On considère dans le plan orienté un rectangle , tel que , puis et deux carrés de même sens que celui du rectangle .
1-a) Faire la figure avec précision en prenant 4cm pour unité graphique .
b) On pose , montrer que et vérifier que .
2) Soit la similitude directe de centre d'angle de mesure et de rapport .
a) Montrer que l'antécédent de par est .
b) Déterminer l'image du carré par .
3) Soit la similitude directe de centre qui transforme en .Donner les autres éléments caractéristiques de .
4) Soit
a) Montrer que .
b) Déterminer le réel en fonction de puis donner les éléments caractéristiques de .
c) Soit , donner la nature du quadrilatère puis construire les points et .
3,5 points
exercice 2
Soit un cube d'arête et on désigne par et les milieux respectifs des segments et . Dans l'espace muni du repère , on considère le point élément du segment .
1-a) Montrer que est le barycentre des points pondérés où appartient à , puis déterminer les coordonnées du point en fonction de .
b) Montrer que les points et appartiennent au plan médiateur du segment puis en déduire la nature du triangle .
c) Exprimer en fonction de .
2) On désigne par la mesure en radians de l'angle .
a) Montrer que .
b) En supposant que , démontrer que est maximal lorsque est minimale .
c) Etudier le sens de variation de la fonction définie sur par puis déterminer le point position de sur le segment tel que la mesure soit maximale .
11,5 points
probleme
A- Soit l'ensemble des fonctions numériques d'une variable réelle dérivables sur et vérifiant la relation : .
1) Soit un élément de , la fonction dérivable sur l'intervalle et définie par .
a) Démontrer que est une primitive sur l'intervalle de la fonction définie par .
b) Réciproquement , une primitive de la fonction , démontrer que la fonction définie par : est un élément de .
2) A l'aide d'une intégration par parties déterminer l'ensemble des primitives de sur .
3) En déduire l'ensemble .
B- 1) On considère l'ensemble des fonctions dérivables sur l'intervalle où est un paramètre réel .
a) Calculer suivant les valeurs de les limites de aux bornes de l'ensemble de définition .
b) Etudier le sens de variation de et dresser le tableau de variation suivant les valeurs de .
c) Dans un même repère orthogonal avec , tracer avec soin les courbes respectives des fonctions .
2) on pose : .
a) Démontrer que puis en déduire que :
b)Démontrer que : où est un polynôme que l'on précisera .
3) On considère la fonction définie par : .
a) Démontrer que .
b) Utiliser la question 2-b) pour démontrer que : .
c) Démontrer que : .
Avec : .
C- Soit .
1) Démontrer par récurrence que : .
2) Démontrer que
3) On considère la suite définie par : .
a) Démontrer que .
b) En déduire la limite de la suite .
1-a) Voir la figure à la fin de la correction de cet exercice.
b)Soit , montrons que
Vérifions que
On sait que est un carré, donc . De plus, on a: .
Et puisque est un carré, alors , donc ou encore .
Ensuite, on a
Donc
On a et puisque est un carré, alors
Donc:
2-a) Puisque le carré est de même sens que celui du rectangle , alors
Or, on sait que , alors
D'où:
De plus, on a vu ci-dessus que
On en déduit que
b) Puisque .
Montrons que
D'après ce qui précède .
Et puisque le triangle est rectangle en , on applique le théorème de Pythagore:
Et en sachant que le triangle est rectangle en et que , on applique une deuxième fois le théorème de Pythagore:
On en tire que
Ensuite, puisque (respectivement ) est un carré, alors
On obtient donc:
D'où:
De
Montrons que
On a vu que .
Donc:
est un carré, donc:
De
Conclusion: On a
3) Puisque est la similitude directe de centre avec , ses éléments caractéristiques sont donc:
Rapport:
Puisque , alors:
Angle:
est un carré et , donc
4-a) On a vu que
b) On a
D'où:
Donnons les éléments caractéristiques de
L'angle de la composée de deux similitudes directes est la somme des angles de ces dernières, alors l'angle de est .
On en tire que le centre de et les points et doivent être alignés.
De plus, le rapport de la composée de deux similitudes directes est le produit des rapports de ces dernières, le rapport de est donc
Or, on vient de voir que et que les points sont alignés, alors le centre de la similitude est .
Conclusion:
c) On a .
Donc: .
Or, est un carré, et comme est une homotéthie, donc conserve la nature des formes géométriques.
On en déduit que:
Figure:
exercice 2
1-a) Puisque
En appliquant la relation de Chasles, on obtient:
D'où:
On en déduit que:
En sachant que
On obtient:
Finalement:
b) Notons le plan médiateur du segment , on a donc:
est un vecteur normal à .
En notant le milieu du segment , alors .
Calcul des coordonnées: Les points et sont les milieux respectifs des segments et .
