Épreuve du 1er groupe
Durée : 4 heures
Coefficient : 8
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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
On désigne par A le point d'affixe
1. Soient f l'application du plan dans lui-même définie par
où est la réflexion d'axe (OA ), la symétrie centrale de centre O et la translation de vecteur
1. a)Déterminons l'écriture complexe de
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que
Par définition de , nous obtenons :
D'où, l'écriture complexe de est
Déterminons l'expression analytique de
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que
Par définition de , nous obtenons :
D'où, l'expression analytique de est
Déterminons l'expression analytique de
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z' tel que
Par définition de , nous obtenons :
D'où, l'expression analytique de est
1. b) Nous devons en déduire l'expression analytique de f .
A tout point M de coordonnées (x ; y ) et d'affixe z , on associe le point M' de coordonnées (x' ; y' ) et d'affixe z'
tel que où
Ci-dessous l'évolution des coordonnées (x ; y ) du point M lors des transformations successives du plan :
D'où, l'expression analytique de est
1. c) Montrons que
Nous savons que
1. d) Montrons que f est une isométrie, soit que f est une transformation qui conserve les longueurs.
Soient M et N deux points distincts du plan tels que et
Montrons que
Par la question précédente, nous savons que :
Dès lors,
Par conséquent, f est une isométrie.
Déterminons l'écriture complexe de la réciproque
Nous en déduisons que l'écriture complexe de la réciproque est :
1. e) Déterminons l'ensemble E des points invariants par f c'est-à-dire l'ensemble E des points M tels que .
D'où l'ensemble E des points invariants par f est la droite (D ) d'équation :
1. f) Nous en déduisons que l'application f est une symétrie orthogonale d'axe (D ) d'équation :
2. On désigne par O' l'image de O par
Soient (D1) la droite passant par O et dont un vecteur directeur est tel que
et (D2) la parallèle à (D1) passant par O' .
Ci-dessous une représentation graphique des données.
2. a) Nous devons d'abord déterminer une équation cartésienne de (D2).
L'équation réduite de la droite (D2), non parallèle à l'axe des ordonnées, est de la forme
Calcul du coefficient directeur a
La droite (D2) est parallèle à la droite (D1).
Les coefficients directeurs de ces deux droites sont donc égaux.
Puisque le repère est un repère orthonormal direct, le coefficient directeur de (D1) est donné par :
Dès lors,
Calcul de l'ordonnée à l'origine b
La droite (D2) passe par le point O' .
Par définition du point A, nous savons que ses coordonnées sont : (1 ; 0).
Donc les coordonnées du point O' sont : (2 ; 0).
Puisque la droite (D2) passe par le point O', nous en déduisons que les coordonnées de O' vérifient l'équation de (D2).
D'où : , soit , soit
Par conséquent, une équation cartésienne de (D2) est :
Nous devons ensuite déterminer l'ordonnée du point d'abscisse 1 de (D2).
Remplaçons x par 1 dans l'équation de (D2) et déterminons la valeur de y .
D'où les coordonnées du point d'abscisse 1 sont :
2. b) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de la transformation
L'application f est une symétrie orthogonale d'axe (D ) (voir question 1. f). est une réflexion d'axe (D2) (par définition).
Les droites (D2) et (D ) sont sécantes en . est la composée de deux symétries axiales d'axes sécants en .
Donc est une rotation de centre dont l'angle est le double de l'angle formé par ces droites (D2) et (D ).
Or l'angle formé par (D2) et (D ) est égal à
Par conséquent, est une rotation de centre et d'angle
2. c) Soit g l'application du plan dans lui-même définie par où est la rotation de centre O' et d'angle
2. c) i. Nous savons que la composée d'une translation et d'une rotation, toutes deux distinctes de l'identité du plan est une rotation.
Donc g est une rotation.
2. c) ii.Expression complexe de la rotation
A tout point M d'affixe z , on pose et z' l'affixe de M' .
Nous savons qu'une rotation de centre et d'angle qui à tout point M d'affixe z associe
le point M' d'affixe z' peut s'exprimer par la relation
Or est la rotation de centre O' d'affixe 2 et d'angle
Nous obtenons donc :
Expression complexe de la translation
Nous avons montré dans l'exercice 1. a) que la translation qui à tout point M d'affixe z associe
le point M' d'affixe z' s'exprime par l'écriture complexe
Expression complexe de la composée
Dans l'expression complexe de la rotation, remplaçons z par (z + 2).
Nous obtenons alors :
Par conséquent, l'expression complexe de la composée est
Eléments géométriques caractéristiques de g g est une rotation d'angle Le centre de la rotation est dont l'affixe vérifie la relation :
Par conséquent, g est une rotation d'angle de centre dont l'affixe est
4 points
exercice 2
Partie A
On considère l'équation où x et y sont des entiers relatifs.
