Les autorités municiplaes d'une commune de votre pays envisagent construire des logements sociaux au profit des agents de la mairie . Après un appel d'offre , l'entreprise BACD22 a été retenue . Pour la réalisation du plan d'aménagement , BACD22 a prévu , outre la construction des logements , l'aménagement des espaces verts et le tracer de la voie traversant le domaine . En vue de fixer le prix de cession des logements , le comptable de la mairie a relevé des salaires et les propositions de loyers faites par un échantillon représentatif de huit agents . Les résultats exprimés en milliers de francs CFA sont présentés dans le tableau ci-après :
Les données du tableau ci-dessus définissent une série statistique double de caractères où est le salaire et la proposition de loyer .
1-a) Dans un repère orthogonal du plan , représenter le nuage de points associé à cette série statistique .
b) Déterminer les coordonnées du point moyen de ce nuage de points et le placer dans le même repère .
2-a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série .
b) Le salaire permet-il d'expliquer la proposition du loyer ?
3-a) Déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de en puis la construire .
b) Donner une estimation du salaire d'un agent dont le loyer s'élève à 50 000 FCFA .
6 points
exercice 2
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé . On considère les points d'affixes respectives et le polynôme .
1-a) Montrer que où sont 3 nombres complexes à déterminer .
b) Résoudre dans l'équation .
2) Soit l'application du plan dans lui-même ayant pour écriture complexe : avec .
a) Déterminer l'écriture complexe de sachant que et .
b) Déterminer alors la nature et les éléments caractéristiques de .
3) Vérifier que l'écriture complexe de où est l'homothétie de centre et de rapport est : .
4) On pose et . On définit la suite par pour tout élément de .
a) Calculer .
b) Montrer que la suite est une suite géométrique convergente .
c) Calculer puis .
10 points
probleme
Dans un repère orthonormé (unité graphique 2cm) , on considère la courbe de la fonction de vers définie par : .
Où est la fonction numérique vérifiant .
Partie A
1-a) Résoudre dans l'équation différentielle : .
b) En déduire que pour tout de , on a .
2-a) Déterminer l'ensemble de définition de .
b) Montrer que est continue sur .
c) Etudier la dérivabilité de en puis déduire que la courbe admet deux demi-tangentes au point d'abscisse .
3) Calculer les limites de aux bornes de .
4-a) Calculer pour tout élément de et pour tout élément de où est la dérivée de .
b) Déterminer le sens de variation de et dresser son tableau de variations .
5) Démontrer que l'équation admet dans une unique solution puis donner un encadrement de d'amplitude .
6-a) Etudier les branches infinies de la courbe .
b) Construire et ses deux demi-tangentes .
7-a) Soit la restriction de sur , démontrer que admet une bijection réciproque puis dresser le tableau de variation .
b) Construire la courbe de sur le même graphique que .
Partie B
1) Déterminer les nombres réel tels que pour tout réel différent de .
2-a) Par une intégration par parties , montrer que pour tout supérieur à zéro , .
b) Prouver que .
3-a) Sachant que , en déduire en fonction de et de une primitive de sur .
b) Justifier que .
c) Trouver la valeur exacte en fonction de de l'aire de la partie du domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et puis , en prenant , donner une valeur approchée de cette aire à près .
1-a) Voir la figure à la fin de la correction de cet exercice.
b) Calculons les coordonnées du point moyen :
On a :
Donc :
Voir la figure à la fin de la correction.
2-a) Le coefficient de corrélation linéaire est:
Calculons la covariance et les variances:
On obtient donc:
b) Le coefficient de corrélation linéaire est bien proche de , la corrélation linéaire entre les salaires et les propositions du loyer est forte.
Donc:
3-a) L'équation cartésienne de la droite de régression linéaire est de la forme avec
Calculons
On conclut alors que:
Voir la figure à la fin de la correction.
b) On a
Le loyer s'élève à 50 000 FCFA , donc , il s'ensuit que
Figure:
exercice 2
1-a) On a:
Donc le polynôme est factorisable par . Nous en déduisons qu'il existe un polynôme à coefficients complexes tel que
Déterminons les coefficients
L'égalité s'écrit donc :
Par identification des coefficients, nous obtenons :
Par conséquent:
b) Résolvons dans l'équation
Calculons le discriminent pour résoudre
Remarque importante:
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Il faut connaître par coeur ces deux carrés bien utiles:
Les solutions de l'équation sont donc:
D'où:
2-a) est l'application du plan dans lui-même ayant pour écriture complexe : .
