Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

LIBAN SESSION 2023

MATHÉMATIQUES

Jour 2

Durée : 4 heures L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1

On considère la fonction f définie sur R par : $f(x)=\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}\;.$
On note $\mathscal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme A le point de coordonnées (0 ; 2 ) et B le point de coordonnées (1 ; 4 ).
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscal C_f$ , et $\mathscal T$ la tangente à la courbe $\mathscal C_f$ au point d'abscisse 0.

Bac général spécialité maths 2023 Liban(2) : image 1

Partie A :

Lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathscal T$ .

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction f semble convexe ou concave.

Partie B :

Etude de la fonction

1. On admet que la fonction f est dérivable sur R .
${\white{wl}}$ Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'\;.$

2. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur R .

3. a. Déterminer la limite en + infini

de la fonction f .
${\white{wl}}$ b. Déterminer la limite en - infini

de la fonction f .

4. Déterminer la valeur exacte de la solution alpha

de l'équation $f(x) = 0,99\;.$

Partie C :

Tangente et convexité

1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathscal T$ à la courbe $\mathscal C_f$ au point d'abscisse 0.

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R . On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction f .

On admet que $f''$ est définie sur R par : $f''(x)=\dfrac {9\text e ^{-3x}\left(\text e ^{-3x}-1\right)} {\left(1+\text e ^{-3x}\right)^3}$

2. Etudier le signe de $f''$ sur R .

3. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est convexe.

${\white{wl}}$ b. Que représente le point A pour la courbe $\mathscal C_f\;?$

4. En déduire la position relative de la tangente $\mathscal T$ et de la courbe $\mathscal C_f$ . Justifier la réponse.

5 points

exercice 2

Partie A

On considère la fonction f définie par : $f(x)=x-\ln (1+x)\;.$
1. Justifier que la fonction f est définie sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]-1 ; + infini

[.
Déterminer l'expression de sa fonction dérivée f '.

3. a. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.
${\white{wl}}$ b. En déduire le signe de la fonction f sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

4. a. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1 ; + infini

[, on a :

$f(x)=\ln \left(\dfrac{\text e ^x}{1+x}\right)\;.$

${\white{wl}}$ b. En déduire la limite en + infini

de la fonction f .

Partie B

On considère la suite $(u _ n )$ définie par $u _0 = 10$ et, pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1} = u_n -\ln (1 + u_ n )\;.$
On admet que la suite $(u _ n )$ est bien définie.

1. Donner la valeur arrondie au millième de $u_ 1$ .

2. En utilisant la question 3.a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n \ge 0$ .

3. Démontrer que la suite $(u _ n )$ est décroissante.

4. Déduire des questions précédentes que la suite $(u _ n )$ converge.

5. Déterminer la limite de la suite $(u _ n )$ .

5 points

exercice 3

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; vecti

).
On considère les points A(3 ; 0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) et C(- 2 ; - 5 ; 1).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne :

${\white{ww}} -x + y - 2z + 5 = 0$

4. On considère le point S(1 ; -2 ; 4).
Déterminer la représentation paramétrique de la droite ( deltamaj

), passant par S et orthogonale au plan (ABC).

5. On appelle H le point d'intersection de la droite ( deltamaj

) et du plan (ABC).
Montrer que les coordonnées de H sont (0 ; -1 ; 2).

6. Calculer la valeur exacte de la distance SH.

7. On considère le cercle C , inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle D le disque délimité par le cercle C .
Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque D .

8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque D.

5 points

exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard n pièces produites par la chaîne de fabrication. Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend n = 50.

1. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?
${\white{wl}}$ a. 1
${\white{wl}}$ b. 0,870
${\white{wl}}$ c. 0,600
${\white{wl}}$ d. 0,599

2. La probabilité $p(3 < X \le 7)$ est égale à :
${\white{wl}}$ a. $p(X\le 7) - p(X > 3)$
${\white{wl}}$ b. $p(X\le 7) - p(X \le 3)$
${\white{wl}}$ c. $p(X < 7) - p(X > 3)$
${\white{wl}}$ d. $p(X < 7) - p(X \ge 3)$

3. Quel est le plus petit entier naturel k tel que la probabilité de tirer au plus k pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 95 % ?
${\white{wl}}$ a. 2
${\white{wl}}$ b. 3
${\white{wl}}$ c. 4
${\white{wl}}$ d. 5

Dans les questions suivantes, n ne vaut plus nécessairement 50.

4. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?
${\white{wl}}$ a. $0,04 ^n$
${\white{wl}}$ b. $0,96^ n$
${\white{wl}}$ c. $1 - 0,04 ^n$
${\white{wl}}$ d. $1 - 0,96^ n$

5. On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?

Bac général spécialité maths 2023 Liban(2) : image 2

${\white{wl}}$ a. Le plus petit nombre n tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
${\white{wl}}$ b. Le plus petit nombre n tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
${\white{wl}}$ c. Le plus grand nombre n tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.
${\white{wl}}$ d. Le plus grand nombre n tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2023 Liban(2)

5 points

exercice 1

On considère la fonction f définie sur R par : $f(x)=\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}\;.$
On note $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscal C_f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme A le point de coordonnées (0 ; 2 ) et B le point de coordonnées (1 ; 4 ).
On a tracé ci-dessous la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscal C_f}$ , et $\mathscr T$ la tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscal C_f}$ au point d'abscisse 0.

Bac général spécialité maths 2023 Liban(2) : image 5

Partie A

Lectures graphiques

1. Nous devons déterminer graphiquement l'équation réduite de la tangente $\mathscr T.$

L'équation réduite de la tangente $\mathscr T$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {y=ax+b.}$

Attention, les unités sont de longueurs différentes sur les deux axes...
Graphiquement (voir ci-dessous), nous lisons que le coefficient directeur a est égal à $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\frac{3}{4}}{1}=\dfrac{3}{4}\,.$

${ \white{ WWWWWW } }$

Bac général spécialité maths 2023 Liban(2) : image 3

L'ordonnée à l'origine b de la tangente est égale à l'ordonnée du point A , soit $b=\dfrac{1}{2}\,.$
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente $\mathscr T$ est $\boxed{y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}}\,.$

2. La fonction f semble convexe sur l'intervalle ]- infini

: 0],
${ \white { xxxxWWWWWxxxx } }$ concave sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

Partie B

Etude de la fonction

1. On admet que la fonction f est dérivable sur R .
${ \white { wl } }$ Déterminons l'expression de sa fonction dérivée f' .

${ \white { wl } }$ $f\,'(x)=\left(\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}\right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{-(1+\text e ^{-3x})'}{(1+\text e ^{-3x})^2} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{-(-3x)'\,\text e ^{-3x} } {(1+\text e ^{-3x})^2} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{3\,\text e ^{-3x} }{(1+\text e ^{-3x})^2} }$

$\Longrightarrow\quad \boxed{ f'(x)=\dfrac{3\,\text e ^{-3x} }{(1+\text e ^{-3x})^2} }$

2. Pour tout réel x ,

${ \white { wl } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}3>0\phantom{ XXX XX }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \text e ^{-3x}>0 }\phantom{ XXX } \\ \overset{ { \white{ . } } } { (1+\text e ^{-3x})^2>0 }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{3\,\text e ^{-3x} }{(1+\text e ^{-3x})^2}>0 \\ \\ \phantom{ XXX WWWXX }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ f'(x)> 0 }$
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur R .

3. a) Déterminons la limite en + infini

de la fonction f .

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_ { x\to+\infty }(-3x)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\phantom{ xxx }\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-3x)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e} ^{-3x}=0 \\ \\ \phantom{WWWWWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\text{e} ^{-3x})=1+0=1 \\ \\ \phantom{WWWWWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}=\dfrac{1}{1}=1 \\ \\ \text{D'où }\;\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1 }$

3. b) Déterminons la limite en - infini

de la fonction f .

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_ { x\to-\infty }(-3x)=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\phantom{ xx }\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-3x)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e} ^{-3x}=+\infty \\ \\ \phantom{WWWWWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}(1+\text{e} ^{-3x})=+\infty \\ \\ \phantom{WWWWWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}=0 \\ \\ \text{D'où }\;\boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0 }$

4. Nous devons déterminer la valeur exacte de la solution alpha

de l'équation f (x ) = 0,99.

