Fiche de mathématiques

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Bac 2022 Sénégal

Séries : S1-S1A-S3

Épreuve du 1er groupe
Durée : 4 heures
Coefficient : 8

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

5 points

exercice 1

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 5

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 1

4 points

exercice 2

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 4

11 points

probleme

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 3

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Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3

5 points

exercice 1

Le plan complexe $\mathbb{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct $\overset{{\white{.}}}{(O\,;\,\vec u\,;\,\vec v).}$
On désigne par A le point d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_A=1.}$

1. Soient f l'application du plan dans lui-même définie par $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f=t_{2\,\overrightarrow{OA}}\,\circ\,S_{O}\,\circ\,S_{(OA)}}$ où $\overset{{\white{.}}}{S_{(OA)}}$ est la réflexion d'axe (OA ), $\overset{{\white{.}}}{S_{O}}$ la symétrie centrale de centre O et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ la translation de vecteur $2\,\overrightarrow{OA}.$

1. a) $_\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'écriture complexe de $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}. }$
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}(M)=M'.}$
Par définition de $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ , nous obtenons :

$t_{2\,\overrightarrow{OA}}(M)=M'\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{MM'}=2\,\overrightarrow{OA} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z=2\,z_A} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z=2\quad\quad(\text{car}\,z_A=1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=z+2}}$
D'où, l'écriture complexe de $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ est $\boxed{z'=z+2}\,.$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'expression analytique de $\overset{{\white{.}}}{S_{O}.}$
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que $\overset{{\white{.}}}{S_O(M)=M'.}$
Par définition de $\overset{{\white{.}}}{S_{O}}$ , nous obtenons :

$S_{O}(M)=M'\quad\Longleftrightarrow\quad O\text{ est le milieu de }[MM'] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_{O}(M)=M'}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{x+x'}{2}=0\\\overset{{\phantom{.}}}{\dfrac{y+y'}{2}=0}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_{O}(M)=M'}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+x'=0\\\overset{{\phantom{.}}}{y+y'=0}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_{O}(M)=M'}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=-x\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=-y}\end{matrix}\right.}}$
D'où, l'expression analytique de $\overset{{\white{.}}}{S_{O}}$ est $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=-x\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=-y}\end{matrix}\right.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'expression analytique de $\overset{{\white{.}}}{S_{(OA)}.}$
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que $\overset{{\white{.}}}{S_{(OA)}(M)=M'.}$
Par définition de $\overset{{\white{.}}}{S_{(OA)}}$ , nous obtenons :

$S_{(OA)}(M)=M'\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}OM'=OM\\ (\overrightarrow{OA}\,,\,\overrightarrow{MM'})=\dfrac{\pi}{2}\,[\pi]\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_{(OA)}(M)=M'}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=x\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=-y}\end{matrix}\right.}}$
D'où, l'expression analytique de $\overset{{\white{.}}}{S_{(OA)}}$ est $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=x\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=-y}\end{matrix}\right.}$

1. b) Nous devons en déduire l'expression analytique de f .

A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que $\overset{{\white{.}}}{f(M)=M'}$ où $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f=t_{2\,\overrightarrow{OA}}\,\circ\,S_{O}\,\circ\,S_{(OA)}.}$

Ci-dessous l'évolution des coordonnées (x ; y ) du point M lors des transformations successives du plan :

$\left\lbrace\begin{matrix}x{\red{\quad\underset {S_{(OA)}}{\rightsquigarrow}\quad}} x{\red{\quad\underset {S_{O}}{\rightsquigarrow}\quad}} -x{\red{\quad\underset {t_{2\,\overset{\longrightarrow}{OA}}}{\rightsquigarrow}\quad}}-x+2 \\\\y{\red{\quad\underset {S_{(OA)}}{\rightsquigarrow}\quad}} -y{\red{\quad\underset {S_{O}}{\rightsquigarrow}\quad}} y{\red{\quad\underset {t_{2\,\overset{\longrightarrow}{OA}}}{\rightsquigarrow}\quad}}y\phantom{wwww}\end{matrix}\right.$
D'où, l'expression analytique de $\overset{{\white{.}}}{f}}$ est $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=-x+2\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=y}\phantom{wwwx}\end{matrix}\right.}$

1. c) Montrons que $z'=-\overline{z}+2.$

Nous savons que $\left\lbrace\begin{matrix}x'=-x+2\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=y}\phantom{wwwx}\end{matrix}\right.$
$\text{Donc }\quad z'=x'+\text{i}\,y' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=-x+2+\text{i}\,y} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=-x+\text{i}\,y+2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=-(x-\text{i}\,y)+2}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=-\overline{z}+2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z'=-\overline{z}+2}$

1. d) Montrons que f est une isométrie, soit que f est une transformation qui conserve les longueurs.

Soient M et N deux points distincts du plan tels que $f(M)=M'$ et $f(N)=N'.$
Montrons que $M'N'=MN.$

Par la question précédente, nous savons que : $\left\lbrace\begin{matrix}f(M)=M'\\f(N)=N'\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_{M'}=-\overline{z}_{M}+2\\z_{N'}=-\overline{z}_{N}+2\end{matrix}\right.$
Dès lors,

$M'N'=|\,z_{N'}-z_{M'}\,| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M'N'}=|\,(-\overline{z}_{N}+2)-(-\overline{z}_{M}+2)\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M'N'}=|\,-\overline{z}_{N}+2+\overline{z}_{M}-2\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M'N'}=|\,-\overline{z}_{N}+\overline{z}_{M}\,|}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M'N'}=|\,\overline{z}_{N}-\overline{z}_{M}\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M'N'}=MN} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M'N'=MN}$

Par conséquent, f est une isométrie.

Déterminons l'écriture complexe de la réciproque $f^{-1}.$

$z'=-\overline{z}+2\quad\Longleftrightarrow\quad \overline{z'}=\overline{-\overline{z}+2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}}\quad\Longleftrightarrow\quad \overline{z'}=-\overline{\overline{z}}+2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}}\quad\Longleftrightarrow\quad \overline{z'}=-z+2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}}\quad\Longleftrightarrow\quad z=-\overline{z'}+2$
Nous en déduisons que l'écriture complexe de la réciproque $f^{-1}$ est : $\boxed{z'=-\overline{z}+2}\,.$

1. e) Déterminons l'ensemble E des points invariants par f c'est-à-dire l'ensemble E des points M tels que $f(M)=M.$ .

$f(M)=M\quad\Longleftrightarrow\quad z=-\overline{z}+2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(M)=M}\quad\Longleftrightarrow\quad z+\overline{z}=2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(M)=M}\quad\Longleftrightarrow\quad (x+\text{i}y)+(x-\text{i}y)=2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(M)=M}\quad\Longleftrightarrow\quad 2x=2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(M)=M}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1}}$
D'où l'ensemble E des points invariants par f est la droite (D ) d'équation : $x=1.$

1. f) Nous en déduisons que l'application f est une symétrie orthogonale d'axe (D ) d'équation : $x=1.$

2. On désigne par O' l'image de O par $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}. }$
Soient (D ₁) la droite passant par O et dont un vecteur directeur $\overrightarrow{e_1}$ est tel que $\overset{{\white{.}}}{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{e_1})=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]}$ et (D ₂) la parallèle à (D ₁) passant par O' .

