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permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.
4 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct Soit le nombre complexe
défini par
1. Montrer que , puis en déduire le module de
2. Ecrire sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de est
3. En déduire les valeurs exactes de et
puis de et
4. Représenter sur le même graphique les points images de
4 points
exercice 2
On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6. On lit
les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre Puis on forme l'équation du
second degré On note l'univers de cette expérience
aléatoire.
1. Soit A l'évènement : " -1 est solution de (E ) et b = 6 ". Justifier que la probabilité de l'évènement A est
2. On considère les évènements suivants : B : " -2 est solution de (E ) et c = 4 ". C : " la somme des solutions est -2 et leur produit est 1 ". D : " les deux solutions sont confondues et b = 4 ". La probabilité de chacun des évènements B , C et D appartiennent à l'ensemble
Donner la probabilité de chacun des évènements B , C et D en le justifiant.
3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.
a. Soit F l'évènement : " L'évènement A se réalise une
seule fois au 3e essai ". Montrer que la probabilité de l'évènement F est b. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'évènement A à
l'issue des 10 épreuves.
b-1 Déterminer la loi de probabilité de Y . b-2 Montrer que le nombre espéré de réalisations de A est égal à b-3 Calculer la variance de Y .
12 points
probleme
Partie A
Soient la fonction f définie par :
et (Cf ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité 2 cm.
1. Montrer que l'ensemble de définition de f est Df = ]0 ; +[.
2. Etudier la continuité de f en 1.
3. Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4. Déterminer les limites de f aux bornes de Df et interpréter graphiquement, si possible,
les résultats obtenus.
5. Montrer que f admet un prolongement par continuité à droite en 0 et définir ce prolongement h .
6. Etudier la dérivabilité de h à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.
7. Calculer f '(x) dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +[.
Dresser le tableau de variations de f .
8. a. Tracer (Cf ) . b. Calculer l'aire A en cm² de la partie du plan comprise entre (Cf ) ,
la droite d'équation y = 1 , la droite d'équation x = 1 et la droite d'équation x = 4 .
Partie B
1. Soit la restriction de f à l'intervalle [1 ; +[. a. Montrer que l'équation admet une unique solution
et que 1 < < 2 . En déduire un encadrement de à 10-1 près. b. Montrer que : c. En déduire que :
2. Soit la suite définie par :
Démontrer que : a. b. c. En déduire
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\cdot)
Soit le nombre complexe
défini par 
, puis en déduire le module de 
sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de 
)
et )
puis de )
et \cdot)
Puis on forme l'équation du
second degré  \,: \,ax²+bx+c=0\;\cdot)
On note 
l'univers de cette expérience
aléatoire.
Justifier que la probabilité de l'évènement A est =\dfrac{5}{216}\,\cdot)
Montrer que la probabilité de l'évènement F est =\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}\,\cdot)
=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&si & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&si & x\ge 1 \end{matrix}\right.)
)
d'unité 2 cm.
[.
la restriction de f à l'intervalle [1 ; +=x)
admet une unique solution 
et que 1 < 
En déduire un encadrement de |\le \dfrac 1 2 \cdot)
-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|\cdot)
)
la suite définie par :
 ^n \, |W_0-\alpha|\,\cdot)
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