L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.
Bac général spécialité maths 2023 Métropole jour 1
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5 points
exercice 1
Pour les questions 1. à 3. on peut s'aider de cet arbre :
L'énoncé nous dit que 0,2% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie soit
L'énoncé nous dit également que 8,2% des machines sont défectueuses soit
1. soit la réponse b.
2. On sait que Or d'après l'axiome des probabilités totales.
d'où soit la réponseb.
3. On sait désormais que la machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est donc soit 0,024 à 10-3 près, soit la réponse b.
4. On passe à l'événement contraire. au millième près soit la réponse b.
5. On désire que toutes les machines fonctionnent correctement. On calcule donc dans chacun des cas.
Comme on nous demande la plus grande valeur possible je commence en prenant n=11 qui est inférieur à 0,4.
Je choisis n=10 désormais. qui est
supérieur à 0,4. La plus grande valeur possible est donc n = 10 réponse c.
5 points
exercice 2
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +[ par
1.
2. On admet que pour
Or (croissances comparées)
Donc car la parenthèses tend vers 1.
3. Pour tout x de ]0 ; +[,
4. Sur ]0 ; +[, le dénominateur est strictement positif ainsi que . La dérivée a donc le même signe que
Cette quantité s'annule pour x=2 et est positive pour
Le minimum vaut dont une valeur approchée est -1,55.
5.
En appliquant le TVI sur ]0 ; +[, l'équation admet une unique solution, notée , sur cet intervalle.
6. En admettant que sur [2 ; +[, il existe un unique tel que on peut en déduire
le signe de f sur ]0 ; +[.
7. Soit k un nombre réel, on cherche la plus petite valeur de k pour que
soit positive.
pour soit
Or le mimium atteint par f est Il suffit de choisir
5 points
exercice 3
Partie A : première modélisation
1. et, pour tout entier naturel
2. Montrons par récurrence que pour tout
Posons (Pn ) : Initialisation : on sait que
Calculons pour n = 1 . On a :
La propriété est donc vérifiée au rang 1
Hérédité : Supposons qu'il existe un rang n 1 tel que : Alors :
La propriété est donc vraie au rang n + 1 .
Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie au rang 1, donc elle estvraie au rang 2 ...
et de proche en proche elle est vraie pour tout n 1.
3. Montrons que la suite est croissante. Pour tout n 1 ,
La suite est croissante.
4.
Seuil(8.5) renvoie la plus petite valeur n telle que un > 8,5. On trouve 9. En effet :
pour soit
ou encore
car . On trouve soit
Dans le contexte de l'exercice, n représente le nombre de mois à partir duquel le nombre de questions posées sera supérieur à 8,5 centaines de questions soit
supérieur à 850 questions.
Partie B : Une autre modélisation
On pose
1. ce qui donne au centième.
2.
soit
La plus peite valeur de n est donc 15.
Partie C : Comparaison des deux modèles
1. Parmi ces deux
modélisations, celle qui conduit à procéder le plus tôt à cette modification est le modèle de la partie A puisque 9 < 15.
2. Pour savoir ce qui se passe à long terme, on peut comparer les limites des deux suites.
car -1 < 0,9 < 1 et
alors que car la limite de l'exponentielle tend vers 0.
Le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme sera obtenu par le modèle de la partie A.
5 points
exercice 4
1. L'espace est rapporté au repère
Les coordonnées de E sont donc
.
d'où
On procède de même et on trouve
2. Le vecteur a pour coordonnées
Une équation paramétrique de (EC ) est :
3. Montrons que (EC ) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (GBD ).
Le vecteur a pour coordonnées donc
donc les vecteurs sont
orthogonaux.
On démontre de même que le produit scalaire et que les deux vecteurs sont orthogonaux.
La droite (EC ) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (GBD ), elle est donc orthogonale au plan (GBD ).
4. a. On sait que le vecteur de coordonnées est un vecteur normal au plan
(GBD ). Une équation de ce plan est donc : avec dR. Or on sait que G
est un point de ce plan. On remplace : cela donne soit
Une équation du plan (GBD ) est :
b.
On remplace dans la 1re équation du système et on trouve la valeur de k. Cela donne
Il suffit alors de remplacer k par sa valeur dans le système paramétréde la droite (EC ).
On obtient
c. On sait que la droite (EC ) est orthogonale au plan ( GBD ), la disatnce du point
E au plan ( GBD ) est donc la distance EI .
5. a. Les segments [BD ], [GD ] et [BG ] sont trois diagonales de trois faces du cube. Elles sont de même longueur, et
celle-ci vaut Le triangle BDG est donc équilatéral.
b. Soit J le milieu de [BD ]. Ses coordonnées sont :
Le triangle étant équilatéral, la médiane ( GJ ) est également hauteur.
L'aire du triangle (BDG ) vaut donc :
Or, Donc :
6. Soit le volume du tétraèdre EGBD .
Publié par malou
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=0,2\%.)
=8,2\%.)
=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}=\dfrac{0,002}{0,2}=0,01)
soit la réponse b.
=p(D\cap G)+p(D\cap\overline G) )
d'après l'axiome des probabilités totales.
 =p(D) - p(D\cap G) = 0,082-0,002=0,080)
soit la réponse b.
\,.)