1. Nous devons déterminer le réel a tel que le couple (1 , a ) soit solution de (E ).
Exprimons que le couple (1 , a ) est solution de (E ) en remplaçant x par 1 et y par a dans l'équation (E ).
2. Nous devons résoudre (E ) .
Nous savons que (1 ; 2) est solution de l'équation (E ), ce qui est vérifié par 7 1 - 3 2 = 7 - 6 = 1.
Donc l'entier 3 divise le produit 7(x - 1).
Or 3 et 7 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 3 divise (x - 1).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 1 = 3k , soit .
De plus,
Donc, il existe un entier relatif k tel que
Montrons que le couple (1 + 3k ; 2 + 7k ) est solution de (E ) pour tout entier relatif k .
En effet,
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n ; m ) d'entiers naturels non nuls solutions de l'équation :
1. Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).
Nous obtenons alors :
Il s'ensuit que le couple est une solution de l'équation (E ) (voir Partie A).
D'où où
Par conséquent, si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors il existe un entier naturel k tel que : , soit tel que : et
2. Supposons que :
1er cas : m = 1
L'équation (F ) devient :
2ième cas : m = 2
L'équation (F ) devient :
Dans ce cas, l'équation (F ) n'admet pas de solution.
3ième cas : m = 3
L'équation (F ) devient :
Dans ce cas, l'équation (F ) n'admet pas de solution.
4ième cas : m = 4
L'équation (F ) devient :
Par conséquent, si , alors l'équation (F ) possède exactement deux couples solutions : (1 ; 1) et (2 ; 4).
3. On suppose maintenant
3. a) Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).
3. b) Tableau complété.
3. c) Nous avons montré dans la question 3. a) que si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors
Avec l'aide du tableau, nous pouvons déduire que n doit être un multiple de 4.
3. d) Nous venons de montrer que si le couple (n ; m ) est solution de (F ), alors n doit être un multiple de 4 et par suite, il existe un entier naturel p tel que
Or
Il s'ensuit que :
3. e) Soit :
Supposons que le couple (n ; m ) est solution de (F ).
Par la question précédente, nous savons que
Or tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers.
De plus 2 et 3 sont premiers et la décomposition ne contient pas le facteur premier 5.
Donc n'est pas un multiple de 5 et il est impossible d'avoir la relation
Par conséquent, si , alors il n'existe pas de couple (n ; m ) d'entiers non nuls solution de (F ).
4. Par la question 2., nous savons que si , alors l'équation (F ) possède exactement deux couples solutions : (1 ; 1) et (2 ; 4).
Par la question 3. e), nous savons que si , alors il n'existe pas de couple (n ; m ) d'entiers non nuls solution de (F ).
Donc l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls qui sont solutions de (F ) est
11 points
probleme
Partie A
Soit a un réel strictement positif. On désigne par une fonction dérivable et strictement positive sur de fonction dérivée vérifiant les propriétés suivantes :
(P1) Pour tout nombre réel x ,
(P2)
(P3) est dérivable et strictement croissante sur
1. On suppose qu'il existe une fonction vérifiant les propriétés (P1), (P2) et (P3).
1. a) Nous devons calculer
En utilisant les propositions (P1) et (P2), nous obtenons :
Or a est un réel strictement positif et est une fonction strictement positive sur
D'où
1. b) Nous savons par l'énoncé que est strictement croissante sur
D'où pour tout nombre réel x , .
Or par (P2), nous savons que
Par conséquent, pour tout nombre réel x non nul,
1. c) Montrons que pour tout réel x non nul,
Par (P1), nous savons que pour tout nombre réel x ,
Dérivons les deux membres de cette égalité.
, soit
En divisant les deux membres par , nous obtenons : ,
soit
1. d) Nous devons en déduire que pour tout réel x ,
Nous savons par la question précédente que pour tout réel x non nul,
Donc est solution de l'équation différentielle : , soit l'équation différentielle
À cette équation différentielle (1), nous associons l'équation caractéristique
Résolvons cette équation caractéristique.
Puisque l'équation (2) admet deux racines réelles distinctes et , les solutions de l'équation (1) s'écrivent sous la forme :
, soit
D'une part, D'autre part,
Dès lors,
D'où, pour tout réel x non nul, , soit
Montrons que cette expression de vérifie l'égalité démontrée dans la question 1 - Partie A.
