Fiche de mathématiques

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Bac Général Epreuve de spécialité 2022

Metropole-remplacement-Jour 2

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : Probabilités

Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :
${\white{w} -$ Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4 ;
${\white{w} -$ Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7 ;
${\white{w} -$ La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.

On appelle alpha

la probabilité que le client loue un vélo de route, avec 0 infegal

1.
On considère les événements suivants :
${\white{w}} \bullet {\white{w}}$ R : « le client loue un vélo de route » ;
${\white{w}} \bullet {\white{w}}$ E : « le client loue un vélo électrique » ;
${\white{w} }\bullet {\white{w}}$ $\overline R$ et $\overline E$ , événements contraires de R et E.

On modélise cette situation aléatoire à l'aide de cet arbre :

Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 1

Si F désigne un événement quelconque, on notera p(F ) la probabilité de F.

1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
2. a. Montrer que p(E ) = 0,7 - 0,3 alpha

.
${\white{wl}}$ b. En déduire que : alpha

= 0,4.

3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.

4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?

5. Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de 25 euros, celui d'un vélo tout terrain non électrique de 35 euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros.
On appelle X la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée.
${\white{wl}}$ a. Donner la loi de probabilité de X. On présentera les résultats sous forme d'un tableau.
${\white{wl}}$ b. Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.

6. Lorsqu'on choisit 30 clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
On rappelle que la probabilité de l'événement E est : p(E ) = 0,58.
${\white{wl}}$ a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
${\white{wl}}$ b. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
${\white{wl}}$ c. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

7 points

exercice 2 : Suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

1. On considère la suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=0,5 a_n + 1 \text{ et } b_n=a_n-2\;.$
On peut affirmer que :
${\white{wl}$ a. $(a_n)$ est arithmétique ;
${\white{wl}$ a. $(b_n)$ est géométrique ;
${\white{wl}$ a. $(a_n)$ est géométrique ;
${\white{wl}$ a. $(b_n)$ est arithmétique.

Dans les questions 2. et 3. , on considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :
$u_0=2, \; v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel } n\;: \left\lbrace\begin{matrix} u_{n+1} & =&u_n&+&3v_n \\ v_{n+1}& =& u_n&+&v_n \end{matrix}\right.$

2. On peut affirmer que :
${\white{wl}$ a. $\left\lbrace\begin{matrix} u_2 & =& 5\\ v_2& = & 3 \end{matrix}\right.$ ;

${\white{wl}$ b. $u_2^2-3v_2²=-2²\;;$

${\white{wl}$ c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$

${\white{wl}$ d. $5u_1=3v_1\;.$

3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :

Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 3

Ce programme renvoie :
${\white{wl}$ a. $u_{11}\text{ et } v_{11}\;;$
${\white{wl}$ b. $u_{10}\text{ et } v_{11}\;;$
${\white{wl}$ c. les valeurs de $u_n \text{ et } v_n$ pour n allant de 1 à 10 ;
${\white{wl}$ d. $u_{10}\text{ et } v_{10}\,.$

Pour les questions 4. et 5. , on considère la fonction f deux fois dérivable sur l'intervalle [-4 ; 2]. On note f ' la fonction dérivée de f et f '' la dérivée seconde de f .
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal C'$ de la fonction dérivée f ' dans un repère du plan. On donne de plus les points A(-2 ; 0) , B(1 ; 0) et C(0 ; 5).

Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 2

4. La fonction f est :
${\white{wl}$ a. concave sur [-2 ; 1];
${\white{wl}$ b. convexe sur [-4 ; 0];
${\white{wl}$ c. convexe sur [-2 ; 1];
${\white{wl}$ d. convexe sur [0 ; 2].

