Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général Métropole 2023

Spécialité

Mathématiques

Jour 2

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu'il joue une partie, on admet que :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac 25$ ;

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac 7 {10}$ ;

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\frac{12}{25}\;.$

On considère les évènements suivants :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ A : « Le joueur choisit le monde A » ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ B : « Le joueur choisit le monde B » ;
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ G : « Le joueur gagne la partie ».

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :

${\white{wl}}$ $\textbf{a. }\dfrac{7 }{ 10}\qquad \textbf{b. }\dfrac{ 3}{ 25}\qquad \textbf{c. }\dfrac{7 }{ 25}\qquad \textbf{d. }\dfrac{ 24}{ 125}$

2. La probabilité $P_B(G)$ de l'événement G sachant que B est réalisé est égale à :

${\white{wl}}$ $\textbf{a. }\dfrac{1 }{ 5}\qquad \textbf{b. }\dfrac{ 1}{ 3}\qquad \textbf{c. }\dfrac{7 }{ 15}\qquad \textbf{d. }\dfrac{ 5}{ 12}$

Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\frac{12}{25}\;.$

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à :

${\white{wl}}$ $\textbf{a. }0,859 \qquad \textbf{b. }0,671\qquad \textbf{c. }0,188\qquad \textbf{d. }0,187$

4. On considère un entier naturel n pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus n parties est de 0,207. Alors :

${\white{wl}}$ $\textbf{a. }n=2\qquad \textbf{b. }n=3\qquad \textbf{c. }n=4\qquad \textbf{d. }n=5$

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :

${\white{wl}}$ $\textbf{a. }1-\left(\dfrac{ 12}{ 25}\right) ^{10} \qquad \textbf{b. }\left(\dfrac{ 13}{25 }\right) ^{10} \qquad \textbf{c. }\left(\dfrac{ 12}{25 }\right) ^{10} \qquad \textbf{d. }1-\left(\dfrac{ 13}{25 }\right) ^{10}$

5 points

exercice 2

Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique.
Au début de l'étude la population est de 100 000 insectes.
Pour préserver l'équilibre du milieu naturel le nombre d'insectes ne doit pas dépasser 400 000.

Partie A :

Étude d'un premier modèle en laboratoire
L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60 % chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite (u _n ) où, pour tout entier naturel n, u _n modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de n mois. On a donc u ₀ = 0,1.

1. Justifier que pour tout entier naturel n : $u_n=0,1\times 1,6^n\;.$ .

2. Déterminer la limite de la suite (u _n ) .

3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel u _n > 0,4.

4. Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B :

Etude d'un second modèle
En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite (v _n ) définie par v₀ = 0,1, et, pour tout entier naturel n, $v_{n+1} = 1,6 v_n -1,6 v_n ^2\;$ où, pour tout entier naturel n, v _n est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de n mois.

1. Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[0 \;; \;\frac 1 2 ]$ par $f(x)=1,6x-1,6x²\;.$
${\white{wl}}$ a. Résoudre l'équation $f(x)=x\;.$
${\white{wl}}$ b. Montrer que la fonction f est croissante sur $[0 \;; \;\frac 1 2 ]\;.$

3. a. Montrer par récurrence, que, pour tout entier naturel n , $0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2\;.$
${\white{wl}}$ b. Montrer que la suite (v _n ) est convergente.

On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x\;.$

${\white{wl}}$ c. Déterminer la valeur de $\ell\;.$ Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4. On donne ci-après la fonction $\text{ seuil }$ , écrite en langage Python.

Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 2 : image 3

${\white{wl}}$ a. Qu'observe-t-on si on saisit $\text{ seuil }(0.4)\;?$
${\white{wl}}$ b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{ seuil }(0.35)\;.$
${\white{wl}}$ Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

5 points

exercice 3

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O\;; \overrightarrow i \,, \overrightarrow j \,, \overrightarrow k \,)$ , on considère :
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ le plan P ₁ dont une équation cartésienne est $2x+y-z+2=0\,,$
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ le plan P ₂ passant par le point B (1 ; 1 ; 2) et dont un vecteur normal est $\overrightarrow {n_2}\,\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\;.$

1. a. Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow {n_1}$ normal au plan P ₁ .
${\white{wl}}$ b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
${\white{wl}}$ Montrer que les plans P ₁ et P ₂ sont perpendiculaires.

2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan P ₂ .
${\white{wl}}$ b. On note deltamaj

la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 0& &\\ y& = & -2+t&,\quad t \in \textbf R& \\ z& =& t & & \end{matrix}\right.$
${\white{wl}}$ Montrer que la droite deltamaj

est l'intersection des plans P ₁ et P ₂ .

