Bac 2022 Sénégal
Séries : S2-S2A-S4-S5
Épreuve du 1er groupe
Durée : 4 heures
Coefficient : 5
Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices
permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.
4 points exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
\cdot)
Soit le nombre complexe

défini par
1. Montrer que

, puis en déduire le module de
2. Ecrire

sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de

est
3. En déduire les valeurs exactes de
)
et
)
puis de
)
et
4. Représenter sur le même graphique les points images de
4 points exercice 2
On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6. On lit
les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre

Puis on forme l'équation du
second degré
 \,: \,ax²+bx+c=0\;\cdot)
On note

l'univers de cette expérience
aléatoire.
1. Soit
A l'évènement : " -1 est solution de (
E ) et
b = 6 ".

Justifier que la probabilité de l'évènement
A est
2. On considère les évènements suivants :
B : " -2 est solution de (
E ) et
c = 4 ".
C : " la somme des solutions est -2 et leur produit est 1 ".
D : " les deux solutions sont confondues et
b = 4 ".

La probabilité de chacun des évènements
B ,
C et
D appartiennent à l'ensemble

Donner la probabilité de chacun des évènements
B ,
C et
D en le justifiant.
3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.
a. Soit
F l'évènement : " L'évènement
A se réalise une
seule fois au 3
e essai ".

Montrer que la probabilité de l'évènement
F est
b. Soit
Y la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'évènement
A à
l'issue des 10 épreuves.
b-1 Déterminer la loi de probabilité de
Y .
b-2 Montrer que le nombre espéré de réalisations de
A est égal à
b-3 Calculer la variance de
Y .
12 points probleme
Partie A
Soient la fonction
f définie par :
et (
Cf ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal
)
d'unité 2 cm.
1. Montrer que l'ensemble de définition de
f est
Df = ]0 ; +

[.
2. Etudier la continuité de
f en 1.
3. Etudier la dérivabilité de
f en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4. Déterminer les limites de
f aux bornes de
Df et interpréter graphiquement, si possible,
les résultats obtenus.
5. Montrer que
f admet un prolongement par continuité à droite en 0 et définir ce prolongement
h .
6. Etudier la dérivabilité de
h à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.
7. Calculer
f '(
x) dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +

[.
Dresser le tableau de variations de
f .
8. a. Tracer (
Cf ) .
b. Calculer l'aire
A en cm² de la partie du plan comprise entre (
Cf ) ,
la droite d'équation
y = 1 , la droite d'équation
x = 1 et la droite d'équation
x = 4 .
Partie B
1. Soit

la restriction de
f à l'intervalle [1 ; +

[.
a. Montrer que l'équation
=x)
admet une unique solution

et que 1 <

< 2 .

En déduire un encadrement de

à 10
-1 près.
b. Montrer que :
c. En déduire que :
2. Soit
)
la suite définie par :

Démontrer que :
a.
b.
c.

En déduire