Ci-dessous une représentation graphique des données.

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 6

2. a) Nous devons d'abord déterminer une équation cartésienne de (D ₂).

L'équation réduite de la droite (D ₂), non parallèle à l'axe des ordonnées, est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Calcul du coefficient directeur a

La droite (D ₂) est parallèle à la droite (D ₁).
Les coefficients directeurs de ces deux droites sont donc égaux.
Puisque le repère $\overset{{\white{.}}}{(O\,;\,\vec u\,;\,\vec v)}$ est un repère orthonormal direct, le coefficient directeur de (D ₁) est donné par :
$\overset{{\white{.}}}{\tan(-\dfrac{\pi}{6})=-\tan(\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}.$
Dès lors, $\boxed{a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}}\,.$

$_\bullet{\white{x}}$ Calcul de l'ordonnée à l'origine b

La droite (D ₂) passe par le point O' .
$O\,'=\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}(O)}\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{OO\,'}=2\,\overrightarrow{OA}.$
Par définition du point A, nous savons que ses coordonnées sont : (1 ; 0).
Donc les coordonnées du point O' sont : (2 ; 0).
Puisque la droite (D ₂) passe par le point O', nous en déduisons que les coordonnées de O' vérifient l'équation de (D ₂).
D'où : $0=a\times2+b$ , soit $b=-2a$ , soit $\boxed{b=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\,.$

Par conséquent, une équation cartésienne de (D ₂) est : $\boxed{y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\,.$

Nous devons ensuite déterminer l'ordonnée du point d'abscisse 1 de (D ₂).

Remplaçons x par 1 dans l'équation de (D ₂) et déterminons la valeur de y .

$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

D'où les coordonnées du point omegamaj

d'abscisse 1 sont : $\boxed{\Omega\left(1\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}\,.$

2. b) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f\circ S_{(D_2)}.}$
L'application f est une symétrie orthogonale d'axe (D ) (voir question 1. f).
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{S_{(D_2)}}$ est une réflexion d'axe (D ₂) (par définition).
Les droites (D ₂) et (D ) sont sécantes en omegamaj

.
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f\circ S_{(D_2)}}$ est la composée de deux symétries axiales d'axes sécants en omegamaj

.
Donc $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f\circ S_{(D_2)}}$ est une rotation de centre dont l'angle est le double de l'angle formé par ces droites (D ₂) et (D ).
Or l'angle formé par (D ₂) et (D ) est égal à

$(\overrightarrow{e_1}\,;\,\vec v)=(\overrightarrow{e_1}\,;\,\vec u)+(\overrightarrow{u}\,;\,\vec v) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWiW}=\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)\,[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWiW}=\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}\right)\,[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWiW}=\dfrac{4\pi}{6}\,[\pi]} \\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{e_1}\,;\,\vec v)=\dfrac{2\pi}{3}\,[\pi]}.$

Par conséquent, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{f\circ S_{(D_2)}}$ est une rotation de centre et d'angle $\dfrac{4\pi}{3}.$

2. c) Soit g l'application du plan dans lui-même définie par $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{g=r_{O\,'}\circ t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ où $\overset{{\white{.}}}{r_{O\,'}}$ est la rotation de centre O' et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

2. c) i. Nous savons que la composée d'une translation et d'une rotation, toutes deux distinctes de l'identité du plan est une rotation.
Donc g est une rotation.

2. c) ii. Expression complexe de la rotation $\overset{{\white{.}}}{r_{O\,'}}$

A tout point M d'affixe z , on pose $\overset{{\white{.}}}{M'=g(M)}$ et z' l'affixe de M' .

Nous savons qu'une rotation de centre $\overset{{\white{.}}}{\Omega(\omega)}$ et d'angle theta

qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' peut s'exprimer par la relation $\boxed{z'-\omega=(z-\omega)\,\text{e}^{\text{i}\theta}}\,.$
Or $\overset{{\white{.}}}{r_{O\,'}}$ est la rotation de centre O' d'affixe 2 et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$
Nous obtenons donc :

$\overset{{\white{.}}}{z'-2=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}(z-2)\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2-2\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWiiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2-2\left(\cos(\frac{\pi}{3})+\text{i}\sin(\frac{\pi}{3})\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWiiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2-2\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWiiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2-1-\text{i}\sqrt{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+1-\text{i}\sqrt{3}}$

Expression complexe de la translation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$
Nous avons montré dans l'exercice 1. a) que la translation $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' s'exprime par l'écriture complexe $\boxed{z'=z+2}\,.$

Expression complexe de la composée $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{g=r_{O\,'}\circ t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$
Dans l'expression complexe de la rotation, remplaçons z par (z + 2).
Nous obtenons alors :

$z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}(z+2)+1-\text{i}\sqrt{3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'}=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2\,\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}+1-\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'}=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2\,\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)+1-\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'}=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2\,\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+1-\text{i}\sqrt{3}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'}=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+1+\text{i}\,\sqrt{3}+1-\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'}=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2} \\\\\Longrightarrow\boxed{z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2}$
Par conséquent, l'expression complexe de la composée $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{g=r_{O\,'}\circ t_{2\,\overrightarrow{OA}}}$ est $\boxed{z'=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2}\,.$

Eléments géométriques caractéristiques de g
$_\bullet{\white{x}}$ g est une rotation d'angle $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\pi}{3}.}$
$_\bullet{\white{x}}$ Le centre de la rotation est $\overset{{\white{.}}}{\Omega}$ dont l'affixe $\overset{{\white{.}}}{\omega}$ vérifie la relation : $\omega=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\omega+2.$

$\text{Or : }\,\omega=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\omega+2\quad\Longleftrightarrow\quad \omega-\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\omega=2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \left(1-\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)\omega=2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{2}{1-\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{2}{1-(\cos\frac{\pi}{3}+\text{i}\sin\frac{\pi}{3})}}$
${\white{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{2}{1-(\frac{1}{2}+\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{2}{\frac{1}{2}-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{4}{1-\text{i}\sqrt{3}}}$
${\white{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{4(1+\text{i}\sqrt{3})}{(1-\text{i}\sqrt{3})((1+\text{i}\sqrt{3})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{4(1+\text{i}\sqrt{3})}{1+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\omega=1+\text{i}\sqrt{3}}}$
$_\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, g est une rotation d'angle $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\pi}{3}}$ de centre $\overset{{\white{.}}}{\Omega}$ dont l'affixe est $\omega=1+\text{i}\sqrt{3}}.$

4 points

exercice 2

Partie A

On considère l'équation $\overset{{\white{.}}}{(E):7x-3y=1}$ où x et y sont des entiers relatifs.

1. Nous devons déterminer le réel a tel que le couple (1 , a ) soit solution de (E ).
Exprimons que le couple (1 , a ) est solution de (E ) en remplaçant x par 1 et y par a dans l'équation (E ).

