Fiche de mathématiques
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Bac Togo 2022

Mathématiques Série A4

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Durée : 2 heures
Coefficient : 1


4 points

exercice 1

Pour chaque questionnaire , choisir la bonne réponse parmi les trois propositions .

1) La fonction x\mapsto\ln(-x) a pour ensemble de définition :

\red{\text{ a) }\black ]-\infty ; 0[ \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ b) }\black ]0;+\infty[ \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ c) }\black ]1;+\infty[


2) La suite numérique U définie par : U_n=2n\left(9n+\dfrac{9}{2}\right)-18n^2+ 3 est une suite arithmétique de raison :

\red{\text{ a) }\black -9 \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ b) }\black -18 \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ c) }\black 9


3) L'équation dans \R\text{ : }(2\ln x-1)\left[\left(\ln x\right)^2-5\ln x+6\right]=0 admet comme ensemble de solutions :

\red{\text{ a) }\black \left\lbrace e^{\frac{1}{2}};e^{-2};e^{3}\right\rbrace \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ b) }\black \left\lbrace e^{\frac{1}{2}};e^{2};e^{3}\right\rbrace \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\red{\text{ c) }\black \left\lbrace e^{-\frac{1}{2}};e^{-2};e^{-3}\right\rbrace


4) La droite de régression d'une série statistique double est la droite qui passe :
a) forcément par l'origine du repère .
b) par un seul point du nuage de points .
c) le plus près possible de tous les points du nuage .

5,5 points

exercice 2

20 chapitres de même difficulté constituent le programme de mathématiques de la Terminale A4 d'un pays . Le titre de chaque chapitre est inscrit sur un bout de papier et l'ensemble de ces 20 papiers indiscernables est placé dans une urne . Lors d'un examen , le candidat tire simultanément trois papiers de cette urne . Un candidat n'ayant étudié que le quart du programme se présente à cet examen et tire trois papiers de l'urne .

1) Combien de chapitres ce candidat a-t-il étudié ?

2) Calculer la probabilité pour que ce candidat ait étudié :
a) A :"les trois chapitres" .
b) B :"Deux des trois chapitres"
c) C :"Aucun des trois chapitres"

10,5 points

probleme

Soient f et g deux fonctions numériques de la variable réelle x définies sur \R par : f(x)=(-2x^2+3x)e^{x}\text{ et }g(x)=e^x .
On désigne par (C) et (\Gamma) les représentations graphiques respectives de f et g dans le même repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 2cm) .

1) Etudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variation .

2-a) Vérifier que pour tout x de \R , f(x)=(-2x+3)xe^{x} . En déduire \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) .
b) Sachant que pour tout n\in\N\text{ , }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0 , calculer la limite de f en -\infty .

3-a) Montrer que pour tout x de \R , f'(x)=(-2x^2-x+3)e^x , puis étudier suivant les valeurs de x , le signe de f'(x)f' est la dérivée de f .
b) Etablir le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation .

4-a) Résoudre dans \R , l'équation f(x)=0 . En déduire les coordonnées du point K d'abscisse non nulle , intersection de (C) avec l'axe des abscisses .
b) Résoudre dans \R , l'équation -2x^2+3x-1=0 . En déduire les coordonnées des points d'intersection A et B de (C) et (\Gamma) où l'abscisse de A est un entier naturel .

5) Construire dans le même repère, les courbes (C) et (\Gamma) .









4 points

exercice 1

1) La bonne réponse est a)

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2) La bonne réponse est c)

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3) La bonne réponse est b)

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4) La bonne réponse est c)

 Cliquez pour afficher
5,5 points

exercice 2

1) Il y a au total 20 chapitres et l'étudiant en a étudié le quart, soit \dfrac{20}{4}=5

\boxed{\text{Le candidat a étudié 5 chapitres}}


2) On a 20 papiers , 5 de chapitres étudiés par le candidat et donc 15 papiers de chapitres non étudiés.

Le candidat tire simultanément et au hazard 3 papiers , donc \displaystyle\text{Card}(\Omega)={ 20\choose 3}=1140

a) A :"Le candidat ait étudié les trois chapitres" .

