L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3
exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en
compte.
7 points
exercice 1 : Probabilités
Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien
vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que : Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4 ; Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7 ; La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.
On appelle la probabilité que le client loue un vélo de route, avec 0 1.
On considère les événements suivants : R : « le client loue un vélo de route » ; E : « le client loue un vélo électrique » ; et , événements contraires de R et E.
On modélise cette situation aléatoire à l'aide de cet arbre :
Si F désigne un événement quelconque, on
notera p(F ) la probabilité de F.
1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
2. a. Montrer que p(E ) = 0,7 - 0,3. b. En déduire que : = 0,4.
3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu'il ait loué
un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
5. Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de 25 euros,
celui d'un vélo tout terrain non électrique de 35 euros. Pour chaque type de vélo, le
choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros.
On appelle X la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée. a. Donner la loi de probabilité de X. On présentera les résultats sous forme d'un
tableau. b. Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
6. Lorsqu'on choisit 30 clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec
remise. On note Y la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis
au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
On rappelle que la probabilité de l'événement E est : p(E ) = 0,58. a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui
louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième. c. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent
un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
7 points
exercice 2 : Suites, fonctions
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte
ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
1. On considère la suites et définie par et, pour tout entier
naturel n,
On peut affirmer que : a. est arithmétique ; a. est géométrique ; a. est géométrique ; a. est arithmétique.
Dans les questions 2. et 3. , on considère les suites et définies par :
2. On peut affirmer que : a. ;
b.
c.
d.
3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
Ce programme renvoie : a. b. c. les valeurs de pour n allant de 1 à 10 ; d.
Pour les questions 4. et 5. , on considère la fonction f deux fois dérivable sur l'intervalle [-4 ; 2].
On note f ' la fonction dérivée de f et f '' la dérivée seconde de f .
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f ' dans un repère du plan. On
donne de plus les points A(-2 ; 0) , B(1 ; 0) et C(0 ; 5).
4. La fonction f est : a. concave sur [-2 ; 1]; b. convexe sur [-4 ; 0]; c. convexe sur [-2 ; 1]; d. convexe sur [0 ; 2].
5. On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe au point B.
On a : a. b. c. d.
6. Soit la fonction f définie sur R par
La primitive F de f sur R telle que est définie par : a. b.
c.
d.
7 points
exercice 3 : Fonction logarithme, suites
Les parties B et C sont indépendantes.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par où désigne la fonction
logarithme népérien.
Partie A
1. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers 0.
2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +.
3. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; +[ et on note f ' sa fonction dérivée. a. Démontrer que, pour tout réel x > 0, on a : b. En déduire les variations de la fonction f sur ]0; +[ et dresser son tableau de
variation.
4. Résoudre l'équation sur ]0; +[.
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.
On considère la suite (un ) définie par :
Ainsi, pour tout entier naturel n , on a :
1. On rappelle que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,5 ; 1].
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
2. a. Montrer que la suite (u n ) est convergente. b. On note la limite de la suite (u n ) . Déterminer la valeur de .
Partie C
Pour un nombre réel k quelconque, on considère la fonction fk définie sur ]0; +[ par :
1. Pour tout nombre réel k, montrer que fk admet un maximum yk atteint en xk= e k-1 .
2. Vérifier que, pour tout nombre réel k, on a : x k = y k.
7 points
exercice 4 : Géométrie dans l'espace
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; , , ), on considère :
la droite passant par le point A (2 ; 4 ; 0) et dont un vecteur directeur
est
la droite dont une représentation paramétrique est :
1. a. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur
de la droite . b. Montrer que les droites et ne sont pas parallèles. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite perpendiculaire aux
droites et . Cette droite coupe chacune des droites et .
On appellera M le point
d'intersection de et , et M ' le point d'intersection de et .
On se propose de déterminer la distance MM ' appelée « distance entre les droites et ».
2. Montrer que le vecteur est un vecteur directeur
de la droite .
3. On note le plan contenant les droites et , c'est-à-dire le
plan passant par A et de vecteurs directeurs
a. Montrer que le vecteur
est un vecteur normal au plan
b. En déduire qu'une équation du plan est : c. On rappelle que M ' est le point d'intersection de et
Justifier que M ' est également le point d'intersection de et du plan En déduire que les coordonnées de M ' sont (3 ; 1 ; 1).
4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite . b. Justifier que le point M a pour coordonnées (1; 2; 0). c. Calculer la distance MM'.
5. On considère la droite d de représentation paramétrique a. Montrer que la droite d est parallèle au plan b. On note la distance d'un point n de la droite d au plan
Exprimer le volume du tétraèdre ANMM ' en fonction de On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :
où désigne l'aire de la base et h la hauteur relative
à cette base.
c. Justifier que, si N1 et N2 sont deux points quelconques de la droite
d , les tétraèdres AN1MM ' et AN2MM ' ont le même volume.
2-a) Puisque l'on a que deux types de vélos: vélos de route ou bien vélos tout terrain.