$7\times1-3a=1\quad\Longleftrightarrow\quad -3a=1-7 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7\times1-3a=1}\quad\Longleftrightarrow\quad -3a=-6} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7\times1-3a=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=2}}$

2. Nous devons résoudre (E ) .

Nous savons que (1 ; 2) est solution de l'équation (E ), ce qui est vérifié par 7 multiplie

1 - 3

2 = 7 - 6 = 1.

$\left\lbrace\begin{matrix}7x-3y=1\\7\times1-3\times2=1\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad7(x-1)-3(y-2)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\quad\quad\quad7(x-1)=3(y-2)$

Donc l'entier 3 divise le produit 7(x - 1).
Or 3 et 7 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 3 divise (x - 1).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 1 = 3k , soit $\boxed{x=1+3k}$ .

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}7(x-1)=3(y-2)\phantom{xxxx}\\x=1+3k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}7({\red{x-1}})=3(y-2)\quad\\ {\red{x-1}}=3k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad7\times3k=3(y-2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 7k=y-2 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=2+7k}}$

Donc, il existe un entier relatif k tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3k\\y=2+7k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple (1 + 3k ; 2 + 7k ) est solution de (E ) pour tout entier relatif k .
En effet, $\overset{{\white{.}}}{7(1+3k)-3(2+7k)=7+21k-6-21k=1.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(1+3k\,;\,2+7k)\,/\,k\in\N\rbrace}}$

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n ; m ) d'entiers naturels non nuls solutions de l'équation : $\overset{{\white{.}}}{(F):\,7^n-3\times2^m=1.}$

1. Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).

Nous obtenons alors : $7^n-3\times2^m=1\quad\Longleftrightarrow\quad {\blue{7\times7^{n-1}-3\times2^m=1}}.$
Il s'ensuit que le couple $(7^{n-1}\,;\,2^m)$ est une solution de l'équation (E ) (voir Partie A).
D'où    $\overset{{\white{.}}}{(7^{n-1}\,;\,2^m)\in S}$ où $\overset{{\white{.}}}{S=\lbrace(1+3k\,;\,2+7k)\,/\,k\in\N\rbrace.}$

Par conséquent, si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors il existe un entier naturel k tel que : $\overset{{\white{.}}}{(7^{n-1}\,;\,2^m)=(1+3k\,;\,2+7k)}$ , soit tel que : $7^{n-1}=1+3k$ et $2^m=2+7k.$

2. Supposons que :   $\overset{{\white{.}}}{m\le4.}$

$_\bullet{\white{x}}$ 1^er cas : m = 1
L'équation (F ) devient :
$\overset{{\white{.}}}{7^n-3\times2^1=1\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-3\times2=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-6=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=7}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=7^1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longrightarrow\quad n=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(n\,;\,m)=(1\,;1)}$

$_\bullet{\white{x}}$ 2^ième cas : m = 2
L'équation (F ) devient :
$\overset{{\white{.}}}{7^n-3\times2^2=1\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-3\times4=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-12=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=13}$
${\wite{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(7^n)=\ln(13)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(7)=\ln(13)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad n=\dfrac{\ln(13)}{\ln(7)}\approx1,318\,{\red{\notin\N^*}}}$
Dans ce cas, l'équation (F ) n'admet pas de solution.

$_\bullet{\white{x}}$ 3^ième cas : m = 3
L'équation (F ) devient :
$\overset{{\white{.}}}{7^n-3\times2^3=1\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-3\times8=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-24=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=25}$
${\wite{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(7^n)=\ln(25)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(7)=\ln(25)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad n=\dfrac{\ln(25)}{\ln(7)}\approx1,654\,{\red{\notin\N^*}}}$
Dans ce cas, l'équation (F ) n'admet pas de solution.

$_\bullet{\white{x}}$ 4^ième cas : m = 4
L'équation (F ) devient :
$\overset{{\white{.}}}{7^n-3\times2^4=1\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-3\times16=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-48=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=49}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n=7^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longrightarrow\quad n=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(n\,;\,m)=(2\,;4)}$

Par conséquent, si $\overset{{\white{.}}}{m\le4}$ , alors l'équation (F ) possède exactement deux couples solutions : (1 ; 1) et (2 ; 4).

3. On suppose maintenant $\overset{{\white{.}}}{m\ge5.}$

3. a) Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).

$\overset{{\white{.}}}{7^n-3\times2^m=1\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n-1=3\times2^m} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^n-3\times2^1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n\equiv 1\,[3\times2^m]}$

$\text{Or }\,m\ge5\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,m=5+p \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=2^{5+p}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=2^{5}\times2^p} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=32\times2^p}$

$\overset{{\white{.}}}{\text{D'où }\,7^n\equiv 1\,[3\times2^m]\quad\Longleftrightarrow\quad 7^n\equiv 1\,[3\times32\times2^p]\quad(p\in\N)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,7^n-3\times2^1=1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{7^n\equiv 1\,[32]}}$

$\text{De plus, }\,m\ge5\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,m=5+p \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{De plus, }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=2^{5+p}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{De plus, }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=2^{5}\times2^p} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{De plus }\,m\ge5}\quad\Longrightarrow\quad \exists\,p\in\N,\,2^m=32\times2^p} \\\\\Longrightarrow\boxed{2^m\equiv0\,[32]}$

3. b) Tableau complété.

$\begin{matrix}7^1=7=0\times32+{\red{7}}\phantom{xxxxi}\\7^2=49=1\times32+{\red{17}}\phantom{xxx} \\7^3=343=10\times32+{\red{23}}\phantom{x}\\7^4=2401=75\times32+{\red{1}}\phantom{x}\\7^5=16800=525\times32+{\red{7}} \end{matrix} {\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix}\begin{array}{|c|c|c|c||>{\columncolor{green}}c|c|}\hline &&&&&\\n \text{ est égal à}&1&2&3&4&5\\&&&&&\\\hline&&&&& \\7^n&\equiv{\red{7}}\,[32]&\equiv{\red{17}}\,[32]&\equiv{\red{23}}\,[32]&\equiv{\red{1}}\,[32]&\equiv{\red{7}}\,[32]\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. c) Nous avons montré dans la question 3. a) que si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors $\overset{{\white{.}}}{7^n\equiv 1\,[32].}$
Avec l'aide du tableau, nous pouvons déduire que n doit être un multiple de 4.

3. d) Nous venons de montrer que si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors n doit être un multiple de 4 et par suite, il existe un entier naturel p tel que $\overset{{\white{.}}}{n=4p}.$
Or $7^4\equiv1\,[5]\quad\text{car }7^4=2401=480\times5+1.$

Il s'ensuit que :

$7^4\equiv1\,[5]\quad\Longrightarrow\quad 7^{4p}\equiv1\,[5] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{7^4\equiv1\,[5]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{7^{n}\equiv1\,[5]}}$

3. e) Soit :   $\overset{{\white{.}}}{m\ge5.}$
Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).

