Fiche de mathématiques

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Bac 2022 Sénégal

Séries : S2-S2A-S4-S5

Épreuve du 1er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,; \vec u\,,\vec v)\cdot$ Soit le nombre complexe $a$ défini par $a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}\,\cdot$

1. Montrer que $a²=-2\sqrt3 -2\text i$ , puis en déduire le module de $a\cdot$

2. Ecrire $a²$ sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de $a$ est $\dfrac{19\pi}{12}\,\cdot$

3. En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ puis de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\cdot$

4. Représenter sur le même graphique les points images de $a\,,-a\,\text{ et } a²\cdot$

4 points

exercice 2

On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6. On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre $a\,,b\,,c\;\cdot$ Puis on forme l'équation du second degré $(E) \,: \,ax²+bx+c=0\;\cdot$ On note omegamaj

l'univers de cette expérience aléatoire.

1. Soit A l'évènement : " -1 est solution de (E ) et b = 6 ".
$\white w$ Justifier que la probabilité de l'évènement A est $p(A)=\dfrac{5}{216}\,\cdot$

2. On considère les évènements suivants :
$\white w$ B : " -2 est solution de (E ) et c = 4 ".
$\white w$ C : " la somme des solutions est -2 et leur produit est 1 ".
$\white w$ D : " les deux solutions sont confondues et b = 4 ".
$\white w$ La probabilité de chacun des évènements B , C et D appartiennent à l'ensemble $I=\left\lbrace\dfrac{1}{72}\,;\,\dfrac{1}{108}\,;\,\dfrac{1}{54}\right\rbrace\,\cdot$
$\white w$ Donner la probabilité de chacun des évènements B , C et D en le justifiant.

3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.
$\white w$ a. Soit F l'évènement : " L'évènement A se réalise une seule fois au 3^e essai ".
$\white {wwi}$ Montrer que la probabilité de l'évènement F est $p(F)=\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}\,\cdot$
$\white w$ b. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'évènement A à l'issue des 10 épreuves.
$\white w$ b-1 Déterminer la loi de probabilité de Y .
$\white w$ b-2 Montrer que le nombre espéré de réalisations de A est égal à $\dfrac{25}{108}\,\cdot$
$\white w$ b-3 Calculer la variance de Y .

12 points

probleme

Partie A

Soient la fonction f définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&si & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&si & x\ge 1 \end{matrix}\right.$
et (C_f ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\,; \vec i\,,\vec j)$ d'unité 2 cm.

1. Montrer que l'ensemble de définition de f est D_f = ]0 ; + infini

[.

2. Etudier la continuité de f en 1.

3. Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4. Déterminer les limites de f aux bornes de D_f et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus.

5. Montrer que f admet un prolongement par continuité à droite en 0 et définir ce prolongement h .

6. Etudier la dérivabilité de h à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.

7. Calculer f '(x) dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; + infini

[.
Dresser le tableau de variations de f .

8. a. Tracer (C_f ) .
$\white w$ b. Calculer l'aire A en cm² de la partie du plan comprise entre (C_f ) , la droite d'équation y = 1 , la droite d'équation x = 1 et la droite d'équation x = 4 .

Partie B

1. Soit $g$ la restriction de f à l'intervalle [1 ; + infini

[.
$\white w$ a. Montrer que l'équation $g(x)=x$ admet une unique solution alpha

et que 1 < alpha

< 2 .
$\white {ww}$ En déduire un encadrement de alpha

à 10^-1 près.
$\white w$ b. Montrer que : $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g'(x)|\le \dfrac 1 2 \cdot$
$\white w$ c. En déduire que : $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|\cdot$

2. Soit $(W_n)$ la suite définie par :

${\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix} W_0& = & 2\\ W_{n+1}& =& 1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\,,&n\in \textbf N\cdot \end{matrix}\right.$
$\white w$ Démontrer que : $\forall n \in \textbf N\,,$
$\white w$ a. $W_n\ge 1 \,\cdot$
$\white w$ b. $|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 |W_n - \alpha|\,\cdot$
$\white w$ c. $|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\,\cdot$
$\white {ww}$ En déduire $\lim\limits_{n \to + \infty} W_n \,\cdot$

Voir la correction

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5

4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\overset{{\white{.}}}{(O\,; \vec u\,,\vec v).}$ ${\white{\dfrac{a}{b}}}$
Soit le nombre complexe a défini par $a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}.$

1. Nous devons d'abord montrer que $a^2=-2\sqrt{3}-2\text{i}.$

$a^2= \left(\sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}\right)^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= \left(\sqrt{ 2-\sqrt {3}}\right)^2-2\,\text i \sqrt{ 2-\sqrt 3}\,\sqrt{ 2+\sqrt 3}\, -\left(\sqrt{ 2+\sqrt 3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 2-\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ (2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}\, - 2-\sqrt 3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ 4-3}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i \sqrt{ 1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= -2\sqrt {3}-2\,\text i} \\\\\Longrightarrow\boxed{a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i}$

Nous devons ensuite en déduire le module de $\overset{{\white{.}}}{a}$ .

$a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i\quad\Longrightarrow\quad |a^2|=\sqrt{ (-2\sqrt {3})^2+(-2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWii}=\sqrt{ 12+4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWii}=\sqrt{ 16}} \\\\\text{D'où }\,|a^2|=4\quad\Longleftrightarrow\quad|a|^2=4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWii}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{|a|=2}}$

2. Écrivons d'abord $a^2$ sous forme trigonométrique.

$a^2= -2\sqrt {3}-2\,\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 4\left(-\dfrac{\sqrt {3}}{2}-\dfrac{1}{2}\,\text i\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a^2}= 4\left(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\text i\,\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{a^2= 4\left[\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\text i\,\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right]}$

Vérifions ensuite qu'une des mesures de l'argument de $\overset{{\white{.}}}{a}$ est $\dfrac{19\pi}{12}.$
En effet,
$\arg(a^2)\equiv-\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\quad\Longrightarrow\quad2\arg(a)\equiv-\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwW}\quad\Longrightarrow\quad\arg(a)\equiv-\dfrac{5\pi}{12}\,[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwW}\quad\Longrightarrow\quad\arg(a)=-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\quad(k\in\Z)} \\\\\text{Si }k=2,\,\text{alors }\arg(a)=-\dfrac{5\pi}{12}+2\pi=-\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{24\pi}{12}=\dfrac{19\pi}{12}. \\\\\Longrightarrow\quad\text{Si }k=2,\,\text{alors }\boxed{\arg(a)=\dfrac{19\pi}{12}}$
Par conséquent, une des mesures de l'argument de $\overset{{\white{.}}}{a}$ est $\dfrac{19\pi}{12}.$

3. Nous devons en déduire les valeurs exactes de $\overset{{\white{.}}}{\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)}$ et $\overset{{\white{.}}}{\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right).}$
Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{|a|=2}$ et qu'une mesure de l'argument de $\overset{{\white{.}}}{a}$ est $\dfrac{19\pi}{12}.$
Dès lors, nous obtenons :

$a= 2\left(\cos\dfrac{19\pi}{12}+\text i\,\sin\dfrac{19\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=2\left[\cos\left(\pi+\dfrac{7\pi}{12}\right)+\text i\,\sin\left(\pi+\dfrac{7\pi}{12}\right)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=2\left(-\cos\dfrac{7\pi}{12}-\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{a=-2\cos\dfrac{7\pi}{12}-2\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}}$

Nous en déduisons que :

