1. a. Déterminer la forme canonique de P (x). b. En déduire que 2 et -1/2 sont les solutions dans R de l'équation P(x) = 0.
2. On considère l'équation et l'inéquation
a. Montrer que pour tout xR,
b. Résoudre alors dans R, l'équation (E ).
3. Résoudre dans [0 ;2[, l'inéquation (I ).
4 points
exercice 2
On a consigné dans le tableau ci-après, la dépense quotidienne de chacun des 60 élèves d'une classe de 1re D
dont la dépense moyenne est de 450 F CFA.
1. a. Montrer que le couple (x ; y ) de R² vérifie le système :
b. En déduire x et y .
2. On suppose que x = 20 et y = 2. a. Déterminer la variance de cette série statistique. b. Déterminer par interpolation linéaire, la médiane de cette série statistique.
3. On choisit au hasard et simultanément deux élèves de cette classe, parmi ceux dont la dépense quotidienne est inférieure à 300 F CFA,
pour participer à une formation sur l'environnement. Déterminer le nombre de choix possibles que l'on peut faire.
4 points
exercice 3
Soient ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm, D et E les points du plan tels que :
1. Montrer que : a. E est barycentre des points A et D affectés de coefficients que l'on précisera. b. Pour tout point M du plan,
2. Déterminer l'ensemble () des points M du plan tels que :
3. A, B, C, D et E désignent des villes qu'une compagnie aérienne se propose de relier
l'une à toutes les autres.
a. Construire un graphe traduisant cette situation. b. Justifier que ce graphe est simple. c. Ce graphe est-il complet ?
4. Combien de vols "aller simple" doit prévoir cette compagnie ?
3,5 points
exercice 4
Soit f la fonction définie sur [0; +[ par : et (Cf ) sa
courbe représentative dans un repère orthonormé (O; , ) d'unité sur les axes 2 cm.
1. a. Calculer la limite de f en + . b. Calculer f '(x) où f ' est la fonction dérivée de f.
2. a. Dresser le tableau de variations de f sur [0; +[. b. Construire (Cf ).
3. Soient (Un ) et (Vn ) les suites numériques définies respectivement par :
Montrer que pour tout entier naturel n,
4. a. Montrer que (Vn ) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme V0 = 4.
b. Exprimer Vn en fonction de n pour tout entier naturel n. c. En déduire Un en fonction de n.
Partie B : Évaluation des compétences (5 points)
Un fermier voudrait lancer un élevage estimé à 3 000 000 F CFA. Dans la recherche des financements, un ami lui propose de placer les
1 000 000 F CFA représentant la totalité de ses économies dans une microfinance à un taux d'intérêt composé annuel de 15 % ,
pour financer entièrement son projet au bout de 8 ans. Il décide plutôt de placer ses économies dans une banque ALPHA à un taux d'intérêt
annuel inscrit sur les documents de la banque. N'étant pas satisfait, il décide un an après de retirer la totalité de son argent
qu'il place dans une banque BETA, à un taux annuel supérieur de 2 % au précédent. Ayant besoin de tout son argent pour commencer son projet, la banque
BETA lui reverse alors après un an, la somme de 1 123 500 F CFA. Ne disposant pas de bêtes au départ, un partenaire lui donne à crédit, trois
fois de suite et aux mêmes prix, des bêtes dont 60 poussins, 25 pourceaux et 10 chevreaux à 195 000 F CFA au premier tour ;
50 poussins, 20 pourceaux et 30 chevreaux à 2 450 000 F CFA au deuxième tour et enfin 60 poussins, 20 pourceaux et 20 chevreaux à 210 000 F CFA au
troisième tour. Au moment de vérifier ses comptes, il ne retrouve pas tous ses documents financiers.
Tâches : 1. A quel taux le fermier a-t-il placé ses économies dans la banque ALPHA ?
