L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Tous les exercices doivent être traités.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.
Les candidates et candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse..
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel n
1. a) Nous devons calculer et
1. b) Nous pouvons conjecturer que la suite semble être strictement croissante.
2. Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
Nous en déduisons que
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que
3. a) Il découle de la question 2. que la suite est croissante et majorée par 600.
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente.
On note la valeur de sa limite.
3. b) La fonction f définie sur R par est continue sur R (fonction affine).
Nous savons également que pour tout entier naturel n , et que la suite est convergente.
Selon le théorème du point fixe, la limite vérifie l'équation
4. On donne une fonction écrite en langage Python :
Voici les différentes valeurs prises par n lors de la saisie de mystere(500) (les valeurs de u sont arrondies au millième si nécessaire).
Par conséquent, la valeur renvoyée par la saisie de mystere(500) est 7.
Partie B
Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum 500 arbres.
Chaque année, il vend 10% des arbres de son verger et puis il replante 60 nouveaux arbres.
Le verger compte 400 arbres en 2023.
L'arboriculteur pense qu'il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.
Montrons que l'arboriculteur va être confronté à un problème de place dans son verger.
Notons le nombre d'arbres plantés dans le verger en (2023 + n ).
Les données du problème permettent de définir la suite déterminée par et, pour tout entier naturel n , .
Une étude de cette suite a été réalisée dans la partie A.
La fonction Python nous a indiqué que le nombre d'arbres plantés dans le verger dépassera 500 en l'année (2023 + 7), soit en 2030.
Par conséquent, en gardant le même rythme, l'arboriculteur va être confronté à un problème de place dans son verger dès l'année 2030.
5 points
exercice 2
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous (question 2.).
Dans le repère orthonormé on considère les points M , N et P de coordonnées :
1. Calculons les coordonnées des vecteurs et
2. Plaçons les points M , N et P sur la figure.
3. Montrons que les points M , N et P ne sont pas alignés.
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
En effet,
Par conséquent, les points M , N et P ne sont pas alignés et définissent donc le plan (MNP ).
4. a) Calculons le produit scalaire
D'où les vecteurs et sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle MNP est rectangle en M .
4. b) L'aire du triangle MNP est donnée par
Par conséquent, l'aire du triangle MNP est
5. a) Nous montrerons que le vecteur est un vecteur normal au plan (MNP ) en montrant que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (MNP ).
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires (voir question 3.).
De plus,
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs et non colinéaires du plan (MNP ).
Par conséquent, le vecteur est un vecteur normal au plan (MNP ).
5. b) Déterminons une équation cartésienne du plan (MNP ).
Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (MNP ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (MNP ) est de la forme : 5x - 8y + 4z + d = 0.
Or le point appartient au plan (MNP ). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 5 - 8 + 3 + d = 0 , soit d = 0.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (MNP ) est
6. On rappelle que le point F a pour coordonnées F (1 ; 0 ; 1).
Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite d , orthogonale au plan (MNP ) et passant par le point F .
La droite d est dirigée par le vecteur .
La droite d passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite (d ) est donnée par :
soit
7. On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP ).
Nous devons en déduire que le point L a pour coordonnées
Par la définition du point L , nous déduisons que le point L appartient à
Le point L appartient à d .
Donc les coordonnées de L sont de la forme
Le point L appartient au plan .
Donc ses coordonnées vérifient l'équation de
Nous obtenons ainsi :
Remplaçons t par dans les coordonnées de L .
Par conséquent, le point L a pour coordonnées
8. Nous devons montrer que
D'où
Nous devons en déduire le volume du tétraèdre FMNP .
Rappelons que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule où h est la hauteur relative à la base.
5 points
exercice 3
Soit k un réel strictement positif.
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation de paramètre k .
1.Conjectures graphiques :
Premier cas : k = 1.
À l'aide du graphique, nous pouvons conjecturer que la droite d'équation y = x n'a aucun point commun avec la courbe représentative de la fonction ln.
Dès lors, l'équation ne paraît pas admettre de solution.
Deuxième cas : k = 0,2.
À l'aide du graphique, nous pouvons conjecturer que la droite d'équation y = 0,2x possède deux points communs avec la courbe représentative de la fonction ln.
Dès lors, l'équation paraît admettre deux solutions.
2.Étude du cas k = 1 :
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +[ par :
2. a) Déterminons l'expression de f' (x ).
2. b) Étudions le signe de f' (x ) sur ]0 ; +[.
Puisque x est strictement positif, le signe de f' (x ) est le signe de 1 - x .
Dressons le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +[.
(Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues).
2. c) Nous devons en déduire le nombre de solutions de l'équation
Le tableau de variations de la fonction f nous indique que f admet un maximum égal à -1.
Dès lors, pour tout x appartenant à ]0 ; +[,
Par conséquent, l'équation n'admet pas de solution.
3.Étude du cas général :
k est un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction g définie sur ]0 ; +[ par :
On admet que le tableau des variations de la fonction g est le suivant :
3. a) Nous devons donner, en fonction du signe de le nombre de solutions de l'équation
Premier cas :
Le tableau de variations de la fonction g nous indique que g admet un maximum égal à
Par conséquent, l'équation n'admet pas de solution.
Deuxième cas :
Le réel est une solution évidente de l'équation
Puisque est l'unique maximum de la fonction g , pour tout réel x différent de , nous avons :
, soit
Par conséquent, l'équation admet comme solution unique.
Troisième cas : Montrons que l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution, notée , sur l'intervalle
La fonction g est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution
notée appartenant à l'intervalle .
Montrons que l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution, notée , sur l'intervalle
La fonction g est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution
notée appartenant à l'intervalle .
En conclusion, l'équation admet deux solutions.
3. b) Calculons en fonction de k .
3. d) Nous devons déterminer l'ensemble des valeurs de k pour lesquelles l'équation possède exactement deux solutions.
L'équation peut également s'écrire , soit
Nous avons montré dans la question 3. a) que l'équation admet exactement deux solutions dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas où :
Or
Par conséquent, l'ensemble des valeurs de k pour lesquelles l'équation possède exactement deux solutions est l'intervalle
3. e) En fonction des résultats de la question 3., nous pouvons déduire que :
l'équation n'admet pas de solution pour l'équation admet une solution unique pour l'équation admet deux solutions pour
5 points
exercice 4
Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. Il y a donc équiprobabilité dans le tirage des billes.
La bille numérotée 1 est rouge.
Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.
Les autres billes sont vertes.
Question 1 : Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d'un nombre pair ? Réponse B.
Il y a 15 issues possibles.
La bille tirée est bleue ou numérotée d'un nombre pair, ce qui nous donne 9 issues favorables, à savoir les billes numérotées 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14.
D'où, la probabilité demandée est égale à
Par conséquent, la proposition est correcte.
Question 2 : Sachant que la bille tirée verte, quelle est la probabilité qu'elle soit numérotée 7 ? Réponse C.
Parmi les 10 billes vertes, une seule est numérotée 7.
D'où, la probabilité demandée est égale à
Par conséquent, la proposition est correcte.
Question 3 : Que vaut ? Réponse B.
Ci-dessous un tableau reprenant les gains associés aux couleurs des billes.
Nous observons que la variable aléatoire G prend la valeur 5 dans deux cas parmi les 15 (lorsque la bille est numérotée 5 ou 15).
D'où,
Par conséquent, la proposition est correcte.
Question 4 : Quelle est la valeur de ? Réponse A.
Le tableau repris à la question 3. montre que G = 0 dans l'unique cas où la bille est numérotée 10.
Dans ce cas, cette bille est verte et non pas rouge.
Il n'est donc pas possible d'avoir un gain nul en tirant une boule rouge.
D'où,
Par conséquent, la proposition est correcte.
Question 5 : Que vaut ? Réponse C.
L'univers correspondant à l'événement (G = -4) comprend deux éléments : une boule bleue et une boule verte.
Dans cet univers, la probabilité de tirer une boule verte est donc égale à
D'où,
Par conséquent, la proposition est correcte.
Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Publié par malou
le
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