Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

LIBAN SESSION 2023

MATHÉMATIQUES

Jour 1

Durée : 4 heures L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 10

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 17

5 points

exercice 2

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 14

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 15

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 13

5 points

exercice 3

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 11

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 12

5 points

exercice 4

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1

5 points

exercice 1

Partie A

On considère la fonction g définie sur ]0 ; + infini

[ par $g(x)=\ln(x^2)+x-2.$

1. $_{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to0^+}g(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+ }x^2=0^+ \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ X\to0^+ }\ln(X)=-\infty\phantom{ W } }\end{matrix}\right.\quad\underset{ (X=x^2) }{ \Longrightarrow }\quad\lim\limits_{ x\to0^+ }\ln\,(x^2)=-\infty \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to0^+ }(\ln\,(x^2)+x)=-\infty \\ \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to0^+ }(\ln\,(x^2)+x-2)=-\infty$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \lim\limits_{ x\to0^+ }g(x)=-\infty }. }$

$_{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}g(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty }x^2=+\infty \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ X\to+\infty }\ln(X)=+\infty\phantom{ W } }\end{matrix}\right.\quad\underset{ (X=x^2) }{ \Longrightarrow }\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }\ln\,(x^2)=+\infty \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }(\ln\,(x^2)+x)=+\infty \\ \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }(\ln\,(x^2)+x-2)=+\infty$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \lim\limits_{ x\to+\infty }g(x)=+\infty }. }$

2. On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 ; + infini

[.
Nous devons étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=[\ln(x^2)+x-2]' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)}=\dfrac{(x^2)'}{x^2}+1} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)}=\dfrac{2x}{x^2}+1} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)}=\dfrac{2}{x}+1} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=\dfrac{2}{x}+1}$

Or $x\in\;]0\;;\;+\infty\,[\quad\Longrightarrow\dfrac{2}{x}+1>0$

Donc $\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)>0}$

Nous en déduisons que la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +[.

3. a) Montrons qu'il existe un unique réel strictement positif alpha

tel que $\overset{ { \white{ . } } } { g(\alpha)=0\,. }$

La fonction g est continue sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{ x\to0^+ }g(x)=-\infty\phantom{ ww }\\\lim\limits_{ x\to+\infty }g(x)=+\infty\phantom{ ww } \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ 0\in\,]\,\lim\limits_{ x\to0^+ }g(x)\,;\,\lim\limits_{ x\to+\infty }g(x)\,[ }$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel appartenant à ]0 ; +[ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { g(\alpha)=0\,. }$ .

3. b) $\left\lbrace\begin{matrix}g(1,37)\approx-0,00038<0\\g(1,38)\approx0,024>0\phantom{xxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ 1,37<\alpha<1,38 }\,.$

4. Nous devons dresser le tableau de signe de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

Nous avons montré que la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[ et que $\overset{ { \white{ . } } } { g(\alpha)=0\,. }$
Nous pouvons alors en déduire le tableau de signe de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha&&&+\infty\\&&&& &&&\\ \hline&||&&&&&&\\ g(x)&||&-&&0&&+&\\&||&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=\dfrac{x-2}{x}\,\ln(x)\,.$

1. a) Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to0^+}f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+ }(x-2)=-2 \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ x\to0^+ }x=0^+\phantom{ Ww } }\\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ x\to0^+ }\ln(x)=-\infty\phantom{ } }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{ x\to0^+ }\dfrac{x-2}{x}=-\infty \\\overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ x\to0^+ }\ln(x)=-\infty\phantom{ } }\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow \quad\lim\limits_{ x\to0^+ }\dfrac{x-2}{x}\,\ln(x)=+\infty\\ \\ \\ \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{ x\to0^+ }f(x)=+\infty}$

1. b) Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr C_f }$ admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

2. Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

$\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;f(x)=\dfrac{x-2}{x}\,\ln(x)=\left(\dfrac x x -\dfrac 2 x\right)\ln(x) \\ \\ \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;f(x)=\left(1 -\dfrac 2 x\right)\ln(x)} \\ \\ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty }\left(1 -\dfrac 2 x\right)=1-0=1 \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ x\to+\infty }\ln(x)=+\infty\phantom{ Ww } }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty }\left(1 -\dfrac 2 x\right)\ln(x)=+\infty \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty }f(x)=+\infty }\,.$

3. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

Pour tout x appartient

]0 ; +

[,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left[\dfrac{x-2}{x}\,\ln(x)\right]' \\ \phantom{f'(x)}=\left(\dfrac{x-2}{x}\right)'\times\ln(x)+\dfrac{x-2}{x}\times [\ln (x)]' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x-2)'\times x-(x-2)\times x'}{x^2}\times\ln (x)+\dfrac{x-2}{x}\times \dfrac 1 x } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{1\times x-(x-2)\times 1}{x^2}\times\ln (x)+\dfrac{x-2}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{ x-x+2}{x^2}\times\ln (x)+\dfrac{x-2}{x^2} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2}\times\ln (x)+\dfrac{x-2}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ p } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{2\ln(x)}{x^2}+\dfrac{x-2}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ p } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x^2)+x-2}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ p } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{x^2} } \\\\ \Longrightarrow\quad \boxed{ \forall\,x\,\in,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2} }$

4. Nous déduisons de la question précédente le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&\alpha&&&+\infty\\&&&& &&&\\ \hline&||&&&&&&\\\ g(x)&||&-&&0&&+&\\x^2&0&+&&+&&+&\\&||&&& &&&\\ \hline&||&&&&&&\\\ f'(x)&||&-&&0&&+&\\&||&&& &&&\\ \hline&+\infty&&&&&&+\infty\\\ f(x)&||&\searrow&&&&\nearrow&\\&||&&&f(\alpha) &&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; ] et
${ \white{ WWWWWWWWWWWW } }$ est strictement croissante sur [ ; +[.

Partie C

Nous devons étudier la position relative de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr C_f }$ et de la courbe représentative de la fonction ln sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

Etudions le signe de la différence $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-\ln(x) }$ sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

Pour tout x appartient

]0 ; +

[,

$f(x)-\ln(x)=\dfrac{x-2}{x}\,\ln(x)-\ln(x) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x )-\ln(x) }= \left(\dfrac{x-2}{x}-1\right)\ln(x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x )-\ln(x) }= \dfrac{x-2-x}{x}\,\ln(x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x )-\ln(x) }= \dfrac{-2}{x}\,\ln(x) } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{f(x)-\ln(x)= \dfrac{-2\,\ln(x)}{x} }$

Dès lors, nous obtenons le tableau de signes suivant :

$\begin{matrix}\text{Pour tout }x>0,\\ \\ \ln (x)=0\Longleftrightarrow x=1\\ \ln (x)>0\Longleftrightarrow x>1\\ \phantom{xxi}\ln (x)<0\Longleftrightarrow 0<x<1\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\-2&&-&&-&&-&\\ \ln (x)&||& - && 0 & &+ &\\ \ x&0& + && + & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&||&&&&&&\\ \dfrac{-2\,\ln(x)}{x}&||&+&&0&&-&\\&||&&& &&&\\ \hline \end{array}$

D'où, sur l'intervalle ]0 ; 1[, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr C_f }$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction ln,
${ \white{ xixxi } }$ sur l'intervalle ]1 ; +[, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr C_f }$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction ln,
${ \white{ xixxi } }$ au point (1 ; 0), la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr C_f }$ traverse la courbe représentative de la fonction ln,

5 points

exercice 2

1. Arbre pondéré représentant la situation pour les 2^e et 3^e jours.

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 18

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { p_3 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { p(T_3)\,.}$

Les événements $\overset{ { \white{ . } } }{ T_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } }{ V_2 }$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xx } }$ $p(T_3)=p(T_2\cap T_3)+p(V_2\cap T_3) \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(T_3) }=p(T_2)\times p_{ T_2 }(T_3)+p(V_2)\times p_{ V_2 }(T_3)} \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(T_3) }=0,8\times0,8+0,2\times0,6 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(T_3) }=0,64+0,12 }$
${ \white{ xx } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p(T_3) }=0,76 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ p_3=p(T_3)=0,76 }\,.$

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { p_{V_3}(T_2)\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $p_{V_3}(T_2)=\dfrac{ p(T_2\cap V_3) } { p(V_3) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{V_3}(T_2) } =\dfrac{ p(T_2)\times p_{T_2}(V_3) } { 1-p(T_3) } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{V_3}(T_2) } =\dfrac{ 0,8\times0,2 } { 1-0,76} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{V_3}(T_2) } =\dfrac{ 0,16 }{ 0,24 } =\dfrac{16 } { 24 } } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ p_{V_3}(T_2) } =\dfrac{2 } { 3 } } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ p_{V_3}(T_2)=\dfrac{ 2}{ 3 } }$

D'où sachant que le 3^e jour, M Durant utilise son vélo, la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 2 3. }$

4. Arbre pondéré représentant la situation pour les n ^-ième et (n +1)^-ième jours.

Bac général spécialité maths 2023 Liban Jour 1 : image 19

5. Montrons que pour tout entier naturel n non nul, $\overset{ { \white{ . } } } {p_{n+1}=0,2p_n+0,6. }$

Les événements $\overset{ { \white{ . } } }{ T_n }$ et $\overset{ { \white{ . } } }{ V_n }$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xx } }$ $p_{n+1}=p(T_{n+1})=p(T_n\cap T_{n+1})+p(V_n\cap T_{n+1}) \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p_{n+1}=p(T_{n+1}) }=p(T_n)\times p_{ T_n }(T_{n+1})+p(V_n)\times p_{ V_n }(T_{n+1})} \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p_{n+1}=p(T_{n+1}) }=p_n\times0,8+(1-p_n)\times0,6 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p_{n+1}=p(T_{n+1}) }=0,8p_n+0,6-0,6p_n }$
${ \white{ xx } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ p_{n+1}=p(T_{n+1}) }=0,2p_n+0,6. } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ p_{n+1}=0,2p_n+0,6 }\,.$

6. Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a : $\overset{ { \white{ . } } } { p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}\;. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1, soit que $\overset{ { \white{ . } } }{ p_1=0,75+0,25\times 0,2^{0}\;. }$
C'est une évidence car $\left\lbrace\begin{matrix}{\red{p_1}}=1\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\\ \overset{ { \white{ . } } } { {\red{0,75+0,25\times 0,2^{0}}}=0,75+0,25}\times1=1\end{matrix}\right.\quad\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p_1=0,75+0,25\times 0,2^{0}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n non nul fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n non nul fixé, $\overset{ { \white{ . } } }{ p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1} }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } }{ p_{n+1}=0,75+0,25\times 0,2^{n} \;. }$
En effet,

$\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1}=0,2p_n+0,6 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1} }=0,2\,(0,75+0,25\times 0,2^{n-1})+0,6 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1} }=0,2\times0,75+0,25\times 0,2\times 0,2^{n-1}+0,6 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1} }=0,15+0,25\times 0,2^{n}+0,6 }$
$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1} }=0,75+0,25\times 0,2^{n} } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\; p_{n+1}=0,75+0,25\times 0,2^{n} }$
D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \forall\,n\in\N^*,\; p_{n}=0,75+0,25\times 0,2^{n-1} }\;.}$

7. Nous devons déterminer la limite de la suite (p_n ).

$0<0,2<1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}0,2^{n-1}=0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0<0,2<1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}0,25\times0,2^{n-1}=0 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0<0,2<1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}(0,75+ 0,25\times0,2^{n-1})=0,75 } \\\\ \Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}p_n=0,75 }$

Donc, à très long terme, la probabilité que M. Durand utilise les transports en commun se rapprochera de 0,75.

5 points

exercice 3

1. Une primitive de la fonction f , définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\,\text{e}^x\,, }$ est la fonction F , définie sur $\R$ par $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=(x-1)\,\text e^x}\quad {\red{\longrightarrow\quad\text{Réponse b.}}}$

La fonction F est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ (produit de deux fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ ).
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $F\,'(x)=(x-1)'\times\text e^x+(x-1)\times(\text e^x)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F\,'(x)}=1\times\text e^x+(x-1)\times \text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F\,'(x)}=(1+x-1)\, \text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F\,'(x)}=x\, \text e^x }$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F\,'(x)}=f(x)} \\ \\ \Longrightarrow\quad \boxed{ \forall\,x\in\R, F\,'(x)=f(x)}$
Par conséquent, une primitive de la fonction f , définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\,\text{e}^x\,, }$ est la fonction F , définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=(x-1)\,\text e^x }.$
Donc la réponse b est correcte.

