Fiche de mathématiques
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Bac Tunisie SI 2022

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Durée : 3 heures
Coefficient : 3

5 points

exercice 1

1) On considère dans \C l'équation (E)\text{ : }z^2-(4-3i)z+1-7i=0 .
a) Vérifier que (2+i)^2=3+4i .
b) Résoudre (E) .

2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) . On considère les points A,B\text{ et }C d'affixes respectives z_A=3-i\text{ , }z_B=1-2i\text{ et }z_C=1+3i .

Bac Tunisie 2022 SI (section sciences de l'informatique) : image 1

On désigne par (\mathscr{C}) le cercle de diamètre [BC] .
a) Calculer (z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)} .
b) En déduire que A appartient à (\mathscr{C}) .

Dans la suite de l'exercice , M désigne un point du cercle (\mathscr{C}) différent de B et C .

3) On pose z_M=x+iy avec x et y deux réels . On note \Omega le centre de (\mathscr{C}) .
a) Vérifier que z_{\Omega}=1+\dfrac{1}{2}i et calculer \Omega A .
b) Montrer que (x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4} .

4) Soit H le projeté orthogonal du point M sur la droite (BC) et on désigne par S l'aire du triangle MBC .
a) Justifier que z_H=1+iy .
b) Montrer que S=\dfrac{5}{2}\left|x-1\right| .
c) Déterminer les affixes des points M pour lesquels S=5 .

5 points

exercice 2

1) On considère dans \Z\times \Z l'équation (E')\text{ : }3x-4y=7 .
a) Vérifier que (1;-1) est une solution de (E') .
b) Déterminer les couples (x,y) de \Z\times\Z solutions de (E') .

2) Pour n\in\N , on considère les nombres a_n=4n^2+8n-3\text{ et }b_n=3n^2+6n-4 .
On pose d_n=PGCD(a_n,b_n) .
a) Vérifier que pour tout n\in \N \text{ , }a_n=4(n^2+2n-1)+1\text{ et }b_n=3(n^2+2n-1)-1 .
et montrer que pour tout n\in\N\text{ , }(a_n,b_n) est une solution de (E') .
b) Montrer que d_n=1 ou d_n=7 .

3-a) Vérifier que pour tout n\in\N\text{ , }a_n-b_n=(n+1)^2 et justifier que d_n divise (n+1)^2 .
b) Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Reste de la division euclidienne de }n\text{ par }7&0&1&2&3&4&5&6\\  \hline \text{ Reste de la division euclidienne de }(n+1)^2\text{ par }7& & &&&&&\\ \hline   \end{array}


4-a) Montrer que si d_n=7 alors n\equiv 6[7] .
b) Montrer que si n\equiv 6[7] alors a_n et b_n sont divisibles par 7 .
c) Déterminer d_n suivant les valeurs de n .

4 points

exercice 3

On considère la suite (U_n) définie sur \N par : \begin{cases} U_0=1\\U_{n+1}=e^{-n}U_n \end{cases} \text{ ; }n\in\N .

1-a) Calculer U_1\text{ et }U_2 .
b) Montrer par récurrence , que pour tout n\in\N\text{, }U_n>0 .
c) Justifier que pour tout n\in\N\text{ , }e^{-n}\leq 1 et montrer que (U_n) est décroissante .
d) Montrer que la suite (U_n) est convergente .

2) Soit (V_n) la suite définie sur \N par V_n=\ln(U_n) .
a) Montrer que pour tout n\in\N\text{ ; }V_{n+1}-V_n=-n .
b) Montrer que pour tout n\in\N\text{ ; }V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2} .

3-a) Donner l'expression de U_n en fonction de n .
b) Déterminer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n .

6 points

exercice 4

On donne dans l'annexe jointe , la courbe (C) dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) de la fonction g définie sur \R par : g(x)=2e^{x}-1 .

1) En utilisant le graphique , déterminer g(-\ln 2) et donner le signe de g sur \R .

