Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : S2-S2A-S4-S5

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Épreuve du 1er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



  4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct   (O\,; \vec u\,,\vec v)\cdot  Soit le nombre complexe a   défini par a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}\,\cdot

1. Montrer que  a²=-2\sqrt3 -2\text i , puis en déduire le module de  a\cdot

2. Ecrire  a² sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de  a  est   \dfrac{19\pi}{12}\,\cdot

3. En déduire les valeurs exactes de  \cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  et  \sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right) puis de  \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)  et  \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\cdot

4. Représenter sur le même graphique les points images de   a\,,-a\,\text{ et } a²\cdot

4 points

exercice 2

On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6. On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre  a\,,b\,,c\;\cdot Puis on forme l'équation du second degré  (E) \,: \,ax²+bx+c=0\;\cdot On note omegamaj l'univers de cette expérience aléatoire.

1. Soit A l'évènement :  " -1 est solution de (E )  et b = 6  ".
\white w Justifier que la probabilité de l'évènement A est   p(A)=\dfrac{5}{216}\,\cdot

2. On considère les évènements suivants :
\white w B  : " -2 est solution de (E )  et c = 4  ".
\white w C  : " la somme des solutions est -2 et leur produit est 1  ".
\white w D  : " les deux solutions sont confondues et b = 4  ".
\white w La probabilité de chacun des évènements B , C et D appartiennent à l'ensemble   I=\left\lbrace\dfrac{1}{72}\,;\,\dfrac{1}{108}\,;\,\dfrac{1}{54}\right\rbrace\,\cdot
\white w Donner la probabilité de chacun des évènements B , C et D en le justifiant.

3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.
\white w a. Soit F  l'évènement  :  " L'évènement A   se réalise une seule fois au 3e essai  ".
\white {wwi} Montrer que la probabilité de l'évènement F   est   p(F)=\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}\,\cdot
\white w b. Soit Y  la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'évènement A  à l'issue des 10 épreuves.
\white w b-1 Déterminer la loi de probabilité de Y .
\white w b-2 Montrer que le nombre espéré de réalisations de A  est égal à  \dfrac{25}{108}\,\cdot
\white w b-3 Calculer la variance de Y  .

12 points

probleme

Partie A


Soient la fonction f  définie par   :  f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&si & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&si & x\ge 1 \end{matrix}\right.
et (Cf )  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal  (O\,; \vec i\,,\vec j)   d'unité 2 cm.

1. Montrer que l'ensemble de définition de f   est   Df   = ]0 ; +infini[.

2. Etudier la continuité de f  en 1.

3. Etudier la dérivabilité de f  en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4. Déterminer les limites de f  aux bornes de Df   et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus.

5. Montrer que f   admet un prolongement par continuité à droite en 0 et définir ce prolongement h .

6. Etudier la dérivabilité de h  à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.

7. Calculer f '(x)   dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +infini[.
     Dresser le tableau de variations de f .

8. a. Tracer (Cf ) .
\white w b. Calculer l'aire A  en cm² de la partie du plan comprise entre (Cf ) , la droite d'équation   y = 1  , la droite d'équation  x = 1   et la droite d'équation  x = 4 .


Partie B


1. Soit  g  la restriction de  f  à l'intervalle [1 ; +infini[.
\white w a. Montrer que l'équation   g(x)=x  admet une unique solution alpha et que 1 < alpha < 2 .
\white {ww} En déduire un encadrement de alpha à 10-1 près.
\white w b. Montrer que :   \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g'(x)|\le \dfrac 1 2 \cdot
\white w c. En déduire que :  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|\cdot

2. Soit  (W_n)  la suite définie par :

{\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix} W_0& = & 2\\ W_{n+1}& =& 1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\,,&n\in \textbf N\cdot \end{matrix}\right.
\white w Démontrer que :  \forall n \in \textbf N\,,
\white w a.  W_n\ge 1 \,\cdot
\white w b.  |W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 |W_n - \alpha|\,\cdot
\white w c.  |W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\,\cdot
\white {ww} En déduire \lim\limits_{n \to + \infty} W_n \,\cdot





Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5

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4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct  \overset{{\white{.}}}{(O\,; \vec u\,,\vec v).}{\white{\dfrac{a}{b}}}
Soit le nombre complexe a  défini par  a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}.

1.  Nous devons d'abord montrer que  a^2=-2\sqrt{3}-2\text{i}.

a^2= \left(\sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}\right)^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= \left(\sqrt{ 2-\sqrt {3}}\right)^2-2\,\text i \sqrt{ 2-\sqrt 3}\,\sqrt{ 2+\sqrt 3}\, -\left(\sqrt{ 2+\sqrt 3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 2-\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ (2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}\, - 2-\sqrt 3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ 4-3}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ 1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i} \\\\\Longrightarrow\boxed{a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i}

Nous devons ensuite en déduire le module de  \overset{{\white{.}}}{a} .

a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i\quad\Longrightarrow\quad |a^2|=\sqrt{ (-2\sqrt {3})^2+(-2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWii}=\sqrt{ 12+4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWii}=\sqrt{ 16}} \\\\\text{D'où }\,|a^2|=4\quad\Longleftrightarrow\quad|a|^2=4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWii}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{|a|=2}}

2.  Écrivons d'abord  a^2  sous forme trigonométrique.

a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 4\left(-\dfrac{\sqrt {3}}{2}-\dfrac{1}{2}\,\text i\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 4\left(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\text i\,\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{a^2= 4\left[\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\text i\,\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right]}

Vérifions ensuite qu'une des mesures de l'argument de  \overset{{\white{.}}}{a}  est  \dfrac{19\pi}{12}.
En effet,
\arg(a^2)\equiv-\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\quad\Longrightarrow\quad2\arg(a)\equiv-\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwW}\quad\Longrightarrow\quad\arg(a)\equiv-\dfrac{5\pi}{12}\,[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwW}\quad\Longrightarrow\quad\arg(a)=-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\quad(k\in\Z)} \\\\\text{Si }k=2,\,\text{alors }\arg(a)=-\dfrac{5\pi}{12}+2\pi=-\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{24\pi}{12}=\dfrac{19\pi}{12}. \\\\\Longrightarrow\quad\text{Si }k=2,\,\text{alors }\boxed{\arg(a)=\dfrac{19\pi}{12}}
Par conséquent, une des mesures de l'argument de  \overset{{\white{.}}}{a}  est  \dfrac{19\pi}{12}.

3.  Nous devons en déduire les valeurs exactes de  \overset{{\white{.}}}{\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)}  et  \overset{{\white{.}}}{\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right).}
Nous savons que  \overset{{\white{.}}}{|a|=2}  et qu'une mesure de l'argument de  \overset{{\white{.}}}{a}  est  \dfrac{19\pi}{12}.
Dès lors, nous obtenons :

a= 2\left(\cos\dfrac{19\pi}{12}+\text i\,\sin\dfrac{19\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=2\left[\cos\left(\pi+\dfrac{7\pi}{12}\right)+\text i\,\sin\left(\pi+\dfrac{7\pi}{12}\right)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=2\left(-\cos\dfrac{7\pi}{12}-\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{a=-2\cos\dfrac{7\pi}{12}-2\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}}

Nous en déduisons que :

\left\lbrace\begin{matrix}a=-2\cos\dfrac{7\pi}{12}-2\,\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}\\\overset{{\white{.}}}{a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-2\cos\dfrac{7\pi}{12}=\sqrt{ 2-\sqrt 3}\\\overset{{\white{.}}}{-2\,\sin\dfrac{7\pi}{12}=-\sqrt{ 2+\sqrt 3}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWiWW}.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\cos\dfrac{7\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}}{\white{x}}\end{matrix}\right.}

Nous devons également en déduire les valeurs exactes de  \overset{{\white{.}}}{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}  et  \overset{{\white{.}}}{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).}

\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{6\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\cos(-\alpha)=\cos(\alpha) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\sin \left(\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}}

\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{6\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=-\cos \left(\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}}

4.  Graphique représentant les points images de  \overset{{\white{.}}}{a} ,  \overset{{\white{.}}}{-a}  et  a^2. 

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5  : image 1


4 points

exercice 2

On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6.
On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre  \overset{{\white{.}}}{a\,,b\,,c.} 
Puis on forme l'équation du second degré  \overset{{\white{.}}}{(E) \,: \,ax²+bx+c=0.}
On note  \overset{{\white{.}}}{\Omega}  l'univers de cette expérience aléatoire.

1. Soit A  l'événement : "-1 est solution de (E ) et b  = 6".

Si -1 est solution de (E ), alors nous pouvons remplacer x  par -1 dans l'équation (E ).
De plus b  = 6.
Dès lors, nous obtenons :  a\times(-1)^2+6\times(-1)+c=0 , soit  a-6+c=0 .
D'où  \boxed{a+c=6}\,.
Les couples  (a\,;\,c)  vérifiant la relation  a+c=6  sont les couples  (1\,;\,5),\,(2\,;\,4),\,(3\,;\,3),\,(4\,;\,2),\,(5\,;\,1).
Il s'ensuit que  A=\lbrace(1\,;6\,,\,5),\,(2\,;6\,,\,4),\,(3\,;6\,,\,3),\,(4\,;6\,,\,2),\,(5\,;6\,,\,1)\rbrace.
Nous associons à l'expérience aléatoire l'univers des possibles  \overset{{\white{.}}}{\Omega=\lbrace 1\,,\;2\,,\;3\,,\;4\,,\;5\,,\;6\rbrace^3,} muni de l'équiprobabilité.
Donc la probabilité de l'événement A  est égale à  p(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}=\dfrac{5}{6^3}=\dfrac{5}{216}
Par conséquent,  \boxed{p(A)=\dfrac{5}{216}}\,.

2.  Soit l'événement B  : "-2 est solution de (E ) et c  = 4".
Nous devons déterminer  p(B).

Si -2 est solution de (E ), alors nous pouvons remplacer x  par -2 dans l'équation (E ).
De plus c  = 4.
Dès lors, nous obtenons :  a\times(-2)^2+b\times(-2)+4=0 , soit  4a-2b+4=0 , soit  2a-b+2=0 .
D'où  \boxed{b=2a+2}\,.
Les couples  (a\,;\,b)  vérifiant la relation  b=2a+2  sont les couples  (1\,;\,4),\,(2\,;\,6).
Il s'ensuit que  B=\lbrace(1\,;4\,,\,4),\,(2\,;6\,,\,4)\rbrace.
Donc la probabilité de l'événement B  est égale à  p(B)=\dfrac{2}{6^3}=\dfrac{2}{216}=\dfrac{1}{108}
Par conséquent,  \boxed{p(B)=\dfrac{1}{108}}\,.

Soit l'événement C  : "la somme des solutions est -2 et leur produit est 1".
Nous devons déterminer  p(C).

La somme des solutions de l'équation du second degré  \overset{{\white{.}}}{(E) \,: \,ax²+bx+c=0}  est donnée par la formule  -\dfrac{b}{a}  et le produit de ces solutions est donné par la formule  \dfrac{c}{a}.
Dès lors, nous obtenons :  \left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{b}{a}=-2\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{c}{a}=1}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=2a\\c=a\end{matrix}\right. 

Il s'ensuit que  C=\lbrace(1\,;2\,,\,1),\,(2\,;4\,,\,2),\,(3\,;6\,,\,3)\rbrace.
Donc la probabilité de l'événement C  est égale à  p(C)=\dfrac{3}{6^3}=\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}
Par conséquent,  \boxed{p(C)=\dfrac{1}{72}}\,.

Soit l'événement D  : "les deux solutions sont confondues et b  = 4".
Nous devons déterminer  p(D).

Si les deux solutions sont confondues, alors le discriminant de l'équation (E ) est nul, soit  b^2-4ac=0.
Or b  = 4.
Donc nous obtenons :  16-4ac=0 ; soit  4ac=16 , soit  ac=4. 
Les couples  (a\,;\,c)  vérifiant la relation  ac=4  sont les couples  (1\,;\,4),\,(2\,;\,2),\,(4\,;\,1).
Il s'ensuit que  \overset{{\white{.}}}{D=\lbrace(1\,;4\,,\,4),\,(2\,;4\,,\,2),\,(4\,;4\,,\,1)\rbrace.}
Donc la probabilité de l'événement D  est égale à  p(C)=\dfrac{3}{6^3}=\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}
Par conséquent,  \boxed{p(D)=\dfrac{1}{72}}\,.

3.  L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.

3. a)  Soit F  l'événement : "L'événement A  se réalise une seule fois au 3e essai".
Nous devons montrer que la probabilité de l'évènement F  est  p(F)=\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}.

