Fiche de mathématiques
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Bac Général Epreuve de spécialité 2022

Metropole-remplacement-Jour 2

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Durée : 4 heures


L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : Probabilités

Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :
{\white{w} - Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4 ;
{\white{w} - Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7 ;
{\white{w} - La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.

On appelle alpha la probabilité que le client loue un vélo de route, avec 0infegal alphainfegal 1.
On considère les événements suivants :
{\white{w}} \bullet {\white{w}} R : « le client loue un vélo de route » ;
{\white{w}} \bullet {\white{w}} E : « le client loue un vélo électrique » ;
{\white{w} }\bullet {\white{w}} \overline R et \overline E , événements contraires de R et E.

On modélise cette situation aléatoire à l'aide de cet arbre :
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 1

Si F désigne un événement quelconque, on notera p(F ) la probabilité de F.

1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
2. a. Montrer que p(E ) = 0,7 - 0,3alpha.
{\white{wl}} b. En déduire que : alpha = 0,4.

3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.

4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?

5. Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de 25 euros, celui d'un vélo tout terrain non électrique de 35 euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros.
On appelle X la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée.
{\white{wl}} a. Donner la loi de probabilité de X. On présentera les résultats sous forme d'un tableau.
{\white{wl}} b. Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.

6. Lorsqu'on choisit 30 clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
On rappelle que la probabilité de l'événement E est : p(E ) = 0,58.
{\white{wl}} a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
{\white{wl}} b. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
{\white{wl}} c. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

7 points

exercice 2 : Suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.


1. On considère la suites (a_n) et (b_n) définie par a_0=1 et, pour tout entier naturel n, a_{n+1}=0,5 a_n + 1 \text{ et } b_n=a_n-2\;.
On peut affirmer que :
{\white{wl} a. (a_n) est arithmétique ;
{\white{wl} a. (b_n) est géométrique ;
{\white{wl} a. (a_n) est géométrique ;
{\white{wl} a. (b_n) est arithmétique.

Dans les questions 2. et 3. , on considère les suites (u_n) et (v_n) définies par :
u_0=2, \; v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel } n\;: \left\lbrace\begin{matrix} u_{n+1} & =&u_n&+&3v_n \\ v_{n+1}& =& u_n&+&v_n \end{matrix}\right.


2. On peut affirmer que :
{\white{wl} a. \left\lbrace\begin{matrix} u_2 & =& 5\\ v_2& = & 3 \end{matrix}\right. ;

{\white{wl} b. u_2^2-3v_2²=-2²\;;

{\white{wl} c. \dfrac{u_2}{v_2}=1,75

{\white{wl} d. 5u_1=3v_1\;.

3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 3

Ce programme renvoie :
{\white{wl} a. u_{11}\text{ et } v_{11}\;;
{\white{wl} b. u_{10}\text{ et } v_{11}\;;
{\white{wl} c. les valeurs de u_n \text{ et } v_n pour n allant de 1 à 10 ;
{\white{wl} d. u_{10}\text{ et } v_{10}\,.

Pour les questions 4. et 5. , on considère la fonction f deux fois dérivable sur l'intervalle [-4 ; 2]. On note f ' la fonction dérivée de f et f '' la dérivée seconde de f .
On donne ci-dessous la courbe représentative \mathcal C' de la fonction dérivée f ' dans un repère du plan. On donne de plus les points A(-2 ; 0) , B(1 ; 0) et C(0 ; 5).
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 2 : image 2

4. La fonction f est :
{\white{wl} a. concave sur [-2 ; 1];
{\white{wl} b. convexe sur [-4 ; 0];
{\white{wl} c. convexe sur [-2 ; 1];
{\white{wl} d. convexe sur [0 ; 2].

5. On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe \mathcal C' au point B.
On a :
{\white{wl} a. f'(1)< 0\,;
{\white{wl} b. f'(1)=5\,;
{\white{wl} c. f''(1) > 0 \,;
{\white{wl} d. f''(1)=-5\,.

6. Soit la fonction f définie sur R par f(x)=(x²+1)\text e ^x\;.
La primitive F de f sur R telle que F(0)=1 est définie par :
{\white{wl} a. F(x)=(x²-2x+3)\text e ^x\;;
{\white{wl} b. F(x)=(x²-2x+3)\text e ^x - 2\;;

{\white{wl} c. F(x)=(\frac 1 3 x^3 + x)\text e ^x+1\;;

{\white{wl} d. F(x)=(\frac 1 3 x^3 + x)\text e ^x\;.