$f(x)=0,99\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}=0,99 \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad1=0,99(1+\text e ^{-3x})} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad1=0,99+0,99\,\text e ^{-3x}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad0,99\,\text e ^{-3x}=0,01}$

${ \white { WWWWWW } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad99\,\text e ^{-3x}=1} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad\text e ^{-3x}=\dfrac{ 1 }{ 99 }} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(\text e ^{-3x})=\ln\left(\dfrac{ 1 }{ 99 }\right)}$

${ \white { WWWWWW } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad-3x=-\ln(99) } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x)=0,99 }\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{ \ln(99) }{ 3 } }$
Par conséquent, la valeur exacte de la solution de l'équation f (x ) = 0,99 est $\boxed{ \alpha = \dfrac{ \ln(99) }{ 3 } }$

Partie C

Tangente et convexité

1. Déterminons par le calcul une équation de la tangente $\mathscr T$ à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscal C_f}$ au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente $\mathscr T$ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)}$ , soit de la forme $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.}$

$\text{ Or }\; f(x)=\dfrac{1}{1+\text e ^{-3x}}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\dfrac{1}{1+\text e ^0}=\dfrac{1}{1+1} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWvWWW}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\dfrac{1}{2}} \\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{ww} f'(x)=\dfrac{3\,\text e ^{-3x} }{(1+\text e ^{-3x})^2} \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=\dfrac{3\,\text e ^0 }{(1+\text e ^0)^2}=\dfrac{3\times1 }{(1+1)^2}} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=\dfrac{3}{4} }$
Par conséquent, une équation de la tangente $\mathscr T$ est $\boxed{ y=\dfrac 3 4 x+\dfrac 1 2 }$

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R .
On note f'' la fonction dérivée seconde de la fonction f .
On admet que f'' est définie sur R par : $\overset{ { \white{ . } } } {f''(x)=\dfrac {9\,\text e ^{-3x}\left(\text e ^{-3x}-1\right)} {\left(1+\text e ^{-3x}\right)^3}}$

2. Nous devons déterminer le signe de f'' sur R.

Nous savons que l'exponentielle est strictement positive pour tout x réel et donc que $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}9\,\text e ^{ -3x }>0\phantom{ xxxx }\\ \left(1+\text e ^{-3x}\right)^3>0\end{matrix}\right.}$

Dès lors, le signe de f'' sur R est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\text e ^{-3x}-1\right).}$

${ \white{ WWW } }\begin{matrix}\text e ^{-3x}-1\le0\Longleftrightarrow \text e ^{-3x}\le1\\ \phantom{ WWWWW }\Longleftrightarrow -3x\le0\\ \phantom{ WWWW}\Longleftrightarrow x\ge0\\ \\\text e ^{-3x}-1>0\Longleftrightarrow x<0\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ \text e ^{-3x}-1&& + && 0 & &- &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\ f''(x)&&+&&0&&-&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Donc f'' (x ) > 0 pour tout x dans ]- ; 0[
${ \white { WWi } }$ f'' (0) = 0
${ \white { WWi } }$ f'' (x ) < 0 pour tout x dans ]0 ; +[.

3. a) Puisque f'' (x ) > 0 pour tout x dans ]- infini

; 0[, la fonction f est convexe sur l'intervalle ]- ; 0[.

3. b) La dérivée seconde f'' s'annule en 0 en changeant de signe.
D'où le point A de $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscal C_f}$ d'abscisse 0 est un point d'inflexion.

4. Nous devons en déduire la position relative de la tangente $\mathscr T$ et de la courbe $\mathscal C_f$ .

La tangente $\mathscr T$ traverse la courbe $\mathscal C_f$ au point d'inflexion A .

$\longrightarrow{ \white{ x } }$ La fonction f est convexe sur l'intervalle ]- infini

; 0[
${ \white{ xxxx } }$ et par suite, la tangente $\mathscr T$ est en dessous de la courbe $\mathscal C_f$ sur l'intervalle ]- ; 0[.
$\longrightarrow{ \white{ x } }$ La fonction f est concave sur l'intervalle ]- infini

; 0[
${ \white{ xxxx } }$ et par suite, la tangente $\mathscr T$ est au-dessus de la courbe $\mathscal C_f$ sur l'intervalle ]- ; 0[.

