Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : S2-S2A-S4-S5

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Épreuve du 2ème groupe
Durée : 2 heures
Coefficient : 5


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



7 points

exercice 1

Une urne contient trois pièces de 5 francs, cinq pièces de 10 francs et deux pièces de 25 francs . On tire simultanément deux pièces.

On suppose que les tirages sont équiprobables .

Dans chaque énoncé donner en justifiant la bonne réponse .

1. A : "On tire deux pièces de 5 francs" . Alors la probabilité de l'événement A est :

a.\enskip P(A)=\dfrac{9}{15} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(A)=\dfrac{3}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(A)=\dfrac{1}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(A)=\dfrac{2}{15}


2. B : "On tire deux pièces de 10 francs" . Alors :

a.\enskip P(B)=\dfrac{7}{15} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(B)=\dfrac{2}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(B)=\dfrac{4}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(B)=\dfrac{2}{9}


3. C : "On tire une pièce de 10 francs et une pièce de 5 francs" . Alors :

a.\enskip P(C)=\dfrac{4}{15} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(C)=\dfrac{5}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(C)=\dfrac{7}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(C)=\dfrac{9}{15}


4. G : "On tire deux pièces de 25 francs" . Alors :

a.\enskip P(G)=\dfrac{12}{45} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(G)=\dfrac{5}{45}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(G)=\dfrac{7}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(G)=\dfrac{1}{45}


5. D : "La somme des pièces tirées est 30 francs" . Alors :

a.\enskip P(D)=\dfrac{2}{15} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(D)=\dfrac{3}{45}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(D)=\dfrac{7}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(D)=\dfrac{3}{5}


6. E : "La somme des pièces tirées est 35 francs" . Alors :

a.\enskip P(E)=\dfrac{8}{15} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(E)=\dfrac{1}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(E)=\dfrac{2}{9}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(E)=\dfrac{7}{15}


7. F : "La somme des pièces tirées est un multiple de 10 francs" . Alors :

a.\enskip P(F)=\dfrac{4}{9} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip b.\enskip P(F)=\dfrac{21}{45}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip c.\enskip P(F)=\dfrac{2}{15}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip d.\enskip P(F)=\dfrac{1}{15}


3 points

exercice 2

Résoudre dans \C l'équation d'inconnue z \enskip : \enskip z^2-2z+4=0 .

On donnera les solutions sous forme algébrique , puis trigonométrique et ensuite exponentielle .

10 points

exercice 3

Soit la fonction numérique f définie sur \R par f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x^2+1}\enskip , \enskip x <1 \\\\ \dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}\enskip , \enskip x\geq 1 \end{cases}

On désigne par (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) , d'unité graphique 2\text{ cm} .

1.a. Calculer \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) .

1.b. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) .

1.c. Interpréter les résultats précédents en termes d'asymptote .

1.d. Résoudre l'équation f(x)=\dfrac{1}{2} .

2.a. Calculer \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \enskip , \text{ puis }\enskip \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} .

2.b. Interpréter les résultats du 2.a. . f est-elle dérivable en 1 ?

3. Calculer f'(x) et donner son signe :
a. pour x<1
b. pour x>1 .

4. Dresser le tableau de variations de f .

5. Représenter (C_f) et les asymptotes dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .







Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5 -2e groupe

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7 points

exercice 1

Une urne contient trois pièces de 5 francs, cinq pièces de 10 francs et deux pièces de 25 francs. On tire simultanément deux pièces.
On suppose que les tirages sont équiprobables.

L'urne contient donc 10 pièces de monnaies.
Le nombre de possibilités de tirer simultanément 2 pièces parmi les 10 pièces est égal à  \begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}=\dfrac{10\times9}{2}=45.

1.  Soit l'événement A  : "On tire deux pièces de 5 francs".

Le nombre de possibilités de tirer deux pièces de 5 francs parmi les trois pièces de 5 francs est égal à  \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\dfrac{3\times2}{2}=3.
Donc  P(A)=\dfrac{3}{45}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(A)=\dfrac{1}{15}}\,.
La réponse correcte est la réponse c.

2.  Soit l'événement B  : "On tire deux pièces de 10 francs".

Le nombre de possibilités de tirer deux pièces de 10 francs parmi les cinq pièces de 10 francs est égal à  \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\dfrac{5\times4}{2}=10.
Donc  P(B)=\dfrac{10}{45}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(B)=\dfrac{2}{9}}\,.
La réponse correcte est la réponse d.