7 points

exercice 3 : Fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +infini[ par f(x)=x-x\ln (x)\;,\ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

1. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers 0.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +infini.

3. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; +infini[ et on note f ' sa fonction dérivée.
{\white{wl}} a. Démontrer que, pour tout réel x > 0, on a : f'(x)=-\ln (x)\;.
{\white{wl}} b. En déduire les variations de la fonction f sur ]0; +infini[ et dresser son tableau de variation.

4. Résoudre l'équation f(x) = x sur ]0; +infini[.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite (un ) définie par :
\left\lbrace\begin{matrix} u_0=0,5\\ \text{pour tout entier naturel }n\;, u_{n+1}=u_n-u_n\,\ln (n) \end{matrix}\right.

Ainsi, pour tout entier naturel n , on a : u_{n+1}=f(u_n)\;.

1. On rappelle que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,5 ; 1].
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0,5\le u_n\leu_{n+1}\le 1\;.

2. a. Montrer que la suite (u n ) est convergente.
{\white{wl}} b. On note \ell la limite de la suite (u n ) . Déterminer la valeur de \ell.

Partie C

Pour un nombre réel k quelconque, on considère la fonction fk définie sur ]0; +infini[ par :

f_k(x)=kx - x\ln (x)


1. Pour tout nombre réel k, montrer que fk admet un maximum yk atteint en xk= e k-1 .

2. Vérifier que, pour tout nombre réel k, on a : x k = y k .

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; vecti, vectj, vectk), on considère :

{\white{w}} \bullet {\white{w}} la droite \mathscr D passant par le point A (2 ; 4 ; 0) et dont un vecteur directeur est \overrightarrow u \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\;;

{\white{w}} \bullet {\white{w}} la droite \mathscr D' dont une représentation paramétrique est : \left\lbrace\begin{matrix} x & =&3 & \\ y& =& 3+t &,\;t\in \textbf{ R.} \\ z& =& 3+t & \end{matrix}\right.

1. a. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \overrightarrow {u'} de la droite \mathscr D'.
{\white{wl}} b. Montrer que les droites \mathscr D et \mathscr D' ne sont pas parallèles.
{\white{wl}} c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \mathscr D .

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite deltamaj perpendiculaire aux droites \mathscr D et \mathscr D' . Cette droite deltamaj coupe chacune des droites \mathscr D et \mathscr D' . On appellera M le point d'intersection de deltamaj et \mathscr D , et M ' le point d'intersection de deltamaj et \mathscr D' .
On se propose de déterminer la distance MM ' appelée « distance entre les droites \mathscr D et \mathscr D' ».

2. Montrer que le vecteur \overrightarrow v \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite deltamaj.

3. On note \mathscr P le plan contenant les droites \mathscr D et deltamaj, c'est-à-dire le plan passant par A et de vecteurs directeurs \overrightarrow u \text{ et } \overrightarrow v\;.

{\white{wl}} a. Montrer que le vecteur \overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathscr P \;.

{\white{wl}} b. En déduire qu'une équation du plan \mathscr P est : 2x-y-5z=0\;.
{\white{wl}} c. On rappelle que M ' est le point d'intersection de deltamaj et \mathscr D'\;. Justifier que M ' est également le point d'intersection de \mathscr D' et du plan \mathscr P \;. {\white{wl}} En déduire que les coordonnées de M ' sont (3 ; 1 ; 1).

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite deltamaj.
{\white{wl}} b. Justifier que le point M a pour coordonnées (1; 2; 0).
{\white{wl}} c. Calculer la distance MM'.

5. On considère la droite d de représentation paramétrique \left\lbrace\begin{matrix} x & = & 5t& \\ y& = & 2+5t& \quad \text{ avec } t\in\textbf{ R.}\\ z& = & 1+t& \end{matrix}\right.
{\white{wl}} a. Montrer que la droite d est parallèle au plan \mathscr P \;.
{\white{wl}} b. On note \ell la distance d'un point n de la droite d au plan \mathscr P \;. Exprimer le volume du tétraèdre ANMM ' en fonction de \ell\;.
{\white{wl}} On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : V=\frac 1 3 \times \mathscr B \times h\mathscr B désigne l'aire de la base et h la hauteur relative à cette base.
{\white{wl}} c. Justifier que, si N1 et N2 sont deux points quelqconques de la droite d , les tétraèdres AN1MM ' et AN2MM ' ont le même volume.
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