Alors on peut appliquer la formule des probabilités totales:
D'où:
b) On sait que la probabilité que le client loue un vélo électrique est de , donc
On en tire que:
3) On doit calculer la probabilité
On sait que , donc:
En arrondissant au centième, on obtient:
4) Il s'agit de calculer la probabilité
5-a) On a quatre possibilités:
La location d'un vélo de route non électrique coûte cela correspond à l'événement , donc:
La location d'un vélo tout terrain non électrique coûte cela correspond à l'événement , donc:
La location d'un vélo de route électrique coûte cela correspond à l'événement , donc:
La location d'un vélo tout terrain électrique coûte cela correspond à l'événement , donc:
Récapitulation sous forme de tableau:
b) Calculons l'espérance mathématique de .
Interprétation:
6-a) Puisqu'il s'agit d'une répétition de 30 épreuves identiques et indépendantes n'ayant que deux issues (éléctrique ou non), et puisque la probabilité du succès pour une épreuve, c'est-à-dire, le client loue un vélo électrique, est égale à .
Donc:
b) La probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique est:
c) Il s'agit ici de calculer
exercice 2
1) La bonne réponse est la réponse b)
Cliquez pour afficher
En effet, pour tout entier naturel
2) La bonne réponse est la réponse c)
Cliquez pour afficher
Calculons
On a
3) La bonne réponse est la réponse d)
Cliquez pour afficher
A partir de l'instruction , on tire le rang qu'on note correspondant au termes que le programme va renvoyer:
4) La bonne réponse est la réponse b)
Cliquez pour afficher
D'après la représentation graphique de la dérivée , on voit que .
Donc:
5) La bonne réponse est la réponse d)
Cliquez pour afficher
En effet, le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point est:
6) La bonne réponse est la réponse b)
Cliquez pour afficher
On s'aperçoit directement que les réponses a) et d) sont fausses car la condition n'est pas vérifiée.
Ensuite, en faisant un petit calcul mental, on remarque que dériver la fonction de la réponse c) n'aboutit pas au résultat demandé, car on obtiendrait une dérivée qui est un produit d'un polynôme de degré 3 et de la fonction exponentielle.
Calculons la dérivée b) pour s'assurer que c'est bien la bonne réponse:
exercice 3
Partie A
1) Puisque
2) On a:
Or, on sait que
On en déduit que:
3-a) Pour tout réel appartenant à
b) D'après le cours:
Et puisque le signe de est l'opposé de celui de
On en tire que:
Calculons:
Finalement, on dresse le tableau de variations de
c) Résolvons l'équation
Partie B
1) Démontrons par récurrence, que pour tout
Initialisation: Pour
Et puisque
La proposition est vérifiée pour
Hérédité: Supposons que pour un entier naturel donné, on a .
Montrons alors que dans ce cas, on a aussi
Puisque la fonction est une fonction croissante sur , donc:
Or, on sait que:
On obtient donc,
Et la proposition est donc bien héréditaire.
Conclusion: D'après le principe de récurrence:
2-a) On vient de trouver que , pour tout
De plus, on a pour tout
D'après le théorème de la convergence monotone:
b) On a vu que :
est continue sur , donc aussi sur .
.
.
Donc la limite de est solution de l'équation sur .
D'après 4) de la partie A), la seule solution de cette équation sur est qui appratient plus précisement à , d'où:
Partie C
1) Soit un réel quelconque, est une fonction dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc, pour tout
Résolvons l'équation
Par croisance des fonctions
Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction
On en déduit que:
2) Calculons
Conclusion:
exercice 4
1-a) la droite admet une représentation paramétrique :
D'où:
b) Raisonnons par l'absurde et supposons que les droites
Ce qui n'est pas possible puisque , l'hypothèse est donc fausse et on, en tire que:
c) Puisque le point appartient à la droite , alors est l'ensemble des points tels que les vecteurs soient colinéaires.
D'où
On obtient donc une représentation paramétrique de la droite
2) On a:
Le vecteur est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs de et
Donc est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à ces deux droites, qui n'est autre que la droite .
3-a) On a:
Le vecteur est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs de .
On en tire que:
b) Le vecteur est normal à .
Une équation de s'écrit alors sous la forme : .
Or , , d'où :
Donc :
c) On a et . Donc .
De plus, , on conclut alors que:
Donc les coordonnées du point vérifient l'équation de ainsi que la représentation paramétrique de . D'où :
Et on trouve en remplaçant les expressions en de dans l'équation
On en tire les coordonnées du point
4-a) Le vecteur est un vecteur directeur de la droite , de plus , cette droite passe par le point .
Alors une représentation paramétrique de la droite s'écrit :
b) est le point d'intersection de et .
Donc ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de ainsi que celle de . D'où :
On obtient:
En remplaçant dans une des deux représentations paramétriques, on tire les coordonnées du point
c) Calcul direct:
5-a) La droite amdet la représentation paramétrique :
Donc son vecteur directeur est
Calculons le produit scalaire de et , le vecteur normal du plan :
La droite est donc perpendiculaire à la droite dont le vecteur directeur est , cette droite est à son tour perpendiculaire au plan puisque le vecteur est normal à ce dernier.
Conclusion:
b) Les points et appartiennent au même , donc le triangle forme la base du tétraèdre , et son hauteur est .
D'autre part, on sait que .
On en déduit que le triangle est rectangle en .
D'où
On a, d'après ce qui précède,
Donc
Finalement, le volume du tétraèdre vaut donc:
c) et sont deux points quelconques de la droite qui est strictement parallèle au plan
Donc les distances .
Et en sachant que les bases des tétraèdres sont identiques: le triangle .
Donc:
Publié par malou
le
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