3.  Soit l'événement C  : "On tire une pièce de 10 francs et une pièce de 5 francs".

Il y a 5 possibilités de tirer une pièce de 10 francs parmi les cinq pièces de 10 francs.
À chacune de ces possibilités, il y a 3 possibilités de tirer une pièce de 5 francs parmi les trois pièces de 5 francs.
Le nombre de possibilités de tirer une pièce de 10 francs et une pièce de 5 francs est égal à  5\times3=15.
Donc  \overset{{\white{.}}}{P(C)=\dfrac{15}{45}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(C)=\dfrac{5}{15}}\,.}
La réponse correcte est la réponse b.

4.  Soit l'événement G  : "On tire deux pièces de 25 francs".

Il y a 1 possibilités de tirer deux pièces de 25 francs parmi les deux pièces de 25 francs.
Donc  \overset{{\white{.}}}{\boxed{P(G)=\dfrac{1}{45}}\,.}
La réponse correcte est la réponse d.

5.  Soit l'événement D  : "La somme des pièces tirées est 30 francs".

Dressons un tableau représentant les différentes sommes des pièces tirées en fonction de la valeur de ces pièces.

{\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&\\ \text{Valeurs des pièces tirées}&5\text{ et }5&5\text{ et }10&5\text{ et }25&10\text{ et }10&10\text{ et }25&25\text{ et }25\\ (\text{en francs)}&&&&&&\\\hline&&&&&&\\\text{Somme des valeurs}&10&15&30&20&35&50\\\text{(en francs)}&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

La somme des pièces tirées est 30 francs ne se retrouve que dans le cas où nous tirons une pièce de 5 francs et une pièce de 25 francs.
Il y a 3 possibilités de tirer une pièce de 5 francs parmi les trois pièces de 5 francs.
À chacune de ces possibilités, il y a 2 possibilités de tirer une pièce de 25 francs parmi les deux pièces de 25 francs.
Le nombre de possibilités de tirer une pièce de 5 francs et une pièce de 25 francs est égal à  2\times3=6.
Donc  \overset{{\white{.}}}{P(D)=\dfrac{6}{45}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(D)=\dfrac{2}{15}}\,.}
La réponse correcte est la réponse a.

6.  Soit l'événement E  : "La somme des pièces tirées est 35 francs".

Selon le tableau représenté dans la question 5, nous observons que la somme des pièces tirées est 35 francs ne se retrouve que dans le cas où nous tirons une pièce de 10 francs et une pièce de 25 francs.
Il y a 5 possibilités de tirer une pièce de 10 francs parmi les cinq pièces de 10 francs.
À chacune de ces possibilités, il y a 2 possibilités de tirer une pièce de 25 francs parmi les deux pièces de 25 francs.
Le nombre de possibilités de tirer une pièce de 10 francs et une pièce de 25 francs est égal à  5\times2=10.
Donc  \overset{{\white{.}}}{P(E)=\dfrac{10}{45}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(E)=\dfrac{2}{9}}\,.}
La réponse correcte est la réponse c.

7.  Soit l'événement F  : "La somme des pièces tirées est un multiple de 10 francs".

Selon le tableau représenté dans la question 5, nous observons que les multiples de 10 francs sont : 10 francs, 20 francs, 30 francs et 50 francs.
"Obtenir une somme de 10 francs" est représenté par l'événement A .
"Obtenir une somme de 20 francs" est représenté par l'événement B .
"Obtenir une somme de 30 francs" est représenté par l'événement D .
"Obtenir une somme de 50 francs" est représenté par l'événement G .

Donc  P(F)=P(A)+P(B)+P(D)+P(G)
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,P(F)}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{45}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\text{Donc }\,P(F)}=\dfrac{3+10+6+1}{45}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Donc }\,P(F)}=\dfrac{20}{45}=\dfrac{4}{9}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(F)=\dfrac{4}{9}}\,.
La réponse correcte est la réponse a.

3 points

exercice 2

Résoudre dans  \C  l'équation d'inconnue  z \enskip : \enskip z^2-2z+4=0 .

Première méthode :

Discriminant :  \Delta=(-2)^2-4\times1\times4=4-16=-12<0.

Solutions :

\bullet\quad z_1=\dfrac{2+\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2+2\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(1+\text{i}\sqrt{3})}{2}=1+\text{i}\sqrt{3} \\\overset{{\white{.}}}{\bullet\quad z_2=\dfrac{2-\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2-2\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(1-\text{i}\sqrt{3})}{2}=1-\text{i}\sqrt{3}}

D'où l'ensemble des solutions de l'équation  z^2-2z+4=0  est  \boxed{S=\lbrace1+\text{i}\sqrt{3}\;;\,1-\text{i}\sqrt{3}\rbrace}\,.

Deuxième méthode :

z^2-2z+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad z^2-2z+1+3=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z^2-2z+4=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z^2-2z+1=-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z^2-2z+4=0}\quad\Longleftrightarrow\quad (z-1)^2=-3}
{\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z^2-2z+4=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-1=\text{i}\,\sqrt{3}\quad\text{ ou }\quad z-1=-\text{i}\,\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z^2-2z+4=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z=1+\text{i}\,\sqrt{3}\quad\text{ ou }\quad z=1-\text{i}\,\sqrt{3}}

D'où l'ensemble des solutions de l'équation  z^2-2z+4=0  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace1+\text{i}\sqrt{3}\;;\,1-\text{i}\sqrt{3}\rbrace}\,.}

Écrivons ces solutions sous forme trigonométrique.

z_1=1+\text{i}\sqrt{3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_1}=2\,\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_1}=2\,\left(\cos(\dfrac{\pi}{3})+\text{i}\sin(\dfrac{\pi}{3})\right)}

z_2=1-\text{i}\sqrt{3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_1}=2\,\left(\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_1}=2\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{3})+\text{i}\sin(-\dfrac{\pi}{3})\right)}

D'où l'ensemble des solutions de l'équation  z^2-2z+4=0  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\left\lbrace2\,\left(\cos(\dfrac{\pi}{3})+\text{i}\sin(\dfrac{\pi}{3})\right)\;;\,2\,\left(\cos(\dfrac{-\pi}{3})+\text{i}\sin(\dfrac{-\pi}{3})\right)\right\rbrace}\,.}

Écrivons ces solutions sous forme exponentielle.

La forme trigonométrique nous indique les modules de z 1 et de z 2 sont égaux à 2.
Des arguments de z 1 et de z 2 sont respectivement  \dfrac{\pi}{3}  et  \left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
Dès lors, l'ensemble des solutions de l'équation  z^2-2z+4=0  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\;;\,2\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\rbrace}\,.}

10 points

exercice 3

Soit la fonction numérique f  définie sur  \R  par  f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x^2+1}\enskip , \enskip x <1 \\\\ \dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}\enskip , \enskip x\geq 1 \end{cases}

1. a)  Nous devons calculer  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}

\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}\,.

1. b)  Nous devons calculer  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\dfrac{1}{2}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}} \\\\\text{Or }\,\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad\text{(croissances comparées)} \\\\\text{Donc }\,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}+0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWi\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\dfrac{1}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}}

1. c)  La courbe  \overset{{\white{.}}}{(C_f)}  admet une asymptote horizontale au voisinage de -infini d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=0}  et une asymptote horizontale au voisinage de +infini d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\dfrac{1}{2}.} 

1. d) Nous devons résoudre l'équation  f(x)=\dfrac{1}{2}.

\bullet  Premier cas : x  < 1.

f(x)=\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{1}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+1=2x} \\\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x+1=0 \\\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2=0
{\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=0} \\\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1

Cette valeur x  = 1 est à rejeter car la condition est : x  < 1.
D'où l'ensemble des solutions de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{1}{2}}  si x  < 1 est  \overset{{\white{.}}}{S_1=\O\,.}

\bullet  Deuxième cas : x  supegal 1.

f(x)=\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\ln x}{x}=0} \\\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=0 \\\phantom{f(x)=\dfrac{1}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1

Cette valeur x  = 1 convient car la condition est : x  supegal 1.
D'où l'ensemble des solutions de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{1}{2}}  si x  supegal 1 est  \overset{{\white{.}}}{S_2=\lbrace1\rbrace\,.}

