Fiche de mathématiques

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Bac Tchad 2022

Mathématiques Série D

Durée : 4 heures
Coefficient : 4

exercice 1

Une première urne $U_1$ contient sept boules numérotées de 1 à 7 , une seconde urne $U_2$ contient quatre boules numérotées de 1 à 4.
On tire au hasard une boule de $U_1$ et une boule de $U_2$ .

1) Quelle est la probabilité pour que les numéros soient identiques ?

2) On appelle $X$ la variable aléatoire qui , à chaque tirage , fait correspondre la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.
a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X$ (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles) .

exercice 2

On considère la suite $(z_n)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : $\begin{cases}z_0=0 \\z_{n+1}=\dfrac{1}{2}iz_n+5 \end{cases}$ .

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$ .
On considère le nombre complexe $z_A=4+2i$ et $A$ le point du plan d'affixe $z_A$ .

1) Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=z_n-z_A$ .
a) Montrer que , pour tout entier naturel $n \text{ , }u_{n+1}=\dfrac{1}{2}iu_n$ .
b) Démontrer que , pour tout entier naturel $n \text{ , }u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)$ .

2) Démontrer que , pour tout entier naturel $n \text{ , }$ les points $A,M_n\text{ et }M_{n+4}$ sont alignés .

exercice 3

Soit $(f)\text{ : }z'=2z+3-4i$ .

1) $z_A=-2+i$ .
a) Déterminer l'affixe du point $A'$ image de $A$ par $f$ .
b) Montrer que $f$ admet un point invariant que l'on déterminera .

2) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe z vérifiant : $|z+2-i|=1$ .

3) Quelle est la nature de $f$ ? Préciser les éléments géométriques .

probleme

A-

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\begin{cases}x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| &\text{ si }x<0 \\ (2+x)e^{-x} &\text{ si }x\geq 0\end{cases}$ .

1) Montrer que $f$ est définie sur $\R-\lbrace -1\rbrace$ .

2-a) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de $f$ .
Préciser les asymptotes parallèles aux axes de coordonnées .
b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]$ . Interpréter graphiquement le résultat .

3-a) Etudier la continuité de $f$ en $0$ .
b) Démontrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-x}-1}{x}=-1\text{ et }\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=-1$
c) En déduire que $f$ est dérivable en $0$ à gauche et à droite . $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

4) Calculer $f'(x)$ pour :
a) $x\in ]0;+\infty[$
b) $x\in ]-\infty;-1[\cup]-1;0[$ .

5) Etudier le signe de $f'(x)$ pour $x\in ]0;+\infty[ \text{ et pour }x\in ]-\infty;-1[\cup]-1;0[$ .

6) Dresser le tableau de variation de $f$ .

7) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à $]-3;-2[$ .

8) Tracer $(C_f)$ , la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ d'unité 1cm .
(mettre en évidence l'allure de $(C_f)$ au point d'abscisse $0$ et les droites asymptotes) .

B-

Soit $g$ la restriction de $f$ à $]-\infty;-1[$ .

1) Montrer que $g$ définit une bijection de $]-\infty;-1[$ sur un intervalle $J$ à préciser .

2) On note $g^{-1}$ sa bijection réciproque .
a) Calculer $g(-2)$ . Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $\ln 3$ .
b) Calculer $g^{-1}(\ln 3)$ .
c) Représenter la courbe $(C_{g^{-1}})$ de $g^{-1}$ dans le repère précédent .

Correction

Bac Tchad 2022 série D

points

exercice 1

Une première urne $\overset{{\white{.}}}{U_1}$ contient sept boules numérotées de 1 à 7, une seconde urne $\overset{{\white{.}}}{U_2}$ contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une boule de $\overset{{\white{.}}}{U_1}$ et une boule de $\overset{{\white{.}}}{U_2}$ .

1. Nous devons calculer la probabilité que les numéros soient identiques ?

Les boules sont supposées indiscernables.
Le tirage des boules est donc équiprobable.