Donc:
D'où :
b) Cherchons les éléments caractérisitiques de
Centre: Notons le point d'affixe ce centre, on a donc:
Rapport: C'est le module du coefficient de
Angle: C'est un argument du coefficient de
Conclusion:
3)L'écriture complexe de l'homothétie de centre et de rapport est :
Donc l'écriture complexe de la composée est:
4-a)On a , notons pour tout l'affixe du point .
On a alors , calculons l'affixe de :
Donc
b) Pour tout
On obtient:
Finalement, puisque
Alors:
4-c)Puisque la suite est géométrique de raison
Calcul de la limite:
En effet:
On conclut alors que:
probleme
Partie A
1-a) Résolvons dans l'équation différentielle .
Cette équation différentielle a pour équation caractéristique .
Et puisque , l'équation caractéristique admet une seule solution (double) qui est
Les solutions de l'équation différentielle sont donc
C'est-à-dire:
b) est la fonction numérique définie pour tout réel vérifiant .
La fonction est donc solution de l'équation différnetielle résolue en 1-a) , il existe donc tels que
Déterminons les deux constantes réelles et
On a
Donc
On a
Conclusion:
2-a) La fonction est donc définie par :
Les fonctions sont définies sur , donc aussi sur . Donc est définie sur .
De plus, la fonction est définie si et seulement si . Ceci est vérifié car on a .
Donc est définie sur .
b) La fonction est continue sur car les fonctions sont continues sur .
la fonction est aussi continue sur comme produit des fonctions continues sur .
Reste à vérifier que est continue en
On obtient:
Donc la fonction est continue en . Et donc:
c) Etude de la dérivabilité de en
Donc est dérivable à droite en et
En effet, on a la limite usuelle
Donc est dérivable à gauche en et
Et puisque
Interprétation graphique:
est dérivable à droite en et , donc la courbe admet une demi-tangente notée dirigée vers la droite d'équation:
est dérivable à gauche en et , donc la courbe admet une demi-tangente notée dirigée vers la gauche d'équation:
3) Limites aux bornes de
En
En effet, on a
En
4-a) est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle, donc:
est dérivable sur parce que les fonctions sont dérivables sur cet intervalle, donc:
b) Pour tout
On en tire aussi que
D'où
Pour tout
On dresse le tableau de variations de :
5) Sur est continue et strictement décroissante avec .
Donc
On en tire que :
Sur est continue et strictement croissante avec .
Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):
De
Encadrement ded'amplitude
Calculons quelques images:
Donc
Donc
Calculons
On obtient alors l'encadrement d'amplitude 1 recherché:
6-a)
Donc directement:
On calcule alors
On en déduit que:
b)Voir la figure à la fin de la correction de la partie A.
7-a) On a vu que est continue et strictement croissante sur .
Et puisque la fonction est la restriction de sur
Donc est continue et strictement croissante sur
Par conséquant, réalise une bijection de sur un intervalle .
Et donc:
La bijection réciproque a le même sens de variation que , on dresse donc le tableau de variations de
b)Le graphique:
La construction de la courbe de la fonction se déduit de la partie de sur l'intervalle , par symétrie d'axe la première bissectrice du repère, c'est-à-dire la droite d'équation .
Partie B
1) Pour tout
Et donc:
2-a) Montrons que pour tout
Intégration par parties:
On pose
Donc :
b) On a:
Or, d'après A-5) , , donc
On obtient, en remplaçant:
3-a) La fonction définie sur vérifie
Donc:
Et puisqu'il n'est demandé de trouver qu'une seule primitive, alors on prend . D'où:
b) Puisque est définie par deux expressions différentes, une si est strictement positif et une si est négatif , alors on utilise la relation de Chasles pour pouvoir calculer l'intégrale:
c) L'aire de la partie du domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est en unité d'aire (UA) :
Or , sur l'intervalle se situe en dessous de l'axe des abscisses , donc , pour tout .
Alors pour tout réel de l'intervalle , et l'aire recherchée est donc :
En prenant , on obtient:
Publié par malou/Panter
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