Pour chaque questionnaire , choisir la bonne réponse parmi les trois propositions .
1) La fonction a pour ensemble de définition :
2) La suite numérique définie par : est une suite arithmétique de raison :
3) L'équation dans admet comme ensemble de solutions :
4) La droite de régression d'une série statistique double est la droite qui passe :
a) forcément par l'origine du repère .
b) par un seul point du nuage de points .
c) le plus près possible de tous les points du nuage .
5,5 points
exercice 2
20 chapitres de même difficulté constituent le programme de mathématiques de la Terminale A4 d'un pays . Le titre de chaque chapitre est inscrit sur un bout de papier et l'ensemble de ces 20 papiers indiscernables est placé dans une urne . Lors d'un examen , le candidat tire simultanément trois papiers de cette urne . Un candidat n'ayant étudié que le quart du programme se présente à cet examen et tire trois papiers de l'urne .
1) Combien de chapitres ce candidat a-t-il étudié ?
2) Calculer la probabilité pour que ce candidat ait étudié :
a) A :"les trois chapitres" .
b) B :"Deux des trois chapitres"
c) C :"Aucun des trois chapitres"
10,5 points
probleme
Soient et deux fonctions numériques de la variable réelle définies sur par : .
On désigne par et les représentations graphiques respectives de et dans le même repère orthonormé (unité graphique 2cm) .
1) Etudier le sens de variation de puis dresser son tableau de variation .
2-a) Vérifier que pour tout de , . En déduire .
b) Sachant que pour tout , calculer la limite de en .
3-a) Montrer que pour tout de , , puis étudier suivant les valeurs de , le signe de où est la dérivée de .
b) Etablir le sens de variation de puis dresser son tableau de variation .
4-a) Résoudre dans , l'équation . En déduire les coordonnées du point d'abscisse non nulle , intersection de avec l'axe des abscisses .
b) Résoudre dans , l'équation . En déduire les coordonnées des points d'intersection et de et où l'abscisse de est un entier naturel .
5) Construire dans le même repère, les courbes et .
En effet, en notant l'ensemble de définition de la fonction
On a:
2)La bonne réponse estc)
Cliquez pour afficher
On a, pour tout entier naturel
Donc la raison de la suite
3)La bonne réponse estb)
Cliquez pour afficher
Posons
Calculons le discriminent pour résoudre l'équation
L'équation admet deux solutions:
Donc:
On en tire que
Ce qui permet de poursuivre la résolution de l'équation demandée:
L'ensemble des solutions est donc bien
4)La bonne réponse estc)
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D'après le cours: La droite de régression d'une série statistique double est la droite qui passe le plus près possible de tous les points du nuage.
5,5 points
exercice 2
1) Il y a au total chapitres et l'étudiant en a étudié le quart, soit
2) On a 20 papiers , 5 de chapitres étudiés par le candidat et donc 15 papiers de chapitres non étudiés.
Le candidat tire simultanément et au hazard 3 papiers , donc
a)A :"Le candidat ait étudié les trois chapitres" .
Donc:
b)B :"Le candidat ait étudié deux des trois chapitres" .
Donc:
c)C :"Le candidat n'ait étudié aucun des trois chapitres" .
Donc:
10,5 points
probleme
1) On a ,
est la fonction exponentielle, on sait qu'elle est définie et dérivable sur . Donc:
Ensuite, on sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur
Ce qui veut dire que:
Dressons le tableau de variations:
On a d'après le cours
Remarque:
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Tous ces résultats sont des propriétés de la fonction exponentielle vues dans le cours et qui doivent donc être bien connus, on les redémontre ici car l'examinateur le demande.
2-a) Pour tout .
En factorisant avec dans l'expression
Donc:
Puisque
Alors
b) On nous donne la limite suivante pour tout entier naturel .
Donc, pour
En développant l'expression de , on calcule la limite de en
3-a) La fonction est dérivable sur comme produit de la fonction exponentielle et une fonction polynôme dérivables sur cet intervalle.
Puisque , alors le signe de est celui du polynôme de second degré . Cherchons les racines de ce polynôme pour pouvoir étudier son signe:
Pour cela, on calcule le discriminent: .
Le polynôme admet deux racines:
Puisque le discriminent est strictement positif, le signe de est celui de à l'extérieur des racines et celui de entre les racines.
Tableau de signes:
Le signe de étant celui de , on conclut alors que:
b) On déduit de la question précédente directement que:
On dresse le tableau de variations de :
En effet :
4-a)
On en déduit que la courbe de coupe l'axe des abscisses en deux points :
Le premier est d'abscisse , donc c'est l'origine du repère .
Le deuxième est d'abscisse , qui est donc le point
b) Résolvons dans , l'équation
Calculons le discriminent
L'équation admet deux solutions :
Les abscisses des points d'intersection de et sont les solutions de l'équation
En effet
Donc on a deux points d'intersection de et , qu'on note et , respectivement d'abscisses et (car l'abscisse de est un entier naturel)
Calculons les ordonnées et , ce sont respectivement les images de et par la fonction ou la fonction , on utilise la fonction car son expression est la plus simple, on trouve:
5) Le graphique:
Publié par malou/Panter
le
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