L'urne $\overset{{\white{.}}}{U_1}$ contient sept boules.
Donc la probabilité de tirer la boule numérotée $\overset{{\white{.}}}{i\;(i\in\N,\; 1\le i \le7)}$ est égale à $\dfrac{1}{7}.$
L'urne $\overset{{\white{.}}}{U_2}$ contient quatre boules.
Donc la probabilité de tirer la boule numérotée $\overset{{\white{.}}}{j\;(j\in\N,\; 1\le j \le4)}$ est égale à $\dfrac{1}{4}.$
Le tirage d'une boule de l'urne $\overset{{\white{.}}}{U_1}$ est indépendant du tirage d'une boule de l'urne $\overset{{\white{.}}}{U_2}.$
Dressons un tableau représentant tous les tirages possibles.

${\white{WWWWWW}}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&{\red{\text{ Urne }1}}\;\backslash{\blue{\text{ Urne }2}}&{\blue{1}}&{\blue{2}}&{\blue{3}}&{\blue{4}}&&&&&\\ \hline&&&&& {\red{1}}& (1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)\\\overset{\phantom{c}}{{\red{2}}}& (2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)\\\overset{\phantom{c}}{{\red{3}}}& (3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4) \\\overset{\phantom{c}}{{\red{4}}}& (4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)\\\overset{\phantom{c}}{{\red{5}}}& (5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)\\\overset{\phantom{c}}{{\red{6}}}& (6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4) \\\overset{\phantom{c}}{{\red{7}}}& (7,1)&(7,2)&(7,3)&(7,4)\\&&&&\\ \hline \end{array}$

Ce tableau comporte 28 résultats possibles.
L'ensemble des tirages donnant des numéros identiques est l'ensemble $\overset{{\white{.}}}{A =\lbrace(1,1)\,;\,(2,2)\,;\,(3,3)\,;\,(4,4)\rbrace}.$
L'ensemble A comprend 4 éléments.
La probabilité de A est donc égale à $\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}.$
Par conséquent, la probabilité que les numéros soient identiques est égale à $\dfrac{1}{7}.$

2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.

2. a) Nous devons déterminer la loi de probabilité de X .

Dressons un tableau représentant toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire X.

${\white{WWWWWW}}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&{\red{\text{ Urne }1}}\;\backslash{\blue{\text{ Urne }2}}&{\blue{j=1}}&{\blue{j=2}}&{\blue{j=3}}&{\blue{j=4}}&&&&& \\ \hline&&&&\\&|i-j|=...&|i-j|=...&|i-j|=...&|i-j|=...&&&&&\\ {\red{i=1}}& 0&1&2&3\\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=2}}}& 1&0&1&2\\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=3}}}& 2&1&0&1 \\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=4}}}& 3&2&1&0\\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=5}}}& 4&3&2&1\\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=6}}}& 5&4&3&2\\\overset{\phantom{c}}{{\red{i=7}}}& 6&5&4&3\\&&&& \\ \hline \end{array}$

La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
En observant les occurrences de ces valeurs dans le tableau, nous en déduisons la loi de probabilité de la variable X :

${\white{WWWWWW}}$ $p(X=0)=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7} \\\overset{{\white{.}}}{p(X=1)=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}} \\\overset{{\white{.}}}{p(X=2)=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}} \\\overset{{\white{.}}}{p(X=3)=\dfrac{5}{28}} \\\overset{{\phantom{.}}}{p(X=4)=\dfrac{3}{28}} \\\overset{{\phantom{.}}}{p(X=5)=\dfrac{2}{28}=\dfrac{1}{14}} \\\overset{{\phantom{.}}}{p(X=6)=\dfrac{1}{28}}$

Tableau résumant la loi de probabilité de la variable X :

${\white{WWWWWW}}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&&x_i&\quad0\quad&\quad1\quad&\quad2\quad&\quad3\quad&\quad4\quad&\quad5\quad&\quad6\quad&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\p(X=x_i)&\dfrac{1}{7}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{14}&\dfrac{5}{28}&\dfrac{3}{28}&\dfrac{1}{14}&\dfrac{1}{28}\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

2. b) Calculons l'espérance mathématique $\overset{{\white{.}}}{E(X)}$ de X .

