Le tableau statistique ci-dessous donne les endettements d'un état en milliards de dinars entre les années et .
1.a) Représenter en annexe , le nuage de points associé à la série statistique .
b) En déduire qu'un ajustement affine entre et est justifié .
Dans la suite de l'exercice , on arrondira au centième les résultats des calculs
2.a) Déterminer une équation de la droite de régression de en obtenue par la méthode des moindres carrées .
b) En déduire une estimation en milliards de dinars des dettes en .
3. Un ajustement exponentiel donné par est l'un des modèles appropriés à cette série statistique .
En adoptant cet ajustement , donner une estimation des dettes en milliards de dinars en .
4. Selon les hypothèses de la loi des finances , la dette est projetée à milliards de dinars l'année . Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier votre réponse .
5 points
exercice 2
1. On considère la matrice .
a) Montrer que .
b) En déduire l'ensemble des réels pour lesquels soit inversible .
2. On donne les matrices .
a) Calculer .
b) En déduire la matrice inverse de .
3. On considère dans , le système .
a) Donner l'écriture matricielle du système .
b) Résoudre alors dans , le système .
4. Une confiserie possède un stock de d'amendes , de noix de cajou et de noisettes .
Le responsable de la confiserie désire utiliser tout le stock pour remplir des sacs de trois mélanges .
Le mélange contient grammes d'amendes , grammes de noix de cajou et grammes de noisettes .
Le mélange contient grammes d'amendes , grammes de noix de cajou et grammes de noisettes .
Le mélange contient grammes d'amendes , grammes de noix de cajou et grammes de noisettes .
Combien de sacs de chaque mélange , la confiserie peut-elle remplir ? Justifier votre réponse .
5,5 points
exercice 3
Soit la fonction définie sur .
1.a) Montrer que est strictement croissante sur .
b) Dresser le tableau de variations de sur .
c) Montrer que l'équation admet dans une unique solution et que .
d) Recopier et compléter le tableau suivant donnant le signe de sur .
2. Soit la fonction définie sur par .
a) Déterminer et montrer que .
b) Montrer que pour tout .
c) Dresser alors le tableau de variations de .
3. Dans la figure ci-dessous , on a tracé selon un repère orthonormé , les courbes et des fonctions , et on a placé le réel sur l'axe des abscisses .
La droite d'équation coupe les courbes en deux points et . Montrer que .
5,5 points
exercice 4
On considère le graphe ci-contre :
Chaque sommet du graphe représente une boutique qui vend une seule marque de téléphone portable .
Chaque arête du graphe représente une rue reliant deux boutiques . Deux boutiques dans une même rue ne vendent pas la même marque de téléphone protable .
1.a) Donner l'ordre du graphe .
b) Recopier et compléter le tableau suivant :
c) Un piéton peut-il visiter toutes les boutiques , en passant par chaque rue une fois et une seule ? Justifier votre réponse .
2. Soit le nombre minimal de marques de téléphones protables présentées dans les cinq boutiques .
a) Donner un sous-graphe complet de .
b) Justifier que .
c) Déterminer la valeur de . Justifier votre réponse .
3. Pour les véhicules , certaines rues deviennent à sens unique , d'autres restent à double sens . Cette nouvelle situation est modélisée par le graphe orienté ci-contre :
a) Donner la matrice associée au graphe . (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique ) .
b) On donne la matrice .
Combien y-a-t-il de chaines orientées de longueur allant du sommet au sommet ? Citer l'une de ces chaînes .
c) Justifier que le nombre de chaînes orientées de longueur allant du sommet au sommet est égal à .
1-a) On représente le nuage de points associé à la série statistique :
b) On remarque que le nuage a une forme allongée autour d'une droite :
2-a) Notons l'équation de la droite de régression
Avec une calculatrice qui permet de calculer des statistiques , on trouve :
Une équation de la droite de régression de en s'écrit :
b) L'année correspond à , alors :
3) Avec ce nouveau ajustement, on obtient :
4) On a :
On en déduit que :
exercice 2
Soit la matrice
1-a) On a , en développant par rapport à la première colonne :
Donc :
b) La matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul , alors :
D'où :
2-a) Soient
Alors :
b) est bien évidemment inversible car .
Et
On en tire que :
3-a) Soit le système .
Directement , l'écriture matricielle du système est :
Ou encore :
b) On résoud le système matriciellement :
L'ensemble des solutions du système est :
4) On pose :
le nombre de sacs de mélange .
le nombre de sacs de mélange .
le nombre de sacs de mélange .
On regroupe toutes les données sur les mélanges dans le tableau récapitulatif ci-dessous .
Pour des raisons de commodité , on utilise l'unité , et on rappelle que
On en déduit que : , qui n'est autre que le système , d'où :
Conclusion :
exercice 3
1-a) La fonction est dérivable sur l'intervalle car la fonction est dérivable sur , et donc sur .
Donc , pour tout
Puisque , pour tout réel , alors le signe de est celui de .
Or
Il s'ensuit que pour tout de , d'où :
b) On a :
Le tableau de variations de la fonction :
c) est continue et strictement croissante sur .
Elle réalise donc une bijection de sur
Et .
De plus .
Alors
D'après le théorème des valeurs intermédiaires :
d) D'après la question précédente :
2-a)
Puisque
Alors .
On a :
Or , on sait que :
Alors :
Conclusion :
b) est dérivable sur comme somme des fonctions dérivables sur .
c) Puisque , alors , on en déduit que le signe de est celui de .
En utilisant les résultats trouvés à la question 1-d) , on dresse le tableau de variations de la fonction :
4) Pusique et ont la même abscisse , alors
De plus :
, alors , alors
Il s'ensuit que
D'autre part , on sait que , alors :
Et en sachant que
D'où :
Enfin ,
Conclusion :
exercice 4
1-a) Puisque le graphe comporte 5 sommets , alors :
b) Le degré d'un sommet d'un graphe étant le nombre de liens reliant ce sommet , on complète le tableau :
c) est un graphe connexe et admet exactement deux sommets de degré impair (3) qui sont et , alors , admet une chaîne Eulérienne.
Et donc :
2-a) On donne :
b) Le nombre minimal de marques de téléphones protables présentées dans les cinq boutiques est un nombre chromatique .
Puisque amdet un sous-graphe complet d'ordre , alors .
D'autre part , le plus haut degré des sommets est 4 , d'où :
:
c) Le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier ce graphe est 3 , en effet :
Alors :
3-a)On ordonne les sommets par ordre alphabétique, on trouve :
b) Le nombre de chaînes orientées de longueur allant du sommet au sommet est le terme de la matrice situé à la deuxième ligne (correspondant au sommet ) et à la quatrième colonne (correspondant au sommet ) .
Donc :
Ces quatre chaînes sont (Il est demandé de donner UN exemple)
c) Il suffit de calculer le terme de la matrice situé à la deuxième ligne et à la quatrième colonne , donc Et puisque , il suffit de multiplier la matrice ligne des termes de la deuxième ligne de la matrice , par la matrice colonne des termes de la quatrième colonne de la matrice .
On trouve
Donc :
Remarque :
Puisqu'on a aussi .
Alors on pouvait calculer en multipliant la deuxième ligne de la matrice par la quatrième colonne de la matrice , en effet :
Publié par malou/Panter
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