Durée : 3 heures
Coefficient : 3
4,5 points exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct
, on donne les points
1.a) Vérifier que
. En déduire que
ne sont pas alignés .
b) Soit
le plan passant par
. Montrer qu'une équation de
est
.
c) On considère les points
. Vérifier que
. En déduire que
est le projeté orthogonal de
sur le plan
.
d) Calculer le volume du tétraèdre
.
2. On considère dans l'espace , l'ensemble
des points
tels que :
.
a) Montrer que
est la sphère de centre
et de rayon
.
b) Montrer que
coupe
suivant le cercle
du plan
de centre
et de rayon
.
c) Vérifier que
et
appartiennent à
.
3. On considère le plan
.
a) Montrer que
et
sont sécants suivant la droite
.
b) Vérifier que
.
c) En déduire que le plan
coupe la sphère
suivant un cercle
dont on précisera le centre et le rayon .
d) Montrer que
et
se coupent en
et
.
4 points exercice 2
On considère la suite
définie sur
par
.
1.a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
.
b) Montrer que pour tout entier naturel
.
c) Montrer que la suite
est convergente et calculer sa limite .
2. Soit
la suite définie sur
par
.
a) Montrer que
est une suite arithmétique de raison
.
b) Exprimer
en fonction de
.
c) En déduire que pour tout entier naturel
.
3. On pose pour tout entier naturel
.
a) Vérifier que
.
b) Montrer que pour tout entier naturel
.
c) Déterminer le plus petit entier naturel
tel que
.
4,5 points exercice 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
. On considère les points
d'affixes respectives :
.
1.a) Vérifier que
.
b) Montrer que
et
appartiennent au cercle
de centre
et de rayon
.
c) Vérifier que
. En déduire que le triangle
est rectangle en
.
2. Dans la figure 1 de l'annexe jointe , on a tracé le cercle
. Construire les points
et
.
3.a) Vérifier que
est une racine carrée de
.
b) Résoudre dans
l'équation
.
4. Soient
et
les points d'affixes respectives :
.
a) Montrer que
. En déduire que
.
b) Construire
et
.
c) Vérifier que
. En déduire que
.
d) Les droites
et
se coupent en un point
. Montrer que le cercle
est inscrit dans le triangle
.
7 points exercice 4
1. Soit la fonction
définie sur
par :
.
On donne ci-contre la courbe représentative
de
dans un repère orthonormé
.
En utilisant le graphique :
a) Déterminer
.
b) Justifier que pour tout
de
.
2. Soit
la fonction définie sur
par
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
du plan .
a) .
b) Vérifier que pour tout réel
de
.
c) Dresser le tableau de variation de
.
d) Vérifier que
. En déduire le signe de
suivant les valeurs de
.
3.a) Montrer que pour tout réel
de
.
b) En déduire que
est une asymptote à la courbe
au voisinage de
.
c) Montrer que
est au-dessous de
.
4. Soit
la fonction définie sur
par
.
a) Vérifier que
.
b) Montrer que l'équation
admet dans
une solution unique notée
.
5. Dans la figure 2 de l'annexe jointe , on a tracé la droite
et on a placé le point de coordonnées
. Tracer la courbe
.
6.a) Vérifier que
. En déduire que
.
b) Soit
. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que
.
c) En déduire que
.
Annexe à rendre avec la copie
Figure 1 :
Figure 2 :