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^7x_i\,p(X=x_i) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=0\times\dfrac{1}{7}+1\times\dfrac{1}{4}+2\times\dfrac{3}{14}+3\times\dfrac{5}{28}+4\times\dfrac{3}{28}+5\times\dfrac{1}{14}+6\times\dfrac{1}{28}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{31}{14}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{31}{14}}$

Calculons la variance $\overset{{\white{.}}}{V(X)}$ de X .

$V(X)=\dfrac{1}{7}\times\displaystyle\sum_{i=1}^7(x_i-E(X))^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{1}{7}\times\left[\left(0-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(1-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(2-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(3-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(4-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(5-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(6-\dfrac{31}{14}\right)^2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{1}{7}\times\left[\left(-\dfrac{31}{14}\right)^2+\left(-\dfrac{17}{14}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{14}\right)^2+\left(\dfrac{11}{14}\right)^2+\left(\dfrac{25}{14}\right)^2+\left(\dfrac{39}{14}\right)^2+\left(\dfrac{53}{14}\right)^2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{1}{7}\times\left[\dfrac{961}{196}+\dfrac{289}{196}+\dfrac{9}{196}+\dfrac{121}{196}+\dfrac{625}{196}+\dfrac{1521}{196}+\dfrac{2809}{196}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{E(X)}=\dfrac{905}{196}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)=\dfrac{905}{196}}$

points

exercice 2

On considère la suite $\overset{{\white{.}}}{(z_n)}$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par : $\begin{cases}z_0=0 \\z_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text i\,z_n+5 \end{cases}$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $\overset{{\white{.}}}{M_n}$ le point d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_n}$ .
On considère le nombre complexe $\overset{{\white{.}}}{z_A=4+2\text i}$ et A le point du plan d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_A}.$

1. Soit $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ la suite définie pour tout entier naturel n par $\overset{{\white{.}}}{u_n=z_n-z_A} .$

1. a) Montrons que , pour tout entier naturel $\overset{{\white{.}}}{n \text{ , }u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n .}$

Pour tout entier naturel n ,

${\white{W}}$ $u_{n+1}=z_{n+1}-z_A \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,z_n+5-(4+2\text i)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,z_n+1-2\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,(u_n+z_A)+1-2\text i}$
${\white{W}}$ $\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,(u_n+4+2\text i)+1-2\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n+2\text i-1+1-2\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n}$

1. b) Nous devons démontrer que , pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i) .}$

Première méthode : Suites géométriques dans $\C.$

Nous avons montré que pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n.$

Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}\text i$ et de premier terme $u_0=z_0-z_A=0-(4+2\text i)=-4-2\text i.$

Or si $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ est une suite géométrique de raison q et dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{u_0}$ , alors $\boxed{u_n=u_0\times q^n}$ .
Dès lors, $\overset{{\white{.}}}{u_n=(-4-2i)\times\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n .}$
Par conséquent, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i)}\, .}$

Deuxième méthode : Par récurrence.

Démontrons par récurrence que , pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i) .}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $u_0=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^0(-4-2i) .$
C'est une évidence car $u_0=z_0-z_A=0-(4+2\text i)=-4-2\text i=1\times(-4-2\text i)=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^0(-4-2i)$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i) }$ ,
alors $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^{n+1}(-4-2i) .$
En effet,

$\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text i\,u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\text i\,\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i)}\quad(\text{par hypothèse de récurrence}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}}=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^{n+1}(-4-2i)} \\\\\Longrightarrow\quad\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^{n+1}(-4-2i)$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ ; }u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text i\right)^n(-4-2i)}\,.}$

2. Nous devons démontrer que , pour tout entier naturel n , les points $\overset{{\white{.}}}{A,M_n\text{ et }M_{n+4}}$ sont alignés.