2. Déterminer le prix unitaire de chaque espèce de bête que lui a donné le partenaire.
3. La proposition de son ami pourra-t-elle permettre au fermier de financer entièrement son projet au bout de 8 ans ?
1-a) La forme canonique du polynôme de second degré définie sur par , s'écrit :
b) Déduisons de ce qui précède les solutions réelles de l'équation
L'ensemble des solutions réelles de l'équation est donc :
2-a) Puisque pour tout réel
b) Résolvons l'équation d'inconnu
On a :
Posons
L'ensemble des solutions réelles de l'équation
3)Résolvons l'inéquation sur l'intervalle
On a :
Donc , d'après 1-b) ,
Or , puisque pour tout réel
Donc
Illustration :cercle trigonométrique
Il s'agit de la partie rouge du cercle trigonométrique , en effet , sont exclus car l'inégalité est stricte .
L'ensemble des solutions sur est donc :
exercice 2
1-a) L'effectif total est la somme de tous les effectifs , alors :
D'autre part , la moyenne se calcule par :
De
b) On résoud le système trouvé :
2-a) La variance de la série statistique :
b) L'effectif total étant , alors le numéro de l'élève médian est
Identifions la classe médiane , pour cela , on calcule les effectifs cumulés croissants (ECC) :
Puisque , alors la classe médiane est :
La médiane est donc entre 300F CFA et 500F CFA
La méthode de l'intérpolation linéaire part de l'hypothèse que les élèves se répartissent équitablement dans la classe médiane , autrement dit , que l'écart qui sépare le 30ème élève du 13ème , est proportionnel avec l'écart qui sépare la médiane de 300F CFA .
Donc, par intérpolation linéaire :
3) On choisit au hasard et simultanément élèves de cette classe, parmi ceux dont la dépense quotidienne est inférieure à qui sont .
Donc le nombre de choix possibles que l'on peut faire est :
exercice 3
1-a) On a :
Donc :
b) On a , pour tout point du plan :
De plus :
2) Soit un point de l'ensemble
On en déduit que :
3-a) Construction du graphe :
On commence par contruire les points tels que le triangle est équilatéral de côté 3
Puis, on construit le point qui est le milieu du segment
Enfin , on construit le point tel que :
Et on relie tous les points car chaque ville représentée par un de ces points est reliée à toutes les autres.
On obtient le graphe suivant :
b)Le graphe ne comporte ni de boucles , ni d'arêtes multiples , alors :
c) Deux sommets distincts de ce graphe sont toujours reliés par une arête , donc :
4) Puisqu'on a 5 villes (A,B,C,D et E) , et que chaque ville doit être reliée aux quatre autres, alors le nombre de vols simples que la compagnie aérienne doit prévoir est :
exercice 4
1-a) On a directement :
b) est dérivable sur comme quotient des fonctions dérivables sur cet intervalle et .
Donc, pour tout réel
D'où :
2-a) Puisque pour tout
Donc
Il s'ensuit que :
De plus :
On dresse le tableau de variations de
b) Pour bien construire le graphe , on donne l'équation de la tangente qu'on note à la courbe au point
On a : . En effet :
De plus , on interpète graphiquement le résultat de la question 1-a) :
La courbe
3)On a pour tout entier naturel
4-a) On a :
Et pour tout
Donc :
On en déduit que :
b) On tire de ce qui précède que :
c) Pour tout entier naturel
Conclusion :
Partie B
1) Notons le taux d'intérêt annuel à la banque ALPHA .
Un an après avoir déposé son capital initial de à la banque ALPHA, le fermier retire le montant .
Ce montant est placé dans la banque BETA , à un taux d'intérêt annuel de , et un an après , le fermier obtient après retrait de la banque BETA le nouveau montant de , donc :
On résoud l'équation de second degré obtenue en calculant son discriminant :
L'équation admet deux solutions réels :
Puisqu'il s'agit d'un taux d'intérêt , on ne retient que la solution positive , donc :
2) Notons :
le prix unitaire d'un poussin .
le prix unitaire d'un pourceau .
le prix unitaire d'un chevreau .
On obtient donc le sysème à trois inconnus suivant :
Résolvons ce système :
Conclusion :
3) Puisque la microfinance à un taux d'intérêt composé annuel de .
Alors , on utilise la suite avec , définie par :
En effet , augmenter de revient à multiplier par .
On a pris car le projet sera financé entièrement au bout de 8 ans .
La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme
On a donc , pour tout entier naturel compris entre et
Au bout de la huitième année , la somme générée est :
D'où :
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !