Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Épreuve d'enseignement de spécialité SESSION 2023

MATHÉMATIQUES

Jour 2

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire "type collège" est autorisé.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1

Thèmes : probabilités, suites

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 6

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 2

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 3

5 points

exercice 2

Thème : Géométrie dans l'espace

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 4

5 points

exercice 3

Thème : étude de fonctions

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 1

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 7

5 points

exercice 4

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2

5 points

exercice 1

Thèmes : probabilités, suites

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans90 % des cas le jour suivant;
${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas, il ne la franchira pas non plus le lendemain.

1. Arbre pondéré complété.

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 8

2. En nous aidant de l'arbre, nous déduisons que :

${\white{xx}}$ $p_{n+1}=p(R_{n+1}) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{ n+1 } } = p_n\times0,9+(1-p_n)\times0,3 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{ n+1 } } = 0,9\,p_n+0,3-0,3\,p_n } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{ n+1 } } = 0,6\,p_n+0,3 } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ p_{n+1}=0,6\,p_n+0,3 }$

3. On considère la suite (u_n ) définie, pour tout entier naturel n , par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=p_n-0,75\,. }$

3. a) Démontrons que la suite (u_n ) est géométrique.

Pour tout entier naturel n ,

${ \white{ xxx } }$ $u_{ n+1 }=p_{ n+1 }-0,75 \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ u_{ n+1 } }=(0,6p_n+0,3)-0,75 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ u_{ n+1 } }=0,6p_n-0,45 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ u_{ n+1 } }=0,6p_n-0,6\times0,75 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ u_{ n+1 } }=0,6(p_n-0,75) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ u_{ n+1 } }=0,6u_n } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ \forall\ n\in\N, \ u_{ n+1 }=0,6u_n }$

$\\ \\ \underline{ \text{Remarque} }:u_0=p_0-0,75=0,6-0,75=-0,15 \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWWv }\Longrightarrow\boxed{ u_0=-0,15 } }$

Par conséquent, la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,6 dont le premier terme est u ₀ = -0,15.

3. b) Le terme général de la suite (u_n ) est $\overset{ { \white{ . } } }{ u_n=u_0\times q^n } .$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ u_n=-0,15\times 0,6^n } }$
Dès lors,

${ \white{ xx } }$ $\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}u_n=p_n-0,75{ \white{ www } }\\u_n=-0,15\times 0,6^n\end{matrix}\right.{ \white{ wwww } }\Longrightarrow{ \white{ ww } } p_n-0,75=-0,15\times 0,6^n \\ { \phantom{ WWWWWWwWWWWWWWWw } }\Longrightarrow\boxed{ \forall\ n\in\N,\ p_n=0,75-0,15\times 0,6^n }$

3. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ \frac{ . }{ } } } }{ \ell=\lim\limits_{ n\to +\infty } p_n\;. }$

${ \white{ xx } }$ $0<0,6<1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ n\to+\infty }0,6^n=0 \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ 0<0,5<1 }\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ n\to+\infty }-0,15\times0,6^n=0 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ 0<0,5<1 }\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{ n\to+\infty }(0,75-0,15\times0,6^n)=0,75 } \\ \\ \text{ D'où }\;\boxed{ \ell=\lim\limits_{ n\to+\infty }p_n=0,75 }\,.$

3. d) A long terme, après un grand nombre d'entraînements, l'athlète réussira à franchir la haie avec une probabilité d'environ 0,75 c'est-à-dire environ 3 fois sur 4.

Partie B

1. Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la haie a été franchie par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies » dont la probabilité est p = 0,75.
Echec : « la haie n'a pas été franchie par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies » dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25.
La variable aléatoire X compte le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(10\,;\,0,75) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times0,75^k\times0,25^{ 10-k } }$

2. Déterminons la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies, soit P (X = 10).

${ \white{ xx } }$ $P(X=10)=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}\times0,75^{ 10 }\times0,25^{ 10-10 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X=10) }=1\times0,75^{ 10 }\times1 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X=10) }=0,75^{ 10 } } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X=10) }\approx0,056 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ P(X=10)=0,75^{ 10 }\approx0,056 }$
Par conséquent, la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies est environ égale à 0,056 (valeur arrondie à 10^-3 près)

3. Nous devons calculer P (X supegal

9).

${ \white{ xx } }$ $P(X\ge9)=P(X=9)+P(X=10) \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X\ge9) }=\begin{pmatrix}10\\9\end{pmatrix}\times0,75^9\times0,25^{ 10-9 }+0,75^{10}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ P(X\ge9) }= 10\times0,75^9\times0,25+0,75^{10}} \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X\ge9) }\approx0,244 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ P(X\ge9)\approx0,244 }$
Par conséquent, la probabilité que, à l'issue d'un 400 mètres haies, l'athlète ait franchi au moins 9 d'entre elles est environ égale à 0,244.

5 points

exercice 2

Thème : Géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\,\vec i\;;\;\vec j\;;\;\vec k).$

On considère :

${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ le point A (1 ; -1 ; -1) ;
${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 5x+2y+4z=17 }$ ;
${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2 }$ d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 10x+14y+3z=19 }$ ;
${\white{xx}}\bullet{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ de représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t \end{array}\quad\quad(t\in\mathbb{ R })$

1. Montrons que les plans $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2 }$ ne sont pas parallèles.

Nous savons que tout plan dont l'équation cartésienne est de la forme : ax + by + cz + d = 0, admet un vecteur normal $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} }$ .
Dès lors, un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }_1\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix} }$ et un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }_2\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix} }$ .

Les vecteurs $\overrightarrow{n}_1$ et $\overrightarrow{n}_2$ ne sont pas colinéaires.

En effet, $\dfrac{x_{ \overrightarrow{n }_2 }}{x_{ \overrightarrow{ n }_1 }}\neq \dfrac{z_{ \overrightarrow{ n }_2 }}{z_{ \overrightarrow{ n }_1 }} \quad\quad\left(\text{car }\dfrac{10}{5}\neq\dfrac{3}{4}\right)$

Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2 }$ ne sont pas parallèles.

2. Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ est la droite d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,. }$

$\bullet{\white{x}}$ Montrons que tout point de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1\,.}$
${\white{xx}}$ Montrons donc que la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ vérifie l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1\,.}$

Pour tout réel t , nous obtenons : ${\white{xx}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { 5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t)=5+10t-2t+12-8t=17. }$
D'où, tout point de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1\,.}$ et par suite, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1\,.}$

$\bullet{\white{x}}$ De même, montrons que tout point de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,.}$
${\white{xx}}$ Montrons donc que la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ vérifie l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,.}$

Pour tout réel t , nous obtenons : ${\white{xx}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { 10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t)=10+20t-14t+9-6t=19. }$
D'où, tout point de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,.}$ et par suite, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,.}$

En conclusion, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ est incluse dans les deux plans non parallèles $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ est la droite d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_2\,. }$

3. a) Montrons que le point A n'appartient pas à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1 }$ en montrant que ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{P}_1\,. }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { 5\times1+2\times(-1)+4\times(-1)=5-2-4=-1\neq17. }$

3. b) Montrons que le point A n'appartient pas à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ en montrant que ses coordonnées ne vérifient pas la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D}\,. }$

En effet, $\left\lbrace\begin{array}l 1=1+2t\\-1=-t\\-1=3-2t \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l { \red{ t=0 } } \\ { \red{ t=1 } } \\-1=3-2t \end{array}$
Ce système étant impossible, nous en déduisons que le point A n'appartient pas à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D}\,. }$

4. Pour tout réel t , on note M le point de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D} }$ de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {(1+2t\;;\;-t\;;\;3-2t) \,.}$

On considère alors la fonction f qui à tout réel t associe AM ², soit $\overset{ { \white{ . } } } { f(t)=AM^2. }$

4. a) Pour tout réel t ,

${ \white{ xxxx } }$ $\overrightarrow{AM }\ \begin{pmatrix}(1+2t)-1\\ \overset{ { \white{ . } } }{ -t-(-1) } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ 3-2t-(-1) }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t\\ \overset{ { \white{ . } } }{1 -t }\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ 4-2t }\end{pmatrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad f(t)=AM^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=(2t)^2+(1-t)^2+(4-2t)^2 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=4t^2+1-2t+t^2+16-16t+4t^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=9t^2-18t+17 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ f(t)=9t^2-18t+17 }$

4. b) Utilisons le fait que AM est minimale si et seulement si AM ² est minimale.

La fonction f est une fonction du second degré possédant un minimum car le coefficient principal est 9 > 0.
Ce minimum est atteint pour $\overset{ { \white{ . } } } { t=\dfrac{ -(-18) }{2\times9}=1\,. }$
Dans ce cas, les coordonnées du point M sont $\overset{ { \white{ . } } } { ( 1+2\;;\;-1\;;\;3-2 ) }=(3\;;\;-1\;;\;1)\,.$

Par conséquent, la distance AM est minimale lorsque M a pour coordonnées (3 ; -1 ; 1).

5. On note H le point de coordonnées (3 ; -1 ; 1).
${ \white{ xx } }$ Démontrons que la droite (AH ) est perpendiculaire à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D}\,. }$

Le point H de coordonnées (3 ; -1 ; 1) coïncide avec le point M défini dans la question 4. et tel que la distance AM est minimale.
Nous en déduisons que le point H est la projection orthogonale du point A sur la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D}\,. }$
Par conséquent, la droite (AH ) est perpendiculaire à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{D}\,. }$

5 points

exercice 3

Thème : étude de fonctions

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur R, ainsi que celle de sa dérivée f' et de sa dérivée seconde f'' .

Bac général spécialité maths 2023 -Polynésie jour 2 : image 9

1. Notons $\overset{ { \white{ . } } } { f_1 }$ la fonction représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_1 }$ , $\overset{ { \white{ . } } } { f_2 }$ la fonction représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f_3 }$ la fonction représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_3\,. }$

Graphiquement, nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_2 }$ est strictement croissante alors que $\overset{ { \white{ . } } } { f_3 }$ est strictement positive sur R.
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_3=f'_2\,. }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { f_3 }$ est strictement croissante sur ]- infini

; 4[ et strictement décroissante sur ]4 ; + infini

[ alors que $\overset{ { \white{ . } } } { f_1 }$ est strictement positive sur ]- infini

; 4[ et strictement négative sur ]4 ; + infini

[.
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_1=f'_3\,. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { f_1=f'_3=f''_2\,. }$

Par conséquent, la fonction f'' est représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_1 }$ , la fonction f' est représentée par $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_3 }$ et la fonction f est représentée par $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_2\,. }$

2. Nous devons déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_2 }$ au point d'abscisse 4.
Si nous adoptons les notations définies dans la question précédente, nous devons donc déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { f_2'(4) }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { f_3(4)\,. }$
Avec la précision permise par le graphique, nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_3(4)\approx3\,. }$
Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_2 }$ au point d'abscisse 4 est égal à 3.

3. Avec la précision permise par le graphique, nous observons que les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_1 }$ sont approximativement égales à 3,1 ; 4 et 4,9.

Partie B

Soit un réel k strictement positif.
On considère la fonction g définie sur R par : $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=\dfrac{ 4 }{ 1+\text e^{ -kx } }\;. }$

1. Nous devons déterminer les limites de g en + infini

et -

.

$\bullet { \white{ w } }$ Calculons $\overset{ { \white{ \frac{ }{ . } } } }{ \lim\limits_{ x\to+\infty }g(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{ x\to+\infty }(-kx)=-\infty \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ X\to-\infty }\text{ e }^X=0\phantom{ W } }\end{matrix}\right.\quad\underset{ (X=-kx) }{ \Longrightarrow }\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }\text{ e }^{ -kx }=0 \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }(1+\text{ e }^{ -kx })=1 \\ \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ 4 }{ 1+\text e^{ -kx } }=\dfrac{ 4 }{ 1 }=4$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \lim\limits_{ x\to+\infty }g(x)=4 }. }$

$\bullet { \white{ w } }$ Calculons $\overset{ { \white{ \frac{ }{ . } } } }{ \lim\limits_{ x\to-\infty }g(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{ x\to-\infty }(-kx)=+\infty \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \lim\limits_{ X\to+\infty }\text{ e }^X=+\infty\phantom{ W } }\end{matrix}\right.\quad\underset{ (X=-kx) }{ \Longrightarrow }\quad\lim\limits_{ x\to-\infty }\text{ e }^{ -kx }=+\infty \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to-\infty }(1+\text{ e }^{ -kx })=+\infty \\ \\ \phantom{ WWWWWWvWWWW }\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{ x\to-\infty }\dfrac{ 4 }{ 1+\text e^{ -kx } }=0$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \lim\limits_{ x\to-\infty }g(x)=0 }. }$

2. Nous devons prouver que $\overset{ { \white{ . } } } { g'(0)=k. }$

La fonction g est dérivable sur R.

Pour tout x réel,
${ \white{ xx } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x)=4\times\left(\dfrac{ 1 }{ 1+\text e^{ -kx } }\right)' } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) }=4\times\dfrac{ -(1+\text e^{ -kx })' }{ (1+\text e^{ -kx })^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) }=4\times\dfrac{ -(-k)\,\text e^{ -kx } }{ (1+\text e^{ -kx })^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) }=\dfrac{ 4k\,\text e^{ -kx } }{ (1+\text e^{ -kx })^2 } } \\ \\ \Longrightarrow \boxed{g'(x)=\dfrac{ 4k\,\text e^{ -kx } }{ (1+\text e^{ -kx })^2 } }$

$\text{D'où }\; g'(0)=\dfrac{ 4k\,\text e^{ 0 } }{ (1+\text e^{ 0 })^2 }=\dfrac{ 4k\times1 }{ (1+1)^2 }=\dfrac{ 4k }{ 4 }=k \\ \\ \quad\Longrightarrow\quad\boxed{ g'(0)=k }$

3. Selon l'énoncé, nous admettons que $\overset{ { \white{ . } } } { g''(x)=-4\,\text e^{ kx }\,(\text e^{ kx }-1)\,\dfrac{ k^2}{\left(\text e^{ kx }+1\right)^3}\,. }$

Étudions le signe de g'' (x ) sur R.

${ \white{ WWW } }\begin{matrix}\text e^{ kx }-1=0\Longleftrightarrow \text e^{ kx }=1 \\ \phantom{ WWWW }\Longleftrightarrow kx=0\\ \phantom{ WWWx }\Longleftrightarrow x=0\\ \\ \text e^{ kx }-1<0\Longleftrightarrow \text e^{ kx }<1 \\ \phantom{ WWWW }\Longleftrightarrow kx<0\\ \phantom{ WWWx }\Longleftrightarrow x<0\\ \\\text e^{ kx }-1>0\Longleftrightarrow x>0\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ -4\,\text e^{ kx }&& - && - & &- &\\\text e^{ kx }-1&&-&&0&&+&\\ k^2&&+&&+&&+&\\ \left(\text e^{ kx }+1\right)^3&&+&&+&&+&\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\g''(x)&&+&&0&&-&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}$

La dérivée seconde s'annule en 0 en y changeant de signes.

Par conséquent, la courbe représentative de la fonction g possède un unique point d'inflexion au point d'abscisse 0.

5 points

exercice 4

Thèmes : suites, fonction logarithme, algorithmique

$\bullet { \white{ w } }$ Affirmation 1 : "La suite u définie pour tout entier naturel n par $u_n=\dfrac{ (-1)^n }{ n+1 }$ est bornée".
${ \white{ W } }$ Affirmation vraie.

En effet, nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { (-1)^n=\left\lbrace\begin{matrix}-1\quad\text{ si }n\text{ est impair }\\1\quad\text{ si }n\text{ est pair }\end{matrix}\right. }$

Dès lors, nous avons : $-1\le (-1)^n\le 1.$

Pour tout entier naturel n , nous obtenons alors :

${ \white{ xx } }$ $-1\le (-1)^n\le 1\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{ -1 }{ n+1 } \le \dfrac{ (-1)^n } { n+1 } \le \dfrac{ 1 } { n+1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWw }\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{ -1 }{ n+1 } \le u_n \le \dfrac{ 1 } { n+1 } }$

De plus, $n+1\ge1\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{ 1 } { n+1 }\le1\\ \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{ -1 } { n+1 }\ge-1 }\end{matrix}\right.$

En résumé, nous obtenons : $-1\le\dfrac{ -1 }{ n+1 } \le u_n \le \dfrac{ 1 } { n+1 } \le1$

et donc, pour tout entier naturel n , $\boxed{ -1\le u_n\le 1 }$

Par conséquent, la suite u est bornée (minorée par -1 et majorée par 1).
Donc l'affirmation 1 est vraie.

$\bullet { \white{ w } }$ Affirmation 2 : "Toute suite bornée est convergente".
${ \white{ W } }$ Affirmation fausse.

Un contre-exemple est donné par la suite u définie pour tout entier naturel n par $u_n=(-1)^n$ .
Cette suite est bornée par -1 et 1 et n'est pas convergente puisque ses termes valent alternativement -1 et 1.
Donc l'affirmation 2 est fausse.

$\bullet { \white{ w } }$ Affirmation 3 : "Toute suite croissante tend vers + infini

".
${ \white{ W } }$ Affirmation fausse.

Un contre-exemple est donné par la suite u définie pour tout entier naturel non nul n par $u_n=-\dfrac{ 1 }{ n }$ .
Montrons que cette suite est croissante.
Pour tout entier naturel non nul n ,

${ \white{ xx } }$ $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{ 1 }{ n+1 }-(-\dfrac{ 1 }{ n }) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u_{ n+1 }-u_n }=-\dfrac{ 1 }{ n+1 }+\dfrac{ 1 }{ n } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u_{ n+1 }-u_n }=\dfrac{ -n+n+1 }{ n(n+1) } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u_{ n+1 }-u_n }=\dfrac{ 1 }{ n(n+1) } } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ u_{n+1}-u_n=\dfrac{ 1 }{ n(n+1) }>0\quad(\text{car }n>0) }$

Nous en déduisons que la suite u est strictement croissante.

Cette suite ne tend pas vers + infini

car $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n =\lim\limits_{n\to+\infty} -\dfrac{ 1 } { n }=0\,.$

Par conséquent, tout suite croissante ne tend pas nécessairement vers + infini

.
Donc l'affirmation 3 est fausse.

$\bullet { \white{ w } }$ Soit la fonction f définie sur R par $f(x)=\ln(x^2+2x+2).$
${ \white{ W } }$ Affirmation 4. : "La fonction f est convexe sur l'intervalle [-3 ; 1]".
${ \white{ W } }$ Affirmation fausse.

Étudions le signe de la dérivée seconde f''.

$f'(x)=\left(\overset { } { \ln(x^2+2x+2) } \right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x) }= \dfrac{ (x^2+2x+2)' } { x^2+2x+2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x) }= \dfrac{ 2x+2 } { x^2+2x+2 } } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ f'(x)= \dfrac{ 2x+2 } { x^2+2x+2 } }$

$f''(x)= \left(\dfrac{ 2x+2 } { x^2+2x+2 }\right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x) }= \dfrac{ (2x+2)'\times(x^2+2x+2)-(2x+2)\times(x^2+2x+2)' } { (x^2+2x+2)^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x) }= \dfrac{ 2\times(x^2+2x+2)-(2x+2)\times(2x+2) } { (x^2+2x+2)^2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x) }= \dfrac{ (2x^2+4x+4)-(4x^2+8x+4) } { (x^2+2x+2)^2 } } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x) }= \dfrac{ -2x^2-4x} { (x^2+2x+2)^2 } } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{ f''(x)= \dfrac{ -2x^2-4x} { (x^2+2x+2)^2 } }$

Étudions le signe de g'' (x ) sur R.

$\begin{matrix}-2x^2-4x=0\Longleftrightarrow -2x(x+2)=0 \\ \phantom{ WWWWWWWW }\Longleftrightarrow-2x=0\text{ ou }x+2=0\\ \phantom{ WWWWWw }\Longleftrightarrow x=0\text{ ou }x=-2\end{matrix}\phantom{ W } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ W }\begin{array} { |c|cccccccc| } \hline &&&&&&&&& x &-\infty&&-2&&0&&&+\infty\\ &&&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& \\ -2x^2-4x&& - &0&+&0& - &&\\ (x^2+2x+2)^2&&+&+&+&+&+&&\\&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&\\f''(x)&&-&0&+&0&-&&\\&&&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Nous observons que la dérivée seconde change de signe en x = -2 et x = 0.
Il s'ensuit que la fonction f change de concavité en x = -2 et x = 0.
Or les valeurs 0 et 2 appartiennent à l'intervalle [-3 ; 1].
Par conséquent, la fonction f n'est pas convexe sur tout l'intervalle [-3 ; 1].
Donc l'affirmation 4 est fausse.

$\bullet { \white{ w } }$ On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

${\white{WWWWW}}\begin{array} { |l|l| } \hline { \blue { \text{d} } } { \blue { \text{e} } } { \blue { \text {f} } } \text{ mystere(L)} :\phantom{ Wwx } \\ \phantom{ Wii }\text{M = L}[0]\phantom{ Wwww } \\ \phantom{ Wii }\sharp\text{On initilaise M avec le premier élément de la liste L} \\ \phantom{ x }\phantom{ w } { \blue { \text{ for } } }\text{ i in range(len(L))}:\phantom { Wi } \\ \phantom { x } \phantom { WWvi }{ \blue { \text{ if } } }\text{ L}[\text{i}] >\text{ M :}\phantom { W XWxi } \\ \phantom { x } \phantom { WWWWvi } \text{ M = \text{ L}[\text{i}]}\phantom { W XWxi } \\ \phantom { x } \phantom { w } { \blue { \text { return } } } { \text { M } } \phantom { Wi } \\ \hline\end {array}$

${ \white{ W } }$ Affirmation 5. : "L'exécution de mystère([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) renvoie 7."
${ \white{ W } }$ Affirmation vraie.

En effet, la fonction mystere renvoie le maximum de la liste L qui est bien 7.
Donc l'affirmation 5 est vraie.

Publié par malou le 13-06-2023

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