En effet,
Par conséquent, pour tout réel x ,
2. Nous devons d'abord montrer que la fonction définie par (a > 0),
soit par (a > 0) est une fonction dérivable et strictement positive sur
C'est évident car la fonction est la somme de deux fonctions dérivables et strictement positives sur
Nous devons ensuite montrer que la fonction définie par (a > 0) vérifie les propriétés (P1), (P2) et (P3).
Vérifions la propriété (P1).
Pour tout nombre réel x ,
Donc la propriété (P1) est vraie.
Vérifions la propriété (P2).
Donc la propriété (P2) est vraie.
Vérifions la propriété (P3).
Nous devons d'abord montrer que la fonction définie par (a > 0),
soit par (a > 0) est une fonction dérivable sur
C'est évident car la fonction est la somme (différence) de deux fonctions dérivables sur
Nous devons ensuite montrer que la fonction est strictement croissante sur
Or, pour tout x réel,
Par conséquent, la fonction est strictement croissante sur
Donc la propriété (P3) est vraie.
Partie B
Soient a un réel strictement positif, fa la fonction définie sur par : et sa courbe représentative dans un repère orthonormal
1. Étudions la parité de la fonction fa .
En effet, pour tout et
soit
D'où la fonction fa est paire.
Étudions les variations de la fonction fa .
Par conséquent,
Or la fonction fa est paire et par suite,
La fonction fa est dérivable sur
Nous savons que a est un réel strictement positif et que pour tout x réel,
Donc le signe de est le signe de
Tableau de variations de fa sur
2. Étudions les branches infinies de
Par conséquent, la droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe en +.
En outre, la fonction fa est paire et par suite, la droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe en -.
3. Représentation graphique de la courbe
Soit f1 la fonction définie sur par :
Tableau de variations de f1 sur
La droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe en +.
La droite d'équation est une asymptote oblique à la courbe en -.
Partie C
1. a) Nous devons montrer que pour tout réel x ,
Nous avons montré dans la question 1. - Partie B que
D'où
Dès lors,
1. b) Nous devons montrer que pour tout réel x ,
La fonction est dérivable sur (quotient de deux fonctions dérivables sur dont le dénominateur est non nul sur ).
2. La fonction est continue sur (car elle est dérivable sur )
Nous savons que pour tout réel x , et donc que
D'où , soit
Nous en déduisons que la fonction est strictement croissante sur
Déterminons
Déterminons
Nous savons que la fonction est paire (voir question 1. - Partie B).
Or la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
Par conséquent, la fonction est impaire.
Or
D'où
En résumé, nous venons de montrer que la fonction est continue et strictement croissante sur .
Donc la fonction est une bijection.
De plus et
Il s'ensuit que
Par conséquent, pour tout , l'équation admet une solution unique notée
Nous devons exprimer en fonction de y.
3. Pour tout on pose pour tout entier naturel n :
On convient que pour tout réel u ,
On suppose ici que
3. a) Montrons que existe.
La fonction est continue sur (voir question 2. - Partie C).
Donc pour tout entier naturel nnon nul, la fonction est continue sur et en particulier sur l'intervalle
Nous en déduisons que pour tout entier naturel nnon nul, existe.
De plus si n = 0, alors et par suite, existe.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , existe.
3. b) Nous devons calculer et
Calculons en fonction de y .
Nous en déduisons que :
Par conséquent,
3. c) Nous devons montrer que pour tout entier naturel n ,
Nous avons montré à la question 2. que la fonction est strictement croissante sur et par suite sur
Dès lors,
Nous obtenons alors :
3. d) Nous avons montré dans la question précédente que :
Or et par suite,
Dès lors, en utilisant le théorème des gendarmes, nous obtenons :
Par conséquent, la suite est convergente et sa limite est nulle.
Partie D
1. Pour tout entier naturel n ,
Or d'après le résultat de la question 1. b) - Partie C, nous avons :
Dès lors,
2.Montrons que pour tout entier naturel p 1,
Utilisons la relation lorsque n est pair, soit lorsque où
Il s'ensuit que pour tout entier naturel ,
Dès lors,
Montrons que pour tout entier naturel p 1,
Utilisons la relation lorsque n est impair, soit lorsque où
Il s'ensuit que pour tout entier naturel ,
Dès lors,
3. Montrons que pour tout
En effet,
4. Pour tout y de l'intervalle ]-1 ; 1[, et pour tout entier naturel n , on pose :
Nous devons montrer que si n est pair, et que si n est impair,
Nous savons que la fonction est paire (voir question 1. - Partie B).
Or la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
Par conséquent, la fonction est impaire.
Dès lors, si n est pair, alors la fonction est paire.
Nous obtenons alors :
si n est impair, alors la fonction est impaire.
Nous obtenons alors :
Publié par malou/Panter
le
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