$\left\lbrace\begin{matrix}a=-2\cos\dfrac{7\pi}{12}-2\,\text i\,\sin\dfrac{7\pi}{12}\\\overset{{\white{.}}}{a = \sqrt{ 2-\sqrt 3}-\text i \, \sqrt{ 2+\sqrt 3}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-2\cos\dfrac{7\pi}{12}=\sqrt{ 2-\sqrt 3}\\\overset{{\white{.}}}{-2\,\sin\dfrac{7\pi}{12}=-\sqrt{ 2+\sqrt 3}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWiWW}.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\cos\dfrac{7\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}}{\white{x}}\end{matrix}\right.}$

Nous devons également en déduire les valeurs exactes de $\overset{{\white{.}}}{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}$ et $\overset{{\white{.}}}{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).}$

$\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{6\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\cos(-\alpha)=\cos(\alpha) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\sin \left(\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{ 2+\sqrt 3}}{2}}$

$\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{6\pi}{12}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=-\cos \left(\dfrac{7\pi}{2}\right)}\quad\text{car }\forall\alpha\in\R,\,\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)}=\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{ 2-\sqrt 3}}{2}}$

4. Graphique représentant les points images de $\overset{{\white{.}}}{a}$ , $\overset{{\white{.}}}{-a}$ et $a^2.$

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5 : image 1

4 points

exercice 2

On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de 1 à 6.
On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre $\overset{{\white{.}}}{a\,,b\,,c.}$
Puis on forme l'équation du second degré $\overset{{\white{.}}}{(E) \,: \,ax²+bx+c=0.}$
On note $\overset{{\white{.}}}{\Omega}$ l'univers de cette expérience aléatoire.

1. Soit A l'événement : "-1 est solution de (E ) et b = 6".

Si -1 est solution de (E ), alors nous pouvons remplacer x par -1 dans l'équation (E ).
De plus b = 6.
Dès lors, nous obtenons : $a\times(-1)^2+6\times(-1)+c=0$ , soit $a-6+c=0$ .
D'où $\boxed{a+c=6}\,.$
Les couples $(a\,;\,c)$ vérifiant la relation $a+c=6$ sont les couples $(1\,;\,5),\,(2\,;\,4),\,(3\,;\,3),\,(4\,;\,2),\,(5\,;\,1).$
Il s'ensuit que $A=\lbrace(1\,;6\,,\,5),\,(2\,;6\,,\,4),\,(3\,;6\,,\,3),\,(4\,;6\,,\,2),\,(5\,;6\,,\,1)\rbrace.$
Nous associons à l'expérience aléatoire l'univers des possibles $\overset{{\white{.}}}{\Omega=\lbrace 1\,,\;2\,,\;3\,,\;4\,,\;5\,,\;6\rbrace^3,}$ muni de l'équiprobabilité.
Donc la probabilité de l'événement A est égale à $p(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}=\dfrac{5}{6^3}=\dfrac{5}{216}$
Par conséquent, $\boxed{p(A)=\dfrac{5}{216}}\,.$

2. Soit l'événement B : "-2 est solution de (E ) et c = 4".
Nous devons déterminer $p(B).$

Si -2 est solution de (E ), alors nous pouvons remplacer x par -2 dans l'équation (E ).
De plus c = 4.
Dès lors, nous obtenons : $a\times(-2)^2+b\times(-2)+4=0$ , soit $4a-2b+4=0$ , soit $2a-b+2=0$ .
D'où $\boxed{b=2a+2}\,.$
Les couples $(a\,;\,b)$ vérifiant la relation $b=2a+2$ sont les couples $(1\,;\,4),\,(2\,;\,6).$
Il s'ensuit que $B=\lbrace(1\,;4\,,\,4),\,(2\,;6\,,\,4)\rbrace.$
Donc la probabilité de l'événement B est égale à $p(B)=\dfrac{2}{6^3}=\dfrac{2}{216}=\dfrac{1}{108}$
Par conséquent, $\boxed{p(B)=\dfrac{1}{108}}\,.$

Soit l'événement C : "la somme des solutions est -2 et leur produit est 1".
Nous devons déterminer $p(C).$

