Fiche de mathématiques
> >

Bac Tunisie SS (Section Sport) 2022

Partager :



Durée : 2 heures
Coefficient : 1

4 points

exercice 1

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes.


Aucune justification n'est demandée


1. \ln(2022)-\ln(2020)=\ln 2 .

2. e^{\ln(2)}\times e^{1+\ln(2)}=4e .

3. Le domaine de définition de la fonction g définie par g(x)=(x-1)+\ln(x+2) est ]-2;1[ .

4. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=e^{x\ln(5)} . Alors f est dérivable sur \R et on a :

\text{ pour tout }x\in\R\enskip , \enskip f'(x)=e^{x\ln(5)} .


5 points

exercice 2

Un sac contient cinq jetons indiscernables au toucher répartis comme suit :

Deux jetons rouges portant la lettre S .

Un jeton rouge portant a lettre T .

Un jeton noir portant la lettre S .

Un jeton noir portant la lettre T .

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux jetons du sac .

On considère les évènements suivants :
\begin{matrix} &A\enskip:\enskip &\text{ ''Obtenir deux jetons qui protent la même lettre'' }\\ &B\enskip : \enskip&\text{ ''Obtenir deux jetons de même couleurs'' } \end{matrix}


1.a) Vérifier que p(A)=\dfrac{2}{5} \enskip , \enskip p(B)=\dfrac{2}{5} \text{ et }p(A\cap B)=\dfrac{1}{10} .

b) En déduire p(A\cup B) .

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque épreuve associe le nombre de jetons noirs tirés .

a) Déterminer la loi de probabilité de X .

b) Vérifier que l'espérance mathématique de la variable X est égale à \dfrac{4}{5} .

4 points

exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]-\infty , 4[ par : f(x)=\ln(4-x) . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

1.a) Calculer f(0)\text{ et }f(3) .

b) Déterminer \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ et }\lim_{x\to 4^{-}} f(x) .

c) Donner une équation de l'asymptote verticale à la courbe (C) .

2.a) Calculer f'(x) .

b) Dresser le tableau de variation de f .

3.a) Montrer que f réalise une bijection de ]-\infty,4[ sur \R .

b) Déterminer f^{-1}(0)\text{ et }f^{-1}(2\ln 2) .

7 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=e^{\frac{1}{2}-x} . On désigne par (\Gamma) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

1.a) Déterminer \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ et }\lim_{x\to +\infty} f(x) .

b) Donner une équation de l'asymptote horizontale à la courbe (\Gamma) au voisinage de +\infty .

2.a) Calculer f'(x) .

b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Vérifier qu'une équation de la tangente T à la courbe (\Gamma) en son point d'abscisse \dfrac{1}{2} est : y=-x+\dfrac{3}{2} .

3. Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=e^{x} . On désigne par (\Gamma^{'}) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

a) Montrer que \dfrac{1}{4} est la seule solution , dans \R , de l'équation : f(x)=g(x) .

b) En déduire que les deux courbes (\Gamma) et (\Gamma^{'}) se coupent uniquement en A\left(\dfrac{1}{4},e^{\frac{1}{4}\right) .

4. On a tracé dans l'annexe ci-jointe la courbe (\Gamma^{'}) et on a placé le point A .


a) Tracer dans le même repère la tangente T et la courbe (\Gamma) .

b) Hachurer la partie S du plan limitée par les courbes (\Gamma)\text{ et }(\Gamma^{'}) et les droites d'équations : x=\dfrac{1}{4} \text{ et }x=\dfrac{1}{2} .

c) Montrer que l'aire A de la partie S , en unité d'aire , est égale à \left(e^{\frac{1}{4}}-1\right)^2 .

Annexe à rendre avec la copie

Bac Tunisie 2022 SS (section sport) : image 1








exercice 1



1) Affirmation fausse :

En effet , on a : \ln(2022)-\ln(2020)\neq\ln(2022-2020)=\ln 2

2) Affirmation Vraie :

Puisque : e^{\ln(2)}\times e^{1+\ln(2)}=2\times e^1\times e^{\ln 2}=2\times e\times 2 = 4e

3) Affirmation fausse :

Car , en notant D_g le domaine de définition de g , on a :

x\in D_g\iff x+2>0 \iff x>-2 \iff x\in ]-2;+\infty[\iff D_g=]-2;+\infty[\neq ]-2;1[

4) Affirmation fausse :

f est bien une fonction dérivable sur \R car la fonction exponentielle est dérivable sur \R , mais pour tout x de \R , on a :

f'(x)=\left(e^{x\ln 5}\right)'=(x\ln 5)'e^{x\ln 5}=\ln 5e^{x\ln 5} \neq e^{x\ln 5}

exercice 2


Bac Tunisie 2022 SS (section sport) : image 3


On tire simultanément et au hazard deux jetons du sac , il s'agit donc de combinaisons .

1-a)

A : Obtenir 2S ou 2T
Et on a 3 jetons portant S et 2 jetons portant T , alors :

p(A)=\dfrac{{3\choose 2}+{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\iff \boxed{p(A)=\dfrac{2}{5}}

B : Obtenir 2 \text{ Rouges } ou 2 \text{ Noirs }
Et on a 3 jetons rouges et 2 jetons noirs , alors :

p(B)=\dfrac{{3\choose 2}+{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\iff \boxed{p(A)=\dfrac{2}{5}}

A\cap B : \text{'' Obtenir ( 2S ou 2T ) ET (2 rouges ou 2 noirs ) ''}

Et puisqu'on ne peut pas avoir :

\begin{cases}\bullet \text{ 2S noirs } \\ \bullet \text{ 2T noirs } \\\bullet \text{ 2T rouges } \end{cases}

Alors A\cap B : \text{'' Obtenir 2S rouges  ''}

p(A\cap B) = \dfrac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}}=\iff \boxed{p(A\cap B)=\dfrac{1}{10}}

b) On a la formule suivante : p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Alors :

\begin{matrix} p(A\cup B)&=&p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\&=& \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{10}\\&=& \dfrac{8}{10}-\dfrac{1}{10}\\&=&\dfrac{7}{10}\end{matrix}
\boxed{p(A\cup B)=\dfrac{7}{10}}

2) X est la variable aléatoire qui à chaque épreuve associe le nombre de jetons noirs tirés .

a) Puisqu'on n'a que 2 jetons noirs dans le sac , alors X\in\lbrace 0;1;2\rbrace .

p(X=0)=\dfrac{{3\choose 2 }}{{5\choose 2}}=\dfrac{3}{10}\enskip\enskip \text{ (On a en effet 3 jetons rouges) } .
p(X=1)=\dfrac{{3\choose 1 }\times {2\choose 1 } }{{5\choose 2}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5} .
p(X=2)=\dfrac{{2\choose 2 } }{{5\choose 2}}=\dfrac{1}{10} .

Récapitulatif :
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\\hline   &  &&\\   p(X=x_i) & \dfrac{3}{10} &\dfrac{6}{10}&\dfrac{1}{10}\\   &  &&\\ \hline   \end{array}


b) L'espérance mathématique se calcule par : E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_ip(X=x_i)

\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_ip(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{3}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{1}{10}\\&=& \dfrac{6}{10}+\dfrac{2}{10}\\&=&\dfrac{8}{10}\\&=&\dfrac{4}{5}\end{matrix}

\boxed{E(X)=\dfrac{4}{5}}


exercice 3

1-a)
f(0)=\ln(4-0)=\ln 4 =\ln 2^2=2\ln 2
\boxed{f(0)=2\ln 2}

f(3)=\ln(4-3)=\ln 1 =0
\boxed{f(3)=0}


b)
Puisque \displaystyle\lim_{x\to-\infty} 4-x =+\infty \text{ et }\lim_{X\to +\infty} \ln X=+\infty .
Alors : \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} \ln( 4-x)=+\infty
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) =+\infty}


Etudions le signe de 4-x :
On a 4-x=0\iff x=4
Le coefficient directeur étant -1 qui est négatif, le signe de 4-x est donc positif à gauche de 4 , et négatif à droite de 4 .
Tableau de signe :
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &&4&&&+\infty\\\hline 4-x&&+&&\barre{0}&&-&\\\hline\end{tabvar}

On en tire que \displaystyle \lim_{x\to 4^{-}} 4-x=0^{+} . De plus , on sait que \displaystyle\lim_{X\to 0^{+}} \ln X=-\infty
Alors \displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} f(x)=\lim_{x\to 4^{-}} \ln( 4-x)=-\infty
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to4^{-}} f(x) =-\infty}


c) Puisque \displaystyle \lim_{x\to4^{-}} f(x) =-\infty

Alors :
\boxed{\begin{matrix}\text{ La courbe }(C) \text{ de la fonction }f\text{ admet la droite d'équation }x=4 \\\text{ comme asymptote verticale (à gauche) }\end{matrix}}


2-a) f est une fonction dérivable sur ]-\infty;4[ comme composée de la fonction polynomiale x\mapsto 4-x dérivable et strictement positif sur cet intervalle et de la fonction \ln dérivable sur \R^{*}_{+} .

\begin{matrix}\forall x\in]-\infty;4[\text{ : }f'(x)&=&\left(\ln(4-x)\right)'\\&=& \dfrac{(4-x)'}{4-x}\\&=& \dfrac{-1}{4-x}\end{matrix}

Ou encore :
\boxed{\forall x<4\text{ : }f'(x)=\dfrac{1}{x-4}}


b) Le signe de f'(x) est celui de x-4 .

Or , pusique x<4 , alors x-4<0

Donc , \forall x\in ]-\infty;4[\text{ : }f'(x)<0

Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|ccc||} \hline x     & -\infty  &        &     4      \\ \hline f'(x) &          & -      &          \\ \hline       &     +\infty   &        &       \\        f     &          &\searrow          &                                          \\	         &            &        &               -\infty                      \\   &          &        &      \\  \hline \end{array}


3-a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]-\infty;4[ .

f réalise alors une bijection de ]-\infty ; 4[ sur f(]-\infty;-4[) .

Or , f(]-\infty;-4[)=\left]\displaystyle\lim_{x\to4^{-}} f(x);\lim_{x\to-\infty} f(x)\right[=]-\infty;+\infty[=\R

\boxed{f \text{ réalise une bijection de }]-\infty,4[ \text{ sur }\R }


b) D'après 1-a) , on a :

f(0)=2\ln 2 , alors \boxed{f^{-1}(2\ln 2)=0}

f(3)=0 , alors \boxed{f^{-1}(0)=3}

exercice 4

1-a)
Puisque \displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{2}-x =+\infty \text{ et }\lim_{X\to +\infty} e^X=+\infty .
Alors : \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} e^{\frac{1}{2}-x}=+\infty
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) =+\infty}


Puisque \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{2}-x =-\infty \text{ et }\lim_{X\to -\infty} e^X=0 .
Alors : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{1}{2}-x}=0
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) =0}


b) Puisque \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) =0

Alors :
\boxed{\begin{matrix}\text{ La courbe }(\Gamma) \text{ de la fonction }f\text{ admet l'axe des abscisses (d'équation }y=0\text{)} \\\text{ comme asymptote horizontale au voisinage de }+\infty\end{matrix}}


2-a) La fonction f est dérivable sur \R comme fonction exponentielle dérivable sur \R .

\begin{matrix} \forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=& \left(e^{\frac{1}{2}-x}\right)'\\&=&\left(\dfrac{1}{2}-x\right)'e^{\frac{1}{2}-x}\\&=&-e^{\frac{1}{2}-x}\end{matrix}

 \boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)=-e^{\frac{1}{2}-x}}


b) Le signe de f'(x) est l'opposé de celui de e^{\frac{1}{2}-x} .

Et on sait que , pour tout réel x \text{ : }e^{\frac{1}{2}-x}>0 , donc f'(x)<0 .

Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x     & -\infty  &        &     +\infty     \\ \hline f'(x) &          & -      &          \\ \hline       &     +\infty   &        &       \\        f     &          &\searrow          &                                          \\	         &            &        &               0                     \\    \hline \end{array}


c) L'équation de latangente T à la courbe (\Gamma) au point d'abscisse \dfrac{1}{2} s'écrit :
T\text{ : }y=f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)


Et on calcule :

f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=-e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=-e^{0}=-1
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=e^{0}=1

Donc :

\begin{matrix}T\text{ : }y=f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)&\iff& T\text{ : }y=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+1\\&\iff&T\text{ : }y=-x+\dfrac{1}{2}+1\\&\iff& \boxed{T\text{ : }y=-x+\dfrac{3}{2}}\end{matrix}

3-a) Résolvons l'équation f(x)=g(x) :

\begin{matrix} f(x)=g(x) &\iff& e^{\frac{1}{2}-x}=e^x \\&\iff& \ln \left(e^{\frac{1}{2}-x}\right)=\ln(e^x)\\&\iff& \dfrac{1}{2}-x=x\\&\iff&\dfrac{1}{2}=2x \\&\iff& x=\dfrac{1}{4} \end{matrix}

\boxed{\dfrac{1}{4} \text{ est la seule solution , dans }\R \text{ , de l'équation : }f(x)=g(x)}


b) Les courbes (\Gamma)' de g et (\Gamma) de f se coupent aux points d'abscisses solutions de l'équation f(x)=g(x) .

Et puisque \dfrac{1}{4} est l'unique solution de cette équation , ces deux courbes ne se coupent qu'en un seul point, qu'on note A , d'abscisse x_A=\dfrac{1}{4} .

L'ordonnée y_{A} est l'image de l'abscisse trouvée par la fonction g ou la fonction f ,
on choisit de calculer l'image par la fonction g car son expression est le plus simple : y_A=g(x_A)=g\left(\dfrac{1}{4}\right)=e^{\frac{1}{4}

\boxed{\text{Les deux courbes }(\Gamma) \text{ et } (\Gamma^{'}) \text{ se coupent au point } A\left(\dfrac{1}{4},e^{\frac{1}{4}}\right)}


4-a) Voir la figure ci-dessous .

b)

Bac Tunisie 2022 SS (section sport) : image 2


c) L'aire A de la partie S du plan limitée par les courbes (\Gamma)\text{ et }(\Gamma^{'}) et les droites d'équations : x=\dfrac{1}{4} \text{ et }x=\dfrac{1}{2} s'écrit en unité d'aire :
A=\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}|f(x)-g(x)|\text{ d}x

Or , d'après la figure ci-dessus , la courbe (\Gamma)' est au dessus de (\Gamma) sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right] , donc f(x)\leq g(x) sur cet intervalle .
Et donc , |f(x)-g(x)|=g(x)-f(x) , pour tout x\in\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right] .

\begin{matrix}A&=&\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}|f(x)-g(x)|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}g(x)-f(x)\text{ d}x\\&=&\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}g(x)\text{ d}x-\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}f(x)\text{ d}x &=&\displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}e^{x}\text{ d}x-\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{2}-x}\text{ d}x\\&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}e^{x}\text{ d}x-\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{2}}e^{-x}\text{ d}x&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}e^{x}\text{ d}x+e^{\frac{1}{2}}\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\left(-e^{-x}\right)\text{ d}x\\&=&\displaystyle [e^x]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{2}}[e^{-x}]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}&=&e^{\frac{1}{2}}-e^{\frac{1}{4}}+e^{\frac{1}{2}}\left(e^{-\frac{1}{2}}-e^{-\frac{1}{4}}\right) \end{matrix}

\begin{matrix}\white A &=&e^{\frac{1}{2}}-e^{\frac{1}{4}}+e^{0}-e^{\frac{1}{4}}\white AAAA&=&e^{\frac{1}{2}}-2e^{\frac{1}{4}}+1\\&=&e^{\frac{2}{4}}-2e^{\frac{1}{4}}+1&=&\left(e^{\frac{1}{4}}\right)^2-2e^{\frac{1}{4}}+1\\&=&\left(e^{\frac{1}{4}}-1\right)^2\end{matrix}

\boxed{A=\left(e^{\frac{1}{4}}-1\right)^2\enskip\enskip \textbf{(UA)}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !