Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : S2-S2A-S4-S5

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Épreuve du 1er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



  4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct   (O\,; \vec u\,,\vec v)\cdot  Soit le nombre complexe a   défini par a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}\,\cdot

1. Montrer que  a²=-2\sqrt3 -2\text i , puis en déduire le module de  a\cdot

2. Ecrire  a² sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de  a  est   \dfrac{19\pi}{12}\,\cdot

3. En déduire les valeurs exactes de  \cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  et  \sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right) puis de  \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)  et  \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\cdot

4. Représenter sur le même graphique les points images de   a\,,-a\,\text{ et } a²\cdot

4 points

exercice 2

On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6. On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre  a\,,b\,,c\;\cdot Puis on forme l'équation du second degré  (E) \,: \,ax²+bx+c=0\;\cdot On note omegamaj l'univers de cette expérience aléatoire.

1. Soit A l'évènement :  " -1 est solution de (E )  et b = 6  ".
\white w Justifier que la probabilité de l'évènement A est   p(A)=\dfrac{5}{216}\,\cdot

2. On considère les évènements suivants :
\white w B  : " -2 est solution de (E )  et c = 4  ".
\white w C  : " la somme des solutions est -2 et leur produit est 1  ".
\white w D  : " les deux solutions sont confondues et b = 4  ".
\white w La probabilité de chacun des évènements B , C et D appartiennent à l'ensemble   I=\left\lbrace\dfrac{1}{72}\,;\,\dfrac{1}{108}\,;\,\dfrac{1}{54}\right\rbrace\,\cdot
\white w Donner la probabilité de chacun des évènements B , C et D en le justifiant.

3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.
\white w a. Soit F  l'évènement  :  " L'évènement A   se réalise une seule fois au 3e essai  ".
\white {wwi} Montrer que la probabilité de l'évènement F   est   p(F)=\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}\,\cdot
\white w b. Soit Y  la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'évènement A  à l'issue des 10 épreuves.
\white w b-1 Déterminer la loi de probabilité de Y .
\white w b-2 Montrer que le nombre espéré de réalisations de A  est égal à  \dfrac{25}{108}\,\cdot
\white w b-3 Calculer la variance de Y  .

12 points

probleme

Partie A


Soient la fonction f  définie par   :  f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&si & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&si & x\ge 1 \end{matrix}\right.
et (Cf )  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal  (O\,; \vec i\,,\vec j)   d'unité 2 cm.

1. Montrer que l'ensemble de définition de f   est   Df   = ]0 ; +infini[.

2. Etudier la continuité de f  en 1.

3. Etudier la dérivabilité de f  en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4. Déterminer les limites de f  aux bornes de Df   et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus.

5. Montrer que f   admet un prolongement par continuité à droite en 0 et définir ce prolongement h .

6. Etudier la dérivabilité de h  à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.

7. Calculer f '(x)   dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +infini[.
     Dresser le tableau de variations de f .

8. a. Tracer (Cf ) .
\white w b. Calculer l'aire A  en cm² de la partie du plan comprise entre (Cf ) , la droite d'équation   y = 1  , la droite d'équation  x = 1   et la droite d'équation  x = 4 .


Partie B


1. Soit  g  la restriction de  f  à l'intervalle [1 ; +infini[.
\white w a. Montrer que l'équation   g(x)=x  admet une unique solution alpha et que 1 < alpha < 2 .
\white {ww} En déduire un encadrement de alpha à 10-1 près.
\white w b. Montrer que :   \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g'(x)|\le \dfrac 1 2 \cdot
\white w c. En déduire que :  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|\cdot

2. Soit  (W_n)  la suite définie par :

{\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix} W_0& = & 2\\ W_{n+1}& =& 1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\,,&n\in \textbf N\cdot \end{matrix}\right.
\white w Démontrer que :  \forall n \in \textbf N\,,
\white w a.  W_n\ge 1 \,\cdot
\white w b.  |W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 |W_n - \alpha|\,\cdot
\white w c.  |W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\,\cdot
\white {ww} En déduire \lim\limits_{n \to + \infty} W_n \,\cdot
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