Nous avons montré que  p(A)=\dfrac{5}{216}.
Si nous notons  \overline{A}  l'événement contraire de l'événement  \overset{{\white{.}}}{A,}  alors  \overset{{\white{.}}}{p(\overline{A})=1-p(A)=1-\dfrac{5}{216}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline{A})=\dfrac{211}{216}}}

Ci-dessous un arbre pondéré représentant la situation de l'événement F .

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5  : image 3


D'où  p(F)=\left(\dfrac{211}{216}\right)^2\times\dfrac{5}{216}\times\left(\dfrac{211}{216}\right)^7\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(F)=\dfrac{5\times(211)^9}{(216)^{10}}}

3. b)  Soit Y  la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement A  à l'issue des 10 épreuves.

3. b-1)  Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "L'événement A  est réalisé" dont la probabilité est  \overset{{\white{.}}}{p=\dfrac{5}{216}} ;
Echec : "L'événement A  n'est pas réalisé" dont la probabilité est  \overset{{\white{.}}}{1-p=1-\dfrac{5}{216}=\dfrac{211}{216}.}
La variable aléatoire Y  compte le nombre de réalisations de l'événement A  à l'issue des 10 épreuves, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire Y  suit une loi binomiale  \overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(10\,;\, \dfrac{5}{216}).}

Dès lors, la loi de probabilité de Y  est donnée par :  

\boxed{p(Y=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{5}{216}\right)^k\times\left(\dfrac{211}{216}\right)^{10-k}\quad\text{ avec }k\in\N,\,k\le10}

3. b-2)  Le nombre espéré de réalisations de A  est donné par l'espérance mathématique de Y . 

E(Y)=n\times p(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=10\times\dfrac{5}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{50}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{25}{108}} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(Y)=\dfrac{25}{108}}
Donc le nombre espéré de réalisations de A  est égal à  \dfrac{25}{108}.

3. b-3)  Nous devons calculer la variance de Y .

V(Y)=n\times p(A)\times \left(\overset{}{1-p(A)}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=10\times\dfrac{5}{216}\times\dfrac{211}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{10\,550}{46\,656}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{5\,275}{23\,328}} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(Y)=\dfrac{5\,275}{23\,328}}

12 points

probleme

Partie A

Soient la fonction f  définie par :  f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&\text{si} & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&\text{si} & x\ge 1 \end{matrix}\right.
et (Cf ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal  (O\,; \vec i\,,\vec j)  d'unité 2 cm.

1.  Déterminons l'ensemble de définition Df  de f .

Pour tout réel  \overset{{\white{.}}}{x\in\;]0\,;\,1[,\,f(x)}  existe car  \overset{{\white{.}}}{\ln(x)}  existe si  \overset{{\white{.}}}{x>0}  et cette condition est réalisée sur ]0 ; 1[.
Pour tout réel  \overset{{\white{.}}}{x\in\,[1\,;\,+\infty[,\,f(x)}  existe car  \overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}  existe si  \overset{{\white{.}}}{x>0}  et cette condition est réalisée sur [1 ; +infini[.

D'où f (x ) existe pour tout réel  \overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[\,\cup\,[1\,;\,+\infty[} , soit pour tout réel  \overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,+\infty[.}
Par conséquent, l'ensemble de définition de f  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{D_f=\,]0\,;\,+\infty[}\,.}

2.  Nous devons étudier la continuité de f  en 1.

\bullet  Calculons d'abord  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x).}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\left[\overset{}{1+x-x\ln (x)}\right]} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1+1-1\times\ln(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=2} \\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=2}

Calculons ensuite  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x).}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\left[\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}}\right]} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1+\dfrac{1}{\sqrt1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=2} \\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=2}

D'où  \boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2}\,.

\bullet  De plus, nous savons que  \overset{{\white{.}}}{f(1)=1+\dfrac{1}{\sqrt1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(1)=2}\,.}
Dès lors  \overset{{\white{.}}}{\boxed{{\blue{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)}}}\,.}
Par conséquent, la fonction f  est continue en 1.

3.  Nous devons étudier la dérivabilité de f  en 1.

Nous devons donc montrer que  \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}  existe et est un nombre réel.

Premier cas : 0 < x  < 1

\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)-2}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{x-1-x\ln(x)}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\left(\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{x\ln(x)}{x-1}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\left(1-\dfrac{x\ln(x)}{x-1}\right)}
\\\overset{{\white{.}}}{{\white{.}}\phantom{WWWWWWW}=1-\lim\limits_{x\to 1^-}\left(x\times\dfrac{\ln(x)}{x-1}\right)}

D'une part,  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{{\blue{\lim\limits_{x\to 1^-}x=1}}}.
D'autre part, si g  est la fonction définie sur  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\;+\infty[}  par  \overset{{\white{.}}}{g(x)=\ln(x),}  alors

\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=g'(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=1\quad\text{car }g'(x)=\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad g'(1)=\dfrac{1}{1}=1} \\\\\Longrightarrow\quad {\blue{\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1}}

\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1-\lim\limits_{x\to 1^-}\left(x\times\dfrac{\ln(x)}{x-1}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWxW}=1-1\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWxW}=0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=0}
Par conséquent, la fonction f  est dérivable à gauche en 1 et  \boxed{f'_g(1)=0}\,.

Deuxième cas : x  > 1
\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}}\right)-2}{x-1}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt x}-1}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW} =\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt x}}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1-\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt x}}
\\\overset{{\white{.}}}{{\white{.}}\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\sqrt x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{-(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\sqrt x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{-1}{(\sqrt{x}+1)\sqrt x}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\dfrac{-1}{(\sqrt{1}+1)\sqrt 1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\dfrac{-1}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\dfrac{1}{2}}
Par conséquent, la fonction f  est dérivable à droite en 1 et  \boxed{f'_d(1)=-\dfrac{1}{2}}\,.

Nous en déduisons que la fonction f  n'est pas dérivable en 1 car  \overset{{\white{.}}}{f'_g(1)\neq f'_d(1).}

La courbe représentative (Cf ) admet donc une demi-tangente horizontale à gauche en 1 et une demi-tangente à droite en 1 de coefficient directeur  -\dfrac{1}{2}. 

4.  Nous devons déterminer les limites de f  aux bornes de Df .

\bullet  Calculons d'abord  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x).}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[1+x-x\ln (x)\right]} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\phantom{WWWWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln(x)=0}\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left[\overset{}{1+x-x\ln (x)}\right]=1+0-0=1 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1}
D'où le point de coordonnées (0 ; 1) est un point d'arrêt de la courbe (Cf ).

\bullet  Calculons ensuite  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).}
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)} \\\\\text{Or }\,\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{ \sqrt{x}}=0 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=1+0} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=1}}

D'où la droite d'équation : y  = 1 est une asymptote horizontale à la courbe (Cf ) au voisinage de +infini.

5.  Nous devons montrer que f  admet un prolongement par continuité h  à droite en 0.

Puisque  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1}  et que 0 n'appartient pas à l'ensemble de définition de f , nous en déduisons qu'il existe un prolongement par continuité h  à droite en 0 défini par :  \overset{{\phantom{.}}}{\boxed{h(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1{\white{xxxx}}\text{si}\quad x=0\\f(x)\quad\text{si }\quad  x>0\end{matrix}\right.}}

6.  Nous devons étudier la dérivabilité de h  à droite de 0.

Nous devons donc déterminer si  \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}  existe et est un nombre réel.

\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)-1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x-x\ln(x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)}
\\\overset{{\white{.}}}{\text{Or }\,\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{-\ln(x)}\right)=+\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)=+\infty} \\\\\overset{{\white{.}}}{\text{D'où  }\,\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x}=+\infty}}

Puisque  \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x}=+\infty\notin\R , nous en déduisons que la fonction h  n'est pas dérivable à droite de 0.

La courbe (Cf ) admet une demi-tangente verticale au point de coordonnées (0 ; 1).

7.  Déterminons les expressions de f' (x ) dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +infini[.

\bullet{\white{x}}Pour tout \overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[\,,}
{\white{xx}}f'(x)=\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0+1-\left(\overset{}{x'\times\ln(x)+x\times\left(\overset{}{\ln(x)}\right)'}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\left(\overset{}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\left(\overset{}{\ln(x)+1}\right)}
\\ {\white{xxi}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x}=1-\ln(x)-1} \\ {\white{xx}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-\ln(x)}
Par conséquent, \overset{{\white{.}}}{\boxed{\text{pour tout }x\in\,]0\,;\,1[,\quad f'(x)=-\ln(x)}\,.}

\bullet{\white{x}}Pour tout \overset{{\white{.}}}{x\in\,]1\,;\,+\infty[\,,}
{\white{xx}}f'(x)=\left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0-\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)'}{\left(\sqrt{x}\right)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\overset{}{-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}}}
Par conséquent, \overset{{\white{.}}}{\boxed{\text{pour tout }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}}\,.}

Nous devons ensuite dresser le tableau de variations de f .

