Une première urne contient sept boules numérotées de 1 à 7 , une seconde urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4.
On tire au hasard une boule de et une boule de .
1) Quelle est la probabilité pour que les numéros soient identiques ?
2) On appelle la variable aléatoire qui , à chaque tirage , fait correspondre la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles) .
exercice 2
On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel par : .
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on note le point d'affixe .
On considère le nombre complexe et le point du plan d'affixe .
1) Soit la suite définie pour tout entier naturel par .
a) Montrer que , pour tout entier naturel .
b) Démontrer que , pour tout entier naturel .
2) Démontrer que , pour tout entier naturel les points sont alignés .
exercice 3
Soit .
1) .
a) Déterminer l'affixe du point image de par .
b) Montrer que admet un point invariant que l'on déterminera .
2) Déterminer l'ensemble des points d'affixe z vérifiant : .
3) Quelle est la nature de ? Préciser les éléments géométriques .
probleme
A-
Soit la fonction définie par : .
1) Montrer que est définie sur .
2-a) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de .
Préciser les asymptotes parallèles aux axes de coordonnées .
b) Calculer . Interpréter graphiquement le résultat .
3-a) Etudier la continuité de en .
b) Démontrer que c) En déduire que est dérivable en à gauche et à droite . est-elle dérivable en ?
4) Calculer pour :
a) b) .
5) Etudier le signe de pour .
6) Dresser le tableau de variation de .
7) Montrer que l'équation admet une unique solution appartenant à .
8) Tracer , la courbe représentative de dans un repère orthonormé d'unité 1cm .
(mettre en évidence l'allure de au point d'abscisse et les droites asymptotes) .
B-
Soit la restriction de à .
1) Montrer que définit une bijection de sur un intervalle à préciser .
2) On note sa bijection réciproque .
a) Calculer . Montrer que est dérivable en .
b) Calculer .
c) Représenter la courbe de dans le repère précédent .
Une première urne contient sept boules numérotées de 1 à 7, une seconde urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4.
On tire au hasard une boule de et une boule de .
1. Nous devons calculer la probabilité que les numéros soient identiques ?
Les boules sont supposées indiscernables.
Le tirage des boules est donc équiprobable.
L'urne contient sept boules.
Donc la probabilité de tirer la boule numérotée est égale à
L'urne contient quatre boules.
Donc la probabilité de tirer la boule numérotée est égale à
Le tirage d'une boule de l'urne est indépendant du tirage d'une boule de l'urne
Dressons un tableau représentant tous les tirages possibles.
Ce tableau comporte 28 résultats possibles.
L'ensemble des tirages donnant des numéros identiques est l'ensemble
L'ensemble A comprend 4 éléments.
La probabilité de A est donc égale à
Par conséquent, la probabilité que les numéros soient identiques est égale à
2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.
2. a) Nous devons déterminer la loi de probabilité de X .
Dressons un tableau représentant toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire X.
La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
En observant les occurrences de ces valeurs dans le tableau, nous en déduisons la loi de probabilité de la variable X :
Tableau résumant la loi de probabilité de la variable X :
2. b) Calculons l'espérance mathématique de X .
Calculons la variance de X .
points
exercice 2
On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note le point d'affixe .
On considère le nombre complexe et A le point du plan d'affixe
1. Soit la suite définie pour tout entier naturel n par
1. a) Montrons que , pour tout entier naturel
Pour tout entier naturel n ,
1. b) Nous devons démontrer que , pour tout entier naturel n ,
Première méthode : Suites géométriques dans
Nous avons montré que pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que est une suite géométrique de raison et de premier terme
Or si est une suite géométrique de raison q et dont le premier terme est , alors .
Dès lors,
Par conséquent, pour tout entier naturel n ,
Deuxième méthode : Par récurrence.
Démontrons par récurrence que , pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que
2. Nous devons démontrer que , pour tout entier naturel n , les points sont alignés.
Pour tout entier naturel n , les points sont alignés si et seulement si
D'où pour tout entier naturel n , les points sont alignés.
points
exercice 3
Soit
1.
1. a) Nous devons déterminer l'affixe du point A' image de A par f .
Par conséquent, l'affixe du point A' est
1. b) Le point d'affixe est un point invariant pour f s'il est sa propre image par f .
D'où f admet un point invariant d'affixe
2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant :
Nous en déduisons que l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : est le cercle de centre A et de rayon 1.
3. Par définition de f , nous savons que
Nous savons également que f admet un point invariant d'affixe
Puisque 2 est un réel non nul différent de 1, f est une homothétie de rapport 2 et de centre d'affixe
points
probleme
Partie A
Soit la fonction f définie par :
1. Montrons que f est définie sur .
Premier cas :
est défini si
Nous obtenons alors le système suivant :
D'où, si x < 0, alors f est définie pour tout x < 0 et x -1.
Deuxième cas :
f est définie pour tout x 0.
En conclusion, f est définie sur .
2. a) Nous devons calculer les limites aux bornes du domaine de définition de f et préciser les asymptotes parallèles aux axes de coordonnées .
Calculons
Calculons
Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote horizontale en + d'équation : y = 0.
Calculons
Dès lors,
Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote verticale d'équation : x = -1.
2. b) Nous devons calculer
Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote oblique en - d'équation : y =x +2.
3. a) Nous devons étudier la continuité de f en 0 .
D'une part,
D'autre part,
Il s'ensuit que
Par conséquent, la fonction f est continue en 0.
3. b) Nous devons démontrer que
3. c)Montrons que f est dérivable à gauche en 0.
Montrons donc que le nombre dérivé de f à gauche en 0, noté est un nombre réel.
Par conséquent,
Puisque il s'ensuit que la fonction f est dérivable à gauche en 0.
Montrons que f est dérivable à droite en 0.
Montrons donc que le nombre dérivé de f à droite en 0, noté est un nombre réel.
Par conséquent,
Puisque il s'ensuit que la fonction f est dérivable à droite en 0.
En conclusion, la fonction f est dérivable en 0 car et
4. Nous devons calculer pour :
a)
b)
Calculons
5. Nous devons étudier le signe de f' (x ) pour et pour
a)
Nous savons que
Pour tout x > 0, nous obtenons alors :
b)
Nous savons que , soit
Or pour tout réel x , x2 + 1 > 0.
Donc le signe de f' (x ) sera le signe de x2 - 1.
Pour tout nous obtenons alors le tableau de signes suivant :
6. Dressons le tableau de variation de f .
En utilisant les résultats de la question précédente, nous déduisons le tableau suivant :
7. Montrons que l'équation admet une unique solution appartenant à ]-3 ; -2[.
La fonction f est continue sur l'intervalle ]-3 ; -2[ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-3 ; -2[ (voir question 6.)
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution notée appartenant à ]-3 ; -2[.
8. Traçons , la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.
Partie B
Soit g la restriction de f à
1. Montrons que g définit une bijection de sur un intervalle J à préciser .
La fonction g est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle (voir question 6 de la Partie A)
Selon le théorème de la bijection, g définit une bijection de sur
D'où
Par conséquent, g définit une bijection de sur
2. On note sa bijection réciproque .
2. a) Nous savons que car
Montrons que est dérivable en
En effet,
d'une part, nous savons que
et d'autre part, g est dérivable en -2.
De plus
Par conséquent, est dérivable en
2. b) Nous devons calculer .
2. c) Représentons la courbe de dans le repère précédent.
Les courbes et sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x .
Publié par malou/Panter
le
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