5. On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe $\mathcal C'$ au point B.
On a :
${\white{wl}$ a. $f'(1)< 0\,;$
${\white{wl}$ b. $f'(1)=5\,;$
${\white{wl}$ c. $f''(1) > 0 \,;$
${\white{wl}$ d. $f''(1)=-5\,.$

6. Soit la fonction f définie sur R par $f(x)=(x²+1)\text e ^x\;.$
La primitive F de f sur R telle que $F(0)=1$ est définie par :
${\white{wl}$ a. $F(x)=(x²-2x+3)\text e ^x\;;$
${\white{wl}$ b. $F(x)=(x²-2x+3)\text e ^x - 2\;;$

${\white{wl}$ c. $F(x)=(\frac 1 3 x^3 + x)\text e ^x+1\;;$

${\white{wl}$ d. $F(x)=(\frac 1 3 x^3 + x)\text e ^x\;.$

7 points

exercice 3 : Fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + infini

[ par $f(x)=x-x\ln (x)\;,$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

1. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers 0.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers + infini

.

3. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; + infini

[ et on note f ' sa fonction dérivée.
${\white{wl}}$ a. Démontrer que, pour tout réel x > 0, on a : $f'(x)=-\ln (x)\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire les variations de la fonction f sur ]0; + infini

[ et dresser son tableau de variation.

4. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur ]0; + infini

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite (u_n ) définie par :
$\left\lbrace\begin{matrix} u_0=0,5\\ \text{pour tout entier naturel }n\;, u_{n+1}=u_n-u_n\,\ln (n) \end{matrix}\right.$
Ainsi, pour tout entier naturel n , on a : $u_{n+1}=f(u_n)\;.$

1. On rappelle que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,5 ; 1].
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : $0,5\le u_n\leu_{n+1} \le 1\;.$

2. a. Montrer que la suite (u _n ) est convergente.
${\white{wl}}$ b. On note $\ell$ la limite de la suite (u _n ) . Déterminer la valeur de $\ell$ .

Partie C

Pour un nombre réel k quelconque, on considère la fonction f_k définie sur ]0; + infini

[ par :

$f_k(x)=kx - x\ln (x)$

1. Pour tout nombre réel k, montrer que f_k admet un maximum y_k atteint en x_k= e ^k-1 .

2. Vérifier que, pour tout nombre réel k, on a : x_k = y _k .

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; vecti

), on considère :

${\white{w}} \bullet {\white{w}}$ la droite $\mathscr D$ passant par le point A (2 ; 4 ; 0) et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow u \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\;;$

${\white{w}} \bullet {\white{w}}$ la droite $\mathscr D'$ dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix} x & =&3 & \\ y& =& 3+t &,\;t\in \textbf{ R.} \\ z& =& 3+t & \end{matrix}\right.$

1. a. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow {u'}$ de la droite $\mathscr D'$ .
${\white{wl}}$ b. Montrer que les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ ne sont pas parallèles.
${\white{wl}}$ c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ .

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite deltamaj

perpendiculaire aux droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ . Cette droite deltamaj

coupe chacune des droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ . On appellera M le point d'intersection de deltamaj

et $\mathscr D$ , et M ' le point d'intersection de deltamaj

et $\mathscr D'$ .
On se propose de déterminer la distance MM ' appelée « distance entre les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ ».

2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow v \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite deltamaj

.

3. On note $\mathscr P$ le plan contenant les droites $\mathscr D$ et deltamaj

, c'est-à-dire le plan passant par A et de vecteurs directeurs $\overrightarrow u \text{ et } \overrightarrow v\;.$

${\white{wl}}$ a. Montrer que le vecteur $\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr P \;.$

${\white{wl}}$ b. En déduire qu'une équation du plan $\mathscr P$ est : $2x-y-5z=0\;.$
${\white{wl}}$ c. On rappelle que M ' est le point d'intersection de deltamaj

et $\mathscr D'\;.$ Justifier que M ' est également le point d'intersection de $\mathscr D'$ et du plan $\mathscr P \;.$ ${\white{wl}}$ En déduire que les coordonnées de M ' sont (3 ; 1 ; 1).