2) On donne la fonction f définie sur \R par f(x)=2e^{x}(e^x-1) et on note (\Gamma) sa courbe représentative dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .
a) Déterminer \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) et interpréter graphiquement ce résultat .
b) Déterminer \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} et interpréter graphiquement ce résultat .

3-a) Montrer que f'(x)=2e^{x}g(x) pour tout réel x .
b) Vérifier que f(-\ln 2)=-\dfrac{1}{2} et donner le tableau de variation de f .

4-a) Montrer que f(x)-g(x)=2\left[(e^x-1)^2-\dfrac{1}{2}\right] pour tout réel x et en déduire que (C) et (\Gamma) se coupent aux points : A\left(\ln \dfrac{2-\sqrt{2}}{2};1-\sqrt{2}\right)\text{ et }B\left(\ln \dfrac{2+\sqrt{2}}{2};1+\sqrt{2}\right) .
b) Déterminer f(0) et donner le signe de f sur \R .
c) Tracer la courbe (\Gamma) .

5) Soit I l'aire du domaine D du plan limité par la courbe (\Gamma) , l'axe (O,\vec{i}) et les droites d'équations x=-\ln 2 \text{ et }x=0 .
a) Montrer que f(x)=\dfrac{1}{2}\left(f'(x)-g'(x)\right) pour tout réel x .
b) Montrer que I=\dfrac{1}{4} .
c) Pour tout réel \alpha <-\ln 2 , on note I_{\alpha} l'aire du domaine D_{\alpha} du plan limité par la courbe (\Gamma) , l'axe (O,\vec{i}) et les droites d'équations x=\alpha \text{ et }x=-\ln 2 .
Montrer que I_{\alpha}=\dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)-g(\alpha)\right)+\dfrac{1}{4} .
d) En déduire que I_{\alpha}=I si et seulement si \alpha=\ln \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} .
e) Hachurer les domaines D et D_{\alpha} pour \alpha=\ln \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} .

Annexe à rendre avec la copie

Bac Tunisie 2022 SI (section sciences de l'informatique) : image 2








exercice 1

1) Soit
(E)\text{ : }z^2-(4-3i)z+1-7i=0


a) Directement :

(2+i)^2=2^2+2\times 2\times i +i^2=4+4i-1=\boxed{3+4i}

b) Calculons le discriminent \Delta :

\begin{matrix}\Delta&=&\left[-(4-3i)\right]^2-4(1-7i)&\\&=&16-24i-9-4+28i&\\&=&3+4i&\\&=&(2+i)^2&\neq 0\end{matrix}

L'équation (E) admet donc deux solutions distincts z_1 \text{ et }z_2 :

\begin{matrix}z_1&=&\dfrac{4-3i-(2+i)}{2}\\&=&\dfrac{2-4i}{2}\\&=& 1-2i\end{matrix} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip  \begin{matrix}z_2&=&\dfrac{4-3i+(2+i)}{2}\\&=&\dfrac{6-2i}{2}\\&=& 3-i\end{matrix}

L'ensemble des solutions de l'équation (E) est :
\boxed{S_{(E)}=\lbrace 1-2i\text{ ; }3-i\rbrace }


2-a) On a :

z_A-z_B=3-i-(1-2i)=3-i-1+2i=2+i

\overline{(z_A-z_C)}=\overline{(3-i-(1+3i))}= \overline{2-4i}=2+4i

D'où : (z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=(2+i)(2+4i)=4+8i+2i-4=10i

\boxed{(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=10i}


b)Puisque :

\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}}\right)&\equiv& \arg\left[(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}\right]\enskip[2\pi]\enskip\blue ^{(*)}\black \\ & \equiv & \arg\left(10i\right)\enskip [2\pi]\\ & \equiv & \arg\left(i\right)\enskip [2\pi]   \\ &\equiv & \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \end{matrix}

On en tire que le triangle ABC est rectangle en A .

Donc A appartient au cercle de diamètre [BC] qui n'est autre que le cercle (\mathscr{C}) .

\boxed{A\in(\mathscr{C})}


Remarque :
La relation \blue ^{(*)} est au programme en Tunisie . Démontrons la à titre d'exercice :
 Cliquez pour afficher


3-a) Le point \Omega est le centre du cercle (\mathscr{C}) de diamètre [BC] .

Donc \Omega est le milieu de [BC] et on peut écrire : z_{\Omega}=\dfrac{z_B+z_C}{2} = \dfrac{1-2i+1+3i}{2}=\dfrac{2+i}{2}=1+\dfrac{1}{2}i

\boxed{z_{\Omega}=1+\dfrac{1}{2}i}

Calculons \Omega A , le rayon du cercle (\mathscr{C}) :

\Omega A=|z_A-z_{\Omega}|=\left|3-i-1-\dfrac{1}{2}i\right|=\left|2-\dfrac{3}{2}i\right|=\sqrt{4+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}

\boxed{\Omega A=\dfrac{5}{2}}


b) Une équation du cercle (\mathscr{C}) de centre \Omega\left(x_{\Omega};y_{\Omega}\right) et de rayon r=\Omega A s'écrit : \left(x-x_{\Omega}\right)^2+\left(y-y_{\Omega}\right)^2=r^2

Or , puisque z_{\Omega}=1+\dfrac{1}{2}i\text{ ; alors }x_{\Omega }=1\text{ et }y_{\Omega}=\dfrac{1}{2} . De plus r=\Omega A= \dfrac{5}{2}\Rightarrow r^2=\dfrac{25}{4}

On conclut que l'équation du cercle (\mathscr{C}) s'écrit :
\boxed{(x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}}


4-a) Puisque \begin{cases} z_B=1-2i \\z_C=1+3i \end{cases} , alors x_B=x_C=1

La droite (BC) est alors la droite verticale d'équation x=1 . Le projeté orthogonal H du point M sur cette droite a donc pour abscisse x_H=1 .

Et puisque la droite (BC) est verticale , cette projection orthognale se fait suivant l'axe des abscisses .

Ce qui veut dire que les points H et M ont la même ordonnée , donc : y_H=y_M=y .

On en déduit que : z_H=x_H+iy_H=1+iy

\boxed{z_H=1+iy}


b) Puisque le point H le projeté orthogonal du point M sur la droite (BC) , alors l'aire S du triangle MBC est : S=\dfrac{MH\times BC}{2}
Or , on a :

MH=|z_M-z_H|=|x+iy-1-iy|=|x-1|
BC=2\Omega A =2 \times \dfrac{5}{2}= 5 \enskip\enskip\enskip \text{ ( Pusique } [\Omega A] \text{ est le rayon du cercle }(\mathscr{C}) \text{ et }[BC] \text{ son diamètre } ) .
D'où : S= \dfrac{MH\times BC}{2}=\dfrac{|x-1|\times 5 }{2}
Ou encore :
\boxed{ S=\dfrac{5}{2}\left|x-1\right| }


c) On a :

\begin{matrix}S=5&\iff& \dfrac{5}{2}\left|x-1\right|=5&\iff& |x-1|=2 \\&\iff& x-1=2\enskip\text{ ou }\enskip x-1=-2 &\iff& x=3\enskip\text{ ou }\enskip x=-1\end{matrix}

Il nous reste à déterminer les ordonnées . Puisque M appartient à (\mathscr{C}) , on peut tirer ces ordonnées de son équation :

(x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4} \iff \left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}-(x-1)^2 \iff \begin{cases} y-\dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}\\\text{ ou }\\y-\dfrac{1}{2} = -\sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2} \end{cases} \text{ et }\dfrac{25}{4}\geq (x-1)^2

Ou encore :  \begin{cases} y = \sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}+\dfrac{1}{2}\\\text{ ou }\\y = -\sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}+\dfrac{1}{2} \end{cases} \text{ et }\dfrac{25}{4}\geq (x-1)^2

Si x=-1 \text{ ou } x=3 \text{ , alors } (x-1)^2=4\leq \dfrac{25}{4} , on peut donc remplacer dans les expressions de y trouvées :

y=\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}+\dfrac{1}{2}= \sqrt{\dfrac{9}{4}}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2

y=-\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}+\dfrac{1}{2}= -\sqrt{\dfrac{9}{4}}+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1

Les points du cercle (\mathscr{C}) qui vérifient S=5 sont donc :

M_1(-1;2)\text{ , }M_2(-1;-1)\text{ , }M_3(3;2)\text{ et }M_4(3;-1)=A

Ou encore , sous forme d'affixe :

\boxed{\begin{matrix}\text{ Les quatre points du cercle }(\mathscr{C}) \text{ qui vérifient }S=5 \text{ sont } M_1\text{ , }M_2\text{ , }M_3 \text{ et }A \\ \text{ d'affixes respectives } z_{M_1}=-1+2i\text{ ; }z_{M_2}=-1-i\text{ ; }z_{M_3}=3+2i \text{ et }z_A=3-i \end{matrix}}


La figure (non demandée) :

Bac Tunisie 2022 SI (section sciences de l'informatique) : image 3


exercice 2

(E')\text{ : }3x-4y=7 \enskip\enskip\text{ dans }\Z\times \Z
1-a) Vérification directe : 3\times 1-4\times (-1)=3+4=7

\boxed{(1;-1)\text{ est une solution de }(E')}


b)Soit (x;y)\in\Z^2 solution de (E')

Alors 3x-4u=7\iff 3x-4y=3\times 1 -4(-1) \iff 3(x-1)=4(y+1)

Il s'ensuit que 4/3(x-1)\text{ et }3/4(y+1) ; or 4\wedge 3 =1 , alors d'après le lemme de Gauss : 4/(x-1)\text{ et }3/(y+1) .

Il existe donc deux entiers relatifs k\text{ et }k' tels que x-1=4k\text{ et }y+1=3k' , ou encore tels que x=4k+1\text{ et }y=3k'-1 .

Réciproquement : 3x-4y=7\iff 3(4k+1)-4(3k'-1)=7\iff 12k+3-12k'+4=7\iff k=k'

On conclut alors que l'ensemble des solutions de (E') est :
\boxed{S_{(E')}=\lbrace (4k+1;3k-1)\enskip/\enskip k\in\Z\rbrace }


2-a) On a , pour tout entier naturel n :

4(n^2+2n-1)+1=4n^2+8n-4+1=4n^2+8n-3=a_n
3(n^2+2n-1)-1=3n^2+6n-3-1=4n^2+6n-4=b_n

\boxed{\forall n\in \N \text{ , }a_n=4(n^2+2n-1)+1\enskip\text{ et }\enskip b_n=3(n^2+2n-1)-1}


De plus , pour tout n \in \N \text{ : }

\begin{matrix}3a_n-4b_n &=&3\left[4(n^2+2n-1)+1\right]-4\left[3(n^2+2n-1)-1\right]\\&=&12(n^2+2n-1)+3-12(n^2+2n-1)+4\\&=& 7 \end{matrix}

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }(a_n;b_n) \text{ est solution de l'équation }(E') }


b) On a , pour tout entier naturel n\text{ : } d_n=PGCD(a_n;b_n) ; Alors d_n/a_n\enskip\text{ et }\enskip d_n/b_n

Il s'ensuit que d_n/3a_n\enskip\text{ et }\enskip d_n/-4b_n , et donc d_n/3a_n-4b_n , ou encore d_n/7 .

Et puisque 7 est premier , alors :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }d_n=1\text{ ou }d_n=7}


3-a)

\begin{matrix}\forall n\in\N \text{ : }a_n-b_n&=&4n^2+8n-3-3n^2-6n+4\\&=& n^2+2n+1\\&=&(n+1)^2\end{matrix}

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }a_n-b_n=(n+1)^2}


Ensuite , puisque d_n|a_n\text{ et }d_n/b_n ; alors d_n/(a_n-b_n) , ou bien :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }d_n/(n+1)^2}


b) On a :

n\equiv 0[7]\iff (n+1)\equiv 1[7]\iff (n+1)^2\equiv 1[7]
n\equiv 1[7]\iff (n+1)\equiv 2[7]\iff (n+1)^2\equiv 4[7]
n\equiv 2[7]\iff (n+1)\equiv 3[7]\iff (n+1)^2\equiv 9[7]\equiv 2[7]
n\equiv 3[7]\iff (n+1)\equiv 4[7]\iff (n+1)^2\equiv 16[7]\equiv 2[7]
n\equiv 4[7]\iff (n+1)\equiv 5[7]\iff (n+1)^2\equiv 25[7]\equiv 4[7]
n\equiv 5[7]\iff (n+1)\equiv 6[7]\iff (n+1)^2\equiv 36[7]\equiv 1[7]
n\equiv 6[7]\iff (n+1)\equiv 7[7]\equiv 0[7]\iff (n+1)^2\equiv 0[7]

Ce qui permet de compléter le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Reste de la division euclidienne de }n\text{ par }7&0&1&2&3&4&5&6\\  \hline \text{ Reste de la division euclidienne de }(n+1)^2\text{ par }7&1 &4 &2&2&4&1&0\\ \hline   \end{array}


4-a) Soit d_n=7

D'après 3-a) , on a d_n/(n+1)^2 , alors 7/(n+1)^2 , ce qui veut dire que (n+1)^2\equiv 0[7]

Ce qui correspond , d'après le tableau rempli en 3-b) , à n\equiv 6[7] .

Conclusion :
\boxed{\text{ Si }d_n=7 \text{ , alors } n\equiv 6[7] }


b) On a :

\begin{matrix} n\equiv 6[7]&\iff&  (n+1)^2\equiv 0[7]\\&\iff& a_n-b_n\equiv 0[7] \\&\iff& 7/a_n-b_n \end{matrix}

Il existe un entier relatif p tel que a_n-b_n=7p .

Or , on a vu que (a_n,b_n) est solution de (E') ; donc :

3a_n-4b_n=7\iff 3(a_n-b_n)-b_n=7\iff 3\times 7p-b_n=7 \iff b_n=7(3p-1)\iff 7/b_n

Il existe donc q\in\Z\enskip / \enskip b_n=7q

Alors : a_n-b_n=7p\iff a_n=7p+b_n=7p+7q=7(p-q)

On en tire que 7/a_n

Conclusion :
\boxed{\text{ Si } n\equiv 6[7] \text{ alors }a_n \text{ et }b_n \text{ sont divisibles par } 7}


c)
Si n\equiv 6[7] , alors 7/a_n\text{ et }7/b_n
D'où 7/d_n ; Et comme d_n=1\text{ ou }d_n=7 , on en tire que d_n=7

Si n\not\equiv 6[7] , alors d'après le tableau 3-b) , (n+1)^2\not\equiv 0[7]
Ce qui veut dire que 7 ne divise pas (n+1)^2 , donc 7 ne divise pas a_n-b_n .
Or , on sait que d_n divise a_n-b_n , donc d_n \neq 7
Et comme d_n=1\text{ ou }d_n=7 , alors d_n=1

Conclusion :
\boxed{\begin{cases} d_n=7 & \text{ Si }n\equiv 6[7] \\d_n=1& \text{ Sinon }\end{cases}}


exercice 3

1-a) Calcul direct :

U_1=e^{-0}U_0=1\times 1 = 1
U_2=e^{-1}U_1=e^{-1}\times 1 =e^{-1}

\boxed{U_1=1\text{ et }U_2=e^{-1}}


b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel n\text{ , }U_n>0

Initialisation : Pour n=0 , on a : U_0=1>0 .

Hérédité : Soit n\in\N fixé tel que U_n>0 , montrons que U_{n+1}>0 .
On sait que pour la fonction \exp est positive , donc e^{-n}>0
En mulitpliant deux réels strictement positifs , on obtient un réel strictement positif , donc : e^{-n}U_n>0
On obtient U_{n+1}>0

Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }U_n>0 }


c) Pour tout n\in\N\text{ , on a  }n\geq 0 , donc -n\leq 0 .

Et puisque la fonction \exp est croissante , on a : e^{-n}\leq e^{0}=1

\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N\text{ : }e^{-n}\leq 1 }


Puisque \forall n\in\N \text{ : }e^{-n}\leq 1 \text{ et } U_n>0 .

Alors e^{-n}U_n\leq U_n .

On en déduit que \forall n\in\N\text{ : }U_{n+1}\leq U_n

D'où :

\boxed{(U_n)\text{ est une suite décroissante }}


2-a) On a , pour tout entier naturel n \text{ , }V_n=\ln(U_n) .

D'où :

\begin{matrix}\forall n\in\N\text{ : }V_{n+1}-V_n &=& \ln(U_{n+1})-\ln(U_n) \\&=& \ln\left(\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\right) \\&=& \ln(e^{-n}) \\&=&-n \end{matrix}

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }V_{n+1}-V_n=-n}


b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel n\text{ , }V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2}

Initialisation : Pour n=0 , on a : V_0=\ln(U_0)=\ln(1)=0 \text{ et }-\dfrac{0\times(0-1)}{2}=0 .
Donc : V_0=\dfrac{-0\times(0-1)}{2}

Hérédité : Soit n\in\N fixé tel que V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2} , montrons que V_n=\dfrac{-(n+1)n}{2} .
On a V_{n+1}-V_n=-n , alors V_{n+1}=-n+V_n .

\begin{matrix}\text{ Donc : } V_{n+1}&=&-n+V_n \\&=& -n+\dfrac{-n(n-1)}{2} \\&=& \dfrac{-2n-n^2+n}{2}\\&=& \dfrac{-n^2-n}{2} \\&=& \dfrac{-(n+1)n}{2}\end{matrix}

Donc : V_{n+1}=\dfrac{-(n+1)n}{2}

Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2} }


3-a) Pour tout entier naturel n \text{ , on a }V_n=\ln(U_n) , donc U_n=e^{V_n}

Ou encore :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }U_n=e^{\frac{-n(n-1)}{2}}}


b) On a \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-n(n-1)}{2}=\lim_{n\to+\infty}-n^2=-\infty .

Et \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

Donc : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=\lim_{n\to+\infty}e^{\frac{-n(n-1)}{2}}=0

On obtient :
\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=0}


exercice 4

1) On voit que la courbe (C) de g coupe l'axe des abscisses en x=-\ln 2 , donc :

\boxed{g(-\ln 2)=0}


De plus , la courbe de g est en-dessous de l'axe des abscisses pour tout x\in]-\infty;-\ln 2[ , et au-dessus de l'axe des abscisses pour tout x\in ]-\ln 2;+\infty[ , donc :

\boxed{\begin{matrix} \forall x\in]-\infty;-\ln 2[\text{ : }g(x)<0\\\forall x\in]-\ln 2;+\infty[\text{ : }g(x)>0 \end{matrix}}


2)
\forall x\in\R\text{ : }f(x)=2e^x(e^x-1)


a) On a \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0
Donc \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}2e^x(e^x-1)=2\times 0\times (-1)=0
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0}

Interprétation graphique :
\boxed{\text{ L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe }(\Gamma)\text{ au voisinage de }-\infty}


b) On a \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty , donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x-1=+\infty
On obtient alors : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}2e^x(e^x-1)=+\infty
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}


De plus , on sait que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

Donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2e^x(e^x-1)}{x}=\lim_{x\to+\infty}2\dfrac{e^x}{x}(e^x-1)=+\infty
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}

Interprétation graphique :
\boxed{\begin{matrix}\text{ La courbe }(\Gamma)\text{ admet une branche parabolique de la direction celle }\\\text{ de l'axe des abscisses au voisinage de }+\infty\end{matrix}}


3-a) La fonction est dérivable sur \R comme produit des fonctions x\mapsto e^x et x\mapsto e^x-1 dérivable sur \R .