5 points

exercice 2

Partie A

On considère la fonction f définie par : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x-\ln (1+x)\;.}$

1. Nous devons justifier que la fonction f est définie sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

$\overset{ { \white{ . } } } {\ln(1+x)}$ est défini si $1+x>0$ , soit si $x>-1.$
Dès lors, la fonction f est définie sur l'intervalle ]-1 ; +[.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]-1 ; + infini

[.
Déterminons l'expression de sa fonction dérivée f' .

Pour tout x dans ]-1 ; + infini

[,

$f\,'(x)=\left(\overset{}{x-\ln (1+x)}\right)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\,'(x) }=1-\dfrac{ (1+x)' } { 1+x } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\,'(x) }=1-\dfrac{ 1 } { 1+x } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\,'(x) }=\dfrac{ (1+x)-1 } { 1+x } }$
$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\,'(x) }=\dfrac{x }{ 1+x } } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \forall\,x\in\;]-1\;;\;+\infty[,\;f\,'(x)=\dfrac{x } { 1+x } }$

3. a) Nous devons en déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

$x\in\;]-1\;;\;+\infty[\quad\Longleftrightarrow\quad x>-1\quad\Longleftrightarrow\quad 1+x>0.$

Donc le signe de f' (x ) est le signe de x .

D'où le tableau de signes de f' (x ) sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

${ \white{ WWWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &-1&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ x&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\ f'(x)&&-&&0&&+&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-1 ; 0]
${ \white { WWWWWWWWWWWWWi } }$ strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +[.

3. b) Nous devons en déduire le signe de la fonction f sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

Par la question 3. a), nous obtenons :

${ \white{ WWW } }\begin{matrix}f(0)=0-\ln (1+0)\\=\ln(1)\phantom{Wi}\\=0\phantom{WWW}\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &-1&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&\\ f'(x)&&-&&0&&+&\\&&&& &&&\\ \hline&&&&&&&\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&0 &&&\\ \hline \end{array}$

La fonction f admet un minimum égal à 0 sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

Par conséquent, la fonction f est positive sur l'intervalle ]-1 ; +[.

4. a) Pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1 ; + infini

[, nous avons :

${ \white { WW } }$ $f(x)=x-\ln (1+x) \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x) }= \ln(\text{e}^x)-\ln (1+x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(x) }= \ln\left(\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }\right) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \forall\,x\in\,]-1\;;\;+\infty\,[, \;f(x)= \ln\left(\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }\right) }$

4. b) Nous devons en déduire la limite en + infini

de la fonction f .

Pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1 ; + infini

[,

$\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }=\dfrac{ \text{e}^x } { x\left(\dfrac{1}{x}+1\right) }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }=\dfrac{ \text{e}^x } { x }\times\dfrac{ 1} {\dfrac{1}{x}+1 } } \\ \\ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ \text{e}^x } { x }=+\infty\quad(\text{ croissances comparées} )\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ 1} {\dfrac{1}{x}+1 }=\dfrac{1}{0+1}=1\phantom{ WWWWWWW }\end{matrix}\right. \\ \\ \text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{ \text{e}^x } { x }\times\dfrac{ 1} {\dfrac{1}{x}+1 }\right) =+\infty \\ \\ \text{soit}\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }=+\infty }$

Dès lors, nous déduisons que :

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{ x\to+\infty }\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }=+\infty\\ \\ \lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\quad\underset{(X=\frac{ \text{e}^x } { 1+x }) } { \Longrightarrow }\quad\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{ \text{e}^x } { 1+x }\right)=+\infty \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{ x\to+\infty }f(x)=+\infty }$

Partie B

On considère la suite (u_n ) définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1} = u_n -\ln (1 + u_ n )\;.$
On admet que la suite (u_n ) est bien définie.

1. Nous devons donner la valeur arrondie au millième de $\overset{ { \white{ . } } } { u_ 1 }$ .

${ \white { WW } }$ $u_{1} = u_0 -\ln (1 + u_ 0 ) \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{1} }=10-\ln (1 + 10 ) } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{1} }=10-\ln (11 )\approx7,602 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ u_1\approx7,602 }$

2. Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a $\overset{ { \white{ . } } } {u_n \ge 0.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{ { \white{ . } } } {u_0 \ge 0.}$
C'est une évidence car $\overset{ { \white{ . } } }{ u_0=10\quad\Longrightarrow\quad u_0\ge0. }$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{ { \white{ . } } }{ u_n\ge0 }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } }{ u_{ n+1 }\ge0 \;. }$

En effet, par hypothèse, nous savons que $\overset{ { \white{ . } } }{ u_n\ge0. }$
Or nous avons montré dans la question 3. a) de la partie A que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + infini

[.
Nous obtenons ainsi :

$u_n\ge0\quad\Longrightarrow\quad f(u_n)\ge f(0) \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ u_n\ge0 }\quad\Longrightarrow\quad f(u_n)\ge 0 } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ u_n\ge0 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ u_{n+1}\ge 0 } }$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \forall n\in\N\text{ ; }u_n\ge0 } }\;.$

3. Démontrons que la suite $(u _ n )$ est décroissante.

Pour tout entier naturel n ,

$u_{ n+1 }-u_n=\left(\overset{}{u_n -\ln (1 + u_ n )}\right)-u_n \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ u_{ n+1 }-u_n }= -\ln (1 + u_ n ) } \\ \\ \text{Or }\;u_n\ge 0\quad\Longrightarrow\quad 1+u_n\ge 1 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_n\ge 0 }\quad\Longrightarrow\quad \ln(1+u_n)\ge \ln(1)} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_n\ge 0 }\quad\Longrightarrow\quad \ln(1+u_n)\ge 0}$
$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_n\ge 0 }\quad\Longrightarrow\quad -\ln(1+u_n) \;{ \red{ \le } } \;0} \\\\ \text{D'où }\;\boxed{ \forall\,x\in\N,\;u_{ n+1 }-u_n\le 0 }$

Par conséquent, la suite $(u _ n )$ est décroissante.

4. La suite $(u _ n )$ est décroissante et minorée par 0.

Selon le théorème de la convergence monotone, la suite $(u _ n )$ est convergente.

On note $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ la valeur de sa limite.

5. La fonction f est continue sur ]-1 ; + infini

[ car dérivable sur cet intervalle.
Nous savons également que pour tout entier naturel n , $\overset{ { \white{ . } } } { u_{ n+1 }=f(u_n) }$ et que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u _ n ) }$ est convergente.

Selon le théorème du point fixe, la limite $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{f(\ell)=\ell.}$

$f(\ell)=\ell\quad\Longleftrightarrow\quad \ell-\ln(1+\ell)=\ell \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(\ell)=\ell }\quad\Longleftrightarrow\quad -\ln(1+\ell)=0 } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(\ell)=\ell }\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(1+\ell)=0 } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(\ell)=\ell }\quad\Longleftrightarrow\quad 1+\ell=\text e ^0 }$
$\\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(\ell)=\ell }\quad\Longleftrightarrow\quad 1+\ell=1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ f(\ell)=\ell }\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=0 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0 }$

5 points

exercice 3

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\,\vec i\,,\vec j\,,\vec k).$
On considère les points A (3 ; 0 ; 1), B (2 ; 1 ; 2) et C (-2 ; -5 ; 1).

1. Démontrons que les points A , B et C ne sont pas alignés.

Nous avons : A (3 ; 0 ; 1), B (2 ; 1 ; 2) et C (-2 ; -5 ; 1).

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } }{ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ AB }\ \begin{pmatrix}2-3 \\ 1-0 \\ 2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\ \begin{pmatrix}-2-3\\-5-0\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}\end{matrix}\right. }$

Les vecteurs $\overrightarrow{ AB }$ et $\overrightarrow{ AC }$ ne sont manifestement pas colinéaires.
Donc les points A , B et C ne sont pas alignés.