2. On considère la fonction g définie par $g(x)=\ln\left(\dfrac{ x-1 } { 2x+4 }\right).$
La fonction g est définie sur ]- infini

; -2[

]1 ; +

[ ${\white{.}} {\red{\longrightarrow\quad\text{Réponse c.}}}$

En effet, la fonction g est définie si $\dfrac{ x-1 } { 2x+4 }>0.$

Étudions le signe de $\dfrac{ x-1 } { 2x+4 }.$

$\begin{matrix}x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\ x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\ x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\ \\2x+4=0\Longleftrightarrow 2x=-4\\\phantom{xxxxxxx}\Longleftrightarrow x=-2\\ 2x+4>0\Longleftrightarrow 2x>-4\\\phantom{xxxxxxx}\Longleftrightarrow x>-2\\ 2x+4<0\Longleftrightarrow x<-2\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccccccc| } \hline &&&&&&&&&&&& x &-\infty&&&-2&&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&&&&&& \\ \hline&&&&&&&&&&&\\ x-1&& - && - &&- & &0 &&+&\\ 2x+4&& - && 0 & &+ &&+&&+&\\&&&&&&&&&&&\\ \hline&&&&||&&&&&&&\\ \dfrac{x-1}{2x+4}&& +&& || & &- &&0&&+&\\&&&& ||&&&\\ \hline \end{array}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{ x-1 } { 2x+4 }>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]1\;;\;+\infty\,[. }$
Par conséquent, la fonction g est définie sur ]- infini

; -2[

]1 ; +

[.
Donc la réponse c est correcte.

3. La fonction h définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=(x+1)\text e^x }$ est concave sur ]- infini

; -3]
${ \white{ xxi } }$ et convexe sur [-3 ; + infini

[ $\overset{ { \white{ . } } } { {\white{.}} {\red{\longrightarrow\quad\text{Réponse d.} } } }$

La concavité de la fonction h se détermine selon le signe de la dérivée seconde h''(x) .
La fonction h est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ (produit de fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ ).

Pour tout nombre réel x ,

$h'(x)=(x+1)'\times\text e^x+(x+1)\times(\text e^x)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h'(x)}=1\times\text e^x+(x+1)\times\text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h'(x)}=(1+x+1)\,\text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h'(x)}=(x+2)\,\text e^x } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;h'(x)=(x+2)\,\text e^x }$

La fonction dérivée h' est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ (produit de fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ ).

Pour tout nombre réel x ,

$h''(x)=(x+2)'\times\text e^x+(x+2)\times(\text e^x)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h''(x)}=1\times\text e^x+(x+2)\times\text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h''(x)}=(1+x+2)\,\text e^x } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{h''(x)}=(x+3)\,\text e^x } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;h''(x)=(x+3)\,\text e^x }$

Étudions le signe de h''(x) sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

$\begin{matrix}x+3=0\Longleftrightarrow x=-3\\ x+3>0\Longleftrightarrow x>-3\\ x+3<0\Longleftrightarrow x<-3\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&-3&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&\\ x+3&& - && 0&&+& \\ \text e^x&& + && + & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\ f''(x)=(x+3)\text e^x&& -&&0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline \end{array} \\\\\text{D'où }\;f''(x)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]-\infty\;;\;-3\,] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{D'où }}\;f''(x)\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,[-3\;;\;+\infty[ }$

Par conséquent, la fonction h est concave sur ]- infini

; -3] et convexe sur [-3 ; + infini

[.
Donc la réponse d est correcte.

4. Une suite (u_n ) est minorée par 3 et converge vers un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell. }$
${ \white{ xxi } }$ On peut affirmer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell\ge3 }$ $\overset{ { \white{ . } } } { {\white{.}} {\red{\longrightarrow\quad\text{Réponse b.} } } }$

La suite (u_n ) est minorée par 3.
Il s'ensuit que pour tout entier naturel n , u_n supegal

3.
De plus, $\overset{ { \white{ \frac{}{.} } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell. }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell\ge3\,. }$
Donc la réponse b est correcte.

5. La suite (w_n ) est définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { w_1=2 }$ et pour tout entier naturel n strictement positif, $w_{n+1}=\frac 1 2 w_n.$
La suite (w_n ) converge vers 0 $\overset{ { \white{ . } } } { {\white{.}} {\red{\longrightarrow\quad\text{Réponse d.} } } }$

Calculons les premiers termes de la suite (w_n ).

$\bullet\phantom{x}\boxed{w_1=2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_2=\dfrac 1 1 w_1=1\times2=2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_2=2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_3=\dfrac 1 2 w_2=\dfrac1 2\times2=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_3=1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_4=\dfrac 1 3 w_3=\dfrac1 3\times1=\dfrac 1 3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_4=\dfrac 1 3}}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_5=\dfrac 1 4 w_4=\dfrac1 4\times\dfrac 1 3=\dfrac {1}{ 12}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_5=\dfrac {1}{12}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_6=\dfrac 1 5 w_5=\dfrac1 5\times\dfrac {1}{12}=\dfrac {1}{ 60}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_6=\dfrac {1}{60}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{x}w_7=\dfrac 1 6 w_6=\dfrac1 6\times\dfrac {1}{60}=\dfrac {1}{ 360}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_7=\dfrac {1}{360}}}$

Nous pouvons conjecturer que la suite (w_n ) converge vers 0.
Démontrons cette conjecture.

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{xx} }$ Démontrons d'abord par récurrence que pour tout entier naturel n strictement positif, $\overset{ { \white{ . } } } { w_n\ge0. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1, soit que $\overset{ { \white{ . } } }{ w_1\ge0}$
C'est une évidence car $w_1=2\quad\Longrightarrow\quad w_1\ge0.$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel non nul n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel non nul n fixé, $\overset{ { \white{ . } } }{ w_{n}\ge0 }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } }{ w_{n+1}\ge0. }$
En effet, $w_{n+1}=\dfrac{1}{n}\,w_n.$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac 1 n>0\quad(\text{car }n\in\N^*)\phantom{xx}\\ \\w_n\ge0\quad(\text{par hypothèse)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad \dfrac 1 n\,w_n\ge0 \quad\Longrightarrow \quad \boxed{ w_{n+1}\ge0}\,.$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \forall n\in\N^*\text{ ; }w_n\ge0 } }\;.$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{xx} }$ Démontrons ensuite que la suite (w_n ) est décroissante.

Pour tout entier naturel n strictement positif,

${ \white{ xxi } }$ $\text{[math]}$ $w_{n+1}-w_n=\dfrac{1}{n}\,w_n - w_n \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_{n+1}-w_n}=\left(\dfrac{1}{n}-1\right)\,w_n } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_{n+1}-w_n}=\dfrac{1-n}{n}\,w_n }$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}1-n\le0\quad\text{(car }n\in\N^*)\\\overset{ { \white{ . } } } { n>0\quad\text{(car }n\in\N^*)\phantom{iW} }\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { w_n\ge0\phantom{WWWWWWW}}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{1-n}{n}\,w_n\le0 }$
D'où $w_{n+1}-w_n\le0.$

Nous en déduisons que la suite (w_n ) est décroissante.

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\phantom{xx} }$ En conséquence, la suite (w_n ) est décroissante et minorée par 0.
Elle converge alors vers sa borne inférieure.
Dès lors, la suite (w_n ) converge vers 0.
Donc la réponse d est correcte.

5 points

exercice 4

Dans l'espace muni d'un repère orthonormée $(O\,;\,\vec i,\vec j,\vec k),$
on considère les points A (-1 ; -3 ; 2), B (3 ; -2 ; 6) et C (1 ; 2 ; -4).

1. Nous montrerons que les points A , B et C définissent un plan en montrant qu'ils ne sont pas colinéaires. Montrons donc que les vecteurs $\overrightarrow{ AB }$ et $\overrightarrow{ AC }$ ne sont pas colinéaires.

Nous avons : A (-1 ; -3 ; 2), B (3 ; -2 ; 6) et C (1 ; 2 ; -4).

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } }{ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB }\ \begin{pmatrix}3-(-1)\\-2-(-3)\\6-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\ \begin{pmatrix}1-(-1)\\2-(-3)\\-4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\end{matrix}\right. }$

Les vecteurs $\overrightarrow{ AB }$ et $\overrightarrow{ AC }$ ne sont manifestement pas colinéaires.
D'où les points A , B et C ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points A , B et C définissent un plan noté $\mathscr P$ .

2. a) Montrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix} }$ est normal au plan $\mathscr P$ .

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ n }\ \begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ n }\cdot\overrightarrow{ AB }=13\times4-16\times1-9\times4\\=52-16-36\phantom{ wW }\\=0\phantom{ WWWwWwW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWW }\Longrightarrow\quad\boxed{ \overrightarrow{ n }\perp\overrightarrow{ AB } }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ n }\ \begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ n }\cdot\overrightarrow{ AC }=13\times2-16\times5-9\times(-6)\\=26-80+54\phantom{ wW }\\=0\phantom{ WWWwWwW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWW }\Longrightarrow\quad\boxed{ \overrightarrow{ n }\perp\overrightarrow{ AC } }$

Le vecteur $\overrightarrow{ n }$ est orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{ AB }$ et $\overrightarrow{ AC }$ non colinéaires du plan $\mathscr P$ .
Donc le vecteur $\overrightarrow{ n }$ est un vecteur normal au plan $\mathscr P$ .

2. b) Déterminons une équation du plan $\mathscr P$ .
Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} }$ admet une équation cartésienne de la
forme : ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix} }$ est normal au plan $\mathscr P$ , nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr P$ est de la forme : 13x - 16y - 9z + d = 0.

Or le point A (-1 ; -3 ; 2) appartient au plan $\mathscr P$ .
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 13 multiplie

(-1) - 16

(-3) - 9

2 + d = 0 , soit d = -17.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr P$ est $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ 13x-16y-9z-17=0 }\,. }$

On note $\mathscr D$ la droite passant par le point F (15 ; -16 ; -8) et orthogonale à $\mathscr P$ .

3. Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ .

Puisque la droite $\mathscr D$ est orthogonale au plan $\mathscr P$ , le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}{\red{13}}\\ {\red{-16}}\\ {\red{-9}}\end{pmatrix} }$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr D$ .

La droite $\mathscr D$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ F({ \blue{ 15 } }\,;\,{ \blue{ -16 } }\,;\,{ \blue{ -8 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{ 15 } }+{ \red{ 13 } }\times t\\y={ \blue{ -16 } }+{ \red{ (-16) } }\times t\\z={ \blue{ -8 } }+{ \red{ (-9) } }\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R })$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ \mathscr D:\left\lbrace\begin{array}l x=15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R }) } }$

4. On appelle E le point d'intersection de la droite $\mathscr D$ et du plan $\mathscr P$ .
${ \white{ xxi } }$ Déterminons les coordonnées du point E .

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Le point E appartient à $\mathscr D$ .
Donc les coordonnées de E sont de la forme $\overset{ { \white{ . } } }{ (15+13t\,;\,-16-16t\,;\,-8-9t). }$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Le point E appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr P:13x-16y-9z-17=0 }$ .
Donc ses coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr P. }$
Nous obtenons ainsi :

$13(15+13t)-16(-16-16t)-9(-8-9t)-17=0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4(-1+4t)}\quad\Longleftrightarrow\quad 195+169t+256+256t+72+81t-17=0} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4(-1+4t) }\quad\Longleftrightarrow\quad 506t+506=0 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4(-1+4t) }\quad\Longleftrightarrow\quad 506t=-506 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { }\phantom{ 4(-1+4t) }\quad\Longleftrightarrow\quad t=-1$

Remplaçons t par (-1) dans les coordonnées de E .

