Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Épreuve d'enseignement de spécialité SESSION 2023

MATHÉMATIQUES

Jour 1

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire "type collège" est autorisé.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

4 points

exercice 1 : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes :
${\white{wl}\bullet {\white{w}}$ ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
${\white{wl}\bullet {\white{w}}$ ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :
${\white{wl}\bullet {\white{w}}$ 21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, 68 % utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ parmi les 35 ans ou plus, seuls 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l'exercice on considère les événements suivants :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ J : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ T : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ $\overline J$ et $\overline T$ sont les événements contraires de J et de T .

Partie A

1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

2. Calculer la valeur exacte de la probabilité de T .

3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est 0,30 à 10^-2 près.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que 30 % d'entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 10 ^-3 près.
1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.
2. Calculer la probabilité qu'au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans.

5 points

exercice 2 : Géométrie dans l'espace

qui soit perpendiculaire aux droites d₁ et d₂ .

1. a. Déterminer un vecteur directeur $\overrightarrow v$ de la droite d₂. $\text{[math]}$
${\white{wl}}$ b. Démontrer que les droites d₁ et d₂ ne sont pas parallèles.
${\white{wl}}$ c. Démontrer que les droites d₁ et d₂ ne sont pas sécantes.
${\white{wl}}$ d. Quelle est la position relative des droites d₁ et d₂ ?

2. a. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow w\,\begin{pmatrix} -1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}\;;$ est orthogonal à $\overrightarrow u$ et à $\overrightarrow v\;.$
${\white{wl}}$ b. On considère le plan P passant par le point H et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow w\;.$
${\white{wl}}$ On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
$5x + 4x - z - 22 = 0\;.$
Démontrer que l'intersection du plan P et de la droite d₂ est le point M (3; 3; 5).

3. Soit deltamaj

la droite de vecteur directeur $\overrightarrow w\;$ passant par le point M . Une représentation paramétrique de deltamaj

est donc donnée par :
$\left\lbrace\begin{matrix} x & = & -r+3 & \\ y& = & 2r+3 & \;\text{ où } r \text{ décrit } \textbf R.\\ z& =& 3r+5 & \end{matrix}\right.$

${\white{wl}}$ a. Justifier que les droites deltamaj

et d₁ sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.
${\white{wl}}$ b. Expliquer pourquoi la droite deltamaj

est solution du problème posé.

5 points

exercice 3 : Fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La fonction f définie sur R par $f(x)=\text e ^x -x$ est convexe.

2. Affirmation : L'équation $(2\text e ^x -6)(\text e ^x +2)=0$ admet ln(3) comme unique solution dans R .

3. Affirmation :
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x} -1}{\text e ^x -x} = 0 \;.$

4. Soit f la fonction définie sur R par $f(x)=(6x+5)\text e ^{3x}$ et F la fonction définie sur R par $F(x)=(2x+1)\text e ^{3x} + 4 \;.$
Affirmation : F est la primitive de f sur R qui prend la valeur 5 quand x = 0 .

5. On considère la fonction $\;\text{ mystere }\;$ définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.
On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1 : image 2

Affirmation : L'exécution de $\;\text{ mystere}([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5])\;\;$ renvoie 50.

6 points

exercice 4 : Suites, fonctions

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel n :
$u_{n+1}=0,9u_n - 0,3\;.$

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout n de N , $u_n=2\times 0,9^n -3\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire que, pour tout n de N , $-3\le u_n\le -1\;.$
${\white{wl}}$ c. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
${\white{wl}}$ d. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

2. On se propose d'étudier la fonction g définie sur ]-3 ; -1] par :
$g(x)=\ln (0,5 x + 1,5) -x\;.$
${\white{wl}}$ a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction g (limites, variations, image de -1)

Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1 : image 1

${\white{wl}}$ b. En déduire que l'équation $g(x)=0$ a exactement une solution que l'on notera alpha

et dont on donnera un encadrement d'amplitude 10^-3.

3. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $(v_n)$ définie pour tout n de N , par :

$v_n=\ln (0,5 u_n +1,5)\;.$
${\white{wl}}$ a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a. , démontrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison ln(0,9).
${\white{wl}}$ b. Soit n un entier naturel.
${\white{wl}}$ Démontrer que $u_n=v_n$ si et seulement si $g(u_n)=0\;.$
${\white{wl}}$ c. Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k\in \textbf N$ pour lequel $u_k=\alpha\;.$
${\white{wl}}$ d. En déduire qu'il n'existe aucun rang $k\in \textbf N$ pour lequel $v_k=u_k\;.$

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Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1

4 points

exercice 1 : PROBABILITÉS

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes :
${\white{wl}\bullet {\white{w}}$ ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
${\white{wl}\bullet {\white{w}}$ ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ 21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, 68 % utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ parmi les 35 ans ou plus, seuls 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.

Partie A

Représentons la situation par un arbre pondéré.

Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1 : image 3

1. Nous devons calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels, soit $\overset{{\white{.}}}{P(J\cap T).}$

$P(J\cap T)=P(J)\times P_{J}(T) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J\cap T)}=0,21\times 0,32} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J\cap T)}=0,0672} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(J\cap T)=0,0672}$
Par conséquent, la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est égale à 0,0672.

2. Nous devons calculer la valeur exacte de la probabilité de T .

Les événements $\overset{{\white{.}}}{J}$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(J\cap T)+P(\overline{J}\cap T) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=0,0672+P(\overline{J})\times P_{\overline{J}}(T)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=0,0672+0,79\times 0,2} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=0,2252} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(T)=0,2252}$

3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
Calculons la probabilité qu'il ait moins de 35 ans.

Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{P_T(J).}$

$P_T(J)=\dfrac{P(J\cap T)}{P(T)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P_T(J)}=\dfrac{0,0672}{0,2252}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P_T(J)}\approx0,30} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P_T(J)\approx0,30}$

Par conséquent, la probabilité qu'un habitant ait moins de 35 ans sachant qu'il utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est environ égale à 0,30 (valeur arrondie au centième près).

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que 30 % d'entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de 35 ans.

1. Lors de cette expérience, on répète 120 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la personne a moins de 35 ans » dont la probabilité est p = 0,3.
Echec : « la personne a plus de 35 ans » dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7.
La variable aléatoire X compte le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de 35 ans, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n\,;\,p)=\mathscr{B}(120\,;\,0,3)}$ .

2. Nous devons calculer la probabilité qu'au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans, soit $\overset{{\white{.}}}{P(X\ge 50).}$

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

$P(X\ge 50)=1-P(X<50) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 50)}=1-P(X\le49)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 50)}\approx1-0,996} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 50)}\approx0,004} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(X\ge 50)\approx0,004}$

D'où la probabilité qu'au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans est environ égale à 0,004.

5 points

exercice 2: GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \,\overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k).$

On considère :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ d ₁ la droite passant par H (2 ; 3 ; 0) et de vecteur directeur $\overrightarrow u\,\begin{pmatrix} 1\\-1 \\ 1 \end{pmatrix}\;;$
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ d ₂ la droite de représentation paramétrique : $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 2k-3 & \\ y& =& k&\; \text{ où } k \text{ décrit } \textbf R\;. \\ z& = & 5& \end{matrix}\right.}$

1. a) Déterminons un vecteur directeur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow v}$ de la droite d ₂.

$\overset{{\white{.}}}{d_2:\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 2k-3 & \\ y& =& k&\quad(k\in\R)\\ z& = & 5& \end{matrix}\right.} \quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{d_2:\left\lbrace\begin{matrix} x & = & -3+{\red{2\,}}k& \\ y& =&0+{\red{1\,}}k&\quad(k\in\R) \\ z& = & 5+{\red{0\,}}k& \end{matrix}\right.}$
D'où un vecteur directeur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow v}$ de la droite d ₂ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\overrightarrow v\,\begin{pmatrix} {\red{2\,}}\\ {\red{1\,}}\\ {\red{0\,}} \end{pmatrix}\;.}}$
1. b) Démontrons que les droites d ₁ et d ₂ ne sont pas parallèles.
Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow u\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de d ₁ et que $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow v\,\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 0 \end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de d ₂.

$\left\lbrace\begin{matrix}x_{\overrightarrow{u}}=1\\x_{\overrightarrow{v}}=2 \\ y_{\overrightarrow{u}}=-1 \\ y_{\overrightarrow{v}}=1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{x_{\overrightarrow{u}}}{x_{\overrightarrow{v}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{u}}}{y_{\overrightarrow{v}}}}$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas proportionnelles.
D'où, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites d ₁ et d ₂ ne sont pas parallèles.