=\dfrac{p(D\cap G)}{p(D)}=\dfrac{0,002}{0,082}\approx 0,0243)
soit 0,024 à 10-3 près, soit la réponse b.![p(X>2)=1-p(X\le 2)=1-\left[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}=1-\left[ \begin{pmatrix}50\\0\end{pmatrix}\times0,082^0\times0,918^{50-0}+ \begin{pmatrix}50\\1\end{pmatrix}\times0,082^1\times0,918^{50-1}+ \begin{pmatrix}50\\2\end{pmatrix}\times0,082^2\times0,918^{50-2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}\approx1-0,2114} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}\approx 0,789}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p(X>2)=1-p(X\le 2)=1-\left[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}=1-\left[ \begin{pmatrix}50\\0\end{pmatrix}\times0,082^0\times0,918^{50-0}+ \begin{pmatrix}50\\1\end{pmatrix}\times0,082^1\times0,918^{50-1}+ \begin{pmatrix}50\\2\end{pmatrix}\times0,082^2\times0,918^{50-2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}\approx1-0,2114} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWv}\approx 0,789})
 )
dans chacun des cas.
=\begin{pmatrix}11\\0\end{pmatrix}\times0,082^{0}\times0,918^{11}\approx 0,39)
qui est inférieur à 0,4.=\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times0,082^{0}\times0,918^{10}\approx 0,43 )
qui est
supérieur à 0,4. La plus grande valeur possible est donc n = 10 réponse c.
[ par =x²-8\ln (x)\;.)
= +\infty\;.)
=x²\left(1-8\dfrac{\ln (x)}{x²}\right)\;.)
}{x²}=0)
(croissances comparées) =+\infty)
car la parenthèses tend vers 1.
=2x-\dfrac 8 x=\dfrac{2x²-8}{x}=\dfrac{2(x²-4)}{x}= \dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}\;.)
)
. La dérivée a donc le même signe que
Cette quantité s'annule pour x=2 et est positive pour 
=4-8\ln (2))
dont une valeur approchée est -1,55.& ||&& - & 0 & + & & \\ \hline \text{variations de } f& ||&&^{+\infty} \searrow & _{f(2)=4-8\ln (2)}& \nearrow &^{+\infty} & \\ \hline \end{array})
= +\infty \text{ et } f(2) < 0\;.)
En appliquant le TVI sur ]0 ; +=0 )
admet une unique solution, notée 
, sur cet intervalle.
tel que =0\;, )
on peut en déduire
le signe de f sur ]0 ; +
=x²-8\ln (x) + k )
soit positive.=x²-8\ln (x) + k \ge 0 )
pour  \ge -k )
soit  \ge -k)
\;.)
Il suffit de choisir \;.)
et, pour tout entier naturel 
Initialisation : on sait que 
pour n = 1 . On a : 
1 tel que : 
Alors : +1,3} \\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WW}= 0,9\times 13 -0,9\times \dfrac{100}{9}\times 0,9^n+1,3} \\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WW}=11,7-\dfrac{100}{9}0,9^{n+1} + 1,3} \\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WW}=13-\dfrac{100}{9}0,9^{n+1}\;. })
La propriété est donc vraie au rang n + 1 .
=\dfrac{100}{9}\left(0,9^{n}-0,9^{n+1}\right)= \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}(1-0,9)=\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}\times 0,1 > 0)
 )
est croissante.
pour 
soit
ou encore
}{\ln (0,9) } < n\;\; )
 < 0)
. On trouve 
soit 
}\;.)
ce qui donne 
au centième.
}> 8,5)
} )
})
> -0,19\times (n-1) )
}{0,19}< n-1)
soit 
=13 )
car -1 < 0,9 < 1 et 
=9)
car la limite de l'exponentielle tend vers 0.
\;.)
.
a pour coordonnées 
 \in (EC) \Longleftrightarrow \overrightarrow{ EM}=k\times \overrightarrow{ EC}\;\;, k\in\textbf R \;.)
 \in (EC) \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x & =& 0 & + &k\times 1 & & \\ y& =& 0& + & k\times 1 & &k\in \textbf R \\ z& = & 1& + & k\times (-1 )& & \end{matrix}\right.)
a pour coordonnées 
donc
 + 1\times 1 +(-1)\times 0 = )
donc les vecteurs 
sont
orthogonaux.
On démontre de même que le produit scalaire 
et que les deux vecteurs sont orthogonaux.
est un vecteur normal au plan
(GBD ). Une équation de ce plan est donc : 
avec d 
R. Or on sait que G
est un point de ce plan. On remplace : cela donne 
soit 
b.
\in(GBD)\cap (EC) \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x+y-z-1 & = & 0\\ x& =& k\\ y& =& k\\ z& =& 1-k \end{matrix}\right.)
\;.)
^2+ \frac 2 3 -0)^2}+(\frac 1 3 -1)²}=\sqrt {\frac{12}{9}}=\dfrac{2\sqrt 3}{3}\;. )
Le triangle BDG est donc équilatéral.\;.)
=\dfrac{BD\times GJ}{2}\;.)
²+(1-\frac 1 2 )²+(1-0)²}=\sqrt{\frac 3 2 }\;.)
Donc : =\dfrac{\sqrt2 \times \sqrt{\frac 3 2 }}{2}\ = \dfrac{\sqrt 3}{2}\;.)
le volume du tétraèdre EGBD .
\times EI = \frac 1 3 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} \times \dfrac{2\sqrt 3}{3} = \dfrac 1 3 \;.)
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