et O en D.

2. b) Nous devons justifier que f est une rotation.

Montrons que $\overrightarrow{BO}\neq\overrightarrow{CD}.$
La droite (BK ) est la médiatrice du triangle équilatéral ABC issue du sommet B .
Donc les points B , O et K sont alignés.
De plus, les points O , K et D sont alignés par construction du point D .
Dès lors, les points B , O et D sont alignés et appartiennent à la médiatrice de [AC ].
Or le point C n'appartient pas à cette médiatrice de [AC ].
Nous en déduisons que les vecteurs $\overrightarrow{BO}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.
Il s'ensuit que $\overrightarrow{BO}\neq\overrightarrow{CD}.$
Nous en déduisons que le déplacement f n'est pas une translation.
Par conséquent, le déplacement f est une rotation.

$\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'angle alpha

de la rotation f .

${\white{xx}}$ $\alpha\equiv(\overrightarrow{BO}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{BO}\,,\,\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{OB}\,,\,\overrightarrow{OC})+\pi+(\overrightarrow{CO}\,,\,\overrightarrow{CD})+\pi\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv(\overrightarrow{OB}\,,\,\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{CO}\,,\,\overrightarrow{CD})\,[2\pi]}$
${\white{xx}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\alpha}\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}$
D'où f est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

$\bullet{\white{x}}$ Déterminons le centre de la rotation f .

Le centre de la rotation f est le point d'intersection entre les médiatrices de [BC ] et de [OD ]
Ces médiatrices sont respectivement les droites (AJ ) et (AC ) qui se coupent au point A .
D'où le centre de la rotation f est le point A .

Par conséquent, f est la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

2. c) En utilisant une décomposition convenable, nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f .}$

$\bullet{\white{x}}$ Transformons la translation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}}$ en composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles.

Soit $\mathscr D$ la droite passant par le point A et orthogonale à la direction du vecteur $\overrightarrow{AB}$
${\white{xxx}}$ $\mathscr D'$ l'image de la droite $\mathscr D$ par la translation de vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$
Alors nous obtenons : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{t_{\overrightarrow{AB}}=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D}}}$

$\bullet{\white{x}}$ Transformons la rotation f de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ en composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants.

Soit $\mathscr D$ la droite passant par le point A et orthogonale à la direction du vecteur $\overrightarrow{AB}$
${\white{xxx}}$ $\mathscr D''$ l'image de la droite $\mathscr D$ par la rotation de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{6}.$
Alors nous obtenons : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{f=S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D''}}}$

Nous en déduisons que

$t_{\overrightarrow{AB}}\circ f=(S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D})\circ(S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D''}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}=S_{\mathscr D'}\circ (S_{\mathscr D}\circ S_{\mathscr D})\circ S_{\mathscr D''}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D''}} \\\\\Longrightarrow\boxed{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f=S_{\mathscr D'}\circ S_{\mathscr D''}}$

Les droites $\mathscr D'$ et $\mathscr D''$ se coupent au point C .

Si $\overrightarrow{u}_{\mathscr D'}$ et $\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}$ sont respectivement des vecteurs directeurs des droites $\mathscr D'$ et $\mathscr D''$ , alors nous déduisons que la transformation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}$ est une rotation de centre C et d'angle $2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})$ .

$2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv{\white{i}}$ $2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D})+{\white{i}}$ $2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\,[2\pi].$

Or $\overset{{\white{.}}}{(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D})\equiv\dfrac{\pi}{6}\,[\pi]}$ et $\overset{{\white{.}}}{(\overrightarrow{u}_{\mathscr D}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv \pi\,[\pi]}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{2\,(\overrightarrow{u}_{\mathscr D''}\,,\,\overrightarrow{u}_{\mathscr D'})\equiv\,\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].}$

Par conséquent, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{AB}}\circ f}$ est une rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ .

3. a) Nous devons montrer qu'il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en C et K en J .

Puisque le triangle ABC est équilatéral, nous savons que $\left\lbrace\begin{matrix}AK=\dfrac{1}{2}\,AC\\\overset{{\white{.}}}{CJ=\dfrac{1}{2}\,CB}\\\overset{{\white{.}}}{AC=CB}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{AK=CJ\neq0}$

Par conséquent, il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en C et K en J.