1. c) Démontrons que les droites d ₁ et d ₂ ne sont pas sécantes.
Déterminons d'abord une représentation paramétrique de la droite d ₁.

$\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow u\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de d ₁ et le point H (2 ; 3 ; 0) appartient à d ₁.
Donc une représentation paramétrique de la droite d ₁ est : $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}x=2+1\times t\phantom{wwwwwiw}\\y=3-1\times t\quad\quad(t\in\R)\\z=0+1\times t\phantom{wwwWww}\end{matrix}\right. }$ , soit $\boxed{\overset{{\white{.}}}{d_1:\left\lbrace\begin{matrix}x=2+t\phantom{wwwwwiw}\\y=3- t\quad\quad(t\in\R)\\z= t\phantom{wwwWwWWw}\end{matrix}\right. }}$

Si les droites d ₁ et d ₂ étaient sécantes en $\overset{{\white{.}}}{M(x\, ; \, y\, ; \; z)}$ , alors les coordonnées de M seraient la solution du système : $\left\lbrace\begin{matrix}x=2+t\phantom{w}\\y=3- t\phantom{w}\\z= t\phantom{www}\\x =2k-3 \\ y =k\phantom{www}\\ z=5\phantom{www}\end{matrix}\right.$

Il existerait alors deux réels t et k tels que $\left\lbrace\begin{matrix}2+t=2k-3\\3- t=k\phantom{www}\\t=5\phantom{wwwww}\end{matrix}\right.$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}2+t=2k-3 \\ 3- t=k\phantom{www} \\ t=5\phantom{wwwww}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2+5=2k-3 \\ 3- 5=k\phantom{www} \\ t=5\phantom{wwwww}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2k=10\\k=-2\phantom{}\\t=5\phantom{w}\end{matrix}\right. \\ \\ \phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}k=5\phantom{w} \\ k=-2\phantom{} \\ t=5\phantom{w}\end{matrix}\right.$

ce qui est impossible puisque k ne peut prendre deux valeurs différentes simultanément.
Donc ce système n'admet pas de solution.
Par conséquent, les droites d ₁ et d ₂ ne sont pas sécantes.

1. d) Puisque les droites d ₁ et d ₂ ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces droites d ₁ et d ₂ sont non coplanaires.

2. a) Nous devons vérifier que le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow w\,\begin{pmatrix} -1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}}$ est orthogonal à $\overrightarrow u$ et à $\overrightarrow v\;.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{w}\ \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{u}\ \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \\ \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=-1\times1+2\times(-1)+3\times1 \\ =0\phantom{wwiwwwwwwww}\end{matrix} \\ \phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{w}\perp\overrightarrow{u}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{w}\ \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}\ \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \\ \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{v}=-1\times2+2\times1+3\times0 \\ =0\phantom{wwwiwwwww}\end{matrix} \\ \phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{w}\perp\overrightarrow{v}}$

2. b) On considère le plan P passant par le point H et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}.$
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : $\overset{{\white{.}}}{5x + 4y - z - 22 = 0\;.}$
Nous devons démontrer que l'intersection du plan P et de la droite d ₂ est le point M (3; 3; 5).

Résolvons le système constitué par la représentation paramétrique de la droite d ₂ et l'équation du plan P .

$\left\lbrace\begin{matrix}x =2k-3\phantom{WWWW} \\ y =k\phantom{WWWWWW}\\ z=5\phantom{WWWWWW}\\5x + 4y - z - 22 = 0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x =2k-3\phantom{WWWWWWW} \\ y =k\phantom{WWWWWWWWW}\\ z=5\phantom{WWWWWWWWW}\\5(2k-3) + 4k - 5 - 22 = 0\end{matrix}\right. \\ \phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{ \left\lbrace\begin{matrix}x =2k-3\phantom{W} \\ y =k\phantom{WWW} \\ z=5\phantom{WWW}\\14k-42= 0\end{matrix}\right.} \\ \phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{ \left\lbrace\begin{matrix}x =2k-3 \\ y =k\phantom{WW}\\ z=5\phantom{WW} \\ k= 3\phantom{WW}\end{matrix}\right.} \\ \phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{ \left\lbrace\begin{matrix}{\red{x =3}} \\ {\red{y =3}}\\ {\red{z=5}} \\ k= 3\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, l'intersection du plan P et de la droite d ₂ est le point M (3; 3; 5).

3. Soit deltamaj

la droite de vecteur directeur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow w\,\begin{pmatrix} -1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}}$ passant par le point M (3; 3; 5).
Une représentation paramétrique de deltamaj

est donc donnée par : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & -r+3 & \\ y& = & 2r+3 & \;\text{ où } r \text{ décrit } \R.\\ z& =& 3r+5 & \end{matrix}\right.$

3. a) Nous devons justifier que les droites deltamaj

et d ₁ sont perpendiculaires en un point L .

$\overrightarrow w$ est un vecteur directeur de deltamaj

et $\overrightarrow u$ est un vecteur directeur de d ₁.
Nous avons montré dans la question 2. a) que ces vecteurs étaient orthogonaux.
Nous en déduisons que les droites et d ₁ sont orthogonales.

Montrons que les droites deltamaj

et d ₁ sont sécantes en un point noté L .

Nous savons qu'une représentation paramétrique de deltamaj

est : $\left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r\end{matrix}\right.$

Résolvons le système constitué par les représentations paramétriques de deltamaj

et d ₁.

$\left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r \\ x=2+t \\ y=3- t \\ z= t\phantom{WW}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r \\ 3-r=2+t \\ 3+2r=3- t \\ 5+3r= t\phantom{Wi}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=3-r\phantom{WWWWi} \\ y=3+2r\phantom{WWWWi} \\ z=5+3r\phantom{WWWWi} \\ 3-r=2+{\red{5+3r}}\phantom{xx} \\ 3+2r=3-{\red{(5+3r)}} \\ {\red{5+3r= t}} \phantom{WWWWi}\end{matrix}\right.$
${\white{.}}\\ \\ \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r \\ 4r=-4\phantom{W} \\ 5r=-5\phantom{W} \\ 5+3r= t \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r \\ r=-1\phantom{W} \\ 5-3= t \end{matrix}\right.$

$\\ \\ \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=3-r \\ y=3+2r \\ z=5+3r \\ r=-1\phantom{W} \\ t=2\phantom{WW} \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=4 \\ y=1 \\ z=2\\ r=-1 \\ t=2 \end{matrix}\right. \\ \\ \Longrightarrow\boxed{\Delta\cap d_1=\lbrace(4\,;\,;1\,;2)\rbrace}$

En résumé, les droites deltamaj

et d ₁ sont orthogonales et sont sécantes en L (4 ; 1 ; 2).
Nous en déduisons que les droites et d ₁ sont perpendiculaires en L (4 ; 1 ; 2).

3. b) $\bullet {\white{w}}$ D'une part, nous avons montré dans la question précédente que les droites deltamaj

et d ₁ sont perpendiculaires en L (4 ; 1 ; 2).

$\bullet {\white{w}}$ D'autre part, les droites deltamaj

et d ₂ sont perpendiculaires en M (3 ; 3 ; 5).

En effet,

${\white{w}}\bullet \bullet {\white{w}}$ Le point M (3 ; 3 ; 5) appartient à la droite deltamaj

(par définition de deltamaj

).
${\white{wwww}}$ Le point M (3 ; 3 ; 5) appartient à la droite d ₂ (il suffit de remplacer k par 3 dans la représentation paramétrique de d ₂).
Donc les droites deltamaj

et d ₂ sont sécantes en M .

${\white{w}}\bullet \bullet {\white{w}}$ $\overrightarrow v$ est un vecteur directeur de d ₂ et $\overrightarrow w$ est un vecteur directeur de deltamaj

.
${\white{wwww}}$ Or nous savons par la question 2. a) que $\overrightarrow w \perp \overrightarrow v.$
Donc les droites deltamaj

et d ₂ sont orthogonales.

$\bullet {\white{w}}$ En résumé, les droites deltamaj

et d ₂ sont orthogonales et sont sécantes en M (3 ; 3 ; 5).
Nous en déduisons que les droites et d ₂ sont perpendiculaires en M (3 ; 3 ; 5).

Par conséquent, la droite est solution du problème posé.

5 points

exercice 3 : FONCTION EXPONENTIELLE, ALGORITHMIQUE

1. Affirmation : La fonction f définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\text e ^x -x}$ est convexe.

L'affirmation est vraie.
Il suffit de montrer que la dérivée seconde f'' est positive sur R.

Pour tout x réel,

$f(x)=\text e ^x -x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\text e ^x -1 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\text e ^x -x}\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=\text e ^x } \\ \\ \Longrightarrow\boxed{\forall\, x\in\R,\;f''(x)=\text e ^x\,{\red{ >0}}}$

Donc la fonction f est convexe sur R.
Par conséquent, l'affirmation 1. est vraie.

2. Affirmation : L'équation $\overset{{\white{.}}}{(2\text e ^x -6)(\text e ^x +2)=0}$ admet ln(3) comme unique solution dans R .

L'affirmation est vraie.

En effet,

$(2\text e ^x -6)(\text e ^x +2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\text e ^x -6=0\quad\text{ou}\quad\text e ^x +2=0 \\ \\ \bullet{\white{x}}2\text e ^x -6=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\text e ^x =6 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e ^x =3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x =\ln(3)}$

$\\ \\ \bullet{\white{x}}\text e ^x +2=0\quad\Longleftrightarrow\quad \text e ^x=-2 \\ \phantom{WWWWWWWWWWi}\big\downarrow \\ \phantom{WWWWWWWW}\text{équation impossible car }\forall\,x\in\R,\;\text e ^x>0\;.$

D'où, l'ensemble S des solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{(2\text e ^x -6)(\text e ^x +2)=0}$ est $\overset{{\white{.}}}{S=\lbrace\,\ln(3)\rbrace.}$
Par conséquent, l'affirmation 2. est vraie.

3. Affirmation : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x} -1}{\text e ^x -x} = 0 \;.$

L'affirmation est fausse.

En effet,
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x} -1}{\text e ^x -x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x}\left(1 -\dfrac{1}{e ^{2x}}\right)}{\text e ^x\left(1 -\dfrac{x}{\text e ^x} \right)} \\ \\ \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x} -1}{\text e ^x -x}}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{x}\left(1 -\dfrac{1}{e ^{2x}}\right)}{1 -\dfrac{x}{\text e ^x} }$

$\bullet{\white{x}}\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^x=+\infty \\ \\ \bullet{\white{x}}\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{2x}=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e ^{2x}}=0 \\ \phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1 -\dfrac{1}{e ^{2x}}\right)=1 \\ \\ \bullet{\white{x}}\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{x}=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{e ^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées}) \\ \phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1 -\dfrac{x}{e ^{x}}\right)=1$

$\text{D'où }\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{x}\left(1 -\dfrac{1}{e ^{2x}}\right)}{1 -\dfrac{x}{\text e ^x} }=+\infty \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\text e ^{2x} -1}{\text e ^x -x}=+\infty}$
Par conséquent, l'affirmation 3. est fausse.

4. Soit f la fonction définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=(6x+5)\text e ^{3x}}$ et F la fonction définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{F(x)=(2x+1)\text e ^{3x} + 4 \;.}$

Affirmation : F est la primitive de f sur R qui prend la valeur 5 quand x = 0 .

L'affirmation est vraie.

En effet, la fonction F est dérivable sur R.

$F'(x)=[(2x+1)\text e ^{3x} + 4]' \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=(2x+1)'\times\text e ^{3x}+(2x+1)\times(\text e ^{3x})'+0} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=2\times\text e ^{3x}+(2x+1)\times(3\,\text e ^{3x})} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=[2+3(2x+1)]\,\text e ^{3x}}$
$\\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=(2+6x+3)\,\text e ^{3x}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=(6x+5)\,\text e ^{3x}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)}=f(x)} \\ \\ \Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;F'(x)=f(x)}$

Dès lors, la fonction F est une primitive de la fonction f sur R.

De plus, $\overset{{\white{.}}}{F(0)=(2\times0+1)\,\text e ^{0} + 4=1+4=5.}$

D'où la fonction F est la primitive de f sur R qui prend la valeur 5 quand x = 0 .
Par conséquent, l'affirmation 4. est vraie.

5. On considère la fonction $\overset{{\white{.}}}{\text{ mystere }\;}$ définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre. On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1 : image 4

Affirmation : L'exécution de $\overset{{\white{.}}}{\text{ \;\text{ mystere}([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5])\;\; }\;}$ renvoie 50.

L'affirmation est fausse.

En effet, lors de l'exécution de $\overset{{\white{.}}}{\text{ mystere }\;}$ , les éléments de la liste sont additionnés et leur somme est divisée par la longueur de la liste.

Il s'agit en fait du calcul de la moyenne des éléments de la liste.

Cette moyenne est égale à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1+9+9+5+0+3+6+12+0+5}{10}=\dfrac{50}{10}=5.}$
Donc l'exécution de $\overset{{\white{.}}}{\text{ \;\text{ mystere}([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5])\;\; }\;}$ renvoie 5 et non pas 50.
Par conséquent, l'affirmation 5. est fausse.

6 points

exercice 4 : Suites, fonctions

Soit $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ la suite définie par $\overset{{\white{.}}}{u_0=-1}$ et, pour tout entier naturel n : $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=0,9u_n - 0,3\;.}$

1. a) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in \N , u_n=2\times 0,9^n -3\;.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $u_0=2\times 0,9^0 -3\;.$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=-1\phantom{WWWWWWWWW}\\ \overset{{\phantom{.}}}{2\times 0,9^0 -3=2\times1-3=-1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=2\times 0,9^0 -3}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n=2\times 0,9^n -3}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=2\times 0,9^{n+1} -3\;.}$
En effet,

$\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}=0,9u_n - 0,3\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}=0,9\,(2\times 0,9^n -3) - 0,3 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWxWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}=0,9\times2\times 0,9^n -0,9\times3- 0,3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWxWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}=2\times 0,9^{n+1} -2,7- 0,3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWxWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}=2\times 0,9^{n+1} -3}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in \N , u_n=2\times 0,9^n -3\;.}$

1. b) Nous devons en déduire que, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in \N , -3\le u_n\le -1\;.}$

$\forall\,n\in\N,\;0<0,9^n\le1\quad\Longrightarrow\quad 0<2\times0,9^n\le2 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad 0-3<2\times0,9^n-3\le2-3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad -3<2\times0,9^n-3\le-1} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-3<u_n\le-1}}$

1. c) Démontrons que la suite $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ est strictement décroissante.

Pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1}-u_n=(2\times 0,9^{n+1} -3)-(2\times 0,9^{n} -3) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times 0,9^{n+1} -3-2\times 0,9^{n}+3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times 0,9^{n+1} -2\times 0,9^{n}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times 0,9^{n}\,(0,9 -1)} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times 0,9^{n}\times(-0,1)} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}<0} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n<0}$
Par conséquent, la suite $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ est strictement décroissante.

1. d) Démontrons que la suite $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ converge.

La suite (u_n ) est décroissante et est minorée par -3.
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n ) est convergente.

Notons $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ la limite de la suite (u_n ).
Soit la fonction f définie sur $\R$ par $f(x)=0,9x-0,3.$
La fonction f est continue sur $\R$ (fonction polynôme).
Nous savons que la suite (u_n ) est convergente.

Selon le théorème du point fixe, nous en déduisons que la limite $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation : $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$
Par conséquent, la limite $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation : $\overset{{\white{.}}}{\ell=0,9\,\ell-0,3.}$

Résolvons l'équation $\overset{{\white{.}}}{\ell=0,9\,\ell-0,3.}$

${\white{xxxx}}$ $\ell=0,9\,\ell-0,3\quad\Longleftrightarrow\quad \ell-0,9\ell=-0,3 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=0,9\,\ell-0,3}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,1\,\ell=-0,3} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=0,9\,\ell-0,3}\quad\Longleftrightarrow\quad \,\ell=-\dfrac{0,3}{0,1}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=0,9\,\ell-0,3}\quad\Longleftrightarrow\quad \,\boxed{\ell=-3}}$

Donc, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-3}\,.}$

2. On se propose d'étudier la fonction g définie sur ]-3 ; -1] par : $g(x)=\ln (0,5 x + 1,5) -x\;.$

2. a) Nous devons justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction g (limites, variations, image de -1)

Bac général 2023 Epreuve de spécialité -Polynésie jour 1 : image 5

$\bullet {\white{w}} g(-1)=\ln (-0,5 + 1,5) -(-1) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{W g(-1)}=\ln (1)+1} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{W g(-1)}=0+1} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{W g(-1)}=1} \\ \\ \phantom{.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(-1)=1}$

$\bullet {\white{w}} g(-2)=\ln [0,5\times(-2) + 1,5] -(-2) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{W g(-2)}=\ln (0,5)+2} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{W g(-2)}\approx1,31} \\ \\ \phantom{.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(-2)\approx1,31}$

$\bullet {\white{w}}$ Calculons $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-3^+}g(x)\,.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-3^+}(0,5x+1,5)=0,5\times(-3)^++1,5 \\ \phantom{WWWWW}=-1,5^++1,5 \\ \phantom{w}=0^+ \\ \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{X\to0^+}\ln(X)=-\infty\phantom{WWWWWWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=0,5x+1,5)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to-3^+}\ln(0,5x+1,5)=-\infty$

De plus, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-3^+}(-x)=3.}$

Par conséquent, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-3^+}[\ln(0,5x+1,5)-x]=-\infty}$ , soit $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-3^+}g(x)=-\infty}\,.}$

$\bullet {\white{w}}$ La fonction g est dérivable sur ]-3 ; -1] (somme de fonctions dérivables sur ]-3 ; -1]).

Pour tout x appartenant à ]-3 ; -1],

$g(x)=\ln (0,5 x + 1,5) -x\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{(0,5 x + 1,5)'}{0,5 x + 1,5} -1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWvWW}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{0,5}{0,5 x + 1,5} -1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWvWW}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{0,5-0,5x-1,5}{0,5 x + 1,5} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWvWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)=\dfrac{-0,5x-1}{0,5 x + 1,5} }}$

Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle ]-3 ; -1]

$\begin{matrix}-0,5x-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad0,5x>-1 \\\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x>-2\\-0,5x-1=0\quad\Longleftrightarrow x=-2\phantom{www}\\-0,5x-1>0\quad\Longleftrightarrow x<-2\phantom{www} \\\\0,5 x + 1,5>0\quad\Longleftrightarrow\quad0,5 x >-1,5 \\\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x>-3\\0,5x+1,5=0\quad\Longleftrightarrow x=-3\phantom{www}\end{matrix}\phantom{W}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix} \phantom{W}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-3&&&-2&&&-1\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& -0,5x-1&& + && 0 & &- &\\ 0,5x+1,5&0& + && + & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&|&&&&&&\\ g'(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline \end{array}$

D'où le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle ]-3 ; -1]

${\white{WWWW}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-3&&&-2&&&-1\\ &&&&&&& \\ \hline&|&&&&&&\\ g'(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline&|&&&g(-2)\approx1,31&&&\\ g(x)&|&\nearrow&&&&\searrow&\\&\phantom{xxxx}|-\infty&&& &&&1\\ \hline \end{array}$

2. b) Nous devons montrer que l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet exactement une solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ sur ]-3 ; -1] .

$\bullet{\white{x}}$ Sur l'intervalle ]-3 ; -2]
La fonction g est continue sur l'intervalle ]-3 ; -2] car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]-3 ; -2] (voir question 2. a)

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-3^+}g(x)=-\infty\\g(-2)\approx1,31>0\phantom{.}\\\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,\lim\limits_{x\to-3^+}g(x)\,;\,g(-2)\,]}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à l'intervalle ]-3 ; -2].

$\bullet{\white{x}}$ Sur l'intervalle [-2 ; -1]
La fonction g est continue sur l'intervalle [-2 ; -1] car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [-2 ; -1] (voir question 2. a)

$\left\lbrace\begin{matrix}g(-2)\approx1,31>0\phantom{.}\\g(-1)=1>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\notin[\,g(-2)\,;g(-1)\,]}$

Donc l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ n'admet pas de solution dans l'intervalle [-2 ; -1].

$\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet exactement une solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ sur ]-3 ; -1].