On considère le point A (1 ; 1 ; 1) et on admet que le point A n'appartient ni à P ₁ ni à P ₂ .
On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite deltamaj

.

3. On rappelle que, d'après la question 2. b. , la droite deltamaj

est l'ensemble des points M _t de coordonnées (0 ; -2+t ; t ) où t désigne un nombre réel quelconque.
${\white{wl}}$ a. Montrer que, pour tout réel t, $AM_t=\sqrt{ 2t²-8t+11}\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire que $AH=\sqrt 3\;.$

4. On note D ₁ la droite orthogonale au plan P ₁ passant par le point A et H ₁ le projeté orthogonal du point A sur le plan P ₁ .
${\white{wl}}$ a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D ₁ .
${\white{wl}}$ b. En déduire que le point H ₁ a pour coordonnées $(-\frac 1 3 \;;\; \frac 1 3 \;;\; \frac 5 3 \,)\;.$

5. Soit H ₂ le projeté orthogonal du point A sur le plan P ₂ .
On admet que le point H ₂ a pour coordonnées $(\frac 4 3 \;;\; \frac 2 3 \;;\; \frac 4 3 \,)\;.$ et que H a pour coordonnées ( 0 ; 0 ; 2).
Sur ce schéma, les plans P ₁ et P ₂ sont représentés, ainsi que les points A , H ₁ , H ₂ , H .

Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 2 : image 2

Montrer que A H ₁ H H ₂ est un rectangle.

5 points

exercice 4

On considère la fonction f définie sur R par $f(x)=\ln [ 1+\text e ^{-x})\,$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;; \overrightarrow i\;,\overrightarrow j\;)\;.$
La courbe C est tracée ci-dessous.

Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 2 : image 1

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en - infini

.
${\white{wl}}$ b. Déterminer la limite de la fonction f en + infini

. Interpréter graphiquement ce résultat.
${\white{wl}}$ c. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f ' sa fonction dérivée.
${\white{wl}}$ Calculer f ' (x ) puis montrer que, pour tout nombre réel x, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\text e ^x}\;.$
${\white{wl}}$ d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur R.

2. On note T ₀ la tangente à la courbe C en son point d'abscisse 0.
${\white{wl}}$ a. Déterminer une équation de la tangente T ₀ .
${\white{wl}}$ b. Montrer que la fonction f est convexe sur R.
${\white{wl}}$ c. En déduire que, pour tout nombre réel x , on a : $f(x)\ge -\dfrac 1 2 x + \ln (2)\;.$

3. Pour tout nombre réel a différent de 0, on note M _a et N _ales points de la courbe C d'abscisses respectives -a et a . On a donc : $M_a\left(-a\;; f(-a)\right) \text{ et } N_a\left(a\;; f(a)\right) \;.$
${\white{wl}}$ a. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : $f(x)-f(-x)=-x\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire que les droites T ₀ et $( M_aN_a)$ sont parallèles.

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Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 2

5 points

exercice 1

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à ${\red{\dfrac{7}{25}}}.$ (Réponse c.)

Nous devons calculer $P(A\cap G).$

$P(A\cap G)=P(A)\times P_A(G) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P(A\cap G)} =\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P(A\cap G)} =\dfrac{1}{5}\times \dfrac{7}{5}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P(A\cap G)} =\dfrac{7}{25}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(A\cap G)=\dfrac{7}{25}}$
La réponse correcte est donc la réponse c.

2. La probabilité $\overset{{\white{.}}}{P_B(G)}$ de l'événement G sachant que B est réalisé est égale à ${\red{\dfrac{1}{3}}}.$ (Réponse b.)

D'une part, les événements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(G)=P(A\cap G)+P(B\cap G) \quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{\dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+P(B\cap G) } \\ \phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{P(B\cap G) =\dfrac{5}{25}} \\ \phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{\boxed{P(B\cap G) =\dfrac{1}{5}}}$
D'autre part, $\overset{{\white{.}}}{ P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}\quad\Longrightarrow\boxed{P(B)=\dfrac{3}{5}}\,.}$

Dès lors,

$P_B(G)=\dfrac{P(B\cap G)}{P(B)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P_B(G)}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{\overset{}{3}}{5}}=\dfrac{1}{3}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P_B(G)=\dfrac{1}{3}}$
La réponse correcte est donc la réponse b.

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à 0,188. (Réponse c.)

Un joueur effectue 10 parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise.
On considère X la variable aléatoire donnant le nombre de parties gagnées.

Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la partie est gagnée » dont la probabilité est $p=\dfrac{12}{25}.$
Echec : « la partie n'est pas gagnée » dont la probabilité est $1-p=\dfrac{13}{25}.$
La variable aléatoire X compte le nombre de parties gagnées parmi les 10 parties jouées, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(10\,;\,\dfrac{12}{25})}$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{12}{25}\right)^k\times\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10-k}}$

Nous devons calculer $P(X=6).$

$P(X=6)=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10-6} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P(X=6)}=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times\left(\dfrac{13}{25}\right)^{4 }} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ P(X=6)}\approx0,188} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(X=6)\approx0,188}$
La réponse correcte est donc la réponse c.

4. On considère un entier naturel n pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus n parties est de 0,207. Alors n = 3. (Réponse b.)

Nous devons donc trouver un entier naturel n tel que $\overset{{\white{.}}}{P(X\le n)\approx0,207.}$
Par la calculatrice, nous obtenons :

$P(X\le 1)\approx0,015 \\ \overset{{\white{.}}}{P(X\le 2)\approx0,070} \\ \overset{{\white{.}}}{P(X\le 3)\approx0,207}$

D'où pour n = 3, la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus n parties est de 0,207.
La réponse correcte est donc la réponse b.

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à ${\red{1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}}}.$ (Réponse d.)
En effet,

$P(X\ge 1)=1-P(X=0) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 1)}=1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{12}{25}\right)^0\times\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10-0 }} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 1)}=1-1\times1\times\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10 }} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge 1)}=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10 }} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(X\ge 1)=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10 }}$
La réponse correcte est donc la réponse d.

5 points

exercice 2

Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire

1. Pour tout entier naturel n , u_n modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de n mois.
Une augmentation de 60 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,6.
Donc pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=1,6\times u_n.}$
Nous savons que u ₀ = 0,1.
Dès lors, la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,6 et de premier terme u ₀ = 0,1.

Le terme général de la suite géométrique (u_n ) est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^n} .$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{u_n=0,1\times 1,6^n}}$

2. Déterminons la limite de la suite (u_n ).

$1,6>1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}1,6^n=+\infty \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{1,6>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}0,1\times1,6^n=+\infty} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{1,6>1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}}$

3. Déterminons le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n > 0,4.

Résolvons l'inéquation u_n > 0,4.

$u_n > 0,4\quad\Longleftrightarrow\quad 0,1\times1,6^n>0,4 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n > 0,4}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,6^n>\dfrac{0,4}{0,1}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n > 0,4}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,6^n>4 } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n > 0,4}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(1,6^n)>\ln(4)}$

$\\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n > 0,4}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(1,6)>\ln(4)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n > 0,4}\quad\Longleftrightarrow\quad n> \dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}} \\ \\ \text{Or }\; \dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}\approx2,95.$

D'où le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n > 0,4 est n = 3.

4. Nous avons montré dans la question précédente que le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n > 0,4 est n = 3.
Cela signifie que le nombre d'insectes dépassera 400 000 à partir du 3^ème mois.
Or pour préserver l'équilibre du milieu naturel, le nombre d'insectes ne doit pas dépasser 400 000.
Par conséquent, selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel ne sera pas préservé.

Partie B : Etude d'un second modèle

Les biologistes modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite (v_n ) définie par v ₀ = 0,1, et, pour tout entier naturel $\overset{{\white{.}}}{n,\; v_{n+1} = 1,6 v_n -1,6 v_n ^2\;}$ où, pour tout entier naturel n , v_n est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de n mois.

1. Nous devons déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois, soit calculer $\overset{{\white{.}}}{v_1.}$

$v_{1} = 1,6 v_0 -1,6 v_0 ^2 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{1} }= 1,6 \times0,1 -1,6 \times0,1 ^2} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{1} }= 0,16-0,016} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{1} }= 0,144} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{v_{1} = 0,144}$
Dès lors, au bout d'un mois, il y a 144 000 insectes.

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[0 \;; \;\frac 1 2 ]}$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=1,6x-1,6x²\;.}$

2. a) Nous devons résoudre l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x\;.}$

$f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad 1,6x-1,6x^2=x \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 0=x-1,6x+1,6x^2 } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,6x^2 -0,6x=0} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x(1,6x -0,6)=0}$
${\white{WWWWw}}$ $\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad 1,6x -0,6=0} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad 1,6x =0,6} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x =\dfrac{0,6}{1,6}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}}$
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x}$ est $\boxed{S=\left\lbrace0\,;\,\dfrac{3}{8}\right\rbrace}\,.$

2. b) Nous devons montrer que la fonction f est croissante sur $\overset{{\white{.}}}{[0 \;; \;\frac 1 2 ]\,.}$

Étudions le signe de la dérivée f' (x ) sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[0 \;; \;\frac 1 2 ]\,.}$