3. b) Nous devons prouver que g est une symétrie glissante et donner sa forme réduite.

Dans le plan, un antidéplacement est une symétrie orthogonale ou une symétrie glissante.
Puisque [AC ] et [KJ ] n'ont pas la même médiatrice, g n'est pas une symétrie orthogonale.
Nous en déduisons que g est une symétrie glissante.

Déterminons l'axe de cette symétrie.
$\overset{{\white{.}}}{g(A)=C\quad\Longrightarrow\quad{\white{.}} }$ le milieu K de [AC ] appartient à deltamaj

.
$\overset{{\white{.}}}{g(K)=J\quad\Longrightarrow\quad{\white{.}} }$ le milieu L de [KJ ] appartient à deltamaj

.
Nous en déduisons que deltamaj

est la droite (KL ).
Les points K , L et J sont alignés car L est le milieu de [KJ ].
Dès lors, l'axe de la symétrie glissante g est la droite (KJ ).
Un vecteur directeur de deltamaj

est le vecteur $\overrightarrow{KJ}.$

Soit $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{\overrightarrow{KJ}}}$ la translation de vecteur $\overrightarrow{KJ}$ et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{S_{(KJ)}}$ la symétrie orthogonale d'axe (KJ ).

La forme réduite de la symétrie glissante est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{g=t_{\overrightarrow{KJ}}\circ S_{(KJ)}=S_{(KJ)}\circ t_{\overrightarrow{KJ}}}\,.}$

4. On considère la transformation $\overset{{\white{.}}}{S=h\circ f}$ où h est l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et f est la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$ .

4. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{S(O)}$ puis caractériser S .

$S(O)=h(f(O))=h(D)=O\quad\Longrightarrow\quad\boxed{S(O)=O}$

La transformation S est une similitude de centre O , de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

4. b) On considère la suite des points $\overset{{\white{.}}}{(M_n)}$ définie par $\overset{{\white{.}}}{M_0=A}$ et $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ : }M_{n+1}=S(M_n)}$ .
Nous devons montrer que : $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi.}$
Pour tout entier naturel n ,

$\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+1}}\right)+\left(\overrightarrow{OM_{n+1}},\overrightarrow{OM_{n+2}}\right)+\left(\overrightarrow{OM_{n+2}},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=\pi} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+3}}\right)=\pi}$

Montrons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA].}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{M_{0}\in[OA].}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{M_0=A.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA]}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{M_{3(n+1)}\in[OA].}$
En effet, nous savons que pour tout entier naturel n, $\overset{{\white{.}}}{\left(\overrightarrow{OM_{3n}},\overrightarrow{OM_{3n+3}}\right)=\pi.}$

Or, par hypothèse, nous savons que $\overset{{\white{.}}}{M_{3n}\in[OA].}$
Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{M_{3n+3}\in[OA]}$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{M_{3(n+1)}\in[OA]}$
D'où, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;\boxed{M_{3n}\in[OA]}\,.}$

Posons n = 674.

$M_{3n}\in[OA]\quad\Longrightarrow\quad M_{3\times674}\in[OA] \\\\\phantom{M_{3n}\in[OA]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{M_{2022}\in[OA]}$

4 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0 ; + infini

[ par $f(x)=x-3-\dfrac{3\ln x}{x}.$

1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; + infini

[ par $u(x)=x^2-3+3\ln x .$

1. a) Nous devons dresser le tableau de variations de la fonction u .

La fonction u est dérivable sur ]0 ; + infini

[ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + infini

[)

$u(x)=x^2-3+3\ln x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2x+\dfrac{3}{x} \\\\\phantom{WWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u'(x)>0}\quad(\text{car }x\in\,]0\;,\,+\infty[)$

Donc la fonction u est strictement croissante sur ]0 ; +[.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x^2=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(x^2-3+3\ln x)=-\infty \\\phantom{WWjWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}u(x)=-\infty}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(x^2-3+3\ln x)=+\infty \\\phantom{WWjWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}u(x)=+\infty}$

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction u sur ]0 ; + infini

[.

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& u'(x)&& + && + & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&+\infty\\ u(x)&&\nearrow&&\nearrow&&\nearrow&\\&-\infty&&& &&&\\ \hline \end{array}$

1. b) Nous devons montrer que l'équation u (x )=0 admet une unique solution alpha

et que 1,4 < alpha

< 1,41.

La fonction u est dérivable sur ]0 ; + infini

[ et est donc continue sur ]0 ; + infini

[.
Nous avons montré que la fonction u est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
De plus, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}u(x)=-\infty}$ et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}u(x)=+\infty}.$

Donc la fonction u est une bijection de ]0 ; + infini

[ sur $\R.$

Nous en déduisons que l'équation u (x ) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +[.

$\left\lbrace\begin{matrix}u(1,4)=1,4^2-3+3\ln1,4\approx-0,03<0\\u(1,41)=1,41^2-3+3\ln1,41\approx0,02>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u(1,4)\times u(1,41)<0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{1,4<\alpha<1,41}$

1. c) Nous devons en déduire le signe de u (x ) sur ]0 ; + infini

[.

En utilisant le tableau ci-dessous ,

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&+\infty\\ u(x)&&\nearrow&&0&&\nearrow&\\&-\infty&&& &&&\\ \hline&&&&&&&\\ u(x)&&{\red{-}}&&0&&{\red{+}}&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}$ ,

nous déduisons que u (x ) < 0 si 0 < x <
${\white{WWWWWWW}}$ et u (x ) > 0 si x >

2. a) Nous devons calculer les limites suivantes : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)}$ et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\times\ln x=-\infty}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

2. b) Montrons que la courbe (C ) admet une asymptote oblique D .

$\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\overset{}{f(x)-(x-3)}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{3\ln x}{x}\right)=0^-\quad(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\overset{}{f(x)-(x-3)}\right)=0^{\red{-}}}$

Par conséquent, la courbe (C ) admet une asymptote oblique D d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=x-3}$ et la droite D est au-dessus de la courbe.

3. a) Montrons que $f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2}$ .

$f'(x)=\left(x-3-\dfrac{3\ln x }{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1-0-3\times\left(\dfrac{\ln x }{x}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x \times x' }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x \times 1 }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-3\times\dfrac{1-\ln x }{x^2}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{3-3\,\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2-3+3\,\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{u(x)}{x^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac{u(x)}{x^2}}$

Étudions les variations de la fonction f sur ]0 ; + infini

[.
Le signe de f' (x ) est le signe de u (x ) car x ² > 0.
Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f' (x ) et les variations de la fonction f .

${\white{xxxxxx}}$ $\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha\approx1,41&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& u(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&& f'(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&+\infty&&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&f(\alpha)\approx-2,32 &&&\\ \hline \end{array}$

3. b) Nous devons construire la courbe (C ) .

Bac Mauritanie 2022 séries M-TMGM : image 12

4. Calculons l'aire $\mathscr{A}$ du domaine plan délimité par la courbe (C ) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 1 et x = e.

Étudions d'abord les variations de f sur l'intervalle [1 ; e].

Sur base du tableau de la question 3. a), nous obtenons :

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &1&&&\alpha\approx1,41&&&\text{e}\\ &&&&&&& \\ \hline&-2&&&&&&-1,39\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&f(\alpha)\approx-2,32 &&&\\ \hline \end{array}$

Dès lors, la fonction f est négative sur l'intervalle [1 ; e].

Nous en déduisons que l'aire $\mathscr{A}$ se calcule par :

$\mathscr A=-\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\text{ d}x=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}f(x)\text{ d}x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ A}=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3-\dfrac{3\ln x}{x}\right)\text{ d}x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ A}=\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3\right)\text{ d}x-3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x}$

$\text{Or }\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\left(x-3\right)\text{ d}x=\left[\dfrac{(x-3)^2}{2}\right]_{\text{e}}^{1} \\\\\phantom{WWWWwWW}=\dfrac{(1-3)^2}{2}-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWW}=2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}}$
$\\\\\text{et }\,3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x=3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x=3\,\displaystyle\int_{\text{e}}^{1}(\ln x)'\times \ln x\text{ d}x \\\\\phantom{WWWwWW}=3\left[\dfrac{\ln^2x}{2}\right]_{\text{e}}^{1}=3\left(\dfrac{\ln^21}{2}-\dfrac{\ln^2\text{e}}{2}\right) \\\\\phantom{WWWwWW}=3\left(0-\dfrac{1}{2}\right) =-\dfrac{3}{2}$