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite deltamaj

.
${\white{wl}}$ b. Justifier que le point M a pour coordonnées (1; 2; 0).
${\white{wl}}$ c. Calculer la distance MM'.

5. On considère la droite d de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 5t& \\ y& = & 2+5t& \quad \text{ avec } t\in\textbf{ R.}\\ z& = & 1+t& \end{matrix}\right.$
${\white{wl}}$ a. Montrer que la droite d est parallèle au plan $\mathscr P \;.$
${\white{wl}}$ b. On note $\ell$ la distance d'un point n de la droite d au plan $\mathscr P \;.$ Exprimer le volume du tétraèdre ANMM ' en fonction de $\ell\;.$
${\white{wl}}$ On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\frac 1 3 \times \mathscr B \times h$ où $\mathscr B$ désigne l'aire de la base et h la hauteur relative à cette base.
${\white{wl}}$ c. Justifier que, si N₁ et N₂ sont deux points quelconques de la droite d , les tétraèdres AN₁MM ' et AN₂MM ' ont le même volume.

Voir la correction

exercice 1

1) On complète l'arbre pondéré, on obtient:

Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 5

2-a) Puisque l'on a que deux types de vélos: vélos de route ou bien vélos tout terrain.

Alors on peut appliquer la formule des probabilités totales:

$\begin{matrix}P(E)&=&P(R)\times P_{R}(E)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(E) \\&=&0,4\alpha+0,7(1-\alpha)\\&=& 0,4\alpha-0,7\alpha +0,7 \\&=& 0,7-0,3\alpha\end{matrix}$

D'où: $\boxed{P(E)=0,7-0,3\alpha}$

b) On sait que la probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$ , donc $P(E)=0,58$

On en tire que: $0,7-0,3\alpha=0,58\Rightarrow 0,7-0,58=0,3\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{0,12}{0,3} \Rightarrow \boxed{\alpha=0,4}$

3) On doit calculer la probabilité $P_{E}(\bar{R}) \text{ : }$

On sait que $P(E\cap \bar{R})=P_{E}(\bar{R})\times P(E)$ , donc:

$\begin{matrix} P_{E}(\bar{R})&=&\dfrac{P(E\cap \bar{R})}{P(E)}&=&\dfrac{P_{\bar{R}}(E)\times P(\bar{R})}{P(E)}\\\\&=& \dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58}&=&\dfrac{0,7\times 0,6 }{0,58}\\\\&=&\dfrac{0,42}{0,58}&=& \dfrac{21}{29}\end{matrix}$

En arrondissant au centième, on obtient:

$\boxed{ P_{E}(\bar{R})=\dfrac{21}{29} \approx 0,72}$

4) Il s'agit de calculer la probabilité $P(E\cap \bar{R}) \text{ : }$

$P(E\cap \bar{R})=P_{E}(\bar{R})\times P(E)=\dfrac{21}{29}\times 0,58 \Longrightarrow \boxed{P(E\cap \bar{R})=0,42}$

5-a) On a quatre possibilités:

La location d'un vélo de route non électrique coûte $25\text{ euros, }$ cela correspond à l'événement $R\cap \bar{E}$ , donc:

$P(X=25)=P(R\cap \bar{E})=\alpha\times 0,6=0,4\times 0,6=0,24$

La location d'un vélo tout terrain non électrique coûte $35\text{ euros, }$ cela correspond à l'événement $\bar{R}\cap \bar{E}$ , donc:

$P(X=35)=P(\bar{R}\cap \bar{E})=(1-\alpha)\times 0,3 =(1-0,4)\times 0,3=0,6\times 0,3 =0,18$

La location d'un vélo de route électrique coûte $40\text{ euros, }$ cela correspond à l'événement $R\cap E$ , donc:

$P(X=40)=P(R\cap E)=\alpha\times 0,4 =0,4\times 0,4=0,16$

La location d'un vélo tout terrain électrique coûte $50\text{ euros, }$ cela correspond à l'événement $\bar{R}\cap E$ , donc:

$P(X=50)=P(\bar{R}\cap E) =0,42$

Récapitulation sous forme de tableau:

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \text{ Valeur } x_i&25&35&40&50\\ \hline \text{ Probabilité }P(X=x_i) &0,24&0,18&0,16&0,42 \\ \hline \end{array}$

b) Calculons l'espérance mathématique $\overset{{\white{.}}}{E(X)}$ de $X$ .