$f'(x)=(1,6x-1,6x^2)' \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1,6-1,6\times2x} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1,6(1-2x)} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=1,6(1-2x)}$

$\text{Or }\;x\in[0 \;; \;\frac 1 2 ]\quad\Longrightarrow\quad x\le\dfrac{1}{2} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad 2x\le1} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad 1-2x\ge0} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad 1,6(1-2x)\ge0} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)\ge0}}$

Par conséquent, la fonction f est croissante sur $\overset{{\white{.}}}{[0 \;; \;\frac 1 2 ]\,.}$

3. a) Nous devons montrer par récurrence, que, pour tout entier naturel $\overset{{\white{.}}}{n, }$ ${\white{xx}}\overset{{\white{.}}}{0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2\;.}$
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{0\le v_0\le v_{1} \le \dfrac 1 2\;.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}v_0=0,1\phantom{xxxxx}\\v_1=\dfrac{3}{8}=0,375\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{0\le v_0\le v_{1} \le \dfrac 1 2}\,.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{0\le v_{n+1}\le v_{n+2} \le \dfrac 1 2\;.}$
Nous supposons donc que pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2}\;.$
Nous savons que la fonction f est croissante sur $\overset{{\white{.}}}{[0 \;; \;\frac 1 2 ]\,.}$
Dès lors,

$0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2\quad\Longrightarrow\quad f(0)\le f(v_n)\le f(v_{n+1}) \le f(\dfrac 1 2) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2}\quad\Longrightarrow\quad 0\le 1,6 v_n -1,6 v_n ^2\le 1,6 v_{n+1} -1,6 v_{n+1} ^2 \le 0,4} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2}\quad\Longrightarrow\quad 0\le v_{n+1}\le v_{n+2} \le 0,4\le \dfrac{1}{2}} \\ \\ \text{D'où }\;\boxed{0\le v_{n+1}\le v_{n+2} \le \dfrac{1}{2}}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{, }\;0\le v_n\le v_{n+1} \le \dfrac 1 2 }}\;.$

3. b) Montrons que la suite (v_n ) est convergente.

En effet, d'après la question 3. a), nous savons que la suite (v_n ) est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}.$
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite (v_n ) est convergente.

On note $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ la valeur de sa limite. On admet que $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ est solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x\;.}$

3. c) Déterminons la valeur de $\overset{{\white{.}}}{\ell}\;.$

Nous savons par la question 2. a) que les solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x}$ sont 0 et $\dfrac{3}{8}.$
Donc $\overset{{\white{.}}}{\ell=0}$ ou $\overset{{\white{.}}}{\ell=\dfrac{3}{8}.}$
Or $\overset{{\white{.}}}{v_0=0,1\neq0}$ et la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ est croissante.
Il s'ensuit que $\overset{{\white{.}}}{\ell\neq 0}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\ell=\dfrac{3}{8}}\,.}$

4. On donne ci-après la fonction seuil, écrite en langage Python.

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|l|l|} \hline {\blue{\text{d}}}{\blue{\text{e}}}{\blue{\text{f}}}\text{ seuil(a)} :\phantom{Wwx} \\ \phantom{Wii}\text{v = 0.1}\phantom{Wwww} \\ \phantom{x}\phantom{wi}\text{n = 0}\phantom{Wwwwww} \\ \phantom{x}\phantom{wi}{\blue{\text{while }}}{\text{v}<{\text{a}}}:\phantom{Wi} \\ \phantom{xww}\phantom{w}\text{v = }\text{1.6}*\text{v}-1.6*\text{v}*{\text{v}} \\ \phantom{x}\phantom{Wwi}\text{n = }\text{n+1}\phantom{WWWxi} \\ \phantom{x}\phantom{wi}{\blue{\text{return }}}{\text{n}}\phantom{Wi} \\ \hline\end{array}$

4. a) Si nous saisissons seuil(0,4), aucune réponse n'est affichée.

En effet, la fonction seuil(0,4) doit nous donner la valeur de n à partir de laquelle les termes de la suite seront supérieurs à 0,4.
Or nous avons montré dans la question précédente, que la limite supérieure de la suite est égale à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{3}{8}}$ , soit 0,375.
Puisqu'aucune valeur de v ne peut dépasser 0,375, il est impossible de trouver une valeur de n à partir de laquelle les termes de la suite seront supérieurs à 0,4.
Donc la boucle while tournera sans fin.

4. b) Voici les différentes valeurs prises par n lors de la saisie de seuil(0,35) (les valeurs de v sont arrondies au millième).

