2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct , on considère les points d'affixes respectives .
a) Vérifier que .
b) Montrer que les points sont alignés si et seulement si .
3. Dans cette question on suppose que .
a) Justifier que le quadrilatère est un losange .
b) Vérifier que .
c) On désigne par l'aire du losange . Montrer que .
4.a) Ecrire les nombres complexes sous forme exponentielle .
b) Montrer que .
c) En déduire la valeur exacte de .
d) Construire alors , dans la figure 1 de l'annexe , un losange d'aire égale à .
3,5 points
exercice 2
On considère l'arbre de probabilité ci-contre où et sont deux évènements tels que la probabilité de est .
1. Montrer que .
2. Calculer alors .
3. Recopier et compléter l'arbre de probabilité .
4. Calculer .
4 points
exercice 3
1.On considère la suite définie pour tout entier par .
a) Montrer que .
b) Vérifier que pour tout entier .
c) En déduire la valeur de .
d) Montrer que pour tout entier .
e) Calculer alors .
2. Soit la suite définie pour tout entier .
a) Montrer que .
b) Calculer .
7 points
exercice 4
A)
1. Donner le sens de variation de la fonction définie sur par .
2. En déduire que pour tout réel .
B)
On considère la fonction définie sur par et on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1.a) Montrer que .
b) Montrer que la droite est une asymptote à la courbe au voisinage de .
c) Etudier la position relative de la courbe et la droite .
2.a) Montrer que pour tout réel .
b) Calculer et montrer que . Interpréter les résultats .
3.a) Montrer que pour tout réel .
b) Dresser le tableau de variation de .
4. On donne ci-contre le tableau de variation de la fonction définie sur par .
a) Montrer que l'équation admet exactement deux solutions .
b) On note la dérivée seconde de . Montrer que pour tout réel .
c) En déduire que les points sont deux points d'inflexion de la courbe représentative de .
5. Dans la figure 2 de l'annexe , on a tracé les tangentes et à la courbe respectivement aux points et et la droite . On a placé sur l'axe des abscisses les réels et .
a) Placer les points et dans la figure 2 .
b) Tracer la courbe dans le repère .
6. Pour tout réel , on désigne par l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et .
3-a) Ici , , donc les points ne sont pas alignés , et est un quadrilatère .
De plus ,
On a donc , et le quadrilatère est un parallélogramme .
Enfin , , donc
De
b) On factorise par l'angle moitié :
c) On désigne par l'aire du losange .
On a :
Or , on sait que .
Et puisque , d'où
On obtient donc :
4-a) Ecriture sous forme exponentielle :
.
.
b) Directement :
c) On a :
D'autre part :
Or , d'après 4-b) : .
Donc : .
En identifiant les parties réelles et imaginaires , on obtient :
d) Il est demandé de construire un losange d'aire .
Et on a vu que : .
De plus , .
On peut donc prendre pour que le losange soit d'aire .
On construit les points et , et on déduit le point .
Remarque : Pour la construction du point
Figure :
exercice 2
1) On a , d'après la formule des probabilités totales :
Donc
Or ,
On en déduit que :
2) On a
Donc :
3) On complète l'arbre par :
.
.
.
4) D'après le Théorème de Bayes :
D'où :
exercice 3
1)
La suite est définie pour tout entier par .
a) On a , pour :
D'où :
b) On a , pour tout
D'où :
c) Pour
Donc
Ou encore :
d) Puisque , pour tout , on a .
Donc
De plus , puisque
Il s'ensuit que , pour tout
Enfin , il est évident que les fonctions sont continues sur .
Donc les fonctions sont continues sur , et on peut écrire :
D'après 1-b) ,
Conclusion :
e) On a :
Et
Donc , d'après le théorème des gendarmes :
2)
La suite est définie pour tout entier .
a) Puisqu'il s'agit d'un produit d'une fonction polynômiale par une fonction en , on procède par une intégration par parties .
On note :
On a donc , pour tout :
Conclusion :
b) Calcul de :
On a :
Donc :
Calcul de :
On a ,
Et:
Donc :
exercice 4
A)
Soit la fonction définie sur par .
1)Etude de la fonction :
Le domaine de définition de est .
La fonction est continue et dérivable sur comme produit des fonctions continues et dérivables sur .
Il s'ensuit que la fonction est continue et dérivable sur .
Puisque pour tout , alors le signe de est celui de . Ce qui permet de dresser le tableau de variations de :
2) On déduit de la question précédente que la fonction admet en un extremum minimal .
Ce qui veut dire que : Or On en tire que :
Ou encore :
B)
On considère la fonction définie sur par
1-a) On a vu que , alors .
De plus , , alors
b) Puisque , il faut calculer .
Calcul de :
Or , .
Donc , , d'où
Alors :
Calcul de
Directement :
D'où :
De
c) Etude de la position relative de la courbe et la droite :
Il s'agit d'étudier le signe de :
On a :
Et puisque les fonctions sont strictement croissantes respectivement sur et sur , alors :
Il s'ensuit alors :
2-a) On a :
D'où :
b) Puisque .
Alors , il s'ensuit que
Conclusion :
Calcul de :
On a ; donc , il s'ensuit que
De plus , on sait que , on en déduit que :
On conclut alors que :
Interprétation graphique :
3-a)
D'après la partie A) , la fonction est dérivable sur .
Alors la foncion est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur .
Conclusion :
b) D'après A) , pour tout réel .
Alors le signe de et celui de .
On a :
Ce qui permet de dresser le tableau de variations de :
4-a) Sur est une fonction continue sur comme somme d'une fonction affine et de la fonction continues sur cet intervalle .
De plus , d'après le tableau de variations , est strictement croissante sur l'intervalle avec .
Donc , d'après le Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) , l'équation admet une et une solution sur l'intervalle qu'on note .
Sur De la même manière , est continue sur comme somme d'une fonction affine et de la fonction continues sur cet intervalle .
Et d'après le tableau de variations , est strictement décroissante sur l'intervalle avec .
Donc , d'après le T.V.I. , l'équation admet une et une solution sur l'intervalle qu'on note .
Enfin , puisque , alors .
On complète le tableau de variations de :
Récapitulons :
b) Pour tout réel
c)Etude de convexité de la fonction :
On a
Puisque , pour tout réel , le signe de et donc celui de .
On tire le signe de (et donc celui de ) du tableau de variations de complété à la question 4-a) :
Ce qui permet de dresser le tableau de convexité de la fonction :
Avec :
5-a) Voir la figure ci-dessous .
Les points et sont respectivement les points d'abscisses et appartenant respectivement aux droites et .
5-b)Le tracé :
6-a)
Puisque
De plus , la fonction est croissante et positive sur , alors
De , et en ajoutant aux membres de cette inégalité , on obtient :
, en sachant que est une fonction croissante sur , alors :
Ensuite , puisque , est bien défini et on peut l'ajouter aux membres de l'inégalité , on en tire que :
Enfin , en remarquant que , pour tout réel
On déduit que :
b) On sait que l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et s'écrit :
D'après 6-a) , on a l'encadrement suivant :
Or , les fonctions étant toutes continues sur .
Donc :
Calcul de
Intégration par parties :
On note :
Donc :
Calcul de
Calcul de
On sait que Donc :
D'après le théorème de comparaison :
Calcul de
Pusique , alors et donc , et encore
On a donc l'encadrement suivant :
On a vu que . De plus ,
Ce qui permet de calculer les limites :
D'après le théorème des gendarmes :
Publié par malou/Panter
le
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