exercice 1 : Commun à tous les candidats (Physique-Chimie et Mathématiques)
Modèle de la vitesse de refroidissement d'un lait écrémé
Dans le domaine de l'agroalimentaire, la question du refroidissement des produits
préparés peut être cruciale. On peut citer par exemple la problématique de la durée
de refroidissement du lait produit dans une ferme : afin d'éviter la prolifération
microbienne, il convient de minimiser cette durée de refroidissement.
Afin d'étudier l'évolution de la température d'une masse de liquide en contact avec
l'atmosphère d'une pièce en fonction du temps, l'expérience suivante est réalisée.
Une masse de lait écrémé m = 150 g est chauffée à une température de 63,4 °C. On
laisse ensuite le lait se refroidir à l'air libre en relevant sa température toutes les
minutes.
Pendant toute la durée de l'expérience, la température de l'air de la pièce reste
constante et inférieure à celle du lait.
Résultats de l'expérience : température de la masse de lait en fonction du temps t.
Donnée :
- Pour la capacité thermique massique du lait, on prendra : clait = 4,0 kJ. kg -1 . K -1 .
1. Citer les trois modes de transferts thermiques.
2. Préciser, en le justifiant, le sens du transfert thermique entre la masse de lait et
l'air de la pièce. 3. Calculer, d'après les résultats expérimentaux, la valeur du transfert thermique Q
entre la masse de lait et l'air de la pièce entre les dates t = 1 min et t = 2 min.
Sans calcul, préciser si la valeur du transfert thermique est plus petite ou plus
grande que Q entre les dates t = 6 min et t = 7 min.
La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps t, exprimé
en minute, est modélisée par la fonction T définie sur [0; +[ par :
4. Calculer T (0) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 5. Déterminer . Selon ce modèle, quelle est la température de l'air de la pièce ? Justifier. 6. Selon ce modèle, au bout de combien de temps la température du lait vaut-elle
40°C ? Donner le résultat en minute et seconde.
6 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats, Physique-Chimie
Voir le pdf annexé
4 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats (Mathématiques)
Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que
comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes les unes des autres.
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique
clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions
sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question
supplémentaire ne rapporte aucun point.
Question 1
1. Montrer, en détaillant vos calculs, que :
2. Simplifier le nombre A ci-dessous en détaillant les calculs :
Question 2
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument
On considère le nombre complexe suivant :
1. Mettre z sous forme algébrique. Détailler les calculs. 2. Mettre z sous forme exponentielle. détailler les calculs.
Question 3
On considère l'équation différentielle (E ) : , où y est une fonction de la
variable x, définie et dérivable sur R et y ' la fonction dérivée de y.
1. Déterminer les solutions sur R de l'équation différentielle (E ). 2. Le plan est muni d'un repère.
Déterminer la solution f de (E), dont la courbe représentative C f dans ce repère
passe par le point A (ln(9) ; 1).
Question 4
On considère la fonction f définie sur R par , où a et b sont deux
nombres réels.
On considère la fonction g définie sur R par
On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g , tracées dans le
repère orthogonal ci-dessous.
1. On admet que les deux courbes C f et C g ont un unique point en commun, noté A
d'abscisse 0.
Calculer g(0), puis en déduire que a + b = -1. 2. On admet que les deux courbes C f et C g ont la même tangente T au point A.
a. Donner, pour tout réel x, une expression de puis calculer . b. En déduire la valeur de b, puis celle de a.
Question 5
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par :
1. On admet que g est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +[ et on note g ' sa fonction
dérivée. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +[,
2. Montrer que la fonction g admet un minimum, dont on précisera la valeur exacte,
sur l'intervalle ]0 ; +[.
Question 6
La tension u, exprimée en volt, aux bornes d'un dipôle en fonction du temps t,
exprimé en seconde, est donnée par :
1. Pour tout nombre réel t, écrire u(t ) sous la forme où : représente la tension maximale (exprimée en volt) ; représente la pulsation (exprimée en rad.s -1 ) ; représente le déphasage (exprimé en rad).
2. En déduire la fréquence correspondante , exprimée en Hz. Arrondir le
résultat à l'unité.