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|c|} \hline &&\phantom{W}n\phantom{W}&\phantom{WW}v\phantom{WW}&&\\ \hline &\\ 0&0,1\\1&0,144\\2&0,197\\3&0,253\\4&0,303\\5&0,338\\ {\red{6}}&{\red{0,358}}\\&\\ \hline\end{array}$

Par conséquent, la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0,35) est 6.

Cela signifie qu'il faudra attendre 6 mois pour que le nombre d'insectes soit supérieur à 350 000.

5 points

exercice 3

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O\;; \overrightarrow i \,, \overrightarrow j \,, \overrightarrow k \,)$ , on considère :

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ le plan $\mathscr{P}_1$ dont une équation cartésienne est $\overset{{\white{.}}}{2x+y-z+2=0\,,}$
${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ le plan $\mathscr{P}_2$ passant par le point B (1 ; 1 ; 2) et dont un vecteur normal est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow {n_2}\,\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\;.}$

1. a) Déterminons les coordonnées d'un vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow {n_1}}$ normal au plan $\mathscr{P}_1$ .

Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_1$ est : $\overset{{\white{.}}}{{\red{2}}x+{\red{1}}y\,{\red{-1}}z+2=0\,.}$
Donc un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow {n_1}\,\begin{pmatrix} {\red{2}}\\ {\red{1}} \\ {\red{-1}} \end{pmatrix}\,.}$

1. b) Montrons que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires.

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow {n_1}\,\begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\\ \overrightarrow {n_2}\,\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=2\times1+1\times(-1)-1\times1\\=2-1-1\phantom{WWWi}\\=0\phantom{WWWWWWi}\end{matrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n_1}\perp\overrightarrow{n_2}}$

Or deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
Par conséquent, les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires.

2. a) Nous devons déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2.$

Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme : ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathscr{P}_2\,,$ nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est de la forme : x - y + z + d = 0.

Or le point B (1 ; 1 ; 2) appartient au plan $\mathscr{P}_2.$
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 1 - 1 + 2 + d = 0 , soit d = -2.

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{x-y+z-2=0}\,.}$

2. b) On note deltamaj

la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 0& &\\ y& = & -2+t&,\quad t \in \R& \\ z& =& t & & \end{matrix}\right.$

Montrons que la droite deltamaj

est l'intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ en montrant que la représentation paramétrique de deltamaj

vérifie les équations de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2\;.$

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_1$ est $\overset{{\white{.}}}{2x+y-z+2=0\,,}$
Soit $t\in \R.$
Alors $\overset{{\white{.}}}{2\times0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0.}$
La représentation paramétrique de deltamaj

vérifie l'équation de $\mathscr{P}_1.$
Donc la droite est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1.$

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est $\overset{{\white{.}}}{x-y+z-2=0\,,}$
Soit $t\in \R.$
Alors $\overset{{\white{.}}}{0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0.}$
La représentation paramétrique de deltamaj

vérifie l'équation de $\mathscr{P}_2.$
Donc la droite est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2.$

Par conséquent, la droite est l'intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2\;.$

On considère le point A (1 ; 1 ; 1) et on admet que le point A n'appartient ni à $\mathscr{P}_1$ ni à $\mathscr{P}_2\;.$
On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite deltamaj

.

3. On rappelle que la droite deltamaj

est l'ensemble des points M_t de coordonnées (0 ; -2 + t ; t ) où t désigne un nombre réel quelconque.

3. a) Montrons que, pour tout réel t , $AM_t=\sqrt{ 2t²-8t+11}\;.$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;\,1\,;\,1)\\ \overset{{\white{.}}}{M_t(0\,;\,-2+t\,;\,t)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AM_t} \begin{pmatrix}0-1\\ (-2+t)-1\\t-1\end{pmatrix} \\ \phantom{WWWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AM_t} \begin{pmatrix}-1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$

$\text{D'où } \;AM_t=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{Ww;\;AM_t}=\sqrt{1+(9-6t+t^2)+(t^2-2t+1)}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{Ww;\;AM_t}=\sqrt{10-6t+t^2+t^2-2t+1}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{Ww;\;AM_t}=\sqrt{2t^2-8t+11}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{AM_t=\sqrt{2t^2-8t+11}}$

3. b) Nous devons en déduire que $AH=\sqrt 3\;.$

Le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite deltamaj

.
Donc les droites (AH ) et deltamaj

sont orthogonales.
Le point H est sur la droite deltamaj

.