De plus,
D'où:
On en tire les coordonnées du point et du vecteur
Equation du plan : Notons .
Puisque le vecteur est normal à
Ou encore: .
D'autre part, , on en déduit:
L'équation de , plan médiateur du segment est :
Finalement,
Nature du triangle :
Puisque les deux points .
On a donc , et conclut alors que:
c) On a:
2-a) Puisque est la mesure en radians de l'angle . Et puisque est le milieu de et le triangle est isocèle en .
Et on sait que dans un triangle isocèle, la hauteur, la bissectrice et la médiane issue du sommet principal sont confondues avec la médiatrice du côté opposé.
Alors l'angle est la mesure en radians de l'angle et le triangle est rectangle en .
On obtient alors:
Or,
On en déduit que:
b) Puisque , alors .
On a
Et on sait que la fonction est croissante sur et que , donc:
Donc:
On obtient donc:
On a alors la valeur minimale de est .
Lorsque est maximal, c'est-à-dire , on a :
c) est une fonction dérivable sur et donc sur car elle est une fonction polynomiale de second degré. Donc:
On obtient donc:
admet donc sur une valeur minimale en .
De plus, on avait trouvé que .
Donc si est minimale , alors est minimale, et donc est minimale (car la fonction est strictement croissante sur )
Et d'après la question précédente, si est minimale, alors est minimale, et donc la mesure de l'angle qui est est maximale.
Les coordonnées du point position de sur le segment tel que la mesure soit maximale sont donc :
Conclusion:
probleme
A-
1-a) est dérivable sur l'intervalle .
b) La fonction est dérivable sur comme primitive de la fonction , donc la fonction est dérivable sur comme quotient de et de , cette dernière étant non nulle et dérivable sur cet intervalle.
Pour tout
On a donc:
2) On doit trouver toutes les primitives de la fonction sur
Il s'agit donc de calculer les primitives
Calculons en utilisant une primitivation par parties:
On pose
Donc :
On obtient donc:
Résultat:
3) D'après la question précédente, les primitives de la fonction sur s'écrivent:
Donc, d'après 1) , les fonctions appartenant à s'écrivent:
Conclusion:
B-
1) On considère les fonctions dérivables sur l'intervalle où est un paramètre réel
On remarque qu'il s'agit des fonctions de l'ensemble étudié à la partie A- .
a) Limite en à droite: On a:
On sait que
Donc:
On en déduit que:
Limite en :
On a:
Donc:
b)Pour tout réel , la fonction est dérivable sur
Il est évident que le signe de est celui de
Distinguons deux cas:
est donc décroissante sur .
Avec:
Et on obtient le tableau de variations de suivant :
est donc croissante sur .
Et on obtient le tableau de variations de suivant :
c) Afin de faciliter le traçage des courbes , on Interprète graphiquement les limites calculées en 1-a) :
La droite d'équation est une asymptote verticale aux courbes, dirigée vers le haut pour vers le bas pour .
.
Calculons:
Donc les courbes admettent une branche parabolique de la direction celle de l'axe des abscisses au voisinage de .
Le graphique:
2-a)
Or, en posant pour tout entier naturel . La suite est une suite géométrique de raison .
De plus, pour tout réel tel que comme somme des premiers termes de la suite géométrique de raison
En effet:
Donc:
Déduction:
b) On a vu pour tout
Et puisque , donc pour tout
Calcul:
On obtient, en remplaçant dans
3-a) Pour tout on intègre de à des fonctions de la variable réelle , donc on peut prendre
Pour tout
D'autre part, implique que
De
En intègrant de à , on obtient:
Finalement , pour tout
On conclut que:
b) D'après 2-b) , on a:
Donc:
Ou encore:
Donc, pour tout réel
En effet:
Conclusion:
c) D'après la question précédente:
Donc:
Il s'ensuit que:
On en tire que:
Calcul de
Calcul de
On remplace dans
Il s'ensuit que:
Conclusion:
C-
1)Démontrons par récurrence que :
On a:
Initialisation: pour , on a:
De plus,
La proposition est vérifiée pour
Hérédité: Supposons qu'on a , pour un certain montrons alors que dans ce cas , on a aussi
On a pour tout réel strictement supérieur à
Conclusion: On conclut par récurrence que:
2)On intègre des fonctions de la variable réelle de à , donc on peut prendre
De plus,
Il s'ensuit que pour tout
On en tire que:
Calculons:
On en déduit que:
3-a) D'après la question 1) de la partie C-
En intégrant de à , on obtient:
On calcule les intégrales:
On remplace dans , et on obtient:
b) On vient de voir que:
Donc:
En passant à la limite:
D'après 2) ,
Et puisque , on obtient par comparaison:
D'où:
Finalement:
Publié par malou/Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter / Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !