Fiche de mathématiques
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Bac Tunisie SS (Section Sport) 2022

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Durée : 2 heures
Coefficient : 1

4 points

exercice 1

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes.


Aucune justification n'est demandée


1. \ln(2022)-\ln(2020)=\ln 2 .

2. e^{\ln(2)}\times e^{1+\ln(2)}=4e .

3. Le domaine de définition de la fonction g définie par g(x)=(x-1)+\ln(x+2) est ]-2;1[ .

4. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=e^{x\ln(5)} . Alors f est dérivable sur \R et on a :

\text{ pour tout }x\in\R\enskip , \enskip f'(x)=e^{x\ln(5)} .


5 points

exercice 2

Un sac contient cinq jetons indiscernables au toucher répartis comme suit :

Deux jetons rouges portant la lettre S .

Un jeton rouge portant a lettre T .

Un jeton noir portant la lettre S .

Un jeton noir portant la lettre T .

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux jetons du sac .

On considère les évènements suivants :
\begin{matrix} &A\enskip:\enskip &\text{ ''Obtenir deux jetons qui protent la même lettre'' }\\ &B\enskip : \enskip&\text{ ''Obtenir deux jetons de même couleurs'' } \end{matrix}


1.a) Vérifier que p(A)=\dfrac{2}{5} \enskip , \enskip p(B)=\dfrac{2}{5} \text{ et }p(A\ap B)=\dfrac{1}{10} .

b) En déduire p(A\cup B) .

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque épreuve associe le nombre de jetons noirs tirés .

a) Déterminer la loi de probabilité de X .

b) Vérifier que l'espérance mathématique de la variable X est égale à \dfrac{4}{5} .

4 points

exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]-\infty , 4[ par : f(x)=\ln(4-x) . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

1.a) Calculer f(0)\text{ et }f(3) .

b) Déterminer \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ et }\lim_{x\to 4^{-}} f(x) .

c) Donner une équation de l'asymptote verticale à la courbe (C) .

2.a) Calculer f'(x) .

b) Dresser le tableau de variation de f .

3.a) Montrer que f réalise une bijection de ]-\infty,4[ sur \R .

b) Déterminer f^{-1}(0)\text{ et }f^{-1}(2\ln 2) .

7 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=e^{\frac{1}{2}-x} . On désigne par (\Gamma) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

1.a) Déterminer \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ et }\lim_{x\to +\infty} f(x) .

b) Donner une équation de l'asymptote horizontale à la courbe (\Gamma) au voisinage de +\infty .

2.a) Calculer f'(x) .

b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Vérifier qu'une équation de la tangente T à la courbe (\Gamma) en son point d'abscisse \dfrac{1}{2} est : y=-x+\dfrac{3}{2} .

3. Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=e^{x} . On désigne par (\Gamma^{'}) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

a) Montrer que \dfrac{1}{4} est la seule solution , dans \R , de l'équation : f(x)=g(x) .

b) En déduire que les deux courbes (\Gamma) et (\Gamma^{'}) se coupent uniquement en A\left(\dfrac{1}{4},e^{\frac{1}{4}\right) .

4. On a tracé dans l'annexe ci-jointe la courbe (\Gamma^{'}) et on a placé le point A .


a) Tracer dans le même repère la tangente T et la courbe (\Gamma) .

b) Hachurer la partie S du plan limitée par les courbes (\Gamma)\text{ et }(\Gamma^{'}) et les droites d'équations : x=\dfrac{1}{4} \text{ et }x=\dfrac{1}{2} .

c) Montrer que l'aire A de la partie S , en unité d'aire , est égale à \left(e^{\frac{1}{4}}-1\right)^2 .

Annexe à rendre avec la copie

Bac Tunisie 2022 SS (section sport) : image 1
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