Déterminons la valeur de t telle que les droites (AM_t ) et deltamaj

soient orthogonales.
Une représentation paramétrique de deltamaj

est $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 0+{\red{0}}\,t& &\\ y& = & -2+{\red{1}}\,t&,\quad t \in \R.& \\ z& =&0+ {\red{1}}\,t & & \end{matrix}\right.$
Donc un vecteur directeur de la droite deltamaj

est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{1}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}.}$

Un vecteur directeur de la droite (AM_t ) est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AM_t} \begin{pmatrix}-1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}.}$
Les droites (AM_t ) et deltamaj

doivent être orthogonales.
Dès lors, $\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{AM_t}$ , soit $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0.$

$\text{Or }\;\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0\quad\Longleftrightarrow\quad0\times(-1)+1\times(-3+t)+1\times(t-1)=0 \\ \phantom{\text{Or }\;\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad0-3+t+t-1=0 \\ \phantom{\text{Or }\;\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad2t-4=0 \\ \phantom{\text{Or }\;\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad2t=4 \\ \phantom{\text{Or }\;\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM_t}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{t=2}$
Nous déterminerons alors la valeur de AH en remplaçant t par 2 dans l'expression de AM_t .

$AH=\sqrt{2\times2^2-8\times2+11} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{8-16+11}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{3}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{AH=\sqrt{3}}$

Autre méthode

Nous devons déterminer la distance minimale AM_t .

La distance AM_t est minimale si $\sqrt{2t^2-8t+11}$ est minimale.

Or la fonction "racine carrée" est strictement croissante sur $\overset{{\white{.}}}{\R_+.}$
Il s'ensuit que la distance AM_t est minimale si le trinôme du second degré $2t^2-8t+11$ est minimal.
Nous savons que ce trinôme est minimal car le coefficient principal positif.
Donc le trinôme $2t^2-8t+11$ est minimal pour $\overset{{\white{.}}}{t=-\dfrac{-8}{2\times2}=2.}$

Nous déterminerons alors la valeur de AH en remplaçant t par 2 dans l'expression de AM_t .

$AH=\sqrt{2\times2^2-8\times2+11} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{8-16+11}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{3}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{AH=\sqrt{3}}$

4. On note D ₁ la droite orthogonale au plan $\mathscr{P}_1$ passant par le point A et H ₁ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathscr{P}_1$ .

4. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D ₁.

La droite D ₁ est dirigée par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}}$ car la droite D ₁ est orthogonale au plan $\mathscr{P}_1.$
La droite D ₁ passe par le point $\overset{{\white{.}}}{A({\blue{1}}\,;\,{\blue{1}}\,;\,{\blue{1}}).}$
Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite D ₁ est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{1}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{D_1 :\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=1+t\\z=1-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

4. b) Nous devons en déduire que le point H ₁ a pour coordonnées $(-\frac 1 3 \;;\; \frac 1 3 \;;\; \frac 5 3 \,)\;.$

Par la définition du point H ₁, nous déduisons que le point H ₁ appartient à $D_1\cap \mathscr{P}_1.$

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ Le point H ₁ appartient à D ₁.
Donc les coordonnées de H ₁ sont de la forme $\overset{{\white{.}}}{ (1+2t\,;\,1+t\,;\,1-t).}$

${\white{wl}}\bullet {\white{w}}$ Le point H ₁ appartient à $\mathscr{P}_1:2x+y-z+2=0$ .
Donc ses coordonnées vérifient l'équation de $\mathscr{P}_1.$
Nous obtenons ainsi :

$2(1+2t)+(1+t)-(1-t)+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2+4t+1+t-1+t+2=0 \\ \phantom{2(1+2t)+(1+t)-(1-t)+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 6t+4=0 \\ \phantom{2(1+2t)+(1+t)-(1-t)+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 6t=-4 \\ \phantom{2(1+2t)+(1+t)-(1-t)+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad t=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$

Remplaçons t par $-\dfrac{2}{3}$ dans les coordonnées de H ₁.
$(1+2t\,;\,1+t\,;\,1-t)=\left(1-\dfrac{4}{3}\,;\,1-\dfrac{2}{3}\,;\,1+\dfrac{2}{3}\right) \\ \\ \phantom{WWWWWWWW}=\left(-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right)$
Par conséquent, le point H ₁ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right)\,.$

5. Soit H ₂ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathscr{P}_2$ .
On admet que le point H ₂ a pour coordonnées $(\frac 4 3 \;;\; \frac 2 3 \;;\; \frac 4 3 \,)$ et que H a pour coordonnées (0 ; 0 ; 2).
Sur ce schéma, les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points A , H ₁ , H ₁ , H .

Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 2 : image 5

Nous devons montrer que A H ₁H H ₂ est un rectangle.