Etudions le signe de la dérivée sur chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +infini[.

\text{pour tout }x\in\,]0\,;\,1[,\quad \ln(x)<0\quad\Longrightarrow\quad-\ln(x)>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)>0} \\\\\text{pour tout }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\quad x\sqrt{x}>0\quad\Longrightarrow\quad-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}<0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwiWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)<0}

Nous pouvons dresser le tableau de variations de f .

{\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&||&&&||&&&\\f'(x)&||&&+&||&-&&\\&||&&&||&&& \\\hline&||&&&2&&& \\f(x)&||&&\nearrow&&\searrow&&\\&\phantom{x}||1&&&&&&1\\ \hline \end{array}\end{matrix}

8. a)  Traçons (Cf ).

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5  : image 2


8. b)  Nous devons calculer l'aire A  en cm2 de la partie du plan comprise entre (Cf ), la droite d'équation y  = 1, la droite d'équation x  = 1 et la droite d'équation x  = 4.

\overset{{\white{.}}}{A=\displaystyle \int_{1}^{4} \left(\overset{}{f(x)-1}\right)\,dx} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\displaystyle \int_{1}^{4} \left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}-1}\right)\,dx} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx}

{\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}}=2\times\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{1}{2\sqrt x}\,dx\\ \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times\left[\overset{}{\sqrt{x}}\right]}_{1}^{4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times\left(\overset{}{\sqrt{4}}-\sqrt{1}\right)}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times(2-1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=2\;\text{u.a.}}

Or l'unité de longueur du repère mesure 2 cm.
Donc l'unité d'aire (u.a.) mesure 4 cm2.
Par conséquent, l'aire A  est égale à 2 multiplie 4 cm2 = 8 cm2 .

Partie B

1.  Soit g  la restriction de f  à l'intervalle [1 ; +infini[.

1. a)  Soit la fonction k  définie sur [1 ; +infini[ par  \overset{{\white{.}}}{k(x)=g(x)-x.}

Résoudre l'équation  \overset{{\white{.}}}{g(x)=x}  revient à résoudre l'équation  \overset{{\white{.}}}{k(x)=0.} 

La fonction k  est dérivable sur ]1 ; +infini[ (somme de deux fonctions dérivables sur ]1 ; +infini[).
Donc la fonction k  est continue sur ]1 ; +infini[.

Pour tout x  appartenant à ]1 ; +infini[,

k'(x)=g'(x)-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=f'(x)-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{k'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}-1\,{\red{<0}}}

Nous en déduisons que la fonction k  est strictement décroissante sur ]1 ; +infini[.

De plus,

k(1)=g(1)-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=f(1)-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=2-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{k(1)=1}

\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}k(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}[g(x)-x]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-x]} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-x]=-\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}k(x)=-\infty}

Nous en déduisons que  \overset{{\white{.}}}{k\left(\overset{}{[1\,;\,+\infty[}\right)=\,]-\infty\,;\,1].}
Donc la fonction  \overset{{\white{.}}}{k}  est une bijection de [1 ; +infini[ sur ]-infini ; 1].

Or  \overset{{\white{.}}}{0\in\,]-\infty\,;\,1].}
D'où l'équation  \overset{{\white{.}}}{k(x)=0}  admet une unique solution alpha dans [1 ; +infini[.
Par conséquent, l'équation  \overset{{\white{.}}}{g(x)=x}  admet une unique solution alpha dans [1 ; +infini[.

En outre,  \left\lbrace\begin{matrix}k(1)=1\,{\red{>0}}\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\\k(2)=g(2)-2=f(2)-2=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1\approx-0,29\,{\red{<0}}\end{matrix}\right.

Dès lors,  \boxed{1<\alpha <2}\,.

Nous devons en déduire un encadrement de alpha à 10-1 près.

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  \left\lbrace\begin{matrix}k(1,7)\approx0,07\,{\red{>0}}\phantom{w}\\k(1,8)\approx-0,05\,{\red{<0}}\end{matrix}\right.
Par conséquent,  \boxed{1,7<\alpha <1,8}\,.