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}g(-2,889)\approx-0,002<0\\\overset{{\white{.}}}{g(-2,888)\approx0,006>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-2,889<\alpha<-2,888}$

3. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ définie pour tout $n\in\N$ , par : $v_n=\ln (0,5 u_n +1,5)\;.$

3. a) Démontrons que $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ est arithmétique de raison $\overset{{\white{.}}}{\ln(0,9).}$

Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}-v_n=\ln (0,5 u_{n+1} +1,5)-\ln (0,5 u_{n} +1,5) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\ln [0,5(2\times 0,9^{n+1} -3) +1,5]-\ln [0,5(2\times 0,9^{n} -3) +1,5]\quad\text{(voir question 1. a)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\ln ( 0,9^{n+1} -1,5 +1,5)-\ln ( 0,9^{n} -1,5 +1,5)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\ln ( 0,9^{n+1} )-\ln ( 0,9^{n} )} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\ln\left(\dfrac{0,9^{n+1}}{0,9^n}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{w_{n+1}-v_n}=\ln(0,9)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ v_{n+1}-v_n=\ln(0,9)}$

$\underline{ \text{Remarque}}:v_0=\ln(0,5\,u_0+1,5)=\ln(0,5\times(-1)+1,5)=\ln(-0,5+1,5)=\ln(1)=0 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWv}\Longrightarrow\boxed{v_0=0}}$

Par conséquent, (v_n ) est une suite arithmétique de raison r = ln(0,9) dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0=0\;.}$

3. b) Soit n un entier naturel.
Nous devons démontrer que $\overset{{\white{.}}}{u_n=v_n}$ si et seulement si $\overset{{\white{.}}}{g(u_n)=0\,.}$

$u_n=v_n\quad\Longleftrightarrow\quad u_n=\ln(0,5\,u_n+1,5) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n=v_n}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(0,5\,u_n+1,5)}-u_n=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n=v_n}\quad\Longleftrightarrow\quad g(u_n)=0} \\\\\text{D'où }\;\boxed{u_n=v_n\quad\Longleftrightarrow\quad g(u_n)=0}$

3. c) Nous devons démontrer qu'il n'existe aucun rang $\overset{{\white{.}}}{k\in \N}$ pour lequel $\overset{{\white{.}}}{u_k=\alpha\;.}$

Nous savons que (v_n ) est une suite arithmétique de raison r = ln(0,9) dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0=0\;.}$
Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0+n\,r} .$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{v_n=0+ n\,\ln(0,9)}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=n\,\ln(0,9)}\,.}$

Par l'absurde, supposons qu'il existe $\overset{{\white{.}}}{k\in\N}$ tel que $\overset{{\white{.}}}{u_k=\alpha\;.}$

Dans ce cas, nous aurions : $\overset{{\white{.}}}{g(u_k)=0,}$ soit $\overset{{\white{.}}}{u_k=v_k}$ (en utilisant la question 3.b)

Or, en utilisant les résultats précédents, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}u_k=v_k\phantom{wwww}\\u_k=\alpha\phantom{wwww}\\v_k=k\,\ln(0,9)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\alpha=k\,\ln(0,9)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}}$

De plus, nous savons que $-2,889<\alpha<-2,888.$

Nous en déduisons que

$-2,889<\alpha<-2,888\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)} \\\\\phantom{-2,889<\alpha<-2,888}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<k<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}\approx27,42\\\\\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}\approx27,41\end{matrix}\right.$

L'inégalité $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<k<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$ est impossible puisque k est un nombre naturel.
Par conséquent, il n'existe aucun rang $\overset{{\white{.}}}{k\in \N}$ pour lequel $\overset{{\white{.}}}{u_k=\alpha\;.}$

3. d) Nous devons en déduire qu'il n'existe aucun rang $\overset{{\white{.}}}{k\in \N}$ pour lequel $\overset{{\white{.}}}{v_k=u_k\;.}$

En effet,

$u_k=v_k\quad\Longleftrightarrow\quad g(u_k)=0\quad(\text{voir question 3. b}) \\\phantom{u_k=v_k}\quad\Longleftrightarrow\quad u_k=\alpha\quad(\text{voir question 2. b})$

Sachant par la question 3. c) qu'il n'existe aucun rang $\overset{{\white{.}}}{k\in \N}$ pour lequel $\overset{{\white{.}}}{u_k=\alpha}$ , nous en déduisons qu'il n'existe aucun rang $\overset{{\white{.}}}{k\in \N}$ pour lequel $\overset{{\white{.}}}{v_k=u_k\;.}$
Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 20-11-2024

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