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^4 x_i\,p(X=x_i)=25\times 0,24+35\times0,18+40\times0,16+50\times0,42 \Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=39,7}$

Interprétation:

$\boxed{\text{Le coût moyen d'une location de vélo est }39,7\text{ euros}}$

6-a) Puisqu'il s'agit d'une répétition de 30 épreuves identiques et indépendantes n'ayant que deux issues (éléctrique ou non), et puisque la probabilité du succès pour une épreuve, c'est-à-dire, le client loue un vélo électrique, est égale à $P(E)=0,58$ .

Donc:

$\boxed{Y\text{ suit une loi binomiale de paramètres }n = 30 \text{ et }p = 0,58}$

b) La probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique est:

$\displaystyle P(Y=20)={30\choose 20 }\times (0,58)^{20}\times (1-0,58)^{30-20}\Longrightarrow \boxed{P(Y=20)\approx 0,095 }$

c) Il s'agit ici de calculer $P(Y\geq 15)\text{ : }$

$\begin{matrix}P(Y\geq 15)&=&1-P(Y\leq 14)\\&=&1-\displaystyle \sum_{k=1}^{14} P(Y=k) \\&=& 1- \displaystyle \sum_{k=1}^{14} {30\choose k }\times (0,58)^{k}\times (1-0,58)^{30-k}&\Longrightarrow& \boxed{P(Y \geq 15)\approx 0,858}\end{matrix}$

exercice 2

1) La bonne réponse est la réponse b)

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2) La bonne réponse est la réponse c)

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3) La bonne réponse est la réponse d)

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4) La bonne réponse est la réponse b)

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5) La bonne réponse est la réponse d)

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6) La bonne réponse est la réponse b)

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exercice 3

Partie A

1) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x=0\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \text{ , alors : } \boxed{\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0}$

2) On a:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x-x\ln x=\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x(1-\ln x)$

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty \text{ , donc } \displaystyle\lim_{x\to+\infty}1-\ln x=-\infty$

On en déduit que: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x(1-\ln x)=(+\infty)\times (-\infty)\Longrightarrow \boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

3-a) Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[\text{ , on a: }$

$\begin{matrix} f'(x)&=& \left(x-x\ln x)'&=&1-(x'\ln x+x(\ln x)')\\&=& 1-\left(\ln x+x\times\dfrac{1}{x}\right)&=& 1-\ln x -1 \\&=&-\ln x\end{matrix}$

$\boxed{\text{ Pour tout }x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\ln x}$

b) D'après le cours:

$\begin{cases}\bullet \text{Pour tout }x\in]0;1[\text{ : }\ln x<0\\\bullet \enskip \ln 1= 0 \\ \bullet \text{Pour tout }x\in]1;+\infty[\text{ : }\ln x>0\end{cases}$

Et puisque le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $\ln x\text{ , alors: }$

$\begin{cases}\bullet \text{Pour tout }x\in]0;1[\text{ : }f'(x)>0\\\bullet \enskip f'(1)= 0 \\ \bullet \text{Pour tout }x\in]1;+\infty[\text{ : }f'(x)<0\end{cases}$

On en tire que:

$\boxed{\begin{cases} \bullet f\text{ est strictement croissante sur }]0;1[\\ \bullet f\text{ admet un maximum au point d'abscisse } 1 \\ \bullet f\text{ est strictement décroissante sur }]1;+\infty[ \end{cases}}$

Calculons: $f(1)=1-1\times \ln 1 = 1-0=1$

Finalement, on dresse le tableau de variations de $f\text{ : }$

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & \dbarre & & & 1 & & \\ f & \dbarre & &\nearrow& & \searrow & \\ & \dbarre & 0 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}}$

c) Résolvons l'équation $f(x)=x \text{ sur } ]0;+\infty[\text{: }$

$\begin{matrix}\begin{cases} f(x)=x\\\text{ et } \\ x\in]0;+\infty[\end{cases} &\iff& \begin{cases} x-x\ln x=x\\\text{ et } \\ x\in]0;+\infty[\end{cases} &\iff& \begin{cases} -x\ln x=0 \\\text{ et } \\ x\in]0;+\infty[\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} x=0\text{ ou }\ln x=0 \\\text{ et } \\ x\in]0;+\infty[\end{cases} &\iff& \begin{cases} x=0\text{ ou }x=1 \\\text{ et } \\ x\in]0;+\infty[\end{cases} \\\\&\iff& \boxed{x=1 } & &\text{(En effet : }0\notin]0;+\infty[ \text{) }\end{matrix}$

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }f(x)=x\text{ sur }]0;+\infty[\text{ est : }S=\left\lbrace 1 \right\rbrace }$

Partie B

1) Démontrons par récurrence, que pour tout $n\in\N\text{ : }0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1$

Initialisation: Pour $n=0\text{ , on a: }u_0=0,5\text{ , et }u_1=f(u_0)=f(0,5)=0,5-0,5\times \ln 0,5\approx 0,85$

Et puisque $0,5\leq 0,5\leq 0,85\leq 1 \text{ , alors } 0,5\leq u_0\leq u_1\leq 1$

La proposition est vérifiée pour $n=0$

Hérédité: Supposons que pour un entier naturel $n$ donné, on a $0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1$ .

Montrons alors que dans ce cas, on a aussi $0,5\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 1$

Puisque la fonction $f$ est une fonction croissante sur $[0;1]$ , donc:

$0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1\Longrightarrow f(0,5)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(1)$

Or, on sait que: $\begin{cases}\bullet\enskip f(0,5)\approx 0,85\ge 0 \\\bullet \enskip f(u_{n})=u_{n+1} \\\bullet \enskip f(u_{n+1})=u_{n+2} \\\bullet \enskip f(1)=1\end{cases}$

On obtient donc, $0,5\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 1$

Et la proposition est donc bien héréditaire.

Conclusion: D'après le principe de récurrence:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1}$

2-a) On vient de trouver que , pour tout $n\in\N\text{ : }u_{n}\leq u_{n+1} \text{ , donc : }$

$\text{ La suite }(u_n)_{n\in\N}\text{ est une suite croissante }$

De plus, on a pour tout $n\in\N\text{ : }u_{n}\leq 1\text{ , donc : }$

$\text{ La suite }(u_n)_{n\in\N}\text{ est une suite majorée par }1$

D'après le théorème de la convergence monotone:

$\boxed{\text{ La suite }(u_n)_{n\in\N}\text{ est une suite convergente}}$

b) On a vu que :

$f$ est continue sur $]0;+\infty[$ , donc aussi sur $[0,5;1]$ .

$u_0=0,5\in[0,5;1]$ .

$f([0,5;1])=[0,85;1] \subset [0,5;1]$ .

$(u_n)\text{ est convergente }$

Donc la limite $\ell$ de $(u_n)$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur $[0,5;1]$ .

D'après 4) de la partie A), la seule solution de cette équation sur $]0;+\infty[$ est $1$ qui appratient plus précisement à $[0,5;1]$ , d'où:

$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1 }$

Partie C

1) Soit $k$ un réel quelconque, $f_k$ est une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

Donc, pour tout $x>0\text{ : }$

$f'_k(x)=(kx-x\ln x)'=k-\left(\ln x +x\times \dfrac{1}{x}\right)=k-(\ln x+1)=-\ln x+k-1$

Résolvons l'équation $f_k'(x)=0\text{ : }$

$f_k'(x)=0\iff -\ln x+k-1=0\iff \ln x= k-1 \iff x=e^{k-1}\iff x=x_k$

Par croisance des fonctions $\ln\text{ et }\exp\text{ , on obtient: }$

$\bullet \enskip f_k'(x)\geq 0\iff -\ln x+k-1\geq 0\iff \ln x\leq k-1 \iff x\leq e^{k-1}\iff \iff x\leq x_k$

$\bullet \enskip f_k'(x)\leq 0\iff -\ln x+k-1\leq 0\iff \ln x\geq k-1 \iff x\geq e^{k-1}\iff x\geq x_k$

Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction $f_k\text{ : }$

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & x_k=e^{k-1} & & +\infty \\ \hline f_k'(x) & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & \dbarre & & & y_k=f(x_k) & & \\ f_k & \dbarre & &\nearrow& & \searrow & \\ & \dbarre & & & & & \\ \hline \end{array}}$

On en déduit que:

$\boxed{f_k \text{ admet un maximum }y_k=f(x_k) \text{ en }x_k=e^{k-1} }$

2) Calculons $y_k\text{ pour tout réel }k\text{ : }$

$\begin{matrix} y_k&=&f(x_k)&=&f(e^{k-1})\\\\&=& ke^{k-1}-e^{k-1}\ln(e^{k-1}) &=&ke^{k-1}-e^{k-1}\times (k-1) \\\\&=& ke^{k-1}-ke^{k-1}+e^{k-1}&=& e^{k-1}\\\\&=& x_k\end{matrix}$

Conclusion: $\boxed{\text{ Pour tout réel }k\text{ : }y_k=x_k }$

exercice 4

1-a) la droite $\mathscr D'$ admet une représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix} x & =&3 & \\ y& =& 3+t &,\;t\in \R \\ z& =& 3+t & \end{matrix}\right\iff \left\lbrace\begin{matrix} x & =&3+\blue 0\black \times t & \\ y& =& 3+\blue 1\black \times t &,\;t\in \R \\ z& =& 3+\blue 1\black \times t & \end{matrix}\right.$

D'où:

$\boxed{\text{Les coordonnées du vecteur directeur de la droite }\mathscr D'\text{ : } \overrightarrow {u'}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix} }$

b) Raisonnons par l'absurde et supposons que les droites $\mathscr D\text{ et }\mathscr D'\text{ sont parallèles, alors, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, d'où : }$

$\text{Il existe }k\in\R\text{ tel que }\overrightarrow {u}'=k\overrightarrow {u}\iff \text{Il existe }k\in\R\text{ tel que } \begin{cases} 0=k\\1=2k\\1=0\end{cases}$

Ce qui n'est pas possible puisque $1\neq 0$ , l'hypothèse est donc fausse et on, en tire que:

$\boxed{\text{Les droites }\mathscr D\text{ et }\mathscr D'\text{ ne sont pas parallèles }}$

c) Puisque le point $A (2 ; 4 ; 0)$ appartient à la droite $\mathscr D$ , alors $\mathscr D$ est l'ensemble des points $M(x ; y ; z)$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM} \text{ et }\overrightarrow{u}$ soient colinéaires.

D'où $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u} \iff \begin{cases} x-2=t \\y-4=2t \enskip\text{ , }t\in\R \\ z-0=0t \end{cases}$

On obtient donc une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D\text{ : }$

$\boxed{\mathscr D\text{ : }\begin{cases} x=2+t \\y=4+2t \enskip\text{ , }t\in\R \\ z=0 \end{cases}}$

2) On a:

$\overrightarrow{u}\text{.}\overrightarrow{v}=1\times 2 + 2\times (-1)+0\times 1 = 0 \Longrightarrow \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{u}'\text{.}\overrightarrow{v}=0\times 2 + 1\times (-1)+1\times 1 = 0 \Longrightarrow \overrightarrow{u}'\perp \overrightarrow{v}$

Le vecteur $\overrightarrow{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs de $\mathscr D$ et $\mathscr D'$

Donc $\overrightarrow{v}$ est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à ces deux droites, qui n'est autre que la droite $\Delta$ .