Nous obtenons alors :

$\mathscr A=\left(2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}+\dfrac{3}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{(\text{e}-3)^2}{2}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{1}{2}(7-(\text{e}-3)^2)=\dfrac{1}{2}(7-(\text{e}^2-6\,\text{e}+9))} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\dfrac{1}{2}(-2+6\,\text e-\text e^2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr A=\dfrac{1}{2}(-2+6\,\text e-\text e^2)\text{ u.a.}\approx3,46\text{ u.a.}}$

5. Soit $\varphi$ la restriction de f sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{I=\;]0\,;\,\alpha]\,.}$

5. a) Nous devons montrer que $\varphi$ réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer .

La fonction f est dérivable sur ]0 ; + infini

[ et est donc continue sur ]0 ; + infini

[.
Donc la fonction $\varphi$ est continue sur ]0 ; alpha

].
Nous avons montré dans le tableau de variation de f à la question 3. a) que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; alpha

] et à la question 2. a) que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}$
Donc la fonction $\varphi$ est strictement décroissante sur ]0 ; alpha

] et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\varphi(x)=+\infty}$
Dès lors, $\varphi$ constitue une bijection entre $\overset{{\white{.}}}{I=\;]0\,;\,\alpha]}$ et $\overset{{\white{.}}}{J=\;[\varphi(\alpha)\,;\,+\infty[}$ en sachant que $\overset{{\white{.}}}{\alpha\approx1,41}$ et que $\varphi(\alpha)\approx-2,32.$

5. b) Nous devons construire , dans le repère précédent , la courbe (C' ) de la réciproque $\varphi^{-1}$ de $\overset{{\white{.}}}{\varphi.}$

Bac Mauritanie 2022 séries M-TMGM : image 13

4 points

exercice 5

Pour tout entier naturel n non nul, on définit sur $\R$ la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ par $g_n(x)=x^ne^{-x}.$

1. a) Nous devons calculer , suivant la parité de n , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g_n(x)\text{ et }\lim_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x} .$

$\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=\left\lbrace\begin{matrix}+\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\-\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right. \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\quad\underset{(X=-x)}{=}\quad\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty$

D'où, $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g_n(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^n\text{e}^{-x}=\left\lbrace\begin{matrix}+\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\-\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right.}$

Nous observons que $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^n\text{e}^{-x}}{x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}\text{e}^{-x}}$

$\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}=\left\lbrace\begin{matrix}-\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\+\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right. \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty$

D'où, $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n-1}\text{e}^{-x}=\left\lbrace\begin{matrix}-\infty\quad\text{si }n\text{ est pair}\phantom{xx}\\+\infty\quad\text{si }n\text{ est impair}\end{matrix}\right.}$

1. b) Nous devons calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g_n(x) .$

$\bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty \\\\ \bullet\phantom{xx}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0$

Donc $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g_n(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}\text{e}^{-x}=0\quad(\text{croissances comparées)}}}$

2. a) La fonction $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R.$

$g_n'(x)=(x^n\,\text e^{-x})'=(x^n)'\times \text{e}^{-x}+x^n\times (\text e^{-x})' \\\phantom{g_n'(x)}=n\,x^{n-1}\times \text{e}^{-x}+x^n\times (-\text e^{-x}) \\\phantom{g_n'(x)}=n\,x^{n-1}\, \text{e}^{-x}-x\times x^{n-1}\,\text e^{-x} \\\phantom{g_n'(x)}=(n-x)\times x^{n-1}\,\text e^{-x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\,\in\N,\;g_n'(x)=(n-x)\, x^{n-1}\,\text e^{-x}}$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ selon la parité de n .

Étudions le signe de $g_n'(x)$ , soit le signe de $(n-x)\, x^{n-1}\,\text e^{-x}.$

Premier cas : Soit n un entier naturel non nul et pair.