$(15+13t\,;\,-16-16t\,;\,-8-9t)=(15-13\,;\,-16+16\,;\,-8+9) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(15+13t\,;\,-16-16t\,;\,-8-9t)}=(2\,;\,0\,;\,1) }$
Par conséquent, le point E a pour coordonnées $\left(2\,;\,0\,;\,1\right)\,.$

5. Nous devons calculer la distance du point F au plan $\mathscr P$ .
Cette distance est donnée par FE.

${ \white{ xx } }$ $\overrightarrow{ FE }\ \begin{pmatrix}2-15\\ \overset{ { \white{ . } } }{ 0-(-16) } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ 1-(-8) }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\\ 16\\ 9\end{pmatrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad FE=\sqrt{ (-13)^2+16^2+9^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 169+256+81}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 506} }$

Par conséquent, la distance du point F au plan $\mathscr P$ est égale à $\sqrt{ 506 }.$

6. Nous devons déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathscr D$ dont la distance au plan $\mathscr P$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $\mathscr P$ .

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Soit M un point quelconque de la droite $\mathscr D$ .
Les coordonnées de M sont de la forme $\overset{ { \white{ . } } }{ (15+13t\,;\,-16-16t\,;\,-8-9t). }$ .
La distance du point M au plan $\mathscr P$ est donnée par ME.

${ \white{ xx } }$ $\overrightarrow{ ME }\ \begin{pmatrix}2-(15+13t)\\ \overset{ { \white{ . } } }{ 0-(-16-16t) } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ 1-(-8-9t) }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13-13t\\ 16+16t\\ 9+9t\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{ ME }\ \begin{pmatrix}-13(1+t)\\ \overset{ { \white{ . } } }{ 16(1+t) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ 9(1+t) }\end{pmatrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad ME=\sqrt{(-13)^2(1+t)^2+16^2(1+t)^2+9^2(1+t)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{169(1+t)^2+256(1+t)^2+81(1+t)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 506(1+t)^2} }$

Par conséquent, la distance du point M au plan $\mathscr P$ est $ME=\sqrt{ 506(1+t)^2}.$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ La distance du point F au plan $\mathscr P$ est donnée par $FE=\sqrt{ 506 }$ (voir question 5.)

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Nous devons déterminer les coordonnées de M vérifiant la condition $ME=\dfrac{FE}{2}\,.$
${ \white{ xxxxi } }$ $ME=\dfrac{FE}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{ 506(1+t)^2}=\dfrac{\sqrt{ 506}}{2} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWx} \quad\Longleftrightarrow\quad 506(1+t)^2=\dfrac{506}{4}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWx} \quad\Longleftrightarrow\quad (1+t)^2=\dfrac{1}{4}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWx} \quad\Longleftrightarrow\quad 1+t=\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad1+t=-\dfrac{1}{2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWx} \quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1}{2}-1\quad\text{ou}\quad t=-\dfrac{1}{2}-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWx} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=-\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad t=-\dfrac{3}{2}}}$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } } \text{Si }t=-\dfrac{1}{2},\;\text{alors }\;\left\lbrace\begin{matrix}x_M=15+13\times(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{17}{2}\\\overset{ { \white{ . } } } { y_M=-16-16\times (-\dfrac{1}{2})= -8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { z_M=-8-9\times (-\dfrac{1}{2})= -\dfrac{7}{2} }\end{matrix}\right. \\ \\ \quad\Longrightarrow M\left(-\dfrac{17}{2}\;;\;-8\;;\;-\dfrac{7}{2}\right)$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } } \text{Si }t=-\dfrac{3}{2},\;\text{alors }\;\left\lbrace\begin{matrix}x_M=15+13\times(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{9}{2}\\\overset{ { \white{ . } } } { y_M=-16-16\times (-\dfrac{3}{2})= 8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { z_M=-8-9\times (-\dfrac{3}{2})= \dfrac{11}{2} }\end{matrix}\right. \\ \\ \quad\Longrightarrow M\left(-\dfrac{9}{2}\;;\;8\;;\;\dfrac{11}{2}\right)$

Par conséquent, les deux points de la droite $\mathscr D$ dont la distance au plan $\mathscr P$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $\mathscr P$ ont pour coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \left(-\dfrac{17}{2}\;;\;-8\;;\;-\dfrac{7}{2}\right) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \left(-\dfrac{9}{2}\;;\;8\;;\;\dfrac{11}{2}\right)\,. }$

Publié par malou le 12-07-2023

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