6 points
exercice 4 : au choix du candidat, Physique-Chimie
exercice 1 COMMUN À TOUS LES CANDIDATS (PHYSIQUE-CHIMIE ET MATHÉMATIQUES)
Modèle de la vitesse de refroidissement d'un lait écrémé
1. Les trois modes de transferts thermiques sont : la convection, la conduction et le rayonnement.
2. Le sens du transfert thermique se fait du milieu dont la température est la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible.
Or l'énoncé stipule que pendant toute la durée de l'expérience, la température de l'air de la pièce reste constante et inférieure à celle du lait.
Dès lors, le transfert thermique s'effectue du lait chaud vers l'air de la pièce.
3. La chaleur échangée Q que reçoit ou libère un corps lors d'un transfert thermique dépend de sa masse m , de sa capacité calorifique c et de la variation de température T :
où m est la masse exprimée en kg, c est la capacité calorifique exprimée en J.kg-1.K-1, T est la variation de température exprimée en kelvins K.
Or m = 150 g = 0,150 kg c = 4,0 kJ.kg-1.K-1 = 4000 J.kg-1.K-1 T = température finale - température initiale = 60,2 - 61,7 = -1,5°C = -1,5 K.
L'écart de température entre les dates t = 1 min et t = 2 min est égal à 60,2 - 61,7 = -1,5°C.
L'écart de température entre les dates t = 6 min et t = 7 min est égal à 53,6 - 54,7 = -1,1°C.
Donc en valeur absolue, l'écart de température entre les dates t = 6 min et t = 7 min est inférieur à l'écart de température entre les dates t = 1 min et t = 2 min.
Or le transfert thermique Q est proportionnel à cet écart.
Dès lors, en valeur absolue, le transfert thermique entre les dates t = 6 min et t = 7 min est inférieur au transfert entre les dates t = 1 min et t = 2 min.
La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps t , exprimé en minute, est modélisée par la fonction T définie sur [0; +[ par :
4. Calculons T (0).
Donc au début de l'expérience, la température du lait est de 63,4°C.
5. Nous devons déterminer
La température du lait tend à atteindre celle de la pièce.
Par conséquent, selon ce modèle, la température de la pièce est de 26,4°C.
6. Nous devons résoudre l'équation T (t ) = 40.
D'où, selon ce modèle, la température du lait vaudra 40°C après 22 minutes et 58 secondes.
6 points
exercice 2 : COMMUN À TOUS LES CANDIDATS, PHYSIQUE-CHIMIE
4 points
exercice 3 : COMMUN À TOUS LES CANDIDATS (MATHÉMATIQUES)
Question 1
Question 2
On considère le nombre complexe suivant :
1. Mettre z sous forme algébrique.
2. Mettre z sous forme exponentielle, soit sous la forme .
Nous savons que
Dès lors,
De plus,
Par conséquent, la forme exponentielle de z est :
Question 3
On considère l'équation différentielle
1. Déterminons les solutions sur R de l'équation différentielle (E ).
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Dans ce cas, et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation est de la forme , soit
2. Le plan est muni d'un repère.
Déterminer la solution f de (E ), dont la courbe représentative Cf dans ce repère passe par le point A (ln(9) ; 1).
Nous devons résoudre l'équation
Question 4
On considère la fonction f définie sur R par , où a et b sont deux nombres réels.
On considère la fonction g définie sur R par
On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g , tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.
1. On admet que les deux courbes Cf et Cg ont un unique point en commun, noté A d'abscisse 0.
Nous devons calculer g (0).
Nous devons en déduire que
Le point A appartient à Cg .
Nous savons que son abscisse est égale à 0 et que g (0) = -1.
Dès lors, les coordonnées du point A sont : (0 ; -1).
Le point A appartient à Cf .
Nous savons que les coordonnées du point A sont : (0 ; -1).
Dès lors, f (0) = -1.
2. On admet que les deux courbes Cf et Cg ont la même tangente T au point A.
2. a) La fonction g est dérivable sur R (fonction polynôme).
2. b) Les deux courbes Cf et Cg ont la même tangente T au point A(0 ; -1).
Donc f' (0) = g' (0), soit f' (0) = -4.
La fonction f est dérivable sur R.
Question 5
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par :
1. On admet que g est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +[ et on note g' sa fonction dérivée.
2. Montrons que la fonction g admet un minimum.
Pour tout réel x dans l'intervalle ]0 ; +[, le signe de g' (x ) est le signe du numérateur (x - 1)(x + 1).
Or .
Donc pour tout réel x dans l'intervalle ]0 ; +[, le signe de g' (x ) est le signe de (x - 1).
Dès lors,
La fonction g est donc décroissante pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[ et est croissante pour x > 1.
Par conséquent, la fonction g admet un minimum pour x = 1.
De plus,
Par conséquent, le minimum de la fonction g est égal à
Question 6
La tension u , exprimée en volt, aux bornes d'un dipôle en fonction du temps t , exprimé en seconde, est donnée par :
1. Pour tout nombre réel t , écrire u (t ) sous la forme
2. En déduire la fréquence correspondante
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[ par : = 37\times \text e^{-\frac{20t}{459} }+ 26,4.)
)
.
Selon ce modèle, quelle est la température de l'air de la pièce ? Justifier.=4\ln (3) + 2\ln (5).)
 - 3\; \ln \left(\dfrac {1}{\text e }\right ) )
, où y est une fonction de la
variable x, définie et dérivable sur R et y ' la fonction dérivée de y. = a + b\,e^x)
, où a et b sont deux
nombres réels. = x ^2 - 4x - 1.)
et C g les courbes représentatives des fonctions f et g , tracées dans le
repère orthogonal ci-dessous.
a. Donner, pour tout réel x, une expression de )
puis calculer )
.=\dfrac 1 2 x²-\ln (x).)
=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x})
 = \cos(50t) + \sqrt 3 sin(50t).)
 = U_{\text{ max}} \cos(\omega t + \phi) )
où :
représente la tension maximale (exprimée en volt) ;
représente la pulsation (exprimée en rad.s -1 ) ;
représente le déphasage (exprimé en rad).
, exprimée en Hz. Arrondir le
résultat à l'unité.
Document PDF]
T : 
où 
m est la masse exprimée en kg, 
c = 4,0 kJ.kg-1.K-1 = 4000 J.kg-1.K-1 \\\phantom{\text{D'où}\;Q}=-900 \\\\\Longrightarrow\boxed{Q=-900\,\text{J}})
 = 37\times \text e^{0 }+ 26,4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T(0) }= 37\times 1+ 26,4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T(0) }= 63,4} \\\\\Longrightarrow\boxed{T(0)=63,4})
.})
![\lim\limits_{t\to+\infty}\text e^{-\frac{20t}{459} }\underset{{\red{(T=\frac{20t}{459})}}}{=}\lim\limits_{T\to+\infty}\text{e}^{-T}=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}37\times\text e^{-\frac{20t}{459} }=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}\left[37\times\text e^{-\frac{20t}{459} }+26,4\right]=26,4 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)=26,4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{t\to+\infty}\text e^{-\frac{20t}{459} }\underset{{\red{(T=\frac{20t}{459})}}}{=}\lim\limits_{T\to+\infty}\text{e}^{-T}=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}37\times\text e^{-\frac{20t}{459} }=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}\left[37\times\text e^{-\frac{20t}{459} }+26,4\right]=26,4 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)=26,4})
=40\quad\Longleftrightarrow\quad37\times \text {e}^{-\frac{20t}{459} }+ 26,4=40 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad37\times \text {e}^{-\frac{20t}{459} }=40-26,4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad37\times \text {e}^{-\frac{20t}{459} }=13,6} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad \text {e}^{-\frac{20t}{459} }=\dfrac{13,6}{37}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{20t}{459} =\ln\left(\dfrac{13,6}{37}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad t= -\dfrac{459}{20} \times\ln\left(\dfrac{13,6}{37}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{T(t)=40}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{t\approx22,97}})
![{\red{1.}}\;\ln(2025)=\ln(3^4\times5^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwi}=\ln(3^4)+\ln(5^2)\quad{\blue{[\text{car }\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\text{ où }a>0,\; b>0]}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwi}=4\ln(3)+2\ln(5)\quad{\blue{[\text{car }\ln(a^n)=n\times\ln(a)\text{ où }a>0,\; n\in\R]}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\ln(2025)=4\ln(3)+2\ln(5)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{1.}}\;\ln(2025)=\ln(3^4\times5^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwi}=\ln(3^4)+\ln(5^2)\quad{\blue{[\text{car }\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\text{ où }a>0,\; b>0]}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwi}=4\ln(3)+2\ln(5)\quad{\blue{[\text{car }\ln(a^n)=n\times\ln(a)\text{ où }a>0,\; n\in\R]}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\ln(2025)=4\ln(3)+2\ln(5)})
-3\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{2.}}\;\;A}=2\times 4-3\times(-\ln\text{e})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{2.}}\;\;A}=2\times 4-3\times(-1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{2.}}\;\;A}=8+3} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{2.}}\;\;A}=11} \\\\\Longrightarrow\boxed{A=11})
{\red{\times\text{i}}}}{3\,\text{i}{\red{\times\text{i}}}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z}=\dfrac{-\text{i}+\text{i}^2}{3\,\text{i}^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z}=\dfrac{-\text{i}-1}{-3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{z}=\dfrac{\text{i}+1}{3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{z}=\dfrac{\text{i}}{3}+\dfrac{1}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\,\text{i}})
.
^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{|z|}=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{|z|}=\sqrt{\dfrac{2}{9}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{|z|}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}})
![\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{|z|}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{|z|}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}}\end{matrix}\right.\\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{{\phantom{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{|z|}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{|z|}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}}\end{matrix}\right.\\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{{\phantom{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]})
:2y'+y=0.)
est .)
et b = 0.
est de la forme =k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}-0)
, soit =k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\ \ (k\in\R)})
)=1.)
)=1\quad\Longleftrightarrow\quad k\,\text{e}^{-\frac{1}{2}\ln(9)}=1 \\\phantom{y(\ln(9))=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=\dfrac{1}{\text{e}^{-\frac{1}{2}\ln(9)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y(\ln(9))=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=\text{e}^{\frac{1}{2}\ln(9)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y(\ln(9))=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=\text{e}^{\ln(9^{\frac{1}{2}})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y(\ln(9))=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{y(\ln(9))=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f(x)=3\,\text{e}^{-\frac{1}{2}x}})
 = a + b\,\text{e}^x})
, où a et b sont deux nombres réels.
 = x ^2 - 4x - 1\quad\Longrightarrow\quad g(0)=0-0-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x) = x ^2 - 4x - 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g(0)=-1}})
 = a + b\,\text{e}^x\\f(0)=-1\phantom{xxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad a + b\,\text{e}^0=-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWwww}\quad\Longrightarrow\quad a + b\times1=-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWwww}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a + b=-1}})
 = x ^2 - 4x - 1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=2x-4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x) = x ^2 - 4x - 1}\quad\Longrightarrow\quad g'(0)=2\times0-4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x) = x ^2 - 4x - 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(0)=-4}})
 = a + b\,\text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 0 + b\,(\text{e}^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x) = a + b\,\text{e}^x}\quad\Longrightarrow\quad f'(x) = b\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x) = a + b\,\text{e}^x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0) = b\,\text{e}^0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x) = a + b\,\text{e}^x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0) = b\times1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x) = a + b\,\text{e}^x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0) = b} \\\\ \text{D'où }\;\left\lbrace\begin{matrix}f'(0)=-4\\f'(0)=b\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{b=-4} \\\\\phantom{xxxxx}\left\lbrace\begin{matrix}a+b=-1\\b=-4\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a-4=-1\\b=-4\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=-4\end{matrix}\right.})
=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x).)
![g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{1}{2}\times2x-\dfrac{1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=x-\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{x^2-1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\ x\in\;]0\,;\,+\infty[,\;g'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{1}{2}\times2x-\dfrac{1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=x-\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\dfrac {1}{2}x^2-\ln (x)}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{x^2-1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\ x\in\;]0\,;\,+\infty[,\;g'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}})
.&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
=\dfrac {1}{2}\times1^2-\ln (1)=\dfrac{1}{2}-0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=\dfrac{1}{2}}\,.)
 = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t).)
 = U_{\text{ max}} \cos(\omega t + \phi).)
![u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\left[\dfrac{1}{2}\cos(50t) + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin(50t)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(50t) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(50t)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-50t\right)} \\\phantom{wWWWWWWWWWWWWWWWWW}(\text{voir le rappel des formules}) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u(t) = 2\cos\left(50t-\dfrac{\pi}{3}\right)}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\left[\dfrac{1}{2}\cos(50t) + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin(50t)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(50t) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(50t)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad u(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-50t\right)} \\\phantom{wWWWWWWWWWWWWWWWWW}(\text{voir le rappel des formules}) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 \sin(50t)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u(t) = 2\cos\left(50t-\dfrac{\pi}{3}\right)}})
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