Dans ce cas, n - 1 est un entier naturel impair et le signe de $x^{n-1}$ est le même que le signe de $\overset{{\white{.}}}{x.}$
L'exponentielle est strictement positive sur $\R.$
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ sur $\R.$

$\begin{matrix}{\red{\underline{n \text{ est un entier naturel non nul et pair}}}}\\\\n-x<0\quad\Longleftrightarrow x>n\\\\n-x=0\quad\Longleftrightarrow x=n\\\\ n-x>0\quad\Longleftrightarrow x<n\end{matrix} {\phantom{w}} \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&0&&n&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& n-x& &+&+&+&0 &-& \\ x^{n-1}& &-&0&+&+ &+&\\ e^{-x}& &+&+&+&+ &+&\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&g'_n(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline&+\infty&&&&n^n\,\text{}e^{-n}&&\\ g_n(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&0&&&&(0)\\ \hline \end{array}$

Deuxième cas : Soit n un entier naturel impair.

Dans ce cas, n - 1 est un entier naturel pair et $x^{n-1}\ge 0$ pour tout réel $\overset{{\white{.}}}{x.}$
L'exponentielle est strictement positive sur $\R.$
Donc le signe de $g_n'(x)$ est le signe de $\overset{{\white{.}}}{(n-x).}$
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ sur $\R.$

$\begin{matrix}{\red{\underline{n \text{ est un entier naturel impair}}}}\\\\n-x<0\quad\Longleftrightarrow x>n\\\\n-x=0\quad\Longleftrightarrow x=n\\\\n-x>0\quad\Longleftrightarrow x<n\end{matrix} {\phantom{www}} \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&0&&n&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& n-x& &+&+&+&0 &-&\\x^{n-1}&&+&0&+&+&+\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&g'_n(x)&&+&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&n^n\,\text{}e^{-n}&&\\ g_n(x)&&\nearrow&0&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&&&(0)\\ \hline \end{array}$

3. On pose $\overset{{\white{.}}}{I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x\text{ et }\forall n\in\N^{*}\text{ , }I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x .}$

3. a) Calculons $\overset{{\white{.}}}{I_0.}$

$I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}\text{ d}x=-\displaystyle\int_{0}^{1}-e^{-x}\text{ d}x=-\left[\overset{}{e^{-x}}\right]_0^1=-\left(\overset{}{e^{-1}-e^{0}}\right)=-\left(\dfrac{1}{\text{e}}-1\right) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_0=1-\dfrac{1}{\text{e}}}$

3. b) A l'aide d'une intégration par parties , montrons que $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ : }I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1}.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}g_n(x)\text{ d}x\quad(n\in\N^*)\\\overset{{\white{.}}}{g_n(x)=x^n\,\text{e}^{-x}\quad(n\in\N^*)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}=\int_{0}^{1}x^{n+1}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{0}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{w}u'(x)=(n+1)\,x^n\phantom{www}\\\overset{{\white{.}}}{v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{wwwww}\Longrightarrow\quad v(x)=-\text{e}^{-x}\phantom{wwwwww}}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n+1}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x=-\left[\overset{}{x^{n+1}}\,\text{e}^{-x}\right]\limits_0^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_0^{1}(n+1)\,x^n\,(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}=-(1\times\text{e}^{-1}-0)+(n+1)\begin{aligned}\int\nolimits_0^{1}\,x^n\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}=-\text{e}^{-1}+(n+1)\,I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\text e^{-1}}$

4. Montrons que $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}.}$

$\bullet{\white{x}}$ Montrons que $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n.}$
A l'aide du tableau de variation de $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ (question 2. b), nous déduisons que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N}$ et pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in [0 ; 1],\;g_n(x)\ge 0.}$

Dès lors, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N}$ et pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in [0 ; 1],\;g_{n+1}(x)\ge 0.}$

Il s'ensuit que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,}$ $I_{n+1}=\displaystyle\int_{0}^{1}g_{n+1}(x)\text{ d}x\ge 0.$
Or $I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\text e^{-1}$ (voir question 3. b)
D'où pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,}$ $(n+1)\,I_n-\text e^{-1}\ge 0,$ soit $(n+1)\,I_n\ge \dfrac{1}{\text e}$

En divisant les deux membres de l'inégalité par n + 1 different

0, nous obtenons : $\,I_n\ge \dfrac{1}{(n+1)\,\text e}.$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n}\,.}$

$\bullet{\white{x}}$ Montrons que $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ , }I_n\leq \dfrac{1}{n+1}.}$
Nous savons que la fonction $x\mapsto\text e^{-x}$ est strictement décroissante sur $\R.$