$\bullet {\white{w}}$ Montrons que A H ₁H H ₂ est un parallélogramme.
$\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;\,1\,;\,1)\\ \overset{{\white{.}}}{H_1\left(-\dfrac 1 3 \;;\; \dfrac 1 3 \;;\; \dfrac 5 3 \,\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AH_1} \begin{pmatrix}-\dfrac 1 3-1\\ \overset{{\white{.}}}{ \dfrac 1 3-1}\\ \overset{{\white{.}}}{\dfrac 5 3-1}\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AH_1} \begin{pmatrix}-\dfrac 4 3\\ \overset{{\phantom{.}}}{-\dfrac 2 3}\\ \overset{{\phantom{.}}}{\dfrac 2 3}\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix}H_2\left(\dfrac 4 3 \;;\; \dfrac 2 3 \;;\; \dfrac 4 3 \,\right)\\ \overset{{\white{.}}}{H\left(0 \;;\; 0 \;;\; 2 \,\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{H_2H} \begin{pmatrix}0-\dfrac 4 3\\ \overset{{\white{.}}}{ 0-\dfrac 2 3}\\ \overset{{\white{.}}}{2-\dfrac 4 3}\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{H_2H} \begin{pmatrix}-\dfrac 4 3\\ \overset{{\phantom{.}}}{-\dfrac 2 3}\\ \overset{{\phantom{.}}}{\dfrac 2 3}\end{pmatrix}$

D'où $\boxed{\overrightarrow{AH_1} =\overrightarrow{H_2H} }$
Nous en déduisons que A H ₁H H ₂ est un parallélogramme.

$\bullet {\white{w}}$ Montrons que $AH=H_1H_2.$

Nous avons montré dans la question 3. b) que $AH=\sqrt{3}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}H_1\left(-\dfrac 1 3 \;;\; \dfrac 1 3 \;;\; \dfrac 5 3 \,\right)\\ \overset{{\white{.}}}{H_2\left(\dfrac 4 3 \;;\; \dfrac 2 3 \;;\; \dfrac 4 3 \,\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{H_1H_2} \begin{pmatrix}\dfrac 4 3+\dfrac 1 3\\ \overset{{\white{.}}}{\dfrac 2 3- \dfrac 1 3}\\ \overset{{\white{.}}}{\dfrac 4 3-\dfrac 5 3}\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{H_1H_2} \begin{pmatrix}\dfrac 5 3\\ \overset{{\phantom{.}}}{\dfrac 1 3}\\ \overset{{\phantom{.}}}{-\dfrac 1 3}\end{pmatrix} \\ \\ \text{Donc }\;H_1H_2=\sqrt{\left(\dfrac 5 3\right)^2+\left(\dfrac 1 3\right)^2+\left(-\dfrac 1 3\right)^2} \\ \\ \phantom{WWWWW}=\sqrt{\dfrac {25}{ 9}+\dfrac {1}{ 9}+\dfrac {1}{ 9}}=\sqrt{\dfrac {27}{ 9}}=\sqrt{3} \\ \\ \text{D'où }\,\boxed{AH=H_1H_2=\sqrt{3}}$
Nous en déduisons que les diagonales du parallélogramme A H ₁H H ₂ ont la même longueur.

$\bullet {\white{w}}$ Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même mesure est un rectangle.

Par conséquent, A H ₁H H ₂ est un rectangle.

5 points

exercice 4

On considère la fonction f définie sur $\R$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\ln ( 1+\text e ^{-x})\,}$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. a) Nous devons déterminer la limite de la fonction f en - infini

.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(1+\text{e}^{-x})=+\infty\\ \lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=1+\text{e}^{-x})}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\ln(1+\text{e}^{-x})=+\infty \\ \\ \phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$

1. b) Nous devons déterminer la limite de la fonction f en + infini

.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\text{e}^{-x})=1+0=1\\ \lim\limits_{X\to1}\ln(X)=\ln(1)=0\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=1+\text{e}^{-x})}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+\text{e}^{-x})=0 \\ \\ \phantom{WWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

Par conséquent, la courbe C admet une asymptote horizontale au voisinage de + dont l'équation est y = 0 .

1. c) On admet que la fonction f est dérivable sur $\R$ et on note f' sa fonction dérivée.
Nous devons calculer f' (x ).

$f'(x)=[\ln ( 1+\text e ^{-x})]' \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{( 1+\text e ^{-x})'}{ 1+\text e ^{-x}}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{ -\,\text e ^{-x}}{ 1+\text e ^{-x}}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{ -\,\text e ^{-x}}{ \text e ^{x}\,\text e ^{-x}+\text e ^{-x}}}$

$\\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{ -\,\text e ^{-x}}{ \text e ^{-x}(\text e ^{x}+1)}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{ -1}{ \text e ^{x}+1}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\;f'(x)=\dfrac{ -1}{1+ \text e ^{x}}}$

1. d) Nous savons que $\forall x\in\R,\;f'(x)=\dfrac{ -1}{1+ \text e ^{x}}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}-1<0\\1+ \text e ^{x}>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{ -1}{1+ \text e ^{x}}<0 \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\;f'(x)<0}$

Il s'ensuit que la fonction f est strictement décroissante sur $\R.$

D'où le tableau de variations complet de la fonction f sur $\R$ .

