Fiche de mathématiques
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Baccalauréat général

Epreuve de spécialité

Session 2022

Mathématiques Jour 1

Métropole (remplacement)

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Durée : 4 heures


L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : Fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère la fonction g définie sur R par : g(x)=\dfrac{2\text e^x}{\text e^x + 1 }\;.
La courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote en +infini la droite d?équation :
{\white{wl}}a. x = 2 ;
{\white{wl}}b. y = 2 ;
{\white{wl}}c. y = 0 ;
{\white{wl}}d. x = -1 .

2.
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 1 : image 1

{\white{wl}}a. \mathcal C admet un unique point d'inflexion ;
{\white{wl}}b. f est convexe sur l'intervalle [-1 ; 2] ;
{\white{wl}}c. f est convexe sur ]-infini ; -1] et sur [2 ; +infini[ ;
{\white{wl}}d. f est convexe sur R .

3. On donne la suite ( un ) définie par : u0 = 0 et pour tout entier naturel n , u_{n+1} = \frac 1 2 u_n + 1 \;.
La suite ( vn ) définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n - 2\;, est :
{\white{wl}}a. arithmétique de raison -2 ;
{\white{wl}}b. géométrique de raison -2 ;
{\white{wl}}c. arithmétique de raison 1 ;
{\white{wl}}d. géométrique de raison \frac 1 2 .

4. On considère une suite ( un ) telle que, pour tout entier naturel n , on a :
1+\left(\dfrac 1 4 \right) ^n \le u_n \le 2-\dfrac {n}{n+1}

On peut affirmer que la suite ( un ) :
{\white{wl}}a. converge vers 2 ;
{\white{wl}}b. converge vers 1 ;
{\white{wl}}c. diverge vers +infini ;
{\white{wl}}d. n'a pas de limite .

5. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par f(x)=x^2\,\ln (x)\;.
Une primitive F de f sur ]0 ; +infini[ est définie par :
{\white{wl}}a. F(x)=\frac 1 3 x^3\,\left(\ln (x) - \frac 1 3 \right) ;

{\white{wl}}b. F(x)=\frac 1 3 x^3\,\left(\ln (x) - 1\right) ;

{\white{wl}}c. F(x)=\frac 1 3 x^2;

{\white{wl}}d. F(x)=\frac 1 3 x^2\,\left(\ln (x) - 1\right) .

6. Pour tout réel x , l'expression 2+\dfrac{3\text e ^{-x} - 5 }{\text e ^{-x} + 1} est égale à :
{\white{wl}}a. \dfrac{5-3\text e ^{x}}{1+\text e ^{x}} ;

{\white{wl}}b. \dfrac{5+3\text e ^{x}}{1-\text e ^{x}} ;

{\white{wl}}c. \dfrac{5+3\text e ^{x}}{1+\text e ^{x}} ;

{\white{wl}}d. \dfrac{5-3\text e ^{x}}{1-\text e ^{x}} .

7 points

exercice 2 : Probabilités

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60% visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que 6% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} M l'événement : « le client visite le musée » ;
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} G l'événement : « le client visite la grotte ».
On note \overline M l'événement contraire de M, \overline G l'événement contraire de G, et pour tout événement E, on note p ( E ) la probabilité de E.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a : p(\overline M \cap \overline G)=0,06\;.

1. a. Vérifier que p_{\overline M}(\overline G) = 0,2, où p_{\overline M}(\overline G) désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.
{\white{wl}}b. L'arbre pondéré ci-dessous modélise la situation.
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 1 : image 2

{\white{wl}} Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.
{\white{wl}}c. Quelle est la probabilité de l'événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
{\white{wl}}d. Montrer que p(G)=0,66\;.

2. Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?

3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} visite du musée : 12 euros ;
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} visite de la grotte : 5 euros.
On considère la variable aléatoire T qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.
{\white{wl}}a. Donner la loi de probabilité de T. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau.
{\white{wl}}b. Calculer l'espérance mathématique de T.
{\white{wl}}c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à 700 euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.

4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à 12 euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).

5. On choisit au hasard 100 clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ? On donnera une valeur du résultat à 10 -3 près.

7 points

exercice 3 : Fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; +infini[ par f(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}\;, où \ln \; désigne la fonction logarithme népérien.
1. Donner la limite de f en +infini.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [1 ; +infini[ et on note f ' sa fonction dérivée.
{\white{wl}}a. Montrer que, pour tout nombre réel x \ge 1\;, f'(x)=\dfrac{1-\ln (x)}{x^2}\;\;.
{\white{wl}}b. Justifier que le tableau de signes suivant, donnant le signe de f ' ( x ) suivant les valeurs de x.
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 1 : image 3

{\white{wl}}c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Soit k un nombre réel positif ou nul.
{\white{wl}}a. Montrer que, si 0\le k\le \dfrac{1}{\text e}\;, l'équation f(x)=k admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; e].
{\white{wl}}b. Si k > \dfrac{1}{\text e}\;, l'équation f(x)=k admet-elle des solutions sur l'intervalle [1 ; +infini[ ?
{\white{wl}} Justifier.

Partie B

Soit g la fonction définie sur R par : g(x)=\text e ^{\frac x 4 }\;.
On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=\text e ^{\frac{u_n}{4}}


c'est-à-dire : u_{n+1}=g(u_n)\;.

1. Justifier que la fonction g est croissante.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : u_n\le u_{n+1} \le \text e\;.

3. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

On note \ell la limite de la suite (u_n) \;, et on admet que \ell est solution de l'équation :

\text e ^{\frac x 4 }=x\;.


4. En déduire que \ell est solution de l'équation f(x)=\frac 1 4\;, où f est la fonction étudiée dans la partie A.

5. Donner une valeur approchée à 10-2 près de la limite \ell de la suite (u_n)\;.

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O ;\overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\,), on considère les points A(-1 ; -1 ; 3), B(1 ; 1 ; 2), C(1 ; -1 ; 7).
On considère également la droite deltamaj passant par les points D(-1 ; 6 ; 8) et E(11 ; -9 ; 2).

1. a. Vérifier que la droite deltamaj admet pour représentation paramétrique :
\left\lbrace\begin{matrix} x & = & -1+4t& & \\ y& = & 6-5t& \text{avec}&t\in\textbf R\;. \\ z &= & 8-2t & & \end{matrix}\right.

{\white{wl}}b. Préciser une représentation paramétrique de la droite deltamaj' parallèle à deltamaj et passant par l'origine O du repère.
{\white{wl}}c. Le point F ( 1,36 ; -1,7 ; -0,7) appartient-il à la droite deltamaj' ?

2. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
{\white{wl}}b. Montrer que la droite deltamaj est perpendiculaire au plan (ABC).
{\white{wl}}c. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : 4x - 5y - 2z + 5 = 0 .

3. a. Montrer que le point G (7; -4; 4) appartient à la droite deltamaj.
{\white{wl}}b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC).
{\white{wl}}c. En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à 3racine5.

4. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
{\white{wl}}b. Calculer le volume V du tétraèdre ABCG.
On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule V = \frac 1 3 \times B \times h où B est l'aire d'une base et h la hauteur correspondant à cette base.


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7 points

exercice 1:Fonctions, suites

1.  On considère la fonction g  définie sur R par :  g(x)=\dfrac{2\text e^x}{\text e^x + 1 }\;.
{ \white{ W } } La courbe représentative de la fonction g  admet pour asymptote en +infini la droite d'équation : y  = 2.
{ \white{ W } } Réponse : b.

Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}

\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 2\text e^x } { \text e^x + 1 }=\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 2\text e^x } { \text e^x\left(1 + \dfrac{ 1 }{\text e^x } \right)} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 2\text e^x } { \text e^x + 1 } =\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 2 } { 1 + \dfrac{ 1 }{ \text e^x } } } \\ \\ \text{Or }\;\lim\limits_{ x\to+\infty }\text e^x =+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ x\to+\infty } \dfrac{ 1 }{\text e^x } =0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW} \quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ x\to+\infty } \left(1+\dfrac{ 1 }{\text e^x } \right) =1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 2 } { 1 + \dfrac{ 1 }{ \text e^x } } =\dfrac{ 2 }{ 1 } =2 } \\ \\ \text{D'où } \boxed{\lim\limits_{ x\to+\infty } f(x)=2 }

Par conséquent, la courbe représentative de la fonction g  admet pour asymptote en +infini la droite
d'équation : y  = 2.
Donc la réponse b est correcte.

2.
Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 1 : image 5
Montrons que f  est convexe sur ]-infini ; -1] et sur [2 ; +infini[ .

Graphiquement, nous observons que f'' (x ) supegal 0 pour tout x  appartenant à l'intervalle ]-infini ; -1] ainsi que sur l'intervalle [2 ; +infini[ .
Par conséquent, la fonction f  est convexe sur ]-infini ; -1] et sur [2 ; +infini[ .
Donc la réponse c est correcte.

3.  On donne la suite (un ) définie par :  u 0 = 0 et pour tout entier naturel n ,  u_{n+1} = \dfrac 1 2 u_n + 1 \;.
La suite (vn ) définie pour tout entier naturel n  par  \overset{ { \white{ . } } } { v_n = u_n - 2\; }  est géométrique de raison  \dfrac{1}{2}\,.

En effet, pour tout entier naturel n ,

{ \white{ xx } }v_{ n+1 }=u_{ n+1 }-2 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{ n+1 } }=(\dfrac 1 2 u_n + 1)-2} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{ n+1 } }=\dfrac 1 2 u_n - 1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{ n+1 } }=\dfrac 1 2 (u_n - 2) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ v_{ n+1 } }=\dfrac 1 2 v_n } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ v_{ n+1 }= \dfrac 1 2 v_n }
Par conséquent, la suite (vn ) est géométrique de raison  \dfrac{1}{2}\,.
Donc la réponse d est correcte.