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation  f(x)=\dfrac{1}{2}  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=S_1\cup S_2=\lbrace1\rbrace}\,.}

2. a)  Calculer \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \enskip , \text{ puis }\enskip \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.}

_\bullet{\white{x}}Calculons \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \enskip}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{1}{2}}{x-1} } \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{\dfrac{2x-x^2-1}{x^2+1}}{x-1}  \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{\dfrac{-(x^2-2x+1)}{x^2+1}}{x-1}  \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{-(x-1)^2}{(x-1)(x^2+1)}
\\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{-(x-1)}{x^2+1} } \\\phantom{WWWWwWW}=0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =0}

_\bullet{\white{x}}Calculons \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \enskip}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}}{x-1} } \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\dfrac{\ln x}{x}}{x-1}  \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\ln x}{x(x-1)}  \\\phantom{WWWWwWW}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\left(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln x}{x-1}\right)

D'une part,  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{{\blue{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{1}{x}=1}}}.
D'autre part, si g  est la fonction définie sur  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\;+\infty[}  par  \overset{{\white{.}}}{g(x)=\ln x,}  alors

\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=g'(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=1\quad\text{car }g'(x)=\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad g'(1)=\dfrac{1}{1}=1} \\\\\Longrightarrow\quad {\blue{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1}}

\text{D'où }\,\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWxW}=1} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1}
2. b)   \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\<\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =0}  signifie que la fonction f  est dérivable à gauche en 1 et  \boxed{f'_g(1)=0}\,.
La courbe représentative (Cf ) admet donc une demi-tangente horizontale à gauche en 1.

 \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 1\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =1}  signifie que la fonction f  est dérivable à droite en 1 et  \boxed{f'_d(1)=1}\,.
La courbe représentative (Cf ) admet donc une demi-tangente à droite en 1 de coefficient directeur égal à 1.

Nous en déduisons que la fonction f  n'est pas dérivable en 1 car  \overset{{\white{.}}}{f'_g(1)\neq f'_d(1).}

3.  Nous devons calculer f' (x ) et donner son signe.

3. a)  pour x  < 1

\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'=\dfrac{x'\times (x^2+1)-x\times(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{1\times (x^2+1)-x\times2x}{(x^2+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,1[\,,\;f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}

Puisque le dénominateur de f' (x ) est strictement positif, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x 2).

Or le tableau de signes de (1 - x 2) sur  \R  est le suivant :

{\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&&&-1&&1&&&\\ &&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&\\1-x^2&&-&0&+&0&-&&\\&&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Donc le tableau de signes de f' (x ) sur  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,1[}  est le suivant :

{\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&&&-1&&1\\ &&&&&\\\hline&&&&&||\\1-x^2&&-&0&+&||\\&&&&&||\\\hline&&&&&||\\f'(x)&&-&0&+&||\\&&&&&||\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. b)  pour x  > 1

\left(\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{2}\right)'=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'+\left(\dfrac{1}{2}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x\times x'}{x^2}+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]1\,;\,+\infty[\,,\;f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}}

Puisque le dénominateur de f' (x ) est strictement positif, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - ln x ).

D'où le signe de f' (x ) pour x  > 1 est donné par :

\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}1-\ln x<0\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x>1\\\phantom{WiWWWi} \Longleftrightarrow\quad x>\text{e}\\1-\ln x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\text{e}\phantom{wv}\\1-\ln x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\text{e}\phantom{wv}\end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&1&&&\text{e}&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& ||&&&&&&\\1-\ln x&||&&+&0&-&&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&&+&0&-&&\\&||&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

4.  Dressons le tableau de variations de f .

{\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|cccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&1&&\text{e}\approx2,7&&&+\infty\\ &&&&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&&&& \\f'(x)&&-&0&+&(0)||(1)&+&0&-&&\\&&&&&||&&&&&\\\hline&0&&&&&&\dfrac{1}{\text{e}}+\dfrac{1}{2}\approx0,87&&&\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\dfrac{1}{2}&\nearrow&&\searrow&& \\&&&-\dfrac{1}{2}&&&&&&&\dfrac{1}{2}\\ \hline \end{array}\end{matrix}

5.  Représentons (Cf ) et les asymptotes dans le repère orthonormé  (O,\vec{i},\vec{j}). 

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5 -2e groupe : image 1
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