La somme des solutions de l'équation du second degré $\overset{{\white{.}}}{(E) \,: \,ax²+bx+c=0}$ est donnée par la formule $-\dfrac{b}{a}$ et le produit de ces solutions est donné par la formule $\dfrac{c}{a}.$
Dès lors, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{b}{a}=-2\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{c}{a}=1}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}b=2a\\c=a\end{matrix}\right.$

Il s'ensuit que $C=\lbrace(1\,;2\,,\,1),\,(2\,;4\,,\,2),\,(3\,;6\,,\,3)\rbrace.$
Donc la probabilité de l'événement C est égale à $p(C)=\dfrac{3}{6^3}=\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}$
Par conséquent, $\boxed{p(C)=\dfrac{1}{72}}\,.$

Soit l'événement D : "les deux solutions sont confondues et b = 4".
Nous devons déterminer $p(D).$

Si les deux solutions sont confondues, alors le discriminant de l'équation (E ) est nul, soit $b^2-4ac=0.$
Or b = 4.
Donc nous obtenons : $16-4ac=0$ ; soit $4ac=16$ , soit $ac=4.$
Les couples $(a\,;\,c)$ vérifiant la relation $ac=4$ sont les couples $(1\,;\,4),\,(2\,;\,2),\,(4\,;\,1).$
Il s'ensuit que $\overset{{\white{.}}}{D=\lbrace(1\,;4\,,\,4),\,(2\,;4\,,\,2),\,(4\,;4\,,\,1)\rbrace.}$
Donc la probabilité de l'événement D est égale à $p(C)=\dfrac{3}{6^3}=\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}$
Par conséquent, $\boxed{p(D)=\dfrac{1}{72}}\,.$

3. L'épreuve précédente est répétée 10 fois de suite et de façon indépendante.

3. a) Soit F l'événement : "L'événement A se réalise une seule fois au 3^e essai".
Nous devons montrer que la probabilité de l'évènement F est $p(F)=\dfrac{5\times (211)^9}{(216)^{10}}.$

Nous avons montré que $p(A)=\dfrac{5}{216}.$
Si nous notons $\overline{A}$ l'événement contraire de l'événement $\overset{{\white{.}}}{A,}$ alors $\overset{{\white{.}}}{p(\overline{A})=1-p(A)=1-\dfrac{5}{216}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline{A})=\dfrac{211}{216}}}$

Ci-dessous un arbre pondéré représentant la situation de l'événement F .

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5 : image 3

D'où $p(F)=\left(\dfrac{211}{216}\right)^2\times\dfrac{5}{216}\times\left(\dfrac{211}{216}\right)^7\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(F)=\dfrac{5\times(211)^9}{(216)^{10}}}$

3. b) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement A à l'issue des 10 épreuves.

3. b-1) Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "L'événement A est réalisé" dont la probabilité est $\overset{{\white{.}}}{p=\dfrac{5}{216}}$ ;
Echec : "L'événement A n'est pas réalisé" dont la probabilité est $\overset{{\white{.}}}{1-p=1-\dfrac{5}{216}=\dfrac{211}{216}.}$
La variable aléatoire Y compte le nombre de réalisations de l'événement A à l'issue des 10 épreuves, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire Y suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(10\,;\, \dfrac{5}{216}).}$

Dès lors, la loi de probabilité de Y est donnée par :

$\boxed{p(Y=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{5}{216}\right)^k\times\left(\dfrac{211}{216}\right)^{10-k}\quad\text{ avec }k\in\N,\,k\le10}$

3. b-2) Le nombre espéré de réalisations de A est donné par l'espérance mathématique de Y .

$E(Y)=n\times p(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=10\times\dfrac{5}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{50}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{25}{108}} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(Y)=\dfrac{25}{108}}$
Donc le nombre espéré de réalisations de A est égal à $\dfrac{25}{108}$ .

3. b-3) Nous devons calculer la variance de Y .

$V(Y)=n\times p(A)\times \left(\overset{}{1-p(A)}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=10\times\dfrac{5}{216}\times\dfrac{211}{216}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{10\,550}{46\,656}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(Y)}=\dfrac{5\,275}{23\,328}} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(Y)=\dfrac{5\,275}{23\,328}}$

12 points

probleme

Partie A

Soient la fonction f définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1+x-x\ln (x)&\text{si} & 0<x<1\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt x}&\text{si} & x\ge 1 \end{matrix}\right.$
et (C_f ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\,; \vec i\,,\vec j)$ d'unité 2 cm.

1. Déterminons l'ensemble de définition D_f de f .

Pour tout réel $\overset{{\white{.}}}{x\in\;]0\,;\,1[,\,f(x)}$ existe car $\overset{{\white{.}}}{\ln(x)}$ existe si $\overset{{\white{.}}}{x>0}$ et cette condition est réalisée sur ]0 ; 1[.
Pour tout réel $\overset{{\white{.}}}{x\in\,[1\,;\,+\infty[,\,f(x)}$ existe car $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$ existe si $\overset{{\white{.}}}{x>0}$ et cette condition est réalisée sur [1 ; + infini

[.

D'où f (x ) existe pour tout réel $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[\,\cup\,[1\,;\,+\infty[}$ , soit pour tout réel $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,+\infty[.}$
Par conséquent, l'ensemble de définition de f est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{D_f=\,]0\,;\,+\infty[}\,.}$

2. Nous devons étudier la continuité de f en 1.

$\bullet$ Calculons d'abord $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x).}$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\left[\overset{}{1+x-x\ln (x)}\right]} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1+1-1\times\ln(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=2} \\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=2}$

Calculons ensuite $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x).}$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\left[\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}}\right]} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1+\dfrac{1}{\sqrt1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=2} \\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=2}$

D'où $\boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2}\,.$

$\bullet$ De plus, nous savons que $\overset{{\white{.}}}{f(1)=1+\dfrac{1}{\sqrt1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(1)=2}\,.}$
Dès lors $\overset{{\white{.}}}{\boxed{{\blue{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)}}}\,.}$
Par conséquent, la fonction f est continue en 1.

3. Nous devons étudier la dérivabilité de f en 1.

Nous devons donc montrer que $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ existe et est un nombre réel.

Premier cas : 0 < x < 1

$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)-2}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{x-1-x\ln(x)}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\left(\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{x\ln(x)}{x-1}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^-}\left(1-\dfrac{x\ln(x)}{x-1}\right)}$
$\\\overset{{\white{.}}}{{\white{.}}\phantom{WWWWWWW}=1-\lim\limits_{x\to 1^-}\left(x\times\dfrac{\ln(x)}{x-1}\right)}$

D'une part, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{{\blue{\lim\limits_{x\to 1^-}x=1}}}.$
D'autre part, si g est la fonction définie sur $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\;+\infty[}$ par $\overset{{\white{.}}}{g(x)=\ln(x),}$ alors

$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=g'(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=1\quad\text{car }g'(x)=\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad g'(1)=\dfrac{1}{1}=1} \\\\\Longrightarrow\quad {\blue{\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1}}$

$\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1-\lim\limits_{x\to 1^-}\left(x\times\dfrac{\ln(x)}{x-1}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWxW}=1-1\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWxW}=0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=0}$
Par conséquent, la fonction f est dérivable à gauche en 1 et $\boxed{f'_g(1)=0}\,.$

Deuxième cas : x > 1
$\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}}\right)-2}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt x}-1}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW} =\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt x}}{x-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1-\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt x}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{{\white{.}}\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\sqrt x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{-(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\sqrt x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{-1}{(\sqrt{x}+1)\sqrt x}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\dfrac{-1}{(\sqrt{1}+1)\sqrt 1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\dfrac{-1}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\dfrac{1}{2}}$
Par conséquent, la fonction f est dérivable à droite en 1 et $\boxed{f'_d(1)=-\dfrac{1}{2}}\,.$

