Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths bac > Bac 2022 toujours : des sujets venus d'ailleurs
Durée : 3 heures
Coefficient : 3
4,5 points )
, on donne les points  \text{ , }B(-2,-1,0)\text{ et }C(1,1,-5)\text{ et}\text{ le vecteur } \overrightarrow{N}\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} )
1.a) Vérifier que
. En déduire que 
ne sont pas alignés .
b) Soit
le plan passant par . Montrer qu'une équation de est 
.
c) On considère les points \text{ et }H(-1,-2,0))
. Vérifier que 
. En déduire que 
est le projeté orthogonal de 
sur le plan .
d) Calculer le volume du tétraèdre
.
2. On considère dans l'espace , l'ensemble
des points )
tels que : 
.
a) Montrer que est la sphère de centre et de rayon 
.
b) Montrer que coupe suivant le cercle )
du plan de centre et de rayon 
.
c) Vérifier que
et 
appartiennent à .
3. On considère le plan
.
a) Montrer que et 
sont sécants suivant la droite )
.
b) Vérifier que
.
c) En déduire que le plan coupe la sphère suivant un cercle )
dont on précisera le centre et le rayon .
d) Montrer que et se coupent en et .
4 points)
définie sur 
par 
.
1.a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
.
b) Montrer que pour tout entier naturel^2}{u_n})
.
c) Montrer que la suite est convergente et calculer sa limite .
2. Soit)
la suite définie sur par 
.
a) Montrer que est une suite arithmétique de raison 
.
b) Exprimer
en fonction de 
.
c) En déduire que pour tout entier naturel
.
3. On pose pour tout entier naturel+\ln(u_1)+\cdots+\ln(u_n))
.
a) Vérifier que
.
b) Montrer que pour tout entier naturel)
.
c) Déterminer le plus petit entier naturel tel que 
.
4,5 points)
. On considère les points 
d'affixes respectives : i\text{ , }z_G=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }z_I=-\dfrac{1}{2}+i )
.
1.a) Vérifier que
.
b) Montrer que
et 
appartiennent au cercle )
de centre 
et de rayon .
c) Vérifier que)
. En déduire que le triangle 
est rectangle en .
2. Dans la figure 1 de l'annexe jointe , on a tracé le cercle . Construire les points et .
3.a) Vérifier quei)
est une racine carrée de 
.
b) Résoudre dans
l'équation 
.
4. Soient
et 
les points d'affixes respectives :  \text{ et }z_L=\overline{z_K})
.
a) Montrer que
. En déduire que  \perp (FI))
.
b) Construire et .
c) Vérifier que(z_F-z_I))
. En déduire que //(FI))
.
d) Les droites)
et )
se coupent en un point 
. Montrer que le cercle est inscrit dans le triangle 
.
7 points
définie sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
par : =\dfrac{e^{x}}{e^{x}-1})
.
On donne ci-contre la courbe représentative)
de dans un repère orthonormé )
.
En utilisant le graphique :
a) Déterminer \text{ , }\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}g(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty} g(x) )
.
b) Justifier que pour tout
de ![]0,+\infty[ \text{ : }g'(x)<0 \text{ et } g(x)>1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ \text{ : }g'(x)<0 \text{ et } g(x)>1)
.
2. Soit
la fonction définie sur par =\ln(e^x-1))
.
Soit)
sa courbe représentative dans un repère orthonormé )
du plan .
a)\text{ et }\lim_{x\to+\infty} f(x))
.
b) Vérifier que pour tout réel de ![]0,+\infty[ \text{ : }f'(x)=g(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ \text{ : }f'(x)=g(x))
.
c) Dresser le tableau de variation de .
d) Vérifier que = 0 )
. En déduire le signe de )
suivant les valeurs de .
3.a) Montrer que pour tout réel de ![]0,+\infty[ \text{ , } \ln(g(x))=x-f(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ \text{ , } \ln(g(x))=x-f(x))
.
b) En déduire que
est une asymptote à la courbe au voisinage de 
.
c) Montrer que est au-dessous de 
.
4. Soit
la fonction définie sur par =f(x)-g(x))
.
a) Vérifier que=-\infty \text{ et que }\displaystyle\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty)
.
b) Montrer que l'équation=g(x))
admet dans une solution unique notée 
.
5. Dans la figure 2 de l'annexe jointe , on a tracé la droite et on a placé le point de coordonnées ))
. Tracer la courbe .
6.a) Vérifier que
. En déduire que -2)
.
b) Soit\text{ d}x)
. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que -\displaystyle \int_{\ln 2}^{\alpha }\dfrac{e^{2x}}{e^x-1}\text{ d}x)
.
c) En déduire que
.
Figure 2 :
Bac Tunisie SST 2022
Coefficient : 3
4,5 points
exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct1.a) Vérifier que
b) Soit
c) On considère les points
d) Calculer le volume du tétraèdre
2. On considère dans l'espace , l'ensemble
a) Montrer que
b) Montrer que
c) Vérifier que
3. On considère le plan
a) Montrer que
b) Vérifier que
c) En déduire que le plan
d) Montrer que
4 points
exercice 2
On considère la suite1.a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
b) Montrer que pour tout entier naturel
c) Montrer que la suite
2. Soit
a) Montrer que
b) Exprimer
c) En déduire que pour tout entier naturel
3. On pose pour tout entier naturel
a) Vérifier que
b) Montrer que pour tout entier naturel
c) Déterminer le plus petit entier naturel
4,5 points
exercice 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct1.a) Vérifier que
b) Montrer que
c) Vérifier que
2. Dans la figure 1 de l'annexe jointe , on a tracé le cercle
3.a) Vérifier que
b) Résoudre dans
4. Soient
a) Montrer que
b) Construire
c) Vérifier que
d) Les droites
7 points
exercice 4
1. Soit la fonctionOn donne ci-contre la courbe représentative
En utilisant le graphique :
a) Déterminer
b) Justifier que pour tout
2. Soit
Soit
a)
b) Vérifier que pour tout réel
c) Dresser le tableau de variation de
d) Vérifier que
3.a) Montrer que pour tout réel
b) En déduire que
c) Montrer que
4. Soit
a) Vérifier que
b) Montrer que l'équation
5. Dans la figure 2 de l'annexe jointe , on a tracé la droite
6.a) Vérifier que
b) Soit
c) En déduire que
Annexe à rendre avec la copie
Figure 1 :Figure 2 :
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
forum de terminale