Fiche de mathématiques
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Bac Tunisie SST 2022

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Durée : 3 heures
Coefficient : 3

4,5 points

exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) , on donne les points A(-1,-1,-1) \text{ , }B(-2,-1,0)\text{ et }C(1,1,-5)\text{ et}\text{ le vecteur } \overrightarrow{N}\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}

1.a) Vérifier que \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{N} . En déduire que A\text{ , }B \text{ et }C ne sont pas alignés .

b) Soit P le plan passant par A\text{ , }B \text{ et }C . Montrer qu'une équation de P est x+y+z+3=0 .

c) On considère les points E(1,0,2) \text{ et }H(-1,-2,0) . Vérifier que \overline{HE}=2\overline{N} . En déduire que H est le projeté orthogonal de E sur le plan P .

d) Calculer le volume du tétraèdre EABC .

2. On considère dans l'espace , l'ensemble S des points M(x,y,z) tels que : x^2+y^2+z^2-2x-4z-9=0 .

a) Montrer que S est la sphère de centre E et de rayon \sqrt{14} .

b) Montrer que P coupe S suivant le cercle (\zeta_1) du plan P de centre H et de rayon \sqrt{2} .

c) Vérifier que A et B appartiennent à (\zeta_1) .

3. On considère le plan Q\text{ : }x-5y+z-3=0 .

a) Montrer que P et Q sont sécants suivant la droite (AB) .

b) Vérifier que E\in Q .

c) En déduire que le plan Q coupe la sphère S suivant un cercle (\zeta_2) dont on précisera le centre et le rayon .

d) Montrer que (\zeta_1) et (\zeta_2) se coupent en A et B .

4 points

exercice 2

On considère la suite (u_n) définie sur \N par \begin{cases} u_0=2 \\u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n}\text{, }n\in\N }\end{cases} .

1.a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n\text{ , }u_n>1 .

b) Montrer que pour tout entier naturel n\text{ , }u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(un-1)^2}{u_n} .

c) Montrer que la suite (u_n) est convergente et calculer sa limite .

2. Soit (v_n) la suite définie sur \N par v_n=\dfrac{1}{u_n-1} .

a) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique de raison 1 .

b) Exprimer v_n en fonction de n .

c) En déduire que pour tout entier naturel n\text{ , } u_n=\dfrac{n+2}{n+1} .

3. On pose pour tout entier naturel n\text{ , } S_n=\ln(u_0)+\ln(u_1)+\cdots+\ln(u_n) .

a) Vérifier que S_1=\ln 3 .

b) Montrer que pour tout entier naturel n\text{ , }S_n=\ln (n+2) .

c) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que S_n>10 .

4,5 points

exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) . On considère les points F\text{ , }G\text{ et }I d'affixes respectives : z_F=\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i\text{ , }z_G=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }z_I=-\dfrac{1}{2}+i .

1.a) Vérifier que z_F-z_I=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ et }z_G-z_I=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i .

b) Montrer que F et G appartiennent au cercle (\zeta) de centre I et de rayon 1 .

c) Vérifier que z_F-z_I=i(z_G-z_I) . En déduire que le triangle IFG est rectangle en I .

2. Dans la figure 1 de l'annexe jointe , on a tracé le cercle (\zeta) . Construire les points F et G .

3.a) Vérifier que (2+2\sqrt{3})i est une racine carrée de -16-8\sqrt{3} .

b) Résoudre dans \C l'équation z^2+3z+\dfrac{25}{4}+2\sqrt{3}=0 .

4. Soient K et L les points d'affixes respectives : z_K=-\dfrac{3}{2}+i(1+\sqrt{3}) \text{ et }z_L=\overline{z_K} .

a) Montrer que \dfrac{z_K-z_F}{z_F-z_I}=i\sqrt{3} . En déduire que (FK) \perp (FI) .

b) Construire K et L .

c) Vérifier que z_G-z_L = (2+\sqrt{3})(z_F-z_I) . En déduire que (GL)//(FI) .

d) Les droites (FK) et (GL) se coupent en un point D . Montrer que le cercle (\zeta) est inscrit dans le triangle DKL .

7 points

exercice 4

1. Soit la fonction g définie sur ]0,+\infty[ par : g(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}-1} .

On donne ci-contre la courbe représentative (C) de g dans un repère orthonormé (\Omega , \vec{u},\vec{v}) .

Bac Tunisie 2022 SST (section sciences techniques) : image 2


En utilisant le graphique :

a) Déterminer g(\ln 2) \text{ , }\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}g(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty} g(x) .

b) Justifier que pour tout x de ]0,+\infty[ \text{ : }g'(x)<0 \text{ et } g(x)>1 .


2. Soit f la fonction définie sur ]0,+\infty[ par f(x)=\ln(e^x-1) .

Soit (\Gamma) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) du plan .

a) \text{ Calculer }\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty} f(x) .

b) Vérifier que pour tout réel x de ]0,+\infty[ \text{ : }f'(x)=g(x) .

c) Dresser le tableau de variation de f .

d) Vérifier que f(\ln 2) = 0 . En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x .

3.a) Montrer que pour tout réel x de ]0,+\infty[ \text{ , } \ln(g(x))=x-f(x) .

b) En déduire que \Delta\text{ : }y=x est une asymptote à la courbe (\Gamma) au voisinage de +\infty .

c) Montrer que (\Gamma) est au-dessous de \Delta .

4. Soit h la fonction définie sur ]0,+\infty[ par h(x)=f(x)-g(x) .

a) Vérifier que \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}h(x)=-\infty \text{ et que }\displaystyle\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty .

b) Montrer que l'équation f(x)=g(x) admet dans ]0,+\infty[ une solution unique notée \alpha .

5. Dans la figure 2 de l'annexe jointe , on a tracé la droite \Delta et on a placé le point de coordonnées (\alpha,f(\alpha)) . Tracer la courbe (\Gamma) .

6.a) Vérifier que \dfrac{e^{2x}}{e^x-1}=e^{x}+\dfrac{e^x}{e^x-1} . En déduire que \displaystyle \int_{\ln 2}^{\alpha }\dfrac{e^{2x}}{e^x-1}\text{ d}x = e^{\alpha}+f(\alpha)-2 .

b) Soit I=\displaystyle \int_{\ln 2}^{\alpha } e^{x}\ln(e^x-1)\text{ d}x . Montrer à l'aide d'une intégration par parties que I = e^{\alpha}f(\alpha)-\displaystyle \int_{\ln 2}^{\alpha }\dfrac{e^{2x}}{e^x-1}\text{ d}x .

c) En déduire que I= 2 .

Annexe à rendre avec la copie

Figure 1 :
Bac Tunisie 2022 SST (section sciences techniques) : image 1


Figure 2 :
Bac Tunisie 2022 SST (section sciences techniques) : image 3
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