Pour tout entier naturel n , les points $\overset{{\white{.}}}{A,M_n\text{ et }M_{n+4}}$ sont alignés si et seulement si $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}\in\R.}$

$\text{Or }\;\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}=\dfrac{u_n}{u_{n+4}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^n(-4-2i)}{\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^{n+4}(-4-2i)}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^n(-4-2i)}{\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^{4}\times\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^{n}(-4-2i)}} \\\overset{{\white{.}}}{ \phantom{{Or }\;\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\,\text i\right)^{4}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{16}}}=16 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A}=16\in\R}$

D'où pour tout entier naturel n , les points $\overset{{\white{.}}}{A,M_n\text{ et }M_{n+4}}$ sont alignés.

points

exercice 3

Soit $\overset{{\white{.}}}{(f)\text{ : }z'=2z+3-4\text i .}$

1. $z_A=-2+\text i .$

1. a) Nous devons déterminer l'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_{A'}}$ du point A' image de A par f .

${\white{WW}}$ $z_{A'}=2z_A+3-4\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_{A'}}=2(-2+\text i)+3-4\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_{A'}}=-4+2\text i+3-4\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_{A'}}=-1-2\text i}$

Par conséquent, l'affixe du point A' est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{z_{A'}=-1-2\text i}\,.}$

1. b) Le point d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_{\Omega}}$ est un point invariant pour f s'il est sa propre image par f .

$f(\Omega)=\Omega\quad\Longleftrightarrow\quad 2z_{\Omega}+3-4\text i=z_{\Omega} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\Omega)=\Omega}\quad\Longleftrightarrow\quad z_{\Omega}=-3+4\text i}$

D'où f admet un point invariant d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_{\Omega}=-3+4\text i.}$

2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : $\overset{{\white{.}}}{|z+2-\text i|=1 .}$

$|z+2-\text i|=1\quad\Longleftrightarrow\quad|z-(-2+\text i)|=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{|z+2-\text i|=1}\quad\Longleftrightarrow\quad|z-z_A|=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{|z+2-\text i|=1}\quad\Longleftrightarrow\quad AM=1}$

Nous en déduisons que l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : $\overset{{\white{.}}}{|z+2-\text i|=1}$ est le cercle de centre A et de rayon 1.

3. Par définition de f , nous savons que $z'=2z+3-4\text i.$
Nous savons également que f admet un point invariant d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_{\Omega}=-3+4\text i.}$

$z'=2z+3-4\text i\quad\Longleftrightarrow\quad z'=2z-z_{\Omega} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'=2z+3-4\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z_{\Omega}=2z-2z_{\Omega}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z'=2z+3-4\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z_{\Omega}=2(z-z_{\Omega})} \\\\\text{D'où }\;\boxed{z'=2z+3-4\text i\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z_{\Omega}=2(z-z_{\Omega})}$

Puisque 2 est un réel non nul différent de 1, f est une homothétie de rapport 2 et de centre d'affixe $\overset{{\white{.}}}{z_{\Omega}=-3+4\text i.}$

points

probleme

Partie A

Soit la fonction f définie par : $f(x)=\begin{cases}x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| &\text{ si }x<0 \\ (2+x)\,\text e^{-x} &\text{ si }x\geq 0\end{cases}$

1. Montrons que f est définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R\setminus\lbrace -1\rbrace}$ .

Premier cas : $x<0.$

$\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|$ est défini si $\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|>0.$

Nous obtenons alors le système suivant :

$\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\overset{{\white{.}}}{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|>0}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{x-1}{x+1}\neq0}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\overset{{\phantom{.}}}{x-1\neq0}\\\overset{{\phantom{.}}}{x+1\neq0}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\overset{{\phantom{.}}}{x\neq1}\\\overset{{\phantom{.}}}{x\neq-1}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\overset{{\phantom{.}}}{x\neq-1}\end{matrix}\right.}$

D'où, si x < 0, alors f est définie pour tout x < 0 et x -1.

Deuxième cas : $x\ge0.$

f est définie pour tout x 0.

En conclusion, f est définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R\setminus\lbrace -1\rbrace}$ .

2. a) Nous devons calculer les limites aux bornes du domaine de définition de f et préciser les asymptotes parallèles aux axes de coordonnées .