Nous en déduisons que la fonction f n'est pas dérivable en 1 car $\overset{{\white{.}}}{f'_g(1)\neq f'_d(1).}$

La courbe représentative (C_f ) admet donc une demi-tangente horizontale à gauche en 1 et une demi-tangente à droite en 1 de coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}.$

4. Nous devons déterminer les limites de f aux bornes de D_f .

$\bullet$ Calculons d'abord $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x).}$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[1+x-x\ln (x)\right]} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\phantom{WWWWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln(x)=0}\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left[\overset{}{1+x-x\ln (x)}\right]=1+0-0=1 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1}$
D'où le point de coordonnées (0 ; 1) est un point d'arrêt de la courbe (C_f ).

$\bullet$ Calculons ensuite $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).}$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)} \\\\\text{Or }\,\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{ \sqrt{x}}=0 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=1+0} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=1}}$

D'où la droite d'équation : y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe (C_f ) au voisinage de +.

5. Nous devons montrer que f admet un prolongement par continuité h à droite en 0.

Puisque $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1}$ et que 0 n'appartient pas à l'ensemble de définition de f , nous en déduisons qu'il existe un prolongement par continuité h à droite en 0 défini par : $\overset{{\phantom{.}}}{\boxed{h(x)=\left\lbrace\begin{matrix} 1{\white{xxxx}}\text{si}\quad x=0\\f(x)\quad\text{si }\quad x>0\end{matrix}\right.}}$

6. Nous devons étudier la dérivabilité de h à droite de 0.

Nous devons donc déterminer si $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}$ existe et est un nombre réel.

$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)-1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x-x\ln(x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\text{Or }\,\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{-\ln(x)}\right)=+\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\overset{}{1-\ln(x)}\right)=+\infty} \\\\\overset{{\white{.}}}{\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x}=+\infty}}$

Puisque $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{h(x)-h(0)}{x}=+\infty\notin\R$ , nous en déduisons que la fonction h n'est pas dérivable à droite de 0.

La courbe (C_f ) admet une demi-tangente verticale au point de coordonnées (0 ; 1).

7. Déterminons les expressions de f' (x ) dans chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; + infini

[.

$\bullet{\white{x}}$ Pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[\,,}$
${\white{xx}}$ $f'(x)=\left(\overset{}{1+x-x\ln(x)}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0+1-\left(\overset{}{x'\times\ln(x)+x\times\left(\overset{}{\ln(x)}\right)'}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\left(\overset{}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-\left(\overset{}{\ln(x)+1}\right)}$
$\\ {\white{xxi}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x}=1-\ln(x)-1} \\ {\white{xx}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-\ln(x)}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\text{pour tout }x\in\,]0\,;\,1[,\quad f'(x)=-\ln(x)}\,.}$

$\bullet{\white{x}}$ Pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in\,]1\,;\,+\infty[\,,}$
${\white{xx}}$ $f'(x)=\left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0-\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)'}{\left(\sqrt{x}\right)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\overset{}{-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}}}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\text{pour tout }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}}\,.}$

Nous devons ensuite dresser le tableau de variations de f .

Etudions le signe de la dérivée sur chacun des intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; + infini

[.

$\text{pour tout }x\in\,]0\,;\,1[,\quad \ln(x)<0\quad\Longrightarrow\quad-\ln(x)>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)>0} \\\\\text{pour tout }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\quad x\sqrt{x}>0\quad\Longrightarrow\quad-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}<0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWwiWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)<0}$

Nous pouvons dresser le tableau de variations de f .

${\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&||&&&||&&&\\f'(x)&||&&+&||&-&&\\&||&&&||&&& \\\hline&||&&&2&&& \\f(x)&||&&\nearrow&&\searrow&&\\&\phantom{x}||1&&&&&&1\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

8. a) Traçons (C_f ).