${\white{wwwwwww}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&\\ f'(x)&&-&&-&&-&\\&&&& &&&\\ \hline&+\infty&&&&&&\\ f(x)&&\searrow&&\searrow&&\searrow&\\&&&& &&&0\\ \hline \end{array}$

2. On note T ₀ la tangente à la courbe C en son point d'abscisse 0.
2. a) Déterminons une équation de la tangente T ₀ .

Une équation de la tangente T ₀ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)}$ , soit de la forme $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.}$

$\text{Or }\; f(x)=\ln ( 1+\text e ^{-x})\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\ln ( 1+\text e ^{0})=\ln(1+1) \\ \phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\ln(2) \\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ww} f'(x)=\dfrac{-1}{1+\text e ^x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=\dfrac{-1}{1+\text e ^0}=\dfrac{-1}{1+1}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=-\dfrac{1}{2} }$
Par conséquent, une équation de la tangente T ₀ est $\boxed{y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)}$

2. b) Montrons que la fonction f est convexe sur $\R$ en montrant que la dérivée seconde est positive sur $\R.$

La fonction f' est dérivable sur $\R$ (somme de fonctions dérivables sur $\R$ ).

$\forall x\in\R,\;f''(x)=\left(\dfrac{-1}{1+ \text e ^{x}}\right)' \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\R,\;f''(x)}=-\left(\dfrac{ 1}{1+ \text e ^{x}}\right)'} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\R,\;f''(x)}=-\left(\dfrac{ -(1+ \text e ^{x})'}{\left(1+ \text e ^{x}\right)^2}\right)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\R,\;f''(x)}=\dfrac{ \text e ^{x}}{\left(1+ \text e ^{x}\right)^2}} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\;f''(x)=\dfrac{ \text e ^{x}}{\left(1+ \text e ^{x}\right)^2}}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\text e ^{x}>0\\ \left(1+ \text e ^{x}\right)^2>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{ \text e ^{x}}{\left(1+ \text e ^{x}\right)^2}>0 \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\;f''(x)>0}$

Par conséquent, la fonction f est convexe sur $\R\,.$

2. c) Nous devons en déduire que, pour tout nombre réel x , on a : $f(x)\ge -\dfrac 1 2 x + \ln (2)\;.$

Nous savons que la fonction f est convexe sur $\R\,.$
Dès lors, sur $\overset{{\white{.}}}{\R\,,}$ la courbe C est située au-dessus de toutes ses tangentes, dont T ₀.
Il s'ensuit que pour tout nombre réel x , $f(x)\ge -\dfrac 1 2 x + \ln (2)\;.$

3. Pour tout nombre réel a différent de 0, on note M_a et N_a les points de la courbe C d'abscisses respectives -a et a .
On a donc : $M_a\left(-a\;; f(-a)\right) \text{ et } N_a\left(a\;; f(a)\right) \;.$

3. a) Montrons que, pour tout nombre réel x , on a : $f(x)-f(-x)=-x\;.$

Pour tout nombre réel x ,

$f(x)-f(-x)=\ln ( 1+\text e ^{-x})-\ln ( 1+\text e ^{x}) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-f(-x)}=\ln \left( \dfrac{1+\text e ^{-x}}{ 1+\text e ^{x}}\right)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-f(-x)}=\ln \left( \dfrac{\text e ^{-x}(\text e ^{x}+1)}{ 1+\text e ^{x}}\right)=\ln \left( \dfrac{\text e ^{-x}(1+\text e ^{x})}{ 1+\text e ^{x}}\right)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-f(-x)}=\ln(\text e ^{-x})}$

$\phantom{f(x)-f(-x)}=-x \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\;f(x)-f(-x)=-x}$

3. b) Nous devons en déduire que les droites T ₀ et (M_a N_a ) sont parallèles.

Nous savons que le coefficient directeur de la droite T ₀ est égal à $-\dfrac{1}{2}.$
De plus, le coefficient directeur de la droite (M_a N_a ) est égal à :

${\white{xxxx}}\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)}=\dfrac{-a}{a+a} =\dfrac{-a}{2a}=-\dfrac{1}{2}$

Puisque ces deux coefficients directeurs sont égaux, nous en déduisons que les droites T ₀ et (M_a N_a ) sont parallèles.

Publié par malou le 05-05-2023

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