$_{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x-1}{x+1}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x}=1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=\ln1=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|)=-\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWi}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}}$

$_{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}(2+x)\,\text e^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}(2\,\text e^{-x}+x\,\text e^{-x}) \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2\,\text e^{-x}\quad\underset{(X=-x)}{=}\quad\lim\limits_{X\to-\infty}2\,\text e^{X}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^{-x}=0\quad\text{(croissances comparées)}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}(2\,\text e^{-x}+x\,\text e^{-x})=0,\;\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote horizontale en + d'équation : y = 0.

$_{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-1}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^-}(x-1)=-2\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-1^-}(x+1)=0^-}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1^-}\dfrac{x-1}{x+1}=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1^-}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^+}(x-1)=-2\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-1^+}(x+1)=0^+}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1^+}\dfrac{x-1}{x+1}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1^+}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty$
Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^-}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-1^+}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1}\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-1}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1}(x+2)=-1+2=1\\\lim\limits_{x\to-1}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty\phantom{xxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-1}\left(x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)=+\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1}(x+2)=-1+2=1\\\lim\limits_{x\to-1}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=+\infty\phantom{xxx}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-1}f(x)=+\infty}$

Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote verticale d'équation : x = -1.

2. b) Nous devons calculer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left[f(x)-(x+2)\right] .}$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x+2)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x+2)\right]}=0\quad(\text{voir dans le premier développement de la question 2. a})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=0}$

Nous en déduisons que la courbe représentative de f possède une asymptote oblique en - d'équation : y =x +2.

3. a) Nous devons étudier la continuité de f en 0 .

$_{\bullet}{\white{x}}$ D'une part,

${\white{xxxx}}$ $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\left(x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f(x)}=0+2+\ln1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f(x)}=2} \\\\\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2+x)\,\text e^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=(2+0)\,\text e^{0}=2\times1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=2}$

$_{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part,

${\white{xxxx}}$ $f(0)=(2+0)\,\text e^{0}=2\times1=2 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(0)=2}$
Il s'ensuit que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0).}$
Par conséquent, la fonction f est continue en 0.

3. b) Nous devons démontrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-x}-1}{x}=-1\text{ et }\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=-1.$

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^0}{x-0} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWxWi}=h'(0)\quad\quad\text{où }\,h(x)=\text{e}^{-x}} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWxWi}=-1\quad\quad\text{[ car }\,h'(x)=-\text{e}^{-x}\Longrightarrow h'(0)=-\text{e}^0=-1]} \\\\\overset{{\phantom{.}}}{\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}=-1}}$

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)-\ln(1-0)}{x-0} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWi}=k'(0)\quad\quad\text{où }\,k(x)=\ln(1-x)} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWi}=-1\quad\quad\text{[ car }\,k'(x)=\dfrac{-1}{1-x}\Longrightarrow k'(0)=\dfrac{-1}{1-0}=-1]} \\\\\overset{{\phantom{.}}}{\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=-1}}$

3. c) $_{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que f est dérivable à gauche en 0.
Montrons donc que le nombre dérivé de f à gauche en 0, noté $\overset{{\white{.}}}{f'_g(0),}$ est un nombre réel.

$f'_g(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\left(x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)-2}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}{x} \\\\\phantom{f'_g(0)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+\ln|x-1|-\ln|x+1|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{\ln|x-1|}{x}-\dfrac{\ln|x+1|}{x}\right) \\\\\phantom{f'_g(0)}=\lim\limits_{x\to0^-}\left(1+\dfrac{\ln|x-1|}{x}-\dfrac{\ln|x+1|}{x}\right)$

$\text{Or }\;x\to0^-\quad\Longrightarrow\quad x<0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x\to0^-}\quad\Longrightarrow\quad x-1<-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x\to0^-}\quad\Longrightarrow\quad x-1<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x\to0^-}\quad\Longrightarrow\quad |x-1|=1-x} \\\\\text{Donc }\;\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln|x-1|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=-1\quad(\text{voir question 3. b}) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln|x-1|}{x}=-1}$