$\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}\le\text e^0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}\le 1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad x^n\,\text e^{-x}\le x^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\,\text{e}^{-x}\text{ d}x\le\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\text{ d}x}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad I_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}} {n+1}\right]_0^1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,\forall\,x\in\R:x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad I_n\le\dfrac{1}{n+1}-0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall n\in\N\text{ , }I_n\leq \dfrac{1}{n+1}}$

$\bullet{\white{x}}$ En conclusion, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ , }\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}}\,.}$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\,\text e}=0}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0}\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{théorème d'encadrement}}{\Longrightarrow}\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}$

5. $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N,}$ on pose $u_n=\dfrac{1}{n!}\,I_n .$

Nous devons montrer que $\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_n=-\dfrac{e^{-1}}{(n+1)!}$

Pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)!}\,I_{n+1}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{(n+1)!}\,\left(\overset{}{(n+1)\,I_n-\text e^{-1}}\right)-\dfrac{1}{n!}\,I_n}\quad(\text{voir question }{\red{\text{3. b}}}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}\right)-\dfrac{1}{n!}\,I_n$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)\times n!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{n!}\,I_n-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}}-\dfrac{1}{n!}\,I_n \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{(n+1)!}\,\text e^{-1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n=-\dfrac{\text e^{-1}}{(n+1)!}}$

Nous devons en déduire que $\overset{{\white{.}}}{\text e(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}}$

Calcul préliminaire :
$\overset{{\white{.}}}{1-u_{0}=1-\dfrac{1}{0!}\,I_0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=1-\dfrac{1}{1}\,(1-\dfrac{1}{\text{e}})\quad(\text{voir question {\red{3. a}})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=1-1+\dfrac{1}{\text{e}}}$

$\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=\dfrac{1}{\text e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{0}-1}=\dfrac{1}{0!}\,\dfrac{1}{\text e}} \\\\\Longrightarrow\boxed{1-u_{0}=\dfrac{1}{0!}\,\dfrac{1}{\text e}}$

Ensuite nous savons que $\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n=-\dfrac{\text e^{-1}}{(n+1)!}$ ,

soit que $\forall\,n\in\N,\;u_{n}-u_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}$

Nous obtenons alors les égalités suivantes :

${\white{xxxx}}$ $u_{n-1}-u_{n}=\dfrac{1}{n!}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{u_{n-2}-u_{n-1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{u_{n-3}-u_{n-2}=\dfrac{1}{(n-2)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}}$

${\white{xxxx}}$ $\\\cdots\cdots\cdots\cdots$

${\white{xxxx}}$ $\\\overset{{\phantom{.}}}{u_{0}-u_{1}=\dfrac{1}{1!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{1-u_{0}=\dfrac{1}{0!}\times\dfrac{1}{\text{e}}}$

En additionnant membre à membre ces (n + 1) égalités, nous obtenons :

${\white{xxxx}}$ ${\red{\cancel{u_{n-1}}}}-u_{n}=\dfrac{1}{n!}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{{\blue{\cancel{u_{n-2}}}}-{\red{\cancel{u_{n-1}}}}=\dfrac{1}{(n-1)!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{{\red{\cancel{u_{n-3}}}}-{\blue{\cancel{u_{n-2}}}}=\dfrac{1}{(n-2)!}}\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\cdots\cdots\cdots{\red{\cancel{\cdots}}} \\ {\blue{\cancel{\cdots}}}\cdots\cdots\cdots \\\overset{{\phantom{.}}}{{\red{\cancel{u_{0}}}}-{\blue{\cancel{u_{1}}}}=\dfrac{1}{1!}\times\dfrac{1}{\text{e}}} \\\underline{\overset{{\white{.}}}{1-{\red{\cancel{u_{0}}}}=\dfrac{1}{0!}\times\dfrac{1}{\text{e}}\quad\quad\quad\quad\quad}} \\\\1-u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\times\dfrac{1}{\text{e}}$

Nous en déduisons que $\boxed{\forall\,n\in\N,\;\text e\,(1-u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}}$

${\red{\sim \sim \sim\ \mathscr{F}IN\sim \sim \sim }}$

Publié par malou/Panter le 05-03-2023

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