\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left(2e^x(e^x-1)\right)'\\&=&2\left[(e^x)'(e^x-1)+e^x(e^x-1)'\right]\\&=& 2(e^x(e^x-1)+e^{2x})\\&=& 2e^x(2e^x-1)\\&=&2e^x g(x) \end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)=2e^x g(x)}


b) Directement : f(-\ln 2)=2e^{-\ln 2}(e^{-\ln 2}-1)=2\times \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=-\dfrac{1}{2}

\boxed{ f(-\ln 2)=-\dfrac{1}{2}}


Pour dresser le tableau de variation de f , il faut déterminer le signe de f'(x) .

D'après la question précédente : \forall x\in\R\text{ : }f'(x)=2e^x g(x)

Puisque e^x>0 \text{ pour tout réel }x , alors le signe de f'(x) est celui de g(x) .

Donc :

\begin{cases} \forall x\in]-\infty;-\ln 2[\text{ : }f'(x)<0\\f'(-\ln 2)=0\\\forall x\in]-\ln 2;+\infty[\text{ : }f'(x)>0 \end{cases}}

Ce qui permet de tracer le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x     & -\infty  &        &          & -\ln 2      &            &        &   +\infty\\ \hline f'(x) &          & -      &          &\barre{0} &            &+      & \\ \hline       &     0   &        &          &  &     &        &        +\infty                                 \\        f     &          &\searrow&          & &            &\nearrow&                                         \\	             &          &        &  &-\dfrac{1}{2} &            &        &                                     \\   &          &        &  & &            &        &   \\  \hline \end{array}


4-a) Pour tout réel x , on a :

\begin{matrix}f(x)-g(x)&=&2e^x(e^x-1)-(2e^x-1)\\&=& 2\left(e^{2x}-e^x-e^x+\dfrac{1}{2}\right)\\&=&2\left(e^{2x}-2e^x+1-\dfrac{1}{2}\right)\\&=&2\left[(e^x-1)^2-\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : } f(x)-g(x)=2\left[(e^x-1)^2-\dfrac{1}{2}\right]}


Les courbes (C) de g et (\Gamma) de f se coupent aux points d'abscisses solutions de l'équation f(x)=g(x) .

\begin{matrix}f(x)=g(x)&\iff& f(x)-g(x)=0\\&\iff&  (e^x-1)^2-\dfrac{1}{2}=0\\&\iff& (e^x-1)^2=\dfrac{1}{2}\\&\iff& e^x-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\enskip\text{ ou }\enskip e^x-1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\&\iff& e^x=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\enskip\text{ ou }\enskip e^x=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\&\iff&e^x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\enskip\text{ ou }\enskip e^x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\&\iff&x=\ln\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\enskip\text{ ou }\enskip x=\ln\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\end{matrix}

Les ordonnées des points d'intersection de (C) et de (\Gamma) sont les images des abscisses trouvées par la fonction g ou la fonction f ,
on choisit de calculer ces images par la fonction g car son expression est plus simple que celle de f :

\bullet\text{ }g\left(\ln\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\right)=2\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)-1=2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2}

\bullet\text{ }g\left(\ln\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\right)=2\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)-1=2-\sqrt{2}-1=1-\sqrt{2}

Conclusion :
\boxed{ (C) \text{ et }(\Gamma) \text{ se coupent aux points }A\left(\ln \dfrac{2-\sqrt{2}}{2};1-\sqrt{2}\right)\text{ et }B\left(\ln \dfrac{2+\sqrt{2}}{2};1+\sqrt{2}\right)}


b) Directement f(0)=2e^0(e^0-1)=2\times 1\times 0 = 0

\boxed{f(0)=0}


donc , le tableau de variations de f devient :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty &   &-\ln 2  & & 0 && +\infty\\ \hline && &  & &&& +\infty\\& & & &  && \nearrow& \\f &0&   && &0&& \\&   &\searrow  && \nearrow&&& \\ &  & &-\dfrac{1}{2}& &&& \\  \hline \end{array}

On en tire alors le signe de f :

\boxed{\begin{cases} \forall x\in]-\infty;0[\text{ : }f(x)<0\\f(0)=0\\\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)>0 \end{cases}}


c) Voir le tracé à la fin de l'exercice .