$\boxed{\text{Le vecteur }\overrightarrow v \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de la droite }\Delta}$

3-a) On a:

$\overrightarrow{n}\text{.}\overrightarrow{u}=2\times 1 + (-1)\times 2+(-5)\times 0 = 0 \Longrightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{n}\text{.}\overrightarrow{v}=2\times 2 + (-1)\times (-1)+(-5)\times 1 = 0 \Longrightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs de $\mathscr P$ .

On en tire que:

$\boxed{\text{Le vecteur }\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} \text{ est un vecteur normal au plan }\mathscr P}$

b) Le vecteur $\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr P$ .

Une équation de $\mathscr P$ s'écrit alors sous la forme : $2x-y-5z+d=0$ .

Or , $A(2;4;0)\in\mathscr P$ , d'où : $\begin{matrix}2\times 2-4-5\times 0+d=0 &\iff& d=0\end{matrix}$

Donc :

$\boxed{ 2x-y-5z=0 \text{ est une équation cartésienne du plan }\mathscr P }$

c) On a $\Delta \subset \mathscr P$ et $M'\in \Delta$ . Donc $M'\in \mathscr P$ .

De plus, $M'\in \mathscr D'$ , on conclut alors que:

$\boxed{M ' \text{ est un le point d'intersection de } \mathscr D' \text{ et }\mathscr P }}$

Donc les coordonnées du point $M'(x';y';z')$ vérifient l'équation de $\mathscr P$ ainsi que la représentation paramétrique de $\mathscr D'$ . D'où :

$2x'-y'-5z'=0\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \left\lbrace\begin{matrix} x' & =&3 & \\ y'& =& 3+t &,\;t\in \R \\ z'& =& 3+t & \end{matrix}\right.$

Et on trouve $t\in\R$ en remplaçant les expressions en $t$ de $x';y'\text{ et }z'$ dans l'équation $2x'-y'-5z'=0$

$2x'-y'-5z'=0 \iff 2\times 3 -(3+t)-5(3+t)=0\iff 6-3-t-15-5t=0\iff 6t=-12 \iff t=-2$

On en tire les coordonnées du point $M'\text{ : }$

$\left\lbrace\begin{matrix} x' & =&3 & \\ y'& =& 3+t & \\ z'& =& 3+t & \end{matrix}\right\iff \begin{cases} x'=3 \\y'=3-2 \\ z'=3-2 \end{cases}\iff \begin{cases} x'=3 \\y'=1 \\ z'=1 \end{cases}$

$\boxed{\text{Les coordonnées du point }M'(3;1;1)}$

4-a) Le vecteur $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix}\red 2\\ \red -1\\ \red 1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ , de plus , cette droite passe par le point $M'(\blue 3\black;\blue 1\black;\blue 1\black)$ .

Alors une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ s'écrit :

$\Delta \text{ : }\begin{cases} x=\blue 3\black+\red 2\black\times t \\ y=\blue 1\black+\red (-1)\black\times t\\z=\blue 1\black+\red 1\black\times t\end{matrix} \text { , } t\in\R \enskip\enskip\iff \enskip\enskip \boxed{\Delta\text{ : }\begin{cases} x=3+2t \\ y=1-t\\z=1+t\end{cases} \text { , } t\in\R}$

b) $M$ est le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathscr D$ .

Donc ses coordonnées $M(x;y;z)$ vérifient la représentation paramétrique de $\mathscr D$ ainsi que celle de $\Delta$ . D'où :

$\begin{cases} x=3+2t \\ y=1-t\\z=1+t\end{cases} \text { , } t\in\R\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \begin{cases} x=2+t' \\y=4+2t' \enskip\text{ , }t'\in\R \\ z=0 \end{cases}$

On obtient: $\begin{cases}3+2t=2+t' \\ 1-t=4+2t' \\1+t=0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3-2=2+t' \\ 1-(-1)=4+2t' \\ t=-1\end{cases} \iff \begin{cases} t'=-1 \\ 2=4+2t' \\ t=-1\end{cases} \iff t=t'=-1$

En remplaçant dans une des deux représentations paramétriques, on tire les coordonnées du point $M\text{ : }$

$\begin{cases} x=3+2\times(-1) \\ y=1-(-1)\\z=1+(-1)\end{cases} \iff \begin{cases} x=1\\ y=2\\z=0\end{cases}$

$\boxed{\text{Les coordonnées du point }M(1;2;0)}$

c) Calcul direct:

$MM'=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1+1}\Longrightarrow \boxed{MM'=\sqrt{6}}$

5-a) La droite $d$ amdet la représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 5t& \\ y& = & 2+5t& \quad \text{ avec } t\in\R\\ z& = & 1+t& \end{matrix}\right.$

Donc son vecteur directeur est $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}5\\5\\1\end{pmatrix}$

Calculons le produit scalaire de $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{n}$ , le vecteur normal du plan $\mathscr P$ :

$\overrightarrow{n}\text{.}\overrightarrow{w}=2\times 5 + (-1)\times 5+(-5)\times 1 = 10-5-5=0 \Longrightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{w}$

La droite $d$ est donc perpendiculaire à la droite dont le vecteur directeur est $\overrightarrow{n}$ , cette droite est à son tour perpendiculaire au plan $\mathscr P$ puisque le vecteur $\vec{n}$ est normal à ce dernier.

Conclusion:

$\boxed{ d\enskip //\enskip \mathscr P }$

b) Les points $A, M$ et $M'$ appartiennent au même $\mathscr P$ , donc le triangle $AMM'$ forme la base du tétraèdre $ANMM'$ , et son hauteur est $\ell$ .

D'autre part, on sait que $A \in \mathscr D \enskip , \enskip M' \in\Delta \enskip , \enskip M \text{ est le point d'intersection de }\mathscr D\text{ et }\Delta\enskip\text{ et } \mathscr{D}\perp \Delta$ .

On en déduit que le triangle $AMM'$ est rectangle en $M$ .

D'où $\mathscr{B}=\dfrac{1}{2} \text{ . }AM \text{ . }MM'$

On a, d'après ce qui précède, $MM'=\sqrt{6}\text{ , calculons }AM\text{ : }$

$AM=\sqrt{(x_A-x)^2+(y_A-y)^2+(z_A-z)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1+4+0}\Longrightarrow AM=\sqrt{5}$

Donc $\mathscr{B}=\dfrac{1}{2} . AM . MM'=\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\sqrt{6}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$

Finalement, le volume du tétraèdre vaut donc:

$V=\dfrac 1 3 \times \mathscr{B} \times h=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{30}}{2} \times \ell \Longrightarrow \boxed{V=\dfrac{\sqrt{30}}{6} \ell }$

c) $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$ qui est strictement parallèle au plan $\mathscr P$

Donc les distances $d(N_1,\matrhscr P) = d(N_2,\mathscr P)=\ell$ .

Et en sachant que les bases des tétraèdres $AN_1MM' \text{ et }AN_2MM'$ sont identiques: le triangle $AMM'$ .

Donc: $\boxed{\text{ Les tétraèdres }AN_1MM' \text{ et }AN_2MM' \text{ ont le même volume qui n'est autre que }V=\dfrac{\sqrt{30}}{6} \ell }$

Publié par malou le 22-06-2023

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