1) On considère dans l'équation .
a) Vérifier que .
b) Résoudre .
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct . On considère les points d'affixes respectives
.
On désigne par le cercle de diamètre .
a) Calculer .
b) En déduire que appartient à .
Dans la suite de l'exercice , désigne un point du cercle différent de et .
3) On pose avec et deux réels . On note le centre de .
a) Vérifier que et calculer .
b) Montrer que .
4) Soit le projeté orthogonal du point sur la droite et on désigne par l'aire du triangle .
a) Justifier que .
b) Montrer que .
c) Déterminer les affixes des points pour lesquels .
5 points
exercice 2
1) On considère dans l'équation .
a) Vérifier que est une solution de .
b) Déterminer les couples de solutions de .
2) Pour , on considère les nombres .
On pose .
a) Vérifier que pour tout .
et montrer que pour tout est une solution de .
b) Montrer que ou .
3-a) Vérifier que pour tout et justifier que divise .
b) Recopier et compléter le tableau suivant :
4-a) Montrer que si alors .
b) Montrer que si alors et sont divisibles par .
c) Déterminer suivant les valeurs de .
4 points
exercice 3
On considère la suite définie sur par : .
1-a) Calculer .
b) Montrer par récurrence , que pour tout .
c) Justifier que pour tout et montrer que est décroissante .
d) Montrer que la suite est convergente .
2) Soit la suite définie sur par .
a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que pour tout .
3-a) Donner l'expression de en fonction de .
b) Déterminer .
6 points
exercice 4
On donne dans l'annexe jointe , la courbe dans un repère orthonormé de la fonction définie sur par : .
1) En utilisant le graphique , déterminer et donner le signe de sur .
2) On donne la fonction définie sur par et on note sa courbe représentative dans le repère .
a) Déterminer et interpréter graphiquement ce résultat .
b) Déterminer et interpréter graphiquement ce résultat .
3-a) Montrer que pour tout réel .
b) Vérifier que et donner le tableau de variation de .
4-a) Montrer que pour tout réel et en déduire que et se coupent aux points : .
b) Déterminer et donner le signe de sur .
c) Tracer la courbe .
5) Soit l'aire du domaine du plan limité par la courbe , l'axe et les droites d'équations .
a) Montrer que pour tout réel .
b) Montrer que .
c) Pour tout réel , on note l'aire du domaine du plan limité par la courbe , l'axe et les droites d'équations .
Montrer que .
d) En déduire que si et seulement si .
e) Hachurer les domaines et pour .
Donc appartient au cercle de diamètre qui n'est autre que le cercle .
Remarque : La relation est au programme en Tunisie . Démontrons la à titre d'exercice :
Cliquez pour afficher
Donc :
Or , puisque .
Alors
D'où le résultat :
3-a) Le point est le centre du cercle de diamètre .
Donc est le milieu de et on peut écrire :
Calculons , le rayon du cercle :
b) Une équation du cercle de centre et de rayon s'écrit :
Or , puisque . De plus
On conclut que l'équation du cercle s'écrit :
4-a) Puisque , alors
La droite est alors la droite verticale d'équation . Le projeté orthogonal du point sur cette droite a donc pour abscisse .
Et puisque la droite est verticale , cette projection orthognale se fait suivant l'axe des abscisses .
Ce qui veut dire que les points et ont la même ordonnée , donc : .
On en déduit que :
b) Puisque le point le projeté orthogonal du point sur la droite , alors l'aire du triangle est :
Or , on a :
.
D'où :
Ou encore :
c) On a :
Il nous reste à déterminer les ordonnées . Puisque appartient à , on peut tirer ces ordonnées de son équation :
Ou encore :
Si , on peut donc remplacer dans les expressions de trouvées :
Les points du cercle qui vérifient sont donc :
Ou encore , sous forme d'affixe :
La figure (non demandée) :
exercice 2
1-a) Vérification directe :
b)Soit solution de
Alors
Il s'ensuit que ; or , alors d'après le lemme de Gauss : .
Il existe donc deux entiers relatifs tels que , ou encore tels que .
Réciproquement :
On conclut alors que l'ensemble des solutions de est :
2-a) On a , pour tout entier naturel :
De plus , pour tout
b) On a , pour tout entier naturel ; Alors
Il s'ensuit que , et donc , ou encore .
Et puisque est premier , alors :
3-a)
Ensuite , puisque ; alors , ou bien :
b) On a :
Ce qui permet de compléter le tableau suivant :
4-a) Soit
D'après 3-a) , on a , alors , ce qui veut dire que
Ce qui correspond , d'après le tableau rempli en 3-b) , à .
Conclusion :
b) On a :
Il existe un entier relatif tel que .
Or , on a vu que est solution de ; donc :
Il existe donc
Alors :
On en tire que
Conclusion :
c) Si , alors
D'où ; Et comme , on en tire que
Si , alors d'après le tableau 3-b) ,
Ce qui veut dire que ne divise pas , donc ne divise pas .
Or , on sait que divise , donc
Et comme , alors
Conclusion :
exercice 3
1-a) Calcul direct :
b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel
Initialisation : Pour , on a : .
Hérédité : Soit fixé tel que , montrons que .
On sait que pour la fonction est positive , donc
En mulitpliant deux réels strictement positifs , on obtient un réel strictement positif , donc :
On obtient
Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
c) Pour tout , donc .
Et puisque la fonction est croissante , on a :
Puisque .
Alors .
On en déduit que
D'où :
2-a) On a , pour tout entier naturel .
D'où :
b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel
Initialisation : Pour , on a : .
Donc :
Hérédité : Soit fixé tel que , montrons que .
On a , alors .
Donc :
Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
3-a) Pour tout entier naturel , donc
Ou encore :
b) On a .
Et
Donc :
On obtient :
exercice 4
1) On voit que la courbe de coupe l'axe des abscisses en , donc :
De plus , la courbe de est en-dessous de l'axe des abscisses pour tout , et au-dessus de l'axe des abscisses pour tout , donc :
2)
a) On a
Donc
Interprétation graphique :
b) On a , donc
On obtient alors :
De plus , on sait que
Donc
Interprétation graphique :
3-a) La fonction est dérivable sur comme produit des fonctions et dérivable sur .
b) Directement :
Pour dresser le tableau de variation de , il faut déterminer le signe de .
D'après la question précédente :
Puisque , alors le signe de est celui de .
Donc :
Ce qui permet de tracer le tableau de variations de la fonction :
4-a) Pour tout réel , on a :
Les courbes de et de se coupent aux points d'abscisses solutions de l'équation .
Les ordonnées des points d'intersection de et de sont les images des abscisses trouvées par la fonction ou la fonction ,
on choisit de calculer ces images par la fonction car son expression est plus simple que celle de :
Conclusion :
b) Directement
donc , le tableau de variations de devient :
On en tire alors le signe de :
c) Voir le tracé à la fin de l'exercice .
5-a) Pour tout appartenant à , on a :
b) L'aire du domaine du plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations en unité d'aire est :
Or , sur l'intervalle , alors , donc :
En effet :
c) Soit .
L'aire du domaine du plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations en unité d'aire est :
Or , sur l'intervalle , alors , donc :
Conclusion :
d) On a :
Et puisque
On en déduit que :
e)Le graphique :
Publié par malou/Panter
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