4.  On considère une suite (un ) telle que, pour tout entier naturel n  , on a :  \overset{ { \white{ . } } } { 1+\left(\dfrac 1 4 \right) ^n \le u_n \le 2-\dfrac { n }{ n+1 } }
On peut affirmer que la suite (un ) converge vers 1.

En effet,

\bullet{\white{xx} }0<\dfrac 1 4 < 1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ n\to+\infty }\left(\dfrac 1 4\right)^n=0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWwW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{ n\to+\infty }\left[1+\left(\dfrac 1 4\right)^n\right]=1 } }

\bullet{\white{xx} }\lim\limits_{ n\to+\infty }\dfrac{ n }{ n+1 }=\lim\limits_{ n\to+\infty }\dfrac{ n }{ n\left(1+\dfrac{ 1}{ n}\right) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWwWW}= \lim\limits_{ n\to+\infty }\dfrac{ 1 }{ 1+\dfrac{ 1}{ n} } } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWwWW}= \dfrac{ 1 }{ 1+0 }=1 } \\ \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {{\phantom{ xxx } } \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{ n\to+\infty }\left( 2-\dfrac{ n }{ n+1 }\right)=2-1=1 } }

Dès lors, selon le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous déduisons que :

\left\lbrace\begin{matrix} 1+\left(\dfrac 1 4 \right) ^n \le u_n \le 2-\dfrac { n }{ n+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{ n\to+\infty }\left[1+\left(\dfrac 1 4\right)^n\right]=1 }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{ n\to+\infty }\left( 2-\dfrac{ n }{ n+1 }\right)=1 }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{ n\to+\infty }u_n=1 }

Par conséquent, la suite (un ) converge vers 1.
Donc la réponse b est correcte.

5.  Soit f  la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par  f(x)=x^2\,\ln (x)\;.
Une primitive F  de f  sur ]0 ; +infini[ est définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { F(x)=\dfrac 1 3 x^3\,\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right) }

Montrons que pour tout x  dans l'intervalle ]0 ; +infini[,  \overset{ { \white{ . } } } { F'(x)=f(x) }

{ \white{ xx } }F'(x)=\left(\dfrac 1 3 x^3\right)'\times\,\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right) +\dfrac 1 3 x^3\times\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'(x)}= \left(\dfrac 1 3\times 3x^2\right)\times\,\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right) +\dfrac 1 3 x^3\times\left( \dfrac 1 x \right)} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'(x)}= x^2\times\,\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right) +\dfrac 1 3 x^2} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'(x)}= x^2\ln (x) - \dfrac 1 3 x^2 +\dfrac 1 3 x^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F'(x)}= x^2\ln (x) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F'(x)}= f(x)} \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ \forall x\in\;]0\;;\;+\infty\,[\,,\;F'(x)=f(x)}
Par conséquent, une primitive F  de f  sur ]0 ; +infini[ est définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { F(x)=\dfrac 1 3 x^3\,\left(\ln (x) - \dfrac 1 3 \right) }
 Donc la réponse a est correcte.

6.  Pour tout réel x  , l'expression  2+\dfrac{3\text e ^{-x} - 5 }{\text e ^{-x} + 1}  est égale à  \dfrac{5-3\text e ^{x}}{1+\text e ^{x}}\,.

En effet, pour tout réel x  ,

{ \white{ xx } }2+\dfrac{3\text e ^{-x} - 5 }{\text e ^{-x} + 1}=\dfrac{ 2\text e ^{-x} + 2+3\text e ^{-x} - 5 }{\text e ^{-x} + 1} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWwx}= \dfrac{ 5\text e ^{-x} -3 }{\text e ^{-x} + 1} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWwx}= \dfrac{ 5\text e ^{-x}-3\,\text e ^{-x} \text e ^{x} }{\text e ^{-x} + \text e ^{-x} \text e ^{x} } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWwx}= \dfrac{ \text e ^{-x}(5-3 \text e ^{x} ) }{\text e ^{-x}(1 + \text e ^{x} )} }
{ \white{ xx } }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWwx}= \dfrac{ 5-3 \text e ^{x} }{1 + \text e ^{x} } } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ 2+\dfrac{3\text e ^{-x} - 5 }{\text e ^{-x} + 1}= \dfrac{ 5-3 \text e ^{x} }{1 + \text e ^{x} } }

7 points

exercice 2 : Probabilités

Une étude a montré que 70% des clients de l'hôtel visitent le musée.
De plus, parmi les clients visitant le musée, 60% visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que 6% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a :  p(\overline M \cap \overline G)=0,06\;.

1. a)  Nous devons vérifier que  p_{\overline M}(\overline G) = 0,2\;.

Nous savons que  p(M)=0,7  et par suite,  p(\overline{M})=1-p(M)=1-0,7=0,3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline{M})=0,3 }\;.
Dès lors,  p_{\overline M}(\overline G)=\dfrac{ p(\overline M\cap \overline G) } { p(\overline M) }=\dfrac{ 0,06 } { 0,3 }=0,2.