$\text{et }\;x\to0^-\quad\Longrightarrow\quad x>-1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x\to0^-}\quad\Longrightarrow\quad x+1>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x\to0^-}\quad\Longrightarrow\quad |x+1|=x+1} \\\\\text{Donc }\;\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln|x+1|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln(x+1)}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=\lim\limits_{-X\to0^-}\dfrac{\ln(-X+1)}{-X}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=-\lim\limits_{X\to0^+}\dfrac{\ln(1-X)}{X}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=-(-1)\quad(\text{voir question 3. b})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln|x+1|}{x}=1}$

Par conséquent,

$f'_g(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\left(1+\dfrac{\ln|x-1|}{x}-\dfrac{\ln|x+1|}{x}\right) \\\\\phantom{f'_g(0)}=1-1-1=-1 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'_g(0)=-1}$

Puisque $\overset{{\white{.}}}{f'_g(0)\in\R,}$ il s'ensuit que la fonction f est dérivable à gauche en 0.

$_{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que f est dérivable à droite en 0.
Montrons donc que le nombre dérivé de f à droite en 0, noté $\overset{{\white{.}}}{f'_d(0),}$ est un nombre réel.

$f'_d(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{(2+x)\,\text e^{-x}-2}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{2\,\text e^{-x}+x\,\text e^{-x}-2}{x} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{2\,(\,\text e^{-x}-1)+x\,\text e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{2\,(\,\text e^{-x}-1)}{x}+\dfrac{x\,\text e^{-x}}{x}\right) \\\\\phantom{f'_d(0)}=2\,\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{\text e^{-x}-1}{x}\right)+\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}$

$\text{Or }\;\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{\text e^{-x}-1}{x}\right)=-1\quad(\text{voir question 3. b}) \\\\\text{et }\;\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}=\text e^0=1$

Par conséquent,

$f'_d(0)=2\,\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{\text e^{-x}-1}{x}\right)+\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_d(0)}=2\times(-1)+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_d(0)}=-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'_d(0)=-1}$

Puisque $\overset{{\white{.}}}{f'_d(0)\in\R,}$ il s'ensuit que la fonction f est dérivable à droite en 0.

$_{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, la fonction f est dérivable en 0 car $\overset{{\white{.}}}{f'_g(0)=f'_d(0)\in\R}$ et $\boxed{f'(0)=-1}$

4. Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{f'(x)}$ pour :

a) $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]0;+\infty[.}$

$f'(x)=[(2+x)\,\text e^{-x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(2+x)'\times\text e^{-x}+(2+x)\times(\text e^{-x})'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text e^{-x}+(2+x)\times(-\,\text e^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(1-2-x)\times\text e^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(-1-x)\times\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\,;\,+\infty[,\;f'(x)=(-1-x)\times\text e^{-x}}$

b) $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]-\infty;-1[\cup]-1;0[ .}$

$f'(x)=\left(x+2+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)' \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=1+\left(\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)'$

Calculons $\left(\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)'.$

$\left(\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)'=\dfrac{1}{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}\times \left(\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{1}{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}\times\dfrac{\dfrac{x-1}{x+1}}{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}\times \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{\dfrac{x-1}{x+1}}{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2}\times\dfrac{(x-1)'\times (x+1)-(x-1)\times (x+1)'}{(x+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x+1}}\times\dfrac{1\times (x+1)-(x-1)\times 1}{(x+1)^2}}$

$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x+1}}\times\dfrac{2}{(x+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWvWW}=\dfrac{2}{x^2-1}} \\\\\Longrightarrow\quad f'(x)=1+\left(\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)'=1+\dfrac{2}{x^2-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\Longrightarrow\quad f'(x)}=\dfrac{x^2-1+2}{x^2-1}=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\forall\,x\in\; ]-\infty;-1[\;\cup\;]-1;0[\,,\;f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}}$

5. Nous devons étudier le signe de f' (x ) pour $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]0;+\infty[}$ et pour $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]-\infty;-1[\;\cup\;]-1;0[ .}$

a) $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]0;+\infty[.}$
Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{f'(x)=(-1-x)\times\text e^{-x}}$
Pour tout x > 0, nous obtenons alors : $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}-1-x<0\\\text e^{-x}>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad(-1-x)\,\text e^{-x}<0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)<0}}$

b) $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]-\infty;-1[\cup]-1;0[ .}$
Nous savons que $f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$ , soit $f'(x)=\dfrac{x^2+1}{(x+1)(x-1)}$
Or pour tout réel x , x ² + 1 > 0.
Donc le signe de f' (x ) sera le signe de x ² - 1.
Pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in\; ]-\infty;-1[\cup]-1;0[,}$ nous obtenons alors le tableau de signes suivant :