Donc:  \displaystyle P(A)=\dfrac{{ 5\choose 3}  }{{ 20\choose 3}  }=\dfrac{10}{1140}\Rightarrow \boxed{P(A)=\dfrac{1}{114}}

b) B :"Le candidat ait étudié deux des trois chapitres" .

Donc:  \displaystyle P(B)=\dfrac{{ 5\choose 2}{ 15\choose 1}  }{{ 20\choose 3}  }=\dfrac{15}{114}\Rightarrow \boxed{P(B)=\dfrac{5}{38}}

c) C :"Le candidat n'ait étudié aucun des trois chapitres" .

Donc:  \displaystyle P(C)=\dfrac{{ 15\choose 3}  }{{ 20\choose 3}  }=\dfrac{455}{1140}\Rightarrow \boxed{P(C)=\dfrac{91}{228}} 10,5 points

probleme

1) On a , \forall x\in\R\text{ : }g(x)=e^x

g est la fonction exponentielle, on sait qu'elle est définie et dérivable sur \R . Donc: \forall x\in\R\text{ : }g'(x)=(e^x)'=e^x

Ensuite, on sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur \R\text{ , donc pour tout }x\in\R\text{ : }g'(x)=e^x>0

Ce qui veut dire que:

\boxed{g\text{ est strictement croissante sur }\R}


Dressons le tableau de variations:

On a d'après le cours \displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^x=0\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty

\begin{array}{|c|cccc|} \hline x       & -\infty  &   &   &   +\infty  \\ \hline     g'(x)           &&  &  +  &    \\ \hline                &&  &    & +\infty   \\            g   & &  &    \nearrow &    \\                  &0   & &   &  \\   \hline \end{array}


Remarque:

 Cliquez pour afficher


2-a) Pour tout x\in\R \text{ : } f(x)=(-2x^2+3x)e^{x}.

En factorisant avec x dans l'expression (-2x^2+3x)\text{ , on obtient } -2x^2+3x=(-2x+3)x

Donc:

\boxed{\text{ Pour tout }x\in\R \text{ : } f(x)=(-2x+3)xe^{x}}


Puisque \displaystyle\lim_{x\to +\infty}x=+\infty\enskip\enskip\text{ , }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty}-2x+3=-\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty

Alors \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-2x+3)xe^{x}=(-\infty)\times(+\infty)\times(+\infty)=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}


b) On nous donne la limite suivante pour tout entier naturel n\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0 .

Donc, pour n=1 \text{ et } n=2 \text{ , on a }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^x=0

En développant l'expression de f, on calcule la limite de f en -\infty\text{ : }

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-2x^2+3x)e^{x}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-2x^2e^x+3xe^{x}=-2\times 0 +3\times 0=0

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=0}


3-a) La fonction f est dérivable sur \R comme produit de la fonction exponentielle et une fonction polynôme dérivables sur cet intervalle.

\begin{matrix}f'(x)&=&\left((-2x^2+3x)e^{x}\right)'&=& (-2x^2+3x)'e^{x}+(-2x^2+3x)\left(e^{x}\right)'\\\\&=& (-4x+3)e^x+(-2x^2+3x)e^x &=& (-4x+3-2x^2+3x)e^x \\\\&=& \boxed{(-2x^2-x+3)e^x }\end{matrix}

Puisque \text{ pour tout }x\in\R\text{ : }e^x>0 , alors le signe de f'(x) est celui du polynôme de second degré -2x^2-x+3 . Cherchons les racines de ce polynôme pour pouvoir étudier son signe:

Pour cela, on calcule le discriminent: \Delta=(-1)^2-4\times(-2)\times 3=1+24=25>0 .

Le polynôme admet deux racines:

x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times(-2)}=\dfrac{1-5}{-4}=\dfrac{-4}{-4}=1

x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times(-2)}=\dfrac{1+5}{-4}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac{3}{2}

Puisque le discriminent est strictement positif, le signe de -2x^2-x+3 est celui de (-2) à l'extérieur des racines et celui de -(-2)=2 entre les racines.

Tableau de signes:

\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline x & -\infty &  &-3/2&&1 & & +\infty & \\ \hline\text{signe de }-2x^2-x+3 & & - &\barre{0}&+&\barre{0 }& - & & \\ \hline\end{array}

Le signe de f'(x) étant celui de -2x^2-x+3 , on conclut alors que:

\boxed{\begin{matrix}\text{ Pour tout }x\in\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right] \cup [1;+\infty[\text{ : }f'(x)\leq 0 \\ \text{ Pour tout } x\in \left[-\dfrac{3}{2};1\right]\text{ : }f'(x)\geq 0 \end{matrix}}


b) On déduit de la question précédente directement que:

\boxed{\begin{matrix} f\text{ est décroissante sur }\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right] \cup [1;+\infty[ \\ f\text{ est croissante sur }\left[-\dfrac{3}{2};1\right] \end{matrix} }


On dresse le tableau de variations de f :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x       & -\infty  &       &-3/2&&1&   &   +\infty   \\ \hline            f'(x)    & & - &\barre{0}&+&\barre{0 }& - &    \\ \hline                & 0&&  &    &e &&   \\            f   & &\searrow& &\nearrow & &   \searrow &    \\                    && &-9e^{-\frac{3}{2}}&&    &   & -\infty \\   \hline \end{array}


En effet :
f(1)=(-2\times 1 +3\times 1 )e^1=(-2+3)e=e
f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\left[-2\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 +3\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right]e^{-\frac{3}{2}}=\left(-\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}\right)e^{-\frac{3}{2}}=-9e^{-\frac{3}{2}}

4-a)

\begin{matrix} f(x)=0&\iff&(-2x+3)xe^{x}=0 \\&\iff& -2x+3=0\text{ ou }x=0 \text{ ou }e^x = 0 \\&\iff& 3=2x \text{ ou }x= 0 &\left(\text{ en effet , pour tout réel }x\text{ : }e^x>0 \text{ , donc }e^x\neq 0 \right) \\&\iff& x=\dfrac{3}{2}\text{ ou }x=0\end{matrix}

On en déduit que la courbe (C) de f coupe l'axe des abscisses en deux points :

Le premier est d'abscisse 0 , donc c'est l'origine du repère O(0;0) .
Le deuxième est d'abscisse \dfrac{3}{2}\neq 0 , qui est donc le point \boxed{K\left(\dfrac{3}{2};0\right)}

b) Résolvons dans \R , l'équation -2x^2+3x-1=0

Calculons le discriminent \Delta=(3)^2-4\times(-1)\times (-2)=9-8=1>0

L'équation admet deux solutions :

x_1=\dfrac{-3-1}{-4}=\dfrac{-4}{-4}=1 \text{ et }x_2= \dfrac{-3+1}{-4}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}

\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation } -2x^2+3x-1=0 \text{ est : }\left\lbrace \dfrac{1}{2};1\right\rbrace}


Les abscisses des points d'intersection de (C) et (\Gamma) sont les solutions de l'équation f(x)=g(x)

f(x)=g(x)\iff (-2x^2+3x)e^{x}=e^x \iff (-2x^2+3x)e^x-e^x=0\iff (-2x^2+3x-1)e^x=0 \iff -2x^2+3x-1=0

En effet e^x\neq 0 \text{ pour tout réel }x

Donc on a deux points d'intersection de (C) et (\Gamma) , qu'on note A et B , respectivement d'abscisses x_A=1 et x_B=\dfrac{1}{2} (car l'abscisse de A est un entier naturel)

Calculons les ordonnées y_A et y_B , ce sont respectivement les images de x_A=1 et x_B=\dfrac{1}{2} par la fonction f ou la fonction g, on utilise la fonction g car son expression est la plus simple, on trouve:

y_A=g(x_A)=g(1)=e^1=e

y_B=g(x_B)=g\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{\frac{1}{2}}

\boxed{\text{ Les points d'intersection de }(C)\text{ et }(\Gamma)\text{ sont }A(1;e)\text{ et }B\left(\dfrac{1}{2};e^{\frac{1}{2}}\right)}


5) Le graphique:

Bac Togo 2022 série A4 : image 1
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