Fiche de mathématiques

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Bac Tunisie SEG 2022

Durée : 2 heures
Coefficient : 2
4 points

exercice 1

Le tableau statistique ci-dessous donne les endettements d'un état en milliards de dinars entre les années $2015$ et $2020$ .

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 8

1.a) Représenter en annexe , le nuage de points associé à la série statistique $(x_i,y_i)$ .

b) En déduire qu'un ajustement affine entre $x$ et $y$ est justifié .

Dans la suite de l'exercice , on arrondira au centième les résultats des calculs

2.a) Déterminer une équation de la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrées .

b) En déduire une estimation en milliards de dinars des dettes en $2022$ .

3. Un ajustement exponentiel donné par $y=41,68e^{0,13 x}$ est l'un des modèles appropriés à cette série statistique .

En adoptant cet ajustement , donner une estimation des dettes en milliards de dinars en $2022$ .

4. Selon les hypothèses de la loi des finances , la dette est projetée à $114,14$ milliards de dinars l'année $2022$ . Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier votre réponse .

5 points

exercice 2

1. On considère la matrice $M_{\alpha} = \begin{pmatrix}5&4&6\\\alpha &2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\text{ ; }\alpha\in\R$ .

a) Montrer que $\det(M_{\alpha})=12\alpha+2$ .

b) En déduire l'ensemble des réels $\alpha$ pour lesquels $M_{\alpha}$ soit inversible .

2. On donne les matrices $A=\begin{pmatrix}5&4&6\\4&2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\enskip \text{ et }\enskip B=\begin{pmatrix}2&12&-8\\-11&9&1 9\\14&-16&-6\end{pmatrix}$ .

a) Calculer $A \times B$ .

b) En déduire $A^{-1}$ la matrice inverse de $A$ .

3. On considère dans $\R^{3}$ , le système $(S)\enskip : \begin{cases} 5x+4y+6z=1460\\4x+2y+z=720\\x+4y+3z=820\end{cases}$ .

a) Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .

b) Résoudre alors dans $\R^{3}$ , le système $(S)$ .

4. Une confiserie possède un stock de $146 \text{ kgs }$ d'amendes , $72 \text{ kgs }$ de noix de cajou et $82\text{ kgs }$ de noisettes .

Le responsable de la confiserie désire utiliser tout le stock pour remplir des sacs de trois mélanges $G_1,G_2\text{ et }G_3$ .

Le mélange $G_1$ contient $500$ grammes d'amendes , $400$ grammes de noix de cajou et $100$ grammes de noisettes .

Le mélange $G_2$ contient $400$ grammes d'amendes , $200$ grammes de noix de cajou et $400$ grammes de noisettes .

Le mélange $G_3$ contient $600$ grammes d'amendes , $100$ grammes de noix de cajou et $300$ grammes de noisettes .

Combien de sacs de chaque mélange , la confiserie peut-elle remplir ? Justifier votre réponse .

5,5 points

exercice 3

Soit $g$ la fonction définie sur $[0,+\infty[ \text{ par } g(x)=xe^{x}-1$ .

1.a) Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ .

b) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0,+\infty[$ .

c) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans $[0,+\infty[$ une unique solution $\alpha$ et que $0,5<\alpha<0,6$ .

d) Recopier et compléter le tableau suivant donnant le signe de $g(x)$ sur $[0,+\infty[$ .

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 7

2. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=e^{x}-\ln x$ .

a) Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)$ et montrer que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty$ .

b) Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty[ \text{ , }f'(x)=\dfrac{1}{x}g(x)$ .

c) Dresser alors le tableau de variations de $f$ .

3. Dans la figure ci-dessous , on a tracé selon un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ des fonctions $x\mapsto \ln x \text{ et }x\mapsto e^{x}$ , et on a placé le réel $\alpha$ sur l'axe des abscisses .

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 4

La droite d'équation $x=\alpha$ coupe les courbes $(C_1) \text{ et }(C_2)$ en deux points $M$ et $N$ . Montrer que $MN=\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$ .

5,5 points

exercice 4

On considère le graphe $(G)$ ci-contre :

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 9

Chaque sommet du graphe représente une boutique qui vend une seule marque de téléphone portable .

Chaque arête du graphe représente une rue reliant deux boutiques . Deux boutiques dans une même rue ne vendent pas la même marque de téléphone protable .

1.a) Donner l'ordre du graphe $(G)$ .

b) Recopier et compléter le tableau suivant :

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 6

c) Un piéton peut-il visiter toutes les boutiques , en passant par chaque rue une fois et une seule ? Justifier votre réponse .

2. Soit $n$ le nombre minimal de marques de téléphones protables présentées dans les cinq boutiques .

a) Donner un sous-graphe complet de $(G)$ .

b) Justifier que $3 \leq n\leq 5$ .

c) Déterminer la valeur de $n$ . Justifier votre réponse .

3. Pour les véhicules , certaines rues deviennent à sens unique , d'autres restent à double sens . Cette nouvelle situation est modélisée par le graphe orienté $(G')$ ci-contre :

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 10

a) Donner la matrice $M$ associée au graphe $(G')$ . (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique ) .

b) On donne la matrice $M^4=\begin{pmatrix} 7&3&6&4&2\\5&6&3&4&3\\5&5&4&4&3\\3&2&2&2&1\\3&5&2&3&3\end{pmatrix}$ .

Combien y-a-t-il de chaines orientées de longueur $4$ allant du sommet $B$ au sommet $D$ ? Citer l'une de ces chaînes .

c) Justifier que le nombre de chaînes orientées de longueur $5$ allant du sommet $B$ au sommet $D$ est égal à $8$ .

Annexe à rendre avec la copie

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 5

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exercice 1

1-a) On représente le nuage de points associé à la série statistique $(x_i,y_i)$ :

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 13

b) On remarque que le nuage a une forme allongée autour d'une droite :

$\boxed{\text{ Ce qui justifie un ajustement affine entre }x \text{ et } y }$

2-a) Notons l'équation de la droite de régression $D\text{ : }y=ax+b$

Avec une calculatrice qui permet de calculer des statistiques , on trouve :

$a=8,64\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip b=38,26\enskip\enskip\enskip\text{ (arrondis au centième)}$
Une équation de la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ s'écrit :
$\boxed{D\text{ : }y=8,64x+38,26}$

b) L'année $2022$ correspond à $x=8$ , alors :

$y=8,64\times 8+38,26 = \boxed{107,38}$

$\boxed{\text{ Les dettes de l'état en 2022 sont estimées à 107,38 MD}}$

3) Avec ce nouveau ajustement, on obtient :

$y=41,68e^{0,13 \times 8}= \boxed{117,92}$

$\boxed{\text{Les dettes de l'état en 2022 sont estimées dans ce cas à 117,92 MD}}$

4) On a :

$117,92-114,14=3,78$
$114,14-107,38=6,76>3,78$

On en déduit que :
$\boxed{\begin{matrix}\text{ L'ajustement exponentiel est le plus pertinent parce qu'il }\\\text{est le plus proche aux hypothèses de la loi des finances }\end{matrix}}$

exercice 2

Soit la matrice $M_{\alpha} = \begin{pmatrix}5&4&6\\\alpha &2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\text{ ; }\alpha\in\R .$

1-a) On a , en développant par rapport à la première colonne :
$\begin{matrix}\det(M_{\alpha})&=&\begin{vmatrix} 5&4&6\\\alpha &2&1 \\1&4&3\end{vmatrix}&=&5\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}-\alpha\begin{vmatrix}4&6\\4&3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4&6\\2&1\end{vmatrix}\\&=&5(6-4)-\alpha(12-24)+4-12&=& 10+12\alpha-8\end{matrix}$

Donc : $\boxed{\det(M_{\alpha})=12\alpha+2}$

b) La matrice $M_{\alpha}$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul , alors :

$\begin{matrix}M_{\alpha}\text{ est inversible }&\iff& \det(M_{\alpha})\neq 0 &\iff& 12\alpha+2\neq 0 \\&\iff& \alpha\neq-\dfrac{2}{12}&\iff& \alpha\neq -\dfrac{1}{6}\end{matrix}$

D'où : $\boxed{\begin{matrix}\text{L'ensemble des réels }\alpha\text{ pour lesquels la matrice }M_{\alpha }\\\text{ soit inversible est : }S_{\alpha}=\R\backslash\left\lbrace-\dfrac{1}{6}\right\rbrace \end{matrix}}$

2-a) Soient $A=\begin{pmatrix}5&4&6\\4&2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\enskip \text{ et }\enskip B=\begin{pmatrix}2&12&-8\\-11&9&1 9\\14&-16&-6\end{pmatrix}$

Alors :

$\begin{matrix}A\times B &=&\begin{pmatrix}5&4&6\\4&2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\enskip \times\enskip\begin{pmatrix}2&12&-8\\-11&9&1 9\\14&-16&-6\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}10-44+84&60+36-96&-40+76-36\\8-22+14&48+18-16&-32+38-6\\2-44+42&12+36-48&-8+76-18\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}50&0&0\\0&50&0\\0&0&50\end{pmatrix}\\&=&5\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{matrix}$

$\boxed{A\times B=5I_3}$

b) $A$ est bien évidemment inversible car $A=M_4 \enskip\enskip (\alpha=4\in S_{\alpha})$ .

Et $A\times B=50I_3 \iff A\times \left(\dfrac{1}{50} B\right)=I_3$

On en tire que : $\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{50}B}$

3-a) Soit le système $(S)\enskip : \begin{cases} 5x+4y+6z=1460\\4x+2y+z=720\\x+4y+3z=820\end{cases}$ .

Directement , l'écriture matricielle du système $(S)$ est : $\begin{pmatrix}5&4&6\\4&2&1 \\1&4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix}$

Ou encore : $\boxed{A\begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix}}$

b) On résoud le système $(S)$ matriciellement :

$\begin{matrix}(S)&\iff& A\begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix} &\iff& \begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix}\\\\&\iff& \begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{50}B\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix}&\iff& \begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{50}\begin{pmatrix}2&12&-8\\-11&9&1 9\\14&-16&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1460\\720 \\820\end{pmatrix}\\\\&\iff& \begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{50}\begin{pmatrix}2\times 1460+12\times 720-8\times 820\\-11\times1460+9\times 720+19\times 820\\14\times 1460-16\times 720-6\times 820\end{pmatrix}&\iff&\begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{50}\begin{pmatrix}5000\\6000 \\4000\end{pmatrix}\\\\&\iff& \begin{pmatrix}x\\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\120 \\80\end{pmatrix}&\iff& \begin{cases} x=100\\y=120\\z=80\end{cases}\end{matrix}$

L'ensemble des solutions du système $(S)$ est : $\boxed{\left\lbrace(100;120;80)\right\rbrace}$

4) On pose :

$x$ le nombre de sacs de mélange $G_1$ .
$y$ le nombre de sacs de mélange $G_2$ .
$z$ le nombre de sacs de mélange $G_3$ .

On regroupe toutes les données sur les mélanges $G_1,G_2\text{ et }G_3$ dans le tableau récapitulatif ci-dessous .

Pour des raisons de commodité , on utilise l'unité $\text{ hg :hectogramme}$ , et on rappelle que $1\text{ hg}=0,1\text{ kg}=100\text{ g}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &&&&\\ &\text{ Mélange }G_1&\text{ Mélange }G_2&\text{ Mélange }G_3&\text{Total }\\ & & &&\\\hline &&&&\\ \text{Qté d'amendes (en hg)} & 5 &4&6&1460\\&&&&\\ \hline &&&&\\ \text{Qté de noix de cajou (en hg)} &4& 2 &1&720\\&&&&\\\hline &&&&\\ \text{Qté de noisette (en hg)} &1&4&3&820\\&&&&\\\hline \end{array}$

On en déduit que : $\begin{cases} 5x+4y+6z=1460\\4x+2y+z=720\\x+4y+3z=820\end{cases}$ , qui n'est autre que le système $(S)$ , d'où : $\begin{cases} x=100\\y=120\\z=80\end{cases}$

Conclusion : $\boxed{\begin{matrix} \text{ Avec le stock qu'elle possède , la confisserie peut remplir : } \\ 100\text{ sacs du mélange }G_1 \\120\text{ sacs du mélange }G_2\\80\text{ sacs du mélange }G_3\end{matrix}}$

exercice 3

1-a) La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$ car la fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$ , et donc sur $[0;+\infty[$ .

Donc , pour tout $x\geq 0 \text{ : }$

$\begin{matrix}g'(x)&=& \left(xe^x-1\right)'&=& x'e^x+x(e^x)'\\&=&e^x+xe^x&=& (x+1)e^x\end{matrix}$

Puisque , pour tout réel $x \text{ , } e^x >0$ , alors le signe de $g'(x)$ est celui de $x+1$ .

Or $x\geq 0 \iff x+1\geq 1 >0$

Il s'ensuit que $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $[0;+\infty[$ , d'où :

$\boxed{ g \text{ est strictement croissante sur }[0;+\infty[}$

b) On a :

$g(0)=0\times e^0-1 = -1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^x-1=+\infty$

Le tableau de variations de la fonction $g$ :
$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline g'(x) & & + & \\ \hline & & & +\infty \\ g & &\nearrow & \\ & -1 & & \\ \hline \end{array}$

c) $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
Elle réalise donc une bijection de $[0;+\infty[$ sur $g([0;+\infty[)= \left[g(0);\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\right[ =[-1;+\infty[$

Et $0 \in [-1;+\infty[$ .

De plus $g(0,5)=0,5e^{0,5}-1\approx-0,17<0\enskip\text{ et }\enskip g(0,6)=0,6e^{0,6}-1\approx0,09>0$ .
Alors $g(0,5)g(0,6)<0$

D'après le théorème des valeurs intermédiaires :

$\boxed{\text{L'équation }g(x)=0\text{ admet une unique solution } \alpha\in]0,5;0,6[}$

d) D'après la question précédente :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & \alpha& & +\infty \\ \hline &&&\barre{}&&\\ g(x) & & - & \barre{0}&+ & \\&&&\barre{}&&\\ \hline \end{array}$

2-a)

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)$

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}e^{x}=e^0=1 \enskip \enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\ln x =-\infty$

Alors $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)= \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\left( e^{x}-\ln x\right)=\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}e^x-\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\ln x=0-(-\infty)=+\infty$ .

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$
On a : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left( e^{x}-\ln x\right)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x\left( \dfrac{e^{x}}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)$

Or , on sait que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$

Alors : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x\to +\infty}x\left( \dfrac{e^{x}}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=(+\infty) \times (+\infty)=+\infty$

Conclusion :
$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x) =+\infty \text{ et }\lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty }$

b) $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme des fonctions $\exp \text{ et }\ln$ dérivables sur $]0;+\infty[$ .

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[ \text{ : }f'(x)&=&\left(e^x-\ln x\right)'\\&=& \left(e^x\right)'-(\ln x)'\\&=&e^x-\dfrac{1}{x}\\&=&\dfrac{1}{x}\left(xe^x-1\right)\end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[ \text{ : }f'(x)=\dfrac{1}{x}g(x)}$

c) Puisque $x>0$ , alors $\dfrac{1}{x}>0$ , on en déduit que le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ .

En utilisant les résultats trouvés à la question 1-d) , on dresse le tableau de variations de la fonction $f$ :

$\begin{array}{|c||ccccr|} \hline x & 0 & &\alpha& & +\infty \\ \hline f'(x) & &- & \barre{0} & + & \\ \hline & +\infty & && & +\infty \\ f & &\searrow &&\nearrow& \\ & & & f(\alpha) && \\ \hline \end{array}$

4) Pusique $M$ et $N$ ont la même abscisse $x_{M}=x_{N }=\alpha$ , alors $MN=|y_{N}-y_{M}|$

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 12

De plus :

$M\in(C_1)$ , alors $y_M=\ln \alpha$
$N\in(C_2)$ , alors $y_N=e^{ \alpha}$

Il s'ensuit que $MN=|y_{N}-y_{M}|=\left|e^{\alpha}-\ln\alpha\right|$

D'autre part , on sait que $g(\alpha)=0$ , alors : $\alpha e^{\alpha}-1=0$

Et en sachant que $\alpha\neq 0 \text{ , } \boxed{ e^{\alpha} =\dfrac{1}{\alpha}}\enskip \enskip\text{ ou encore }\alpha=\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)\text{ , c'est-à-dire }\boxed{\alpha=-\ln\alpha}$

D'où : $MN=|y_{N}-y_{M}|=\left|e^{\alpha}-\ln\alpha\right|=\left|\dfrac{1}{\alpha}+\alpha\right|$

Enfin , $\alpha >0\text{ , alors }\dfrac{1}{\alpha}+\alpha>0$

Conclusion : $\boxed{MN=\dfrac{1}{\alpha}+\alpha}$

exercice 4

1-a) Puisque le graphe comporte 5 sommets , alors :

$\boxed{\text{ L'ordre de }(G)\text{ est }5 }$

b) Le degré d'un sommet d'un graphe étant le nombre de liens reliant ce sommet , on complète le tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommet}&A&B&C&D&E\\ \hline\text{Dégré}&4&2&3&3&2\\\hline \end{array}$

c) $(G)$ est un graphe connexe et admet exactement deux sommets de degré impair (3) qui sont $C$ et $D$ , alors , $G$ admet une chaîne Eulérienne.

Et donc : $\boxed{\text{ Il est possible de visiter toutes les boutiques , en passant par chaque rue une fois et une seule }}$

2-a) On donne :

$\boxed{\left\lbrace A;B;C\right\rbrace \text{ est un sous-graphe complet de }(G)}$

b) Le nombre minimal $n$ de marques de téléphones protables présentées dans les cinq boutiques est un nombre chromatique .

Puisque $(G)$ amdet un sous-graphe complet d'ordre $3$ , alors $3\leq n\enskip\blue (i)$ .

D'autre part , le plus haut degré des sommets est 4 , d'où : $n\leq 4+1=5 \enskip\blue (ii)$

$\text{ De }\blue (i)\black\text{ et }\blue (ii)$ :

$\boxed{3\leq n\leq 5}$

c) Le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier ce graphe est 3 , en effet :

Bac Tunisie 2022 SEG (section économie et gestion) : image 11

Alors : $\boxed{n=3}$

3-a)On ordonne les sommets par ordre alphabétique, on trouve :

$\boxed{M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&1\\1&0&1&0&0\\1&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\1&0&0&1&0\end{pmatrix} }$

b) Le nombre de chaînes orientées de longueur $\red 4$ allant du sommet $B$ au sommet $D$ est le terme de la matrice $M^{\red 4}$ situé à la deuxième ligne (correspondant au sommet $B$ ) et à la quatrième colonne (correspondant au sommet $D$ ) .

Donc : $\boxed{\text{Il y a 4 chaînes orientées de longueur 4 allant du sommet B au sommet D }}$

Ces quatre chaînes sont (Il est demandé de donner UN exemple)

$B\rightarrow A\rightarrow E\rightarrow A \rightarrow D$

$B\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow A \rightarrow D$

$B\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A \rightarrow D$

$B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow E \rightarrow D$

c) Il suffit de calculer le terme de la matrice $M^{5}$ situé à la deuxième ligne et à la quatrième colonne , donc $(M^5)_{24}$
Et puisque $M^5=M^4\times M$ , il suffit de multiplier la matrice ligne $\begin{pmatrix} 5&6&3&4&3\end{pmatrix}$ des termes de la deuxième ligne de la matrice $M^4$ , par la matrice colonne $\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$ des termes de la quatrième colonne de la matrice $M$ .
On trouve $(M^5)_{24}=\begin{pmatrix} 5&6&3&4&3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=5+3=8$

Donc : $\boxed{\text{Il y a 8 chaînes orientées de longueur 5 allant du sommet B au sommet D }}$

Remarque :

Puisqu'on a aussi $M^5=M\times M^4$ .

Alors on pouvait calculer $(M^5)_{24}$ $\text{[math]}$ en multipliant la deuxième ligne de la matrice $M$ par la quatrième colonne de la matrice $M^4$ , en effet :
$(M^5)_{24}=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}4\\4\\4\\2\\3\end{pmatrix}=4+4=8$

Publié par malou/Panter le 18-10-2022

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