${\white{WWWWWW}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&-1&&&0\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& x^2-1&& + && 0 & &- &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&||&&&\\ f'(x)&&+&&||&&-&\\&&&&|| &&&\\ \hline \end{array}$

6. Dressons le tableau de variation de f .

En utilisant les résultats de la question précédente, nous déduisons le tableau suivant :

${\white{WWWWWW}}\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline &&&&&&&&&&\\ x &-\infty&&&-1&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&&&&& \\ \hline&&&&||&&&&&&& f'(x)&& + && || &- &&-&&-&\\&&&&||&&&&&&\\ \hline&&&&+\infty\;||+\infty&&&&&&\\ f(x)&&\nearrow&&||&\searrow&&2&&\searrow&\\&-\infty&&&|| &&&&&&(0)\\ \hline \end{array}$

7. Montrons que l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=0}$ admet une unique solution $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à ]-3 ; -2[.

La fonction f est continue sur l'intervalle ]-3 ; -2[ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-3 ; -2[ (voir question 6.)

$\left\lbrace\begin{matrix}f(-3)=-3+2+\ln\left|\dfrac{-3-1}{-3+1}\right|=-1+\ln2\approx-0,3<0\\f(-2)=-2+2+\ln\left|\dfrac{-2-1}{-2+1}\right|=\ln3\approx1,1>0\phantom{wwww}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,f(-3)\,;\,f(-2)\,[}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=0}$ admet une unique solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à ]-3 ; -2[.

8. Traçons $\overset{{\white{.}}}{(C_f)}$ , la courbe représentative de f dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ d'unité 1 cm.

Partie B

Soit g la restriction de f à $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[\,.}$

1. Montrons que g définit une bijection de    $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[}$ sur un intervalle J à préciser .

La fonction g est continue sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[}$ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[}$ (voir question 6 de la Partie A)

Selon le théorème de la bijection, g définit une bijection de    $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[}$ sur $\overset{{\white{.}}}{g(]-\infty\,;\,-1[).}$

$\text{Or }\;\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\quad(\text{voir question 2. a) - Partie A)} \\\phantom{\text{Or }\;}\lim\limits_{x\to-1^-}g(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\quad(\text{voir question 2. a) - Partie A)}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{g(]-\infty\,;\,-1[)=\;]-\infty\,;\,+\infty[\;=\R}$
Par conséquent, g définit une bijection de    $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[}$ sur $\R.$

2. On note $g^{-1}$ sa bijection réciproque .

2. a) Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{g(-2)=\ln3}$ car $\overset{{\white{.}}}{g(-2)=f(-2)=\ln3\quad(\text{voir question 7. - Partie A).}}$

Montrons que $g^{-1}$ est dérivable en $\ln 3.$

En effet,

d'une part, nous savons que $g(-2)=\ln3$
et d'autre part, g est dérivable en -2.
De plus $\overset{{\white{.}}}{g'(-2)=f'(-2)=\dfrac{(-2)^2+1}{(-2)^2-1}=\dfrac{5}{3}\quad\Longrightarrow\,g'(-2)\neq0.}$
Par conséquent, $g^{-1}$ est dérivable en $\ln 3.$

2. b) Nous devons calculer $g^{-1}(\ln 3)$ .

$g^{-1}(\ln 3)=g^{-1}(g(-2))=-2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g^{-1}(\ln 3)=-2}$

2. c) Représentons la courbe $\overset{{\white{.}}}{(C_{g^{-1}})}$ de $g^{-1}$ dans le repère précédent.
Les courbes $\overset{{\white{.}}}{(C_{g})}$ et $\overset{{\white{.}}}{(C_{g^{-1}})}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x .

Publié par malou/Panter le 17-03-2023

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