Bac Sénégal 2022 série S2-S2A-S4-S5 : image 2

8. b) Nous devons calculer l'aire A en cm² de la partie du plan comprise entre (C_f ), la droite d'équation y = 1, la droite d'équation x = 1 et la droite d'équation x = 4.

$\overset{{\white{.}}}{A=\displaystyle \int_{1}^{4} \left(\overset{}{f(x)-1}\right)\,dx} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\displaystyle \int_{1}^{4} \left(\overset{}{1+\dfrac{1}{\sqrt x}-1}\right)\,dx} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx}$

${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}}=2\times\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{1}{2\sqrt x}\,dx\\ \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times\left[\overset{}{\sqrt{x}}\right]}_{1}^{4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times\left(\overset{}{\sqrt{4}}-\sqrt{1}\right)}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2\times(2-1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A}=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=2\;\text{u.a.}}$

Or l'unité de longueur du repère mesure 2 cm.
Donc l'unité d'aire (u.a.) mesure 4 cm².
Par conséquent, l'aire A est égale à 2 4 cm² = 8 cm² .

Partie B

1. Soit g la restriction de f à l'intervalle [1 ; + infini

[.

1. a) Soit la fonction k définie sur [1 ; + infini

[ par $\overset{{\white{.}}}{k(x)=g(x)-x.}$

Résoudre l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=x}$ revient à résoudre l'équation $\overset{{\white{.}}}{k(x)=0.}$

La fonction k est dérivable sur ]1 ; + infini

[ (somme de deux fonctions dérivables sur ]1 ; + infini

[).
Donc la fonction k est continue sur ]1 ; + infini

[.

Pour tout x appartenant à ]1 ; + infini

[,

$k'(x)=g'(x)-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=f'(x)-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{k'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}-1\,{\red{<0}}}$

Nous en déduisons que la fonction k est strictement décroissante sur ]1 ; + infini

[.

De plus,

$k(1)=g(1)-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=f(1)-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=2-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(1)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{k(1)=1}$

$\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}k(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}[g(x)-x]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-x]} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-x]=-\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}k(x)=-\infty}$

Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{k\left(\overset{}{[1\,;\,+\infty[}\right)=\,]-\infty\,;\,1].}$
Donc la fonction $\overset{{\white{.}}}{k}$ est une bijection de [1 ; + infini

[ sur ]-

; 1].

Or $\overset{{\white{.}}}{0\in\,]-\infty\,;\,1].}$
D'où l'équation $\overset{{\white{.}}}{k(x)=0}$ admet une unique solution alpha

dans [1 ; + infini

[.
Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=x}$ admet une unique solution dans [1 ; +[.

En outre, $\left\lbrace\begin{matrix}k(1)=1\,{\red{>0}}\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\\k(2)=g(2)-2=f(2)-2=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1\approx-0,29\,{\red{<0}}\end{matrix}\right.$

Dès lors, $\boxed{1<\alpha <2}\,.$

Nous devons en déduire un encadrement de alpha

à 10^-1 près.

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}k(1,7)\approx0,07\,{\red{>0}}\phantom{w}\\k(1,8)\approx-0,05\,{\red{<0}}\end{matrix}\right.$
Par conséquent, $\boxed{1,7<\alpha <1,8}\,.$

1. b) Nous devons montrer que : $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(x)|\le \dfrac{1}{2}.$

$\forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; g'(x)=f'(x)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad |g'(x)|=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\\\\text{Or }\,x \in [1 \,;\,+\infty[\quad\Longrightarrow\quad x\ge1\quad\text{et}\quad\sqrt{x}\ge1 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad x\sqrt{x}\ge1 \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad 2x\sqrt{x}\ge2$
$\\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{WWWWWWi}}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{2} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\forall x \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(x)|\le\dfrac{1}{2}}$

1. c) Nous devons en déduire que : $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|.$

La fonction g est dérivable sur [1 ; + infini

[.
Par la question précédente, nous savons que $\forall t \in [1 \,;\,+\infty[,\; |g'(t)|\le\dfrac{1}{2}$
Selon l'inégalité des accroissements finis, nous en déduisons que $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-g(\alpha)|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|.$
Or $\overset{{\white{.}}}{g(\alpha)=\alpha}$ car $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ est solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=x.}$

Par conséquent, $\boxed{\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|}\,.$

2. Soit $\overset{{\white{.}}}{(W_n)}$ la suite définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} W_0& = & 2\\ W_{n+1}& =& 1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\,,&n\in \N. \end{matrix}\right.$

2. a) Démontrons par récurrence que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;W_n\ge1\,.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{W_0\ge1.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{W_0=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{W_0\ge1}\,.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{W_n\ge1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{W_{n+1}\ge1.}$
En effet,

$W_n\ge1\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{W_n}\ge1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad0<\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\le1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad1<1+\dfrac{1}{\sqrt{W_n}}\le2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{W_n\ge1}\quad\Longrightarrow\quad1<W_{n+1}\le2}$

Par conséquent, $\boxed{W_{n+1}\ge1}\,.$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;W_n\ge1\,.}$

2. b) Nous devons démontrer que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\,.}$
Nous avons montré que $\forall x \in [1 \,;\,+\infty[, |g(x)-\alpha|\le \dfrac 1 2 |x-\alpha|$ et que $\forall\,n\in\N,\;W_n\ge1\,,$ soit que $\forall\,n\in\N,\;W_n\in[1\;,\,+\infty[\,.$

Dès lors, en remplaçant x par $\overset{{\white{.}}}{W_n}$ , nous obtenons : $\overset{{\white{.}}}{\forall\,n\in\N,\;|g(W_{n})-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\,.}$
Or, par définition de la fonction g , nous savons que : $\overset{{\white{.}}}{g(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt x}\quad\text{si} \quad x\ge 1.}$

Etant donné que $\overset{{\white{.}}}{W_n\ge1,}$ nous en déduisons que $g(W_n)=1+\dfrac{1}{\sqrt {W_n}}\quad\Longrightarrow\quad g(W_n)= W_{n+1}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\forall\,n\in\N,\;|g(W_{n})-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\forall\,n\in\N,\;|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|}$

2. c) Démontrons par récurrence que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\,.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \, |W_0-\alpha|\,.}$
C'est une évidence.
$\overset{{\white{.}}}{\text{En effet, }\,\left(\dfrac 1 2 \right) ^0=1\quad\Longrightarrow\quad|W_0 - \alpha|\le1\times|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \times |W_0-\alpha|} \\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{|W_0 - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^0 \, |W_0-\alpha|}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|}$ ,
alors $\overset{{\white{.}}}{|W_{n+1} - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n+1} \, |W_0-\alpha|.}$
En effet, pour tout nombre naturel n

$|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,|W_n - \alpha|\quad{\blue{\text{voir question 2. b)}}} \\\overset{{\white{.}}}{{\phantom{WWWWw}}\Downarrow} \\|W_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 12 \,\left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|\quad{\blue{\text{car }|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|}} \\\overset{{\white{.}}}{{\phantom{WWWWw}}\Downarrow} \\\overset{{\white{.}}}{\boxed{|W_{n+1}-\alpha|\le\left(\dfrac 1 2 \right) ^{n+1} \, |W_0-\alpha|}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;\boxed{|W_n - \alpha|\le \left(\dfrac 1 2 \right) ^n \, |W_0-\alpha|}\,.}$

Nous en déduisons que :

$\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac 1 2 \right) ^{n}\,|W_0-\alpha|=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} |W_{n} - \alpha|=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} (W_{n} - \alpha)=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} (W_{n})- \alpha=0 \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} W_{n}=\alpha}$

Publié par malou le 28-12-2022

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