Fiche de mathématiques
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Baccalauréat technologique

Épreuve d'enseignement de spécialité

Métropole Session 2022

Sciences et technologies de

l'industrie et du

développement durable

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Physique-Chimie et Mathématiques

Épreuve du mercredi 11 mai 2022

Durée de l'épreuve : 3 heures



L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.


PHYSIQUE-CHIMIE : ........................................14/20 points

MATHEMATIQUES : ..........................................6/20 points

4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats (Physique-Chimie et Mathématiques)

Modèle de la vitesse de refroidissement d'un lait écrémé

Dans le domaine de l'agroalimentaire, la question du refroidissement des produits préparés peut être cruciale. On peut citer par exemple la problématique de la durée de refroidissement du lait produit dans une ferme : afin d'éviter la prolifération microbienne, il convient de minimiser cette durée de refroidissement.

Afin d'étudier l'évolution de la température d'une masse de liquide en contact avec l'atmosphère d'une pièce en fonction du temps, l'expérience suivante est réalisée. Une masse de lait écrémé m = 150 g est chauffée à une température de 63,4 °C. On laisse ensuite le lait se refroidir à l'air libre en relevant sa température toutes les minutes.
Pendant toute la durée de l'expérience, la température de l'air de la pièce reste constante et inférieure à celle du lait.

Résultats de l'expérience : température de la masse de lait en fonction du temps t.

Bac technologique STI2D Métropole 2022 : image 3


Donnée :
- Pour la capacité thermique massique du lait, on prendra :
c lait = 4,0 kJ. kg -1 . K -1 .

1. Citer les trois modes de transferts thermiques.
2. Préciser, en le justifiant, le sens du transfert thermique entre la masse de lait et l'air de la pièce.
3. Calculer, d'après les résultats expérimentaux, la valeur du transfert thermique Q entre la masse de lait et l'air de la pièce entre les dates t = 1 min et t = 2 min.
Sans calcul, préciser si la valeur du transfert thermique est plus petite ou plus grande que Q entre les dates t = 6 min et t = 7 min.

La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps t, exprimé en minute, est modélisée par la fonction T définie sur [0; +infini[ par :

T(t) = 37\times \text e^{-\frac{20t}{459} }+ 26,4.


4. Calculer T (0) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Déterminer \lim\limits_{t\to+\infty}T(t).
\white {wi} Selon ce modèle, quelle est la température de l'air de la pièce ? Justifier.
6. Selon ce modèle, au bout de combien de temps la température du lait vaut-elle 40°C ? Donner le résultat en minute et seconde.

6 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats, Physique-Chimie

Voir le pdf annexé

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats (Mathématiques)

Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes les unes des autres.
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.

Question 1


1. Montrer, en détaillant vos calculs, que :
\ln (2025)=4\ln (3) + 2\ln (5).

2. Simplifier le nombre A ci-dessous en détaillant les calculs :
A= 2\; \ln (\text e ^4) - 3\; \ln \left(\dfrac {1}{\text e }\right )


Question 2

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}
On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{-1+\text i}{3\text i}

1. Mettre z sous forme algébrique. Détailler les calculs.
2. Mettre z sous forme exponentielle. détailler les calculs.

Question 3

On considère l'équation différentielle (E ) : 2 y ' + y = 0 , où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur R et y ' la fonction dérivée de y.

1. Déterminer les solutions sur R de l'équation différentielle (E ).
2. Le plan est muni d'un repère.
Déterminer la solution f de (E), dont la courbe représentative C f dans ce repère passe par le point A (ln(9) ; 1).

Question 4

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a + b\,e^x , où a et b sont deux nombres réels.
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = x ^2 - 4x - 1.
On note C f \white i et C g les courbes représentatives des fonctions f et g , tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.
Bac technologique STI2D Métropole 2022 : image 1

1. On admet que les deux courbes C f et C g ont un unique point en commun, noté A d'abscisse 0.
Calculer g(0), puis en déduire que a + b = -1.
2. On admet que les deux courbes C f \white i et C g ont la même tangente T au point A.
\white{wi} a. Donner, pour tout réel x, une expression de g'(x) puis calculer g'(0).
\white{wi} b. En déduire la valeur de b, puis celle de a.

Question 5

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +infini[ par :
g(x)=\dfrac 1 2 x²-\ln (x).


1. On admet que g est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +infini[ et on note g ' sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +infini[,
g'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}

2. Montrer que la fonction g admet un minimum, dont on précisera la valeur exacte, sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

Question 6

Bac technologique STI2D Métropole 2022 : image 2


La tension u, exprimée en volt, aux bornes d'un dipôle en fonction du temps t, exprimé en seconde, est donnée par : u(t) = \cos(50t) + \sqrt 3 sin(50t).

1. Pour tout nombre réel t, écrire u(t ) sous la forme u(t) = U_{\text{ max}} \cos(\omega t + \phi) où :
{\white{ww}}\bullet \; U_{\text{ max} représente la tension maximale (exprimée en volt) ;
{\white{ww}}\bullet \; \omega représente la pulsation (exprimée en rad.s -1 ) ;
{\white{ww}}\bullet \; \phi représente le déphasage (exprimé en rad).

2. En déduire la fréquence correspondante f =\dfrac{\omega}{2\,\pi} , exprimée en Hz. Arrondir le résultat à l'unité.

6 points

exercice 4 : au choix du candidat, Physique-Chimie

Voir le pdf annexé.


Le sujet complet : [ Document PDF]
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