Par conséquent,   \boxed{ p_{\overline M}(\overline G)=0,2 }\;.

1. b)  Arbre pondéré complété.

Bac Général Epreuve de spécialité 2022-Metropole-remplacement-Jour 1 : image 4


1. c)  Nous devons calculer  p(G\cap \overline{M}).

{ \white{ xx } } p(G\cap \overline{M})=p(\overline{M}\cap G) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(G\cap \overline{M})}= p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(G) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(G\cap \overline{M})}= 0,3\times 0,8 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(G\cap \overline{M})}= 0,24 }
Par conséquent, la probabilité que le client visite la grotte et ne visite pas le musée est égale à 0,24.

1. d)  Montrons que  p(G)=0,66.

Les événements  \overset{ { \white{ . } } }{ M }  et  \overline{ M }  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

{ \white{ xx } } p(G)=p(M\cap G)+p(\overline{ M }\cap G) \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(G) }=p(M)\times p_{ M }(G)+0,24} \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(G) }=0,7\times0,6+0,24 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(G) }=0,42+0,24 }
{ \white{ xx } } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(G) }=0,66 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ p(G)=0,66 }

2.  Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée.
Cette affirmation est exacte si  p_G(M)>\dfrac{1}{2}\,.

\text{Or }\;p_G(M)=\dfrac{ p(M\cap G) } { p(G) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;p_G(M) } =\dfrac{ 0,7\times0,6 } { 0,66 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;p_G(M) } =\dfrac{ 0,42 }{ 0,66 } =\dfrac{42 } { 66 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;p_G(M) } =\dfrac{7 } { 11 } } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ p_G(M)=\dfrac{ 7 }{ 11 }>\dfrac{ 1 } { 2 } }

Nous en déduisons donc que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée.
Par conséquent, le responsable de l'hôtel a raison.

3.  Les tarifs pour les visites sont les suivants :
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} visite du musée : 12 euros ;
{\white{wwwwww}}\bullet{\white{ww}} visite de la grotte : 5 euros.
On considère la variable aléatoire T  qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.

3. a)  Les valeurs prises par T  sont : 0 , 5 , 12 et 17.

Nous obtenons ainsi :

{\white{w}}\bullet{\white{ww}}p(T=0)=p(\overline M \cap \overline G)=0,06\;. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { {\phantom{w}}\bullet{\phantom{ ww} }p(T=5)=p(\overline M \cap G)=0,24\;. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { {\phantom{w}}\bullet{\phantom{ ww} }p(T=12)=p(M \cap \overline G)=0,28\;. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { {\phantom{w}}\bullet{\phantom{ ww} }p(T=17)=p(M \cap G)=0,42\;. }

Reprenons ces valeurs dans un tableau.

{\white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccc|ccc|ccc|ccc| } \hline &&&&&&&&&&&&& t_i &&0&&&5&&&12&&&17&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline&&&&&& &&&&&& \\ p(T=t_i)&&0,06&&&0,24& &&0,28&&&0,42&\\&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

3. b)  Nous devons calculer l'espérance mathématique de T .

E(T)=0\times0,06+5\times0,24+12\times0,28+17\times0,42\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ E(T)=11,7 }
Donc l'espérance mathématique de T  est égale à 11,7.

3. c)  Nous venons de montrer que la somme moyenne dépensée par un client de l'hôtel pour les visites est de 11,7 euros.
Soit x  le nombre moyen de clients de l'hôtel par journée.
Nous dévons déterminer x  pour que le montant moyen des recettes des visites soit supérieur à 700 euros par jour.
Résolvons l'inéquation  \overset{ { \white{ . } } } { 11,7x\ge700 }  dans l'ensemble de nombres entiers naturels. 11,7x\ge700\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\dfrac{ 700 }{ 11,7 }\;. \\ \\ \text{Or }\;\dfrac{ 700 }{ 11,7 }\approx59,8.
Le plus petit nombre entier naturel vérifiant cette inéquation est 60.

Par conséquent, pour atteindre l'objectif, le nombre moyen de clients par journée doit au moins être égal à 60.

4.  Soit x  le prix de la visite de la grotte.
On considère la variable aléatoire T'  qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.

Les valeurs prises par T'  sont alors : 0 , x  , 12 et 12+x .

Nous obtenons ainsi le tableau représentant la loi de probabilité de la variable aléatoire T' .

{\white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccc|ccc|ccc|ccc| } \hline &&&&&&&&&&&&& t'_i &&0&&&x&&&12&&&12+x&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline&&&&&& &&&&&& \\ p(T'=t'_i)&&0,06&&&0,24& &&0,28&&&0,42&\\&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

Calculons l'espérance mathématique de T' .

E(T')=0\times0,06+x\times0,24+12\times0,28+(12+x)\times0,42 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(T') }=0,24x+3,36+5,04+0,42x} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(T') }=0,66x+8,4 }

Donc l'espérance mathématique de T'  est égale à 0,66x  + 8,4.

Le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros.
Pour connaître le prix de la visite de la grotte, nous devons résoudre l'équation : 0,66x  + 8,4 = 15.

{ \white{ xx } }0,66x+8,4=15\quad\Longleftrightarrow\quad0,66x=15-8,4 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,66x+8,4=15 }\quad\Longleftrightarrow\quad0,66x=6,6 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,66x+8,4=15 }\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{ 6,6 }{ 0,66 }} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,66x+8,4=15 }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ x=10 }}

Donc afin d'atteindre cet objectif, le prix de la visite de la grotte doit être fixé à 10 euros.

5.  Lors de cette expérience, on répète 100 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « le client a visité la grotte » dont la probabilité est p  = 0,66
Echec : « le client n'a pas visité la grotte » dont la probabilité est 1 - p  = 0,34.
Soit la variable aléatoire X  comptant le nombre de clients ayant visité la grotte parmi les 100 clients choisis, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

La variable aléatoire X  suit alors une loi binomiale  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(100\,;\,0,66) } .

Nous devons déterminer  p(X\ge75).

Par la calculatrice, nous obtenons :

{ \white{ xx } }p(X\ge75)=1-p(X<75) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge75) }=1-p(X\le74) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge75) }\approx1-0,966 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge75) }\approx0,034 } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ p(X\ge75)\approx0,034 }

Par conséquent, la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel est environ égale à 0,034.

7 points

exercice 3 : Fonctions logarithme et exponentielle, suites

Partie A

On considère la fonction f  définie sur l'intervalle [1 ; +infini[ par  f(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}\;.

1.  Nous devons donner la limite de f  en +infini.

\lim\limits_{ x\to +\infty } \dfrac{\ln (x)}{x}=0\quad(\text{par croissances comparées)} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{ x\to +\infty } f(x)=0 }

2.  On admet que la fonction f  est dérivable sur l'intervalle [1 ; +infini[.

2. a)  Pour tout nombre réel x  supegal 1,

f'(x)=\left(\dfrac{\ln (x)}{x}\right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f'(x) }=\dfrac{ [\ln (x)]'\times x-\ln(x)\times x' } { x^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f'(x) }=\dfrac{ \dfrac{ 1 } { x }\times x-\ln(x)\times1 } { x^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f'(x) }=\dfrac{ 1-\ln(x)} { x^2 } } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\ge1,\;f'(x)=\dfrac{ 1-\ln(x)} { x^2 } }

2. b)  Étudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [1 ; +infini[.
Puisque pour tout nombre réel x  supegal 1, x 2 > 0, le signe de f' (x ) est le signe de 1 - ln(x ).

{ \white{ WWW } }\begin{matrix}\text{Pour tout }x\ge1,\\ \\1-\ln(x)=0\Longleftrightarrow \ln(x)=1\\ \phantom{wwwwwi}\Longleftrightarrow x=\text{e}\\ \\1-\ln(x)<0\Longleftrightarrow \ln(x)>1\\ \phantom{wwwwwi}\Longleftrightarrow x>\text{e}\\ \\1-\ln(x)>0\Longleftrightarrow \ln(x)<1\\ \phantom{wwwwwi}\Longleftrightarrow x<\text{e}\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &1&&&\text e&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ 1-\ln(x)&& + && 0 & &- &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\ f'(x)&&+&&0&&-&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}

2. c)  Dressons le tableau de variations de la fonction f .

{ \white{ WWW } }\begin{matrix}f(1)=\dfrac{\ln (1)}{1}=0\phantom{WWW}\\ \\f(\text e)=\dfrac{\ln (\text e)}{\text e}=\dfrac{1}{\text e}\approx0,37\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &1&&&\text e&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ f'(x)&& + && 0 & &- &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&\dfrac{1}{\text e}&&&\\ f(x)&&\nearrow&&&&\searrow&\\&0&&& &&&0\\ \hline \end{array}

3.  Soit k  un nombre réel positif ou nul.

3. a)  Montrons que, si  \overset{ { \white{ . } } } { 0\le k\le \dfrac{1}{\text e}\;, } l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=k }  admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; e].

La fonction f  est continue sur l'intervalle [1 ; e] car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; e]

\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\phantom{ ww }\\f(\text{e})=\dfrac{1}{\text{ e }}\phantom{ ww } \\0\le k\le \dfrac{1}{\text e}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ k\in[\,f(1)\,;\,f(\text e)\,] }
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation  \overset{ { \white{ . } } }{ f(x)=k }  admet une unique solution appartenant à l'intervalle [1 ; e].

3. b)  Supposons que  \overset{ { \white{ . } } } { k>\dfrac{1}{\text{ e }}\;. }
Nous avons montré dans la question 2. c) que la fonction f  admet un maximum en x  = e.
Ce maximum de f  est égal à  \overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{1}{\text e}\;. }
Dès lors, pour tout nombre réel x  supegal 1, nous avons :  f(x)\le\dfrac{1}{\text e}\;.
Il s'ensuit que pour tout nombre réel x  supegal 1,  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)<k.}
Par conséquent, si  \overset{ { \white{ . } } } { k>\dfrac{1}{\text{ e }}\;, } l'équation  \overset{ { \white{ . } } }{ f(x)=k }  n'admet pas de solution sur l'intervalle [1 ; +infini[.

Partie B

Soit g  la fonction définie sur R par :  g(x)=\text e ^{\frac x 4 }\;.
On considère la suite (un ) définie par  \overset{ { \white{ . } } } { u_0=1 }  et, pour tout entier naturel n  :  u_{n+1}=\text e ^{\frac{u_n}{4}} , c'est-à-dire :  u_{n+1}=g(u_n)\;.

1.  Montrons que la fonction g  est croissante.

La fonction g  est dérivable sur R.
Pour tout nombre réel x ,
{ \white{ xx } }g'(x)=(\dfrac x 4)'\times\text e ^{\frac x 4 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)=\dfrac 1 4\,\text e ^{\frac x 4 } }
Or nous savons que l'exponentielle est strictement positive sur R.
Il s'ensuit que pour tout nombre réel x ,  \overset{ { \white{ . } } } {g'(x)>0. }
Nous en déduisons que la fonction g  est croissante sur R.

2.  Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n  , on a :  u_n\le u_{n+1} \le \text e\;.

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{ { \white{ . } } }{ u_0\le u_{1} \le \text e\;. }
C'est une évidence car  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=1\phantom{WWWWWWWW}\\ \overset{ { \white{ . } } } { u_1=\text e^{\frac{ u_0 }{4}}\quad\Longrightarrow\quad u_1=\text e^{\frac{ 1 }{4} } }\end{matrix}\right.
Dès lors,

{ \white{ xx } }0\le\dfrac{ 1 } { 4 }\le1\quad\Longrightarrow\quad \text e^0\le \text e^\frac 1 4 \le \text e^1 \\ \phantom{0\le\dfrac{ 1 } { 4 }\le1} \quad\Longrightarrow\quad1\le \text e^\frac 1 4 \le \text e \\ \phantom{0\le\dfrac{ 1 } { 4 }\le1} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0\le u_1 \le \text e }
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{ { \white{ . } } }{ u_n\le u_{n+1} \le \text e } , alors  \overset{ { \white{ . } } }{ u_{n+1}\le u_{n+2} \le \text e \;. }
En effet, puisque la fonction g  est croissante sur R,  

\forall\,n\in\N,\;u_n\le u_{n+1} \le \text e\quad\Longrightarrow\quad g(u_n)\le g(u_{n+1}) \le g(\text e)\\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{\forall\,n\in\N,\;u_n\le u_{n+1} \le \text e }\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}\le u_{n+2}\le g(\text e) }

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}g(\text e)=\text e^{\frac{\text e}{4}}\\ \\\text e\le4\end{matrix}\right.\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}g(\text e)=\text e^{\frac{\text e}{4}}\\ \\\dfrac{ \text e } { 4 }\le1\end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}g(\text e)=\text e^{\frac{\text e}{4}}\\ \\\text e^{\frac{\text e}{4}}\le\text e^1\end{matrix}\right. \Longrightarrow \quad \boxed{ g(\text e)\le\text e }
D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}\le u_{n+2}\le \text e } }
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que  \overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \forall n\in\N\text{ ; }u_n\le u_{n+1} \le \text e } }\;.

3.  Nous avons montré dans la question précédente que la suite (un ) est croissante et majorée par e.
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite (un ) est convergente.

On note  \ell  la limite de la suite (un ), et on admet que  \ell  est solution de l'équation :  \text e ^{\frac x 4 }=x\;.

4.  Pour tout x  appartenant à l'intervalle [1 ; +infini[,

{ \white{ xx } }\text e ^{\frac x 4 }=x\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x)=\dfrac{ x } { 4 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text e ^{\frac x 4 }=x\ }\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{ \ln(x)} { x } = \dfrac{ 1} { 4 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text e ^{\frac x 4 }=x\ }\quad\Longleftrightarrow\quad f(x) = \dfrac{ 1} { 4 } } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \forall\,x\in[1\;;\;+\infty\,[,\;\quad \text e ^{\frac x 4 }=x \quad\Longleftrightarrow\quad f(x) = \dfrac{ 1} { 4 } }

Par conséquent, affirmer que  \ell  est solution de l'équation :  \text e ^{\frac x 4 }=x  revient à affirmer que  \ell  est solution de l'équation :  f(x) = \dfrac{ 1} { 4 }\,. 

5.  Déterminons une valeur approchée à 10-2 près de la limite  \ell  de la suite (un ).

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { \ell\in[1\;;\;\text e\,]\;. }
Par la calculatrice, nous trouvons :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\ell\approx1,43 }\;. }

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé  (O ;\overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\,) , on considère les points A (-1 ; -1 ; 3), B (1 ; 1 ; 2), C (1 ; -1 ; 7).
On considère également la droite deltamaj passant par les points D (-1 ; 6 ; 8) et E (11 ; -9 ; 2).

1. a)  Déterminons une représentation paramétrique de la droite deltamaj.

La droite deltamaj est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{ DE }  ou un de ses multiples non nuls.

\left\lbrace\begin{matrix}D\,(-1\; ;\; 6\; \;; 8)\\ \overset{ { \white{ . } } } { E\,(11\;;\; -9\;;\; 2) }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ DE }\begin{pmatrix}11-(-1)\\-9-6\\2-8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix} } \\ \\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{ 1 } { 3 }\,\overrightarrow{ DE }\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix} }

Donc la droite deltamaj est dirigée par le vecteur  \overset{ { \white{ . } } }{ \dfrac{ 1 } { 3 }\,\overrightarrow{ DE }\begin{pmatrix}{\red{ 4 } }\\ {\red{ -5 } }\\ {\red{ -2 } }\end{pmatrix} .}

La droite deltamaj  passe par le point  \overset{ { \white{ . } } }{ D({ \blue{ -1 } }\,;\,{ \blue{ 6 } }\,;\,{ \blue{ 8 } }). }
D'où une représentation paramétrique de la droite deltamaj est donnée par : \left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{ -1 } }+{ \red{ 4 } }\times t\\y={ \blue{ 6 } }+{ \red{ (-5) } }\times t\\z={ \blue{ 8 } }+{ \red{ (-2) } }\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R })
soit \overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ \Delta:\left\lbrace\begin{array}l x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R }) } }

1. b)  Les droites deltamaj et deltamaj' étant parallèles, elles possèdent le même vecteur directeur  \overset{ { \white{ . } } }{ \dfrac{ 1 } { 3 }\,\overrightarrow{ DE }\begin{pmatrix}{\red{ 4 } }\\ {\red{ -5 } }\\ {\red{ -2 } }\end{pmatrix} .}
La droite deltamaj'  passe par le point  \overset{ { \white{ . } } }{ O({ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }). }
D'où une représentation paramétrique de la droite deltamaj' est donnée par : \left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{ 0 } }+{ \red{ 4 } }\times t'\\y={ \blue{ 0 } }+{ \red{ (-5) } }\times t'\\z={ \blue{ 0 } }+{ \red{ (-2) } }\times t' \end{array}\ \ \ (t'\in\mathbb{ R })
soit \overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ \Delta':\left\lbrace\begin{array}l x=4t'\\y=-5t'\\z=-2t' \end{array}\ \ \ (t'\in\mathbb{ R }) } }

1. c)  Le point F ( 1,36 ; -1,7 ; -0,7) appartient à la droite deltamaj' si ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de deltamaj'.

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{array}l 1,36=4t'\\-1,7=-5t'\\-0,7=-2t' \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l t'=\dfrac{1,36}{4}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { t'=\dfrac{1,7}{5} }\\ \overset{ { \white{ . } } } {t'=\dfrac{0,7}{2} } \end{array}

{ \white{ WWWWWWWWWW } }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l t'=0,34\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { t'=0,34 }\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {t'=0,35 } \end{array}
ce qui est impossible.

Par conséquent, le point F ( 1,36 ; -1,7 ; -0,7) n'appartient pas à la droite deltamaj'

2. a)  Montrons que les points A , B  et C  ne sont pas alignés.
Montrons donc que les vecteurs   \overrightarrow{ AB } et  \overrightarrow{ AC } ne sont pas colinéaires.

Nous avons : A (-1 ; -1 ; 3), B (1 ; 1 ; 2) et C (1 ; -1 ; 7).

Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } }{ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB }\ \begin{pmatrix}1-(-1)\\1-(-1)\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\ \begin{pmatrix}1-(-1)\\-1-(-1)\\7-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\end{matrix}\right. }

Les vecteurs  \overrightarrow{ AB }  et  \overrightarrow{ AC }  ne sont manifestement pas colinéaires.
D'où les points A , B  et C  ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points A , B  et C  définissent un plan.

2. b)  Un vecteur directeur de la droite deltamaj est le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ u }\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}. }

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ u }\ \begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ u }\cdot\overrightarrow{ AB }=4\times2-5\times2-2\times(-1)\\=8-10+2\phantom{ wWW }\\=0\phantom{ WWWwWwW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWW }\Longrightarrow\quad\boxed{ \overrightarrow{ u }\perp\overrightarrow{ AB } }

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ u }\ \begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ u }\cdot\overrightarrow{ AC }=4\times2-5\times0-2\times4\\=8-8\phantom{ wWW }\\=0\phantom{ WwWwW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWW }\Longrightarrow\quad\boxed{ \overrightarrow{ u }\perp\overrightarrow{ AC } }

Le vecteur  \overrightarrow{ u }  est orthogonal à deux vecteurs  \overrightarrow{ AB }  et  \overrightarrow{ AC }  non colinéaires du plan (ABC ).
Donc le vecteur  \overrightarrow{ u }  est un vecteur normal au plan (ABC ).
Par conséquent, la droite deltamaj est perpendiculaire au plan (ABC ).

2. c)  Déterminons une équation du plan (ABC ).
Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} }   admet une équation cartésienne de la
forme :  ax   + by   + cz   + d   = 0.

Puisque le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ u }\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix} }   est normal au plan (ABC ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC ) est de la forme : 4x - 5y - 2z + d = 0.

Or le point B (1 ; 1 ; 2) appartient au plan (ABC ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 4 - 5 - 4 + d  = 0  , soit d  = 5.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC ) est  \overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ 4x-5y-2z+5=0 }\,. }

3. a)  Montrons que le point G (7 ; -4 ; 4) appartient à la droite deltamaj.
Montrons donc que les coordonnées de G  vérifient la représentation paramétrique de deltamaj.

\left\lbrace\begin{array}l 7=-1+4t\\-4=6-5t\\4=8-2t \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l 4t=8\\5t=10\\2t=4 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l t=2\\t=2\\t=2 \end{array}

D'où il existe un nombre réel t  tel que la représentation paramétrique de deltamaj soit vérifiée par les coordonnées du point G .
Par conséquent, le point G (7 ; -4 ; 4) appartient à la droite deltamaj.

3. b)  Déterminons les coordonnées du point H , projeté orthogonal du point G  sur le plan (ABC ).

Par la définition du point H , nous déduisons que ce point H  appartient à  \overset{ { \white{ . } } } { \Delta\cap (ABC). }

{ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } } Le point H  appartient à deltamaj.
Donc les coordonnées de H  sont de la forme  \overset{ { \white{ . } } }{ (-1+4t\,;\,6-5t\,;\,8-2t). }

{ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } } Le point H  appartient au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC):4x-5y-2z+5=0 } .
Donc ses coordonnées vérifient l'équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 
Nous obtenons ainsi :

4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0\quad\Longleftrightarrow\quad -4+16t-30+25t-16+4t+5=0 \\ \phantom{ 4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad 45t-45=0 \\ \phantom{ 4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad 45t=45 \\ \phantom{ 4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad t=1

Remplaçons t  par 1 dans les coordonnées de H .

(-1+4t\,;\,6-5t\,;\,8-2t)=\left(-1+4\,;\,6-5\,;\,8-2\right) \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ WWWWWWWWWW }=\left(3\,;\,1\,;\,6\right)}
Par conséquent, le point H  a pour coordonnées  \left(3\,;\,1\,;\,6\right)\,.

3. c)  Nous devons calculer la distance du point G  au plan (ABC ).
Cette distance est donnée par GH.

{ \white{ xx } }\overrightarrow{ GH }\ \begin{pmatrix}3-7\\ \overset{ { \white{ . } } }{ 1-(-4) } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ 6-4 }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ 5\\ 2\end{pmatrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad GH=\sqrt{ (-4)^2+5^2+2^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 16+25+4}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 45} =\sqrt{ 9\times 5} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=3\sqrt{ 5} }

Par conséquent, la distance du point G  au plan (ABC ) est égale à  3\sqrt{ 5 }.

4. a)  Nous devons montrer que le triangle ABC  est rectangle en A .

Montrons que  \overrightarrow{ AB }\perp\overrightarrow{ AC }.

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ AB }\ \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ AB }\cdot\overrightarrow{ AC }=2\times2+2\times0+(-1)\times4\\=4-4\phantom{ WWWW } \\=0\phantom{ WWWWWW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWW }\Longrightarrow\boxed{ \overrightarrow{ AB }\perp\overrightarrow{ AC } }

Par conséquent, le triangle ABC  est rectangle en A .

4. b)  Nous devons en déduire le volume  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr V_{ ABCG } }  du tétraèdre ABCG .

Rappelons que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule  \dfrac 1 3 \times \text{ Aire de la base } \times h  où h   est la hauteur relative à la base.

Nous obtenons :  \mathscr V_{ ABCG }=\dfrac 1 3 \times \text{ Aire de }\,ABC \times GH.

\bullet { \white{ w } } Calculons l'aire du triangle ABC .

\left\lbrace\begin{matrix}AB=\sqrt{ 2^2+2^2+(-1)^2 }\\=\sqrt{ 9 }\phantom{ WWWW }\\=3\phantom{ WWiiWW }\\ \\AC=\sqrt{2^2+0^2+4^2 }\\=\sqrt{ 20 }\phantom{ WiW }\\=2\sqrt{ 5 }\phantom{ WWi }\end{matrix}\right.

D'où  \text{ Aire de }\,ABC=\dfrac{ AB\times AC }{ 2 }=\dfrac{ 3\times 2\sqrt{ 5 } }{ 2 }=3\sqrt{ 5 }\,.

\text{ Donc }\;\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Aire de }\,ABC=3\sqrt{ 5 }\\ \\GH=3\sqrt{ 5 }\phantom{ WWW }\end{matrix}\right. \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad\mathscr V_{ ABCG }=\dfrac 1 3 \times 3\sqrt{ 5 }\times 3\sqrt{ 5 }15 \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \mathscr V_{ ABCG }=15\text{ unités de volume } }

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