5-a) Pour tout x appartenant à \R , on a :

\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\left(f'(x)-g'(x)\right)&=& \dfrac{1}{2}\left[2e^x(2e^x-1)-2e^x\right]\\&=& e^x(2e^x-1)-e^x\\&=& e^x(2e^x-2)\\&=&2e^x(e^x-1)\\&=&f(x)\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }\dfrac{1}{2}\left(f'(x)-g'(x)\right)=f(x)}


b) L'aire I du domaine D du plan limité par la courbe  (\Gamma) , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-\ln 2 \text{ et }x=0 en unité d'aire est :

I=\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}|f(x)|\text{ d}x


Or , sur l'intervalle [-\ln 2;0] \text{ : }f(x)\leq 0 , alors |f(x)|=-f(x) , donc :

\begin{matrix}I&=&\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}|f(x)|\text{ d}x\\&=&-\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}f(x)\text{ d}x\\&=&-\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}\dfrac{1}{2}\left(f'(x)-g'(x)\right)\text{ d}x \\&=&-\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}f'(x)\text{ d}x-\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}g'(x)\text{ d}x\right)\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}g'(x)\text{ d}x-\displaystyle \int_{-\ln 2}^{0}f'(x)\text{ d}x\right)\\&=&\displaystyle \dfrac{1}{2}\left([g(x)]_{-\ln 2}^{0}-[f(x)]_{\ln 2}^{0} \right)\\&=& \dfrac{1}{2}\left(g(0)-g(-\ln 2)+f(-\ln 2)-f(0)\right)\\&=& \dfrac{1}{2}\left(1-0-\dfrac{1}{2}-0\right)\right)\\&=&\dfrac{1}{4}\end{matrix}

En effet : g(0)=2e^{0}-1=2-1=1

\boxed{I=\dfrac{1}{4}}


c) Soit \alpha <-\ln 2 .

L'aire I_{\alpha} du domaine D_{\alpha} du plan limité par la courbe  (\Gamma) , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=\alpha- \text{ et }x=-\ln 2 en unité d'aire est :

I_{\alpha}=\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}|f(x)|\text{ d}x


Or , sur l'intervalle [\alpha;-\ln 2] \text{ : }f(x)\leq 0 , alors |f(x)|=-f(x) , donc :

\begin{matrix}I_{\alpha}&=&\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}|f(x)|\text{ d}x\\&=&-\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}f(x)\text{ d}x\\&=&-\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}\dfrac{1}{2}\left(f'(x)-g'(x)\right)\text{ d}x \\&=&-\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}f'(x)\text{ d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}g'(x)\text{ d}x\right)\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}g'(x)\text{ d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{-\ln 2}f'(x)\text{ d}x\right)\\&=&\displaystyle \dfrac{1}{2}\left([g(x)]_{\alpha}^{-\ln 2}-[f(x)]_{\alpha}^{-\ln 2} \right)\\&=& \dfrac{1}{2}\left(g(-\ln 2)-g(\alpha)+f(\alpha)-f(-\ln 2)\right)\\&=& \dfrac{1}{2}\left(0-g(\alpha)+f(\alpha)+\dfrac{1}{2}\right)\right)\\&=&\dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)-g(\alpha)\right)+\dfrac{1}{4}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{I_{\alpha}=\dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)-g(\alpha)\right)+\dfrac{1}{4}}


d) On a :

\begin{matrix}I_{\alpha}=I&\iff& \dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)-g(\alpha)\right)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\\&\iff&  \dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)-g(\alpha)\right)=0 \\&\iff& f(\alpha)=g(\alpha)\\&\iff&\alpha=\ln\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\enskip\text{ ou }\enskip \alpha=\ln\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\end{matrix}

Et puisque \alpha <0 \text{ , alors : }\alpha=\ln\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)

On en déduit que :

\boxed{I_{\alpha}=I\iff \alpha=\ln\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)}


e) Le graphique :

Bac Tunisie 2022 SI (section sciences de l'informatique) : image 4
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