Par la question précédente, nous savons que $\overset{{\white{.}}}{7^n\equiv1\,[5].}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\,7^n-3\times2^m=1\\\overset{{\white{.}}}{7^n\equiv 1\,[5]}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\,7^n-1=3\times2^m\\\overset{{\white{.}}}{7^n-1\equiv 0\,[5]}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{3\times2^m\equiv 0\,[5]}$
Or tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers.
De plus 2 et 3 sont premiers et la décomposition $3\times2^m$ ne contient pas le facteur premier 5.
Donc $\overset{{\white{.}}}{3\times2^m}$ n'est pas un multiple de 5 et il est impossible d'avoir la relation $\overset{{\white{.}}}{3\times2^m\equiv 0\,[5].}$
Par conséquent, si $\overset{{\white{.}}}{m\ge5}$ , alors il n'existe pas de couple (n ; m ) d'entiers non nuls solution de (F ).

4. Par la question 2., nous savons que si $\overset{{\white{.}}}{m\le4}$ , alors l'équation (F ) possède exactement deux couples solutions : (1 ; 1) et (2 ; 4).

Par la question 3. e), nous savons que si $\overset{{\white{.}}}{m\ge5}$ , alors il n'existe pas de couple (n ; m ) d'entiers non nuls solution de (F ).

Donc l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls qui sont solutions de (F ) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(1\,;\,1)\,;(2\, ;\, 4)\rbrace}}$

11 points

probleme

Partie A

Soit a un réel strictement positif. On désigne par $\overset{{\white{.}}}{g_a}$   une fonction dérivable et strictement positive sur $\R$ de fonction dérivée $\overset{{\white{.}}}{g'_a}$ vérifiant les propriétés suivantes :

${\white{x}}_\bullet{\white{x}}$ (P₁) Pour tout nombre réel x , $\left(\overset{}{g'_a(x)}\right)^2-a^2\left(\overset{}{g_a(x)}\right)^2=-1\,;$

${\white{x}}_\bullet{\white{x}}$ (P₂)    $g'_a(0)=0\,;$

${\white{x}}_\bullet{\white{x}}$ (P₃)    $g'_a$ est dérivable et strictement croissante sur $\R.$

1. On suppose qu'il existe une fonction $\overset{{\white{.}}}{g_a}$ vérifiant les propriétés (P₁), (P₂) et (P₃).

1. a) Nous devons calculer $g_a(0).$

En utilisant les propositions (P₁) et (P₂), nous obtenons :

$\left(\overset{}{g'_a(0)}\right)^2-a^2\left(\overset{}{g_a(0)}\right)^2=-1\quad\Longleftrightarrow\quad 0^2-a^2\left(\overset{}{g_a(0)}\right)^2=-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad a^2\left(\overset{}{g_a(0)}\right)^2=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \left(\overset{}{g_a(0)}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}}$

Or a est un réel strictement positif et $\overset{{\white{.}}}{g_a}$   est une fonction strictement positive sur $\R.$

D'où $\left(\overset{}{g_a(0)}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g_a(0)=\dfrac{1}{a}}$

1. b) Nous savons par l'énoncé que $g'_a$ est strictement croissante sur $\R.$
D'où pour tout nombre réel x , $\overset{{\white{.}}}{x\neq0\quad\Longrightarrow\quad g'_a(x)\neq g'_a(0)}$ .
Or par (P₂), nous savons que $\overset{{\white{.}}}{g'_a(0)=0.}$
Par conséquent, pour tout nombre réel x non nul, $\boxed{g'_a(x)\neq 0}\,.$

1. c) Montrons que pour tout réel x non nul, $\overset{{\white{.}}}{g''_a(x)=a^2\,g_a(x).}$

Par (P₁), nous savons que pour tout nombre réel x , $\left(\overset{}{g'_a(x)}\right)^2-a^2\left(\overset{}{g_a(x)}\right)^2=-1\,;$
Dérivons les deux membres de cette égalité.

$\overset{{\white{.}}}{2\,g''_a(x)\,g'_a(x)-a^2\times2\,g'_a(x)\,g_a(x)=0}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{2\,g'_a(x)\left(\overset{}{g''_a(x)-a^2\,g_a(x)}\right)=0}$
En divisant les deux membres par $\overset{{\white{.}}}{2\,g'_a(x)\neq0}$ , nous obtenons : $g''_a(x)-a^2\,g_a(x)=0$ ,
soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{g''_a(x)=a^2\,g_a(x)}}$

1. d) Nous devons en déduire que pour tout réel x , $g_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}$

Nous savons par la question précédente que pour tout réel x non nul, $\overset{{\white{.}}}{g''_a(x)=a^2\,g_a(x).}$

Donc $\overset{{\white{.}}}{g_a}$ est solution de l'équation différentielle : $\overset{{\white{.}}}{y''=a^2y}$ , soit l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{y''-a^2y=0\quad\quad(1).}$
À cette équation différentielle (1), nous associons l'équation caractéristique $\overset{{\white{.}}}{r^2-a^2=0\quad\quad(2)}$

Résolvons cette équation caractéristique.

$\overset{{\white{.}}}{r^2-a^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad (r-a)(r+a)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{r^2-a^2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad r-a=0\quad\text{ou}\quad r+a=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{r^2-a^2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{r=a\quad\text{ou}\quad r=-a}}$

Puisque l'équation (2) admet deux racines réelles distinctes $\overset{{\white{.}}}{r_1=a}$ et $\overset{{\white{.}}}{r_2=-a}$ , les solutions de l'équation (1) s'écrivent sous la forme : $\overset{{\white{.}}}{g_a(x)=\alpha\,\text{e}^{r_1x}+\beta\,\text{e}^{r_2x}}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{g_a(x)=\alpha\,\text{e}^{ax}+\beta\,\text{e}^{-ax}\quad\quad(\alpha\in\R\,,\beta\in\R)}}$

$_\bullet{\white{x}}$ D'une part, ${\white{x}}g_a(0)=\dfrac{1}{a}\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\,\text{e}^{0}+\beta\,\text{e}^{0}=\dfrac{1}{a}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha+\beta=\dfrac{1}{a}}$
$_\bullet{\white{x}}$ D'autre part, $g'_a(x)=\alpha\, a\,\text{e}^{ax}-\beta\,a\,\text{e}^{-ax}\quad\Longrightarrow\quad {\blue{g'_a(x)=a(\alpha\,\text{e}^{ax}-\beta\,\text{e}^{-ax})}}$

$g'_a(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a(\alpha\,\text{e}^{0}-\beta\,\text{e}^{0})=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'_a(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\,\text{e}^{0}-\beta\,\text{e}^{0}=0\quad(\text{car }a\neq0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'_a(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha-\beta=0}}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\alpha+\beta=\dfrac{1}{a}\quad(3)\\\overset{{\white{.}}}{\alpha-\beta=0\quad(4)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}(3)+(4):2\alpha=\dfrac{1}{a} \\\overset{{\white{.}}}{(3)-(4):2\beta=\dfrac{1}{a}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha=\dfrac{1}{2a}\\\overset{{\white{.}}}{\beta=\dfrac{1}{2a}}\end{matrix}\right.$

D'où, pour tout réel x non nul, $g_a(x)=\dfrac{1}{2a}\,\text{e}^{ax}+\dfrac{1}{2a}\,\text{e}^{-ax}$ , soit $g_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}$

Montrons que cette expression de $\overset{{\white{.}}}{g_a(x)}$ vérifie l'égalité $g_a(0)=\dfrac{1}{a}$ démontrée dans la question 1 - Partie A.
En effet, $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\text{e}^{0}+\text{e}^{0}}{2a}=\dfrac{1+1}{2a}=\dfrac{2}{2a}=\dfrac{1}{a}.}$

Par conséquent, pour tout réel x , $\boxed{g_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}}$

2. Nous devons d'abord montrer que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_a}$ définie par $g_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}$ (a > 0), soit par $g_a(x)=\dfrac{1}{2a}\,\text{e}^{ax}+\dfrac{1}{2a}\,\text{e}^{-ax}$ (a > 0) est une fonction dérivable et strictement positive sur $\R$

C'est évident car la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_a}$ est la somme de deux fonctions dérivables et strictement positives sur $\R.$

Nous devons ensuite montrer que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_a}$ définie par $g_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}$ (a > 0) vérifie les propriétés (P₁), (P₂) et (P₃).

$_\bullet{\white{x}}$ Vérifions la propriété (P₁).
Pour tout nombre réel x ,
$\overset{{\white{.}}}{g'_a(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)'\quad\Longleftrightarrow\quad g'_a(x)=\dfrac{a\,\text{e}^{ax}-a\,\text{e}^{-ax}}{2a}} \\\phantom{WWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad g'_a(x)=\dfrac{a\,(\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax})}{2a} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{g'_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}}{2}}}$

$\left(\overset{}{g'_a(x)}\right)^2-a^2\left(\overset{}{g_a(x)}\right)^2=\left(\dfrac{\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}}{2}\right)^2-a^2\,\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWiW}=\dfrac{(\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax})^2}{4}-a^2\,\dfrac{(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax})^2}{4a^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWiW}=\dfrac{(\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax})^2}{4}-\dfrac{(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax})^2}{4}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWiW}=\dfrac{(\text{e}^{2ax}-2+\text{e}^{-2ax})-(\text{e}^{2ax}+2+\text{e}^{-2ax})}{4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWiW}=\dfrac{\text{e}^{2ax}-2+\text{e}^{-2ax}-\text{e}^{2ax}-2-\text{e}^{-2ax}}{4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWiW}=\dfrac{-4}{4}=-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\, \left(\overset{}{g'_a(x)}\right)^2-a^2\left(\overset{}{g_a(x)}\right)^2=-1}$
Donc la propriété (P₁) est vraie.

$_\bullet{\white{x}}$ Vérifions la propriété (P₂).
$g'_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}}{2}\quad\Longrightarrow\quad g'_a(0)=\dfrac{\text{e}^{0}-\text{e}^{0}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'_a(0)=0}$
Donc la propriété (P₂) est vraie.

$_\bullet{\white{x}}$ Vérifions la propriété (P₃).
Nous devons d'abord montrer que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g'_a}$ définie par $g'_a(x)=\dfrac{\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}}{2}$ (a > 0), soit par $g'_a(x)=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{ax}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-ax}$ (a > 0) est une fonction dérivable sur $\R$
C'est évident car la fonction $\overset{{\white{.}}}{g'_a}$ est la somme (différence) de deux fonctions dérivables sur $\R.$

Nous devons ensuite montrer que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g'_a}$ est strictement croissante sur $\R.$
$\overset{{\white{.}}}{g''_a(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}}{2}\right)'\quad\Longleftrightarrow\quad g''_a(x)=\dfrac{a\,\text{e}^{ax}+a\,\text{e}^{-ax}}{2}} \\\phantom{WWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{g''_a(x)=\dfrac{a}{2}\,(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax})}.$

Or, pour tout x réel,

$\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{a}{2}>0\\\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{ax}>0} \\\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{-ax}>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{a}{2}\,(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax})>0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g''_a(x)>0}$
Par conséquent, la fonction $\overset{{\white{.}}}{g'_a}$ est strictement croissante sur $\R.$
Donc la propriété (P₃) est vraie.

Partie B

Soient a un réel strictement positif, f_a la fonction définie sur $\R$ par : $\overset{{\white{.}}}{f_a(x)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(C_a)}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\,;\vec i,\vec j).$

1. $_\bullet{\white{x}}$ Étudions la parité de la fonction f_a .
En effet, pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in\R,\,-x\in\R}$ et $f_a(-x)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{a(-x)}+\text{e}^{-a(-x)}}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{-ax}+\text{e}^{ax}}{2a}\right)=f_a(x)$
soit $\boxed{f_a(-x)=f_a(x)}$
D'où la fonction f_a est paire.

$_\bullet{\white{x}}$ Étudions les variations de la fonction f_a .

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\quad\underset{(X=ax)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{ax\to+\infty}\text{e}^{ax}=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{ax}=+\infty \\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\quad\underset{(X=-ax)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{-ax\to-\infty}\text{e}^{-ax}=0\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-ax}=0\end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{ax}=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-ax}=0\\a>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}=+\infty$

$\text{et }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln (X)=+\infty\end{matrix}\right. \quad\underset{(X=\frac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a})}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)=+\infty$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=+\infty}$

Or la fonction f_a est paire et par suite, $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_a(x)=+\infty}$

La fonction f_a est dérivable sur $\R.$
$\forall\,x\in\R,\,f'_a(x)=\left[\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)\right ]' =\dfrac{\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)'}{\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWiiW}}=\dfrac{\dfrac{1}{2a}\left(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}\right)'}{\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}}=\dfrac{\left(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}\right)'}{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}} \\\overset{{\white{\dfrac{.}{}}}}{\phantom{WWWWiiW}}=\dfrac{a\,\text{e}^{ax}-a\,\text{e}^{-ax}}{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'_a(x)=\dfrac{a\,(\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax})}{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}}$

Nous savons que a est un réel strictement positif et que pour tout x réel, $\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}>0.}$
Donc le signe de $f'_a(x)$ est le signe de $\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}.$

${\white{wwwww}}$ $\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}<0\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{ax}<\text{e}^{-ax}\\\phantom{WiWWWWW} \Longleftrightarrow\quad ax<-ax\\\phantom{WiWWWW} \Longleftrightarrow\quad 2ax<0 \\\phantom{WiWWW} \Longleftrightarrow\quad x<0\\\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\phantom{WiW} \\\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>0 \phantom{WiW}\end{matrix}\right. \\\\f_a(0)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{0}+\text{e}^{0}}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{1+1}{2a}\right)\\=\ln\left(\dfrac{2}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\end{matrix}$

Tableau de variations de f_a sur $\R.$

${\white{wwwww}}$ $\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&&0&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax}&&&-&0&+&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'_a(x)&&&-&0&+&&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty \\f_a(x)&&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&&-\ln(a)&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. Étudions les branches infinies de $\overset{{\white{.}}}{(C_a).}$

$f_a(x)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{ax-2ax}}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}+\text{e}^{ax}\text{e}^{-2ax}}{2a}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_a(x)}=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}\left(1+\text{e}^{-2ax}\right)}{2a}\right)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{ax}}{2a}\times\left(1+\text{e}^{-2ax}\right)\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_a(x)}=\ln(\text{e}^{ax})-\ln(2a)+\ln\left(1+\text{e}^{-2ax}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_a(x)}=ax-\ln(2a)+\ln\left(1+\text{e}^{-2ax}\right)}$

$\Longrightarrow\quad \boxed{f_a(x)=ax-\ln(2a)+\ln\left(1+\text{e}^{-2ax}\right)}$

$\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2ax)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\phantom{xxxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-2ax}=0 \\\phantom{WWWWWWWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(1+\text{e}^{-2ax})=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+\text{e}^{-2ax})=0}}$

Par conséquent, la droite d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=ax-\ln(2a)}$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_a)}$ en +.