1. b)  Nous devons montrer que :  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(x)|\le \dfrac{1}{2}.

\forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; g'(x)=f'(x)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad |g'(x)|=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\\\\text{Or }\,x \in [1 \,;\,+\infty[\quad\Longrightarrow\quad x\ge1\quad\text{et}\quad\sqrt{x}\ge1 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad x\sqrt{x}\ge1 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad 2x\sqrt{x}\ge2
\\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{2} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(x)|\le\dfrac{1}{2}}

1. c)  Nous devons en déduire que :  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|.

La fonction g  est dérivable sur [1 ; +infini[.
Par la question précédente, nous savons que  \forall t \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(t)|\le\dfrac{1}{2}
Selon l'inégalité des accroissements finis, nous en déduisons que  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-g(\alpha)|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|.
Or  \overset{{\white{.}}}{g(\alpha)=\alpha}  car  \overset{{\white{.}}}{\alpha}  est solution de l'équation  \overset{{\white{.}}}{g(x)=x.}

Par conséquent,  \boxed{\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|}\,.

2.  Soit  \overset{{\white{.}}}{(W_n)} la suite définie par :  \left\lbrace\begin{matrix} W_0& = & 2\\ W_{n+1}& =& 1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\,,&n\in \N. \end{matrix}\right.

2. a)  Démontrons par récurrence que pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;W_n\ge1\,.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  \overset{{\white{.}}}{W_0\ge1.}
C'est une évidence car  \overset{{\white{.}}}{W_0=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{W_0\ge1}\,.}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{W_n\ge1} , alors  \overset{{\white{.}}}{W_{n+1}\ge1.}
En effet,  

W_n\ge1\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{W_n}\ge1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad0<\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\le1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad1<1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\le2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad1<W_{n+1}\le2}

Par conséquent,  \boxed{W_{n+1}\ge1}\,.
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;W_n\ge1\,.}

2. b)  Nous devons démontrer que pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\,.}
Nous avons montré que  \forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|   et que  \forall\,n\in\N,\;W_n\ge1\,,  soit que  \forall\,n\in\N,\;W_n\in[1\;,\,+\infty[\,.

Dès lors, en remplaçant x  par  \overset{{\white{.}}}{W_n} , nous obtenons :  \overset{{\white{.}}}{\forall\,n\in\N,\;|g(W_{n})-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\,.}
Or, par définition de la fonction g , nous savons que :  \overset{{\white{.}}}{g(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt x}\quad\text{si} \quad x\ge 1.}

Etant donné que  \overset{{\white{.}}}{W_n\ge1,}  nous en déduisons que  g(W_n)=1+\dfrac{1}{\sqrt {W_n}}\quad\Longrightarrow\quad g(W_n)= W_{n+1}
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\forall\,n\in\N,\;|g(W_{n})-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\forall\,n\in\N,\;|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|}

2. c)  Démontrons par récurrence que pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\,.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  \overset{{\white{.}}}{|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \, |W_0-\alpha|\,.}
C'est une évidence.
\overset{{\white{.}}}{\text{En  effet, }\,\left(\dfrac 1 2 \right) ^0=1\quad\Longrightarrow\quad|W_0 - \alpha|\le1\times|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \times |W_0-\alpha|} \\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \, |W_0-\alpha|}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|} ,
alors  \overset{{\white{.}}}{|W_{n+1} - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n+1} \, |W_0-\alpha|.}
En effet, pour tout nombre naturel n 

|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\quad{\blue{\text{voir question 2. b)}}} \\\overset{{\white{.}}}{{\phantom{WWWWw}}\Downarrow} \\|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,\left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\quad{\blue{\text{car }|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|}} \\\overset{{\white{.}}}{{\phantom{WWWWw}}\Downarrow} \\\overset{{\white{.}}}{\boxed{|W_{n+1}-\alpha|\le\left(\dfrac 1 2 \right) ^{n+1} \, |W_0-\alpha|}}
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout  \overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;\boxed{|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|}\,.}

Nous en déduisons que :

\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n}\,|W_0-\alpha|=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} |W_{n} - \alpha|=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} (W_{n} - \alpha)=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} (W_{n})- \alpha=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} W_{n}=\alpha}
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