En outre, la fonction f_a est paire et par suite, la droite d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=-ax-\ln(2a)}$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_a)}$ en -.

3. Représentation graphique de la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_1)}$
Soit f₁ la fonction définie sur $\R$ par : $\overset{{\white{.}}}{f_1(x)=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}\right).}$
Tableau de variations de f₁ sur $\R.$

${\white{wwwww}}$ $\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&&0&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&+\infty \\f_1(x)&&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&&-\ln(1)=0&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La droite d'équation $y=x-\ln(2)$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_1)}$ en + infini

.
La droite d'équation $y=-x-\ln(2)$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_1)}$ en - infini

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3 : image 7

Partie C

1. a) Nous devons montrer que pour tout réel x , $\left|\overset{}{f'_1(x)}\right|<1.$

Nous avons montré dans la question 1. - Partie B que $\forall\,x\in\R,\,f'_a(x)=\dfrac{a\,(\text{e}^{ax}-\text{e}^{-ax})}{\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax}}.$
D'où $\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}}\,.$
Dès lors,

$\left|\overset{}{f'_1(x)}\right|=\left|\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\right| =\dfrac{\left|\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}\right|}{\left|\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right|} =\dfrac{\left|\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}\right|}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\quad\text{car }\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwW}=\dfrac{\left|\text{e}^{x}+(-\text{e}^{-x})\right|}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwW}<\dfrac{\left|\text{e}^{x}\right|+\left|-\text{e}^{-x}\right|}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\quad\text{car }\text{e}^{x}\neq0\text{ et }-\text{e}^{-x}\neq0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwW}<\dfrac{\left|\text{e}^{x}\right|+\left|\text{e}^{-x}\right|}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwW}<\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\quad\text{car }\forall\ x\in\R,\,\text{e}^{x}>0,\,\text{e}^{-x}>0} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwW}<1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\,\left|\overset{}{f'_1(x)}\right|<1}$

1. b) Nous devons montrer que pour tout réel x , $f''_1(x)=1-\left[\overset{}{f'_1(x)}\right]^2\quad\quad{\blue{(E_1)}}$

La fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est dérivable sur $\R$ (quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur est non nul sur $\R$ ).

$f''_1(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=\dfrac{(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})'\times(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})-(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})\times(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})'}{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=\dfrac{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})\times(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})-(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})\times(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})}{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=\dfrac{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2-(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})^2}{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=\dfrac{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}-\dfrac{(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})^2}{(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=1-\left(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''_1(x)}=1-\left[\overset{}{f'_1(x)}\right]^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f''_1(x)=1-\left[\overset{}{f'_1(x)}\right]^2}$

2. La fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est continue sur $\R$ (car elle est dérivable sur $\R$ )
Nous savons que pour tout réel x , $\overset{{\white{.}}}{0\le\left|\overset{}{f'_1(x)}\right|<1}$ et donc que $\left[\overset{}{f'_1(x)}\right]^2<1.$
D'où $1-\left[\overset{}{f'_1(x)}\right]^2>0$ , soit $\overset{}{f''_1(x)>0.}$
Nous en déduisons que la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est strictement croissante sur $\R.$

Déterminons $\overset{{\white{\frac{}{.}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x).}$

$\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)}=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{x}\,\text{e}^{-2x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{x}\,\text{e}^{-2x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)}=\dfrac{\text{e}^{x}(1-\text{e}^{-2x})}{\text{e}^{x}(1+\text{e}^{-2x})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)}=\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'_1(x)=\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\phantom{xxxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}=0 \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x)=\dfrac{1-0}{1+0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x)=1}$

Déterminons $\overset{{\white{\frac{}{.}}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f'_1(x).}$
Nous savons que la fonction $\overset{{\white{.}}}{f_1}$ est paire (voir question 1. - Partie B).
Or la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
Par conséquent, la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est impaire.

Or $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x)=1.}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f'_1(x)=-1}}$

En résumé, nous venons de montrer que la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est continue et strictement croissante sur $\R$ .
Donc la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est une bijection.

De plus $\overset{{\white{\frac{}{.}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f'_1(x)=1}$ et $\overset{{\white{\frac{}{.}}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f'_1(x)=-1}.$
Il s'ensuit que $\overset{{\white{.}}}{f'_1(\R)=\,]-1\,;\,1[.}$

Par conséquent, pour tout $\overset{{\white{.}}}{y\in\,]-1\,;\,1[\,}$ , l'équation $\overset{{\white{.}}}{f'_1(x)=y}$ admet une solution unique notée $\overset{{\white{.}}}{{\blue{t_y}}.}$

Nous devons exprimer $\overset{{\white{.}}}{{\blue{t_y}}}$ en fonction de y .
$\overset{{\white{.}}}{f'_1({\blue{t_y}})=y\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\text{e}^{{\blue{t_y}}}-\text{e}^{-{\blue{t_y}}}}{\text{e}^{{\blue{t_y}}}+\text{e}^{-{\blue{t_y}}}}=y} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{{\blue{t_y}}}-\text{e}^{-{\blue{t_y}}}=(\text{e}^{{\blue{t_y}}}+\text{e}^{-{\blue{t_y}}})\,y} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{{\blue{t_y}}}-\text{e}^{-{\blue{t_y}}}=\text{e}^{{\blue{t_y}}}\,y+\text{e}^{-{\blue{t_y}}}\,y}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{{\blue{t_y}}}-\text{e}^{{\blue{t_y}}}\,y=\text{e}^{-{\blue{t_y}}}+\text{e}^{-{\blue{t_y}}}\,y} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{{\blue{t_y}}}(1-y)=\text{e}^{-{\blue{t_y}}}(1+y)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\text{e}^{{\blue{t_y}}}}{\text{e}^{-{\blue{t_y}}}}=\dfrac{1+y}{1-y}}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{2{\blue{t_y}}}=\dfrac{1+y}{1-y}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{\blue{t_y}}=\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{{\blue{t_y}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)}}$

3. Pour tout $\overset{{\white{.}}}{y\in\,]-1\,;\,1[,}$ on pose pour tout entier naturel n : $I_n(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} (f'_1(u))^n\,du.$
On convient que pour tout réel u , $(f'_1(u))\,^0=1.$

On suppose ici que $\overset{{\white{.}}}{y\in[0\,;\,1[.}$

3. a) Montrons que $\overset{{\white{.}}}{I_n(y)}$ existe.

La fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est continue sur $\R$ (voir question 2. - Partie C).
Donc pour tout entier naturel n non nul, la fonction $\overset{{\white{.}}}{(f'_1)^n}$ est continue sur $\R$ et en particulier sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[0\,;\,{\blue{t_y}}].}$
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n non nul, $\overset{{\white{.}}}{I_n(y)}$ existe.
De plus si n = 0, alors $I_0(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} (f'_1(u))^0\,du=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} 1\,du$ et par suite, $\overset{{\white{.}}}{I_0(y)}$ existe.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{I_n(y)}$ existe.

3. b) Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{I_0(y)}$ et $\overset{{\white{.}}}{I_1(y).}$

$\bullet{\white{xx}}I_0(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} (f'_1(u))^0\,du=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} 1\,du=\left[\overset{\frac{}{}}{u}\right]_0^{{\blue{t_y}}}={\blue{t_y}}-0={\blue{t_y}} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_0(y)={\blue{t_y}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)}$

$\bullet{\white{xx}}I_1(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} (f'_1(u))^1\,du=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} (f'_1(u))\,du=f_1({\blue{t_y}})-f_1(0)=f_1({\blue{t_y}})-0=f_1({\blue{t_y}})$

Calculons $\overset{{\white{.}}}{f_1({\blue{t_y}})}$ en fonction de y .

$\overset{{\white{.}}}{f_1({\blue{t_y}})=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{{\blue{t_y}}}+\text{e}^{-{\blue{t_y}}}}{2}\right)}$

$\text{Or }\, {\blue{t_y}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad {\blue{t_y}}=\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)^{\frac{1}{2}} \\\\\text{D'où }\, \text{e}^{\blue{t_y}}=\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{(1+y)^{\frac{1}{2}}}{(1-y)^{\frac{1}{2}}}\quad\left(\text{car }y\in[0\,;\,1[\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} 1+y>0\\ 1-y>0\end{matrix}\right.\right) \\\\\text{et }\, \text{e}^{-\blue{t_y}}=\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{(1+y)^{-\frac{1}{2}}}{(1-y)^{-\frac{1}{2}}}=\dfrac{(1-y)^{\frac{1}{2}}}{(1+y)^{\frac{1}{2}}}$

Nous en déduisons que :

$\overset{{\white{.}}}{f_1({\blue{t_y}})=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{{\blue{t_y}}}+\text{e}^{-{\blue{t_y}}}}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=\ln\left(\dfrac{\dfrac{(1+y)^{\frac{1}{2}}}{(1-y)^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{(1-y)^{\frac{1}{2}}}{(1+y)^{\frac{1}{2}}}}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=\ln\left(\dfrac{\dfrac{(1+y)+(1-y)}{(1-y)^{\frac{1}{2}}(1+y)^{\frac{1}{2}}}}{2}\right)}$
${\white{.}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=\ln\left(\dfrac{\dfrac{2}{(1-y^2)^{\frac{1}{2}}}}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=\ln\left(\dfrac{1}{(1-y^2)^{\frac{1}{2}}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=\ln(1-y^2)^{-\frac{1}{2}}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(t_y)}=-\dfrac{1}{2}\ln(1-y^2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f_1({\blue{t_y}})=-\dfrac{1}{2}\ln(1-y^2)}$

Par conséquent, $\boxed{\overset{{\white{.}}}{I_1(y)=-\dfrac{1}{2}\ln(1-y^2)}}$

3. c) Nous devons montrer que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le I_n(y)\le {\blue{t_y}}\times y^n.}$

Nous avons montré à la question 2. que la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est strictement croissante sur $\R$ et par suite sur $\overset{{\white{.}}}{[0\,;\,{\blue{t_y}}].}$

Dès lors, $\forall\,u\in[0\,;\,{\blue{t_y}}],\,0\le u\le{\blue{t_y}}.$

Nous obtenons alors :

$\forall\,u\in[0\,;\,{\blue{t_y}}],\,0\le u\le{\blue{t_y}}\quad\Longrightarrow\quad f'_1(0)\le f'_1(u)\le f'_1({\blue{t_y}}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le f'_1(u)\le f'_1({\blue{t_y}})} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \left(\overset{}{f'_1(u)}\right)^n\le \left(\overset{}{f'_1({\blue{t_y}})}\right)^n}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left(\overset{}{f'_1(u)}\right)^n\,du\le \displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left(\overset{}{f'_1({\blue{t_y}})}\right)^n\,du} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n(y)\le \left(\overset{}{f'_1({\blue{t_y}})}\right)^n\times\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} 1\,du} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n(y)\le y^n\times\left[\overset{\frac{}{}}{u} \right]_{0}^{{\blue{t_y}}}}$
$\\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n(y)\le y^n\times[{\blue{t_y}}-0]} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWvW}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n(y)\le y^n\times{\blue{t_y}}} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\forall\,n\in\N,\,0\le I_n(y)\le {\blue{t_y}}\times y^n}$

3. d) Nous avons montré dans la question précédente que : $\overset{{\white{.}}}{\forall\,n\in\N,\,0\le I_n(y)\le {\blue{t_y}}\times y^n}$

Or $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}y^n=0\quad\quad\text{car }y\in[0\,;\,1[}$ et par suite, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}({\blue{t_y}}\times y^n)=0.}$

Dès lors, en utilisant le théorème des gendarmes, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n(y)\le {\blue{t_y}}\times y^n\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}({\blue{t_y}}\times y^n)=0.}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n(y)=0}$
Par conséquent, la suite $\overset{{\white{.}}}{(I_n(y))_{n\ge0}}$ est convergente et sa limite est nulle.

Partie D

1. Pour tout entier naturel n ,

$I_{n+2}(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n+2}\,du \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{2}\,du}$

Or d'après le résultat de la question 1. b) - Partie C, nous avons :

$\forall\,u\in[0\,;\,{\blue{t_y}}],\quad f''_1(u)=1-\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^2\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^2=1-f''_1(u)}$

Dès lors,

$I_{n+2}(y)=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{2}\,du \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\left[\overset{}{1-f''_1(u)}\right]\,du} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left\lbrace\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}-f''_1(u)\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\right\rbrace\,du} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}}\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\,du-\displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}}f''_1(u)\left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^{n}\,du}$
${\white{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=I_n(y)-\dfrac{1}{n+1}\left[\left(\overset{}{f'_1(u)}\right)^{n+1}\right]_{0}^{{\blue{t_y}}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=I_n(y)-\dfrac{1}{n+1} \left[\left(\overset{}{f'_1({\blue{t_y}})}\right)^{n+1} -\left(\overset{}{f'_1(0)}\right)^{n+1} \right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=I_n(y)-\dfrac{1}{n+1} \left[y^{n+1} -0\right]}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_{n+2}(y)}=I_n(y)-\dfrac{1}{n+1}\, y^{n+1} } \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n \in\N,\,I_{n+2}(y)=I_n(y)-\frac{1}{n+1}\, y^{n+1}\quad\quad{\blue{(E_2)}} }$

2. $_\bullet{\white{x}}$ Montrons que pour tout entier naturel p supegal

1, $\overset{{\white{.}}}{I_{2p}(y)={\blue{t_y}}- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \quad\quad{\blue{(E_3)}}}$

Utilisons la relation $\overset{{\white{.}}}{{\blue{(E_2)}}}$ lorsque n est pair, soit lorsque $\overset{{\white{.}}}{n=2q}$ où $\overset{{\white{.}}}{q\in\N.}$

${\blue{(E_2)}}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{2q+2}(y)=I_{2q}(y)-\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\blue{(E_2)}}}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)=-\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1}}$

Il s'ensuit que pour tout entier naturel $\overset{{\white{.}}}{p\ge1}$ ,

$\displaystyle \sum_{q=0}^{p-1} \left(\overset{}{I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)}\right)=- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1}$

$\text{Or }\, \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1} \left(\overset{}{I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)}\right)= \left(\overset{}{I_2(y)-I_0(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_4(y)-I_2(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_6(y)-I_4(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\cdots\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_{2p}(y)-I_{2(p-1)}(y))}\right) \\\Longrightarrow{\blue{\displaystyle \sum_{q=0}^{p-1} \left(\overset{}{I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)}\right)=I_{2p}(y)-I_0(y)}}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1} \left(\overset{}{I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)}\right)=I_{2p}(y)-I_0(y)\phantom{xx}\\\displaystyle \sum_{q=0}^{p-1} \left(\overset{}{I_{2(q+1)}(y)-I_{2q}(y)}\right)=- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \end{matrix}\right.\\\\\quad\Longrightarrow\quad I_{2p}(y)-I_0(y)=- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \\\\\quad\Longrightarrow\quad I_{2p}(y)=I_0(y)- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \\\\\text{Or }\,I_0(y)={\blue{t_y}}\quad\text{(voir question }{\red{{\text{3. b) - Partie C}}}}) \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{2p}(y)={\blue{t_y}}- \displaystyle \sum_{q=0}^{p-1}\dfrac{1}{2q+1}\, y^{2q+1} \quad\quad{\blue{(E_3)}} }$

$_\bullet{\white{x}}$ Montrons que pour tout entier naturel p supegal

1, $\overset{{\white{.}}}{p\ge1,\quad I_{2p+1}(y)=f_1({\blue{t_y}})- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q} \quad\quad{\blue{(E_4)}}}$

Utilisons la relation $\overset{{\white{.}}}{{\blue{(E_2)}}}$ lorsque n est impair, soit lorsque $\overset{{\white{.}}}{n=2q-1}$ où $\overset{{\white{.}}}{q\in\N^*.}$

${\blue{(E_2)}}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{2q-1+2}(y)=I_{2q-1}(y)-\dfrac{1}{2q-1+1}\, y^{2q-1+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\blue{(E_2)}}}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{2q+1}(y)=I_{2q-1}(y)-\dfrac{1}{2q}\, y^{2q}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\blue{(E_2)}}}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)=-\dfrac{1}{2q}\, y^{2q}}$

Il s'ensuit que pour tout entier naturel $\overset{{\white{.}}}{p\ge1}$ ,

$\displaystyle \sum_{q=1}^{p} \left(\overset{}{I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)}\right)=- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q}$

$\text{Or }\, \displaystyle \sum_{q=1}^{p} \left(\overset{}{I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)}\right)= \left(\overset{}{I_3(y)-I_1(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_5(y)-I_3(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_7(y)-I_5(y))}\right)\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\cdots\\\phantom{WWWWviWWWWWWW}\,+\left(\overset{}{I_{2p+1}(y)-I_{2p-1}(y))}\right) \\\Longrightarrow{\blue{\displaystyle \sum_{q=1}^{p} \left(\overset{}{I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)}\right)=I_{2p+1}(y)-I_1(y)}}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\displaystyle \sum_{q=1}^{p} \left(\overset{}{I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)}\right)=I_{2p+1}(y)-I_1(y)\phantom{xx}\\\displaystyle \sum_{q=1}^{p} \left(\overset{}{I_{2q+1}(y)-I_{2q-1}(y)}\right)=- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q} \end{matrix}\right.\\\\\quad\Longrightarrow\quad I_{2p+1}(y)-I_1(y)=- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q} \\\\\quad\Longrightarrow\quad I_{2p+1}(y)=I_1(y)- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q} \\\\\text{Or }\,I_1(y)=f_1({\blue{t_y}})\quad\text{(voir question }{\red{{\text{3. b) - Partie C}}}}) \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{2p+1}(y)=f_1({\blue{t_y}})- \displaystyle \sum_{q=1}^{p}\dfrac{1}{2q}\, y^{2q} \quad\quad{\blue{(E_4)}} }$

3. Montrons que pour tout $\overset{{\white{.}}}{y\in\;]-1\,;\,1[\,,\quad{\blue{t_{-y}}}=-{\blue{t_y}}\,.}$

En effet,

$\overset{{\white{.}}}{y\in\;]-1\,;\,1[\quad\Longrightarrow\quad -y\in\;]-1\,;\,1[\,.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{t_y}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)\phantom{WWWWWWW}\\ {\blue{t_{-y}}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1-y}{1+y}\right)=-\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+y}{1-y}\right)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\blue{t_{-y}}}=-{\blue{t_y}}}$

4. Pour tout y de l'intervalle ]-1 ; 1[, et pour tout entier naturel n , on pose : $\overset{{\white{.}}}{J_n(y)=\displaystyle \int_{{\blue{t_{-y}}}}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^n\,du.}$
Nous devons montrer que si n est pair, $\overset{{\white{.}}}{J_n(y)=2I_n(y)}$ et que si n est impair, $\overset{{\white{.}}}{J_n(y)=0.}$

Nous savons que la fonction $\overset{{\white{.}}}{f_1}$ est paire (voir question 1. - Partie B).
Or la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
Par conséquent, la fonction $\overset{{\white{.}}}{f'_1}$ est impaire.

Dès lors,
$_\bullet{\white{x}}$ si n est pair, alors la fonction $\overset{{\white{.}}}{u\mapsto \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^n}$ est paire.
Nous obtenons alors :

$J_n(y)=\displaystyle \int_{{\blue{t_{-y}}}}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^n\,du \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_n(y)}=2\times \displaystyle \int_{0}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{} {f'_1(u)}\right]^n\,du} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J_n(y)}=2\times I_n(y)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{si }n\text{ est pair, }J_n(y)=2\times I_n(y)}$

$_\bullet{\white{x}}$ si n est impair, alors la fonction $\overset{{\white{.}}}{u\mapsto \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^n}$ est impaire.
Nous obtenons alors : $\overset{{\white{.}}}{J_n(y)=\displaystyle \int_{{\blue{t_{-y}}}}^{{\blue{t_y}}} \left[\overset{}{f'_1(u)}\right]^n\,du=0.}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\text{si }n\text{ est impair, }J_n(y)=0}$

Publié par malou/Panter le 14-12-2022

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