2. Nous devons démontrer que le triangle ABC est rectangle en A .

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{ AB }\ \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\\ \\ \overrightarrow{ AC }\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\ \\ \overrightarrow{ AB }\cdot\overrightarrow{ AC }=(-1)\times(-5)+1\times(-5)+1\times0\\=5-5+0\phantom{ WWiWWW }\\=0\phantom{ WWWwWWWWW }\end{matrix} \\ \phantom{ WWWWWWW }\Longrightarrow\boxed{ \overrightarrow{ AB }\cdot \overrightarrow{ AC } = 0 }$

D'où les vecteurs $\overrightarrow{ AB }$ et $\overrightarrow{ AC }$ sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A .

3. Nous pouvons vérifier que le plan (ABC ) a pour équation cartésienne : $\overset{ { \white{ . } } } {-x + y - 2z + 5 = 0 }$ en montrant que les coordonnées des points A , B et C vérifient l'équation donnée.

$\bullet{ \white{ x }}-x_A + y_A - 2z_A + 5 = -3+0-2\times1+5\\ \phantom{ Www.WWWWWW.W }=-3-2+5\\ \phantom{ Www.WWWWWW.W }=0 \\ \\ \phantom{ xx } \Longrightarrow\quad \boxed{ -x_A + y_A - 2z_A + 5 =0 }$

$\bullet{ \white{ x }}-x_B + y_B - 2z_B + 5 =-2+1-2\times2+5\\ \phantom{ Www.WWWWWW.W }=-2+1-4+5\\ \phantom{ Www.WWWWWW.W }=0 \\ \\ \phantom{ xx } \Longrightarrow\quad \boxed{ -x_B + y_B - 2z_B + 5 =0 }$

$\bullet{ \white{ x }}-x_C + y_C - 2z_C + 5 =-(-2)-5-2\times1+5\\ \phantom{ Www.WWWiWW.W }=2-5-2+5\\ \phantom{ Www.WWWWiW.W }=0 \\ \\ \phantom{ xx } \Longrightarrow\quad \boxed{ -x_C + y_C - 2z_C + 5 =0 }$

Donc les coordonnées des trois points non alignés A , B et C vérifient l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {-x + y - 2z + 5 = 0. }$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC ) est : $\overset{ { \white{ . } } } {-x + y - 2z + 5 = 0. }$

4. On considère le point S (1 ; -2 ; 4).
Déterminer la représentation paramétrique de la droite ( deltamaj

), passant par S et orthogonale au plan (ABC ).

Une équation cartésienne du plan (ABC ) est : $\overset{ { \white{ . } } } {-x + y - 2z + 5 = 0. }$
Donc un vecteur normal au plan (ABC ) est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} }$ et par suite, la droite ( deltamaj

) est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } }{ \boxed{ \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}{ \red{ -1 } }\\ { \red{ 1 } }\\ { \red{ -2 } }\end{pmatrix} } }$ .
La droite ( deltamaj

) passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ S({ \blue{ 1 } }\,;\,{ \blue{ -2 } }\,;\,{ \blue{ 4 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite ( deltamaj

) est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{ 1 } }+{ \red{ (-1) } }\times t\\y={ \blue{ -2 } }+{ \red{ 1 } }\times t\\z={ \blue{ 4 } }+{ \red{ (-2) } }\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R })$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (\Delta):\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=-2+t\\z=4-2t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{ R }) } }$

5. On appelle H le point d'intersection de la droite ( deltamaj

) et du plan (ABC ).
Nous devons montrer que les coordonnées de H sont (0 ; -1 ; 2).

Par la définition du point H , nous déduisons que ce point H appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)\cap (ABC). }$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Le point H appartient à ( deltamaj

).
Donc les coordonnées de H sont de la forme $\overset{ { \white{ . } } }{ (1-t\,;\,-2+t\,;\,4-2t). }$

${ \white{ wl } }\bullet { \white{ w } }$ Le point H appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC):-x+y-2z+5=0 }$ .
Donc ses coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Nous obtenons ainsi :

$-(1-t)+(-2+t)-2(4-2t)+5=0\quad\Longleftrightarrow\quad -1+t-2+t-8+4t+5=0 \\ \phantom{ -(1-t)+(-2+t)-2(4+t)+5=00 }\quad\Longleftrightarrow\quad 6t-6=0 \\ \phantom{ -(1-t)+(-2+t)-2(4+t)+5=00 }\quad\Longleftrightarrow\quad 6t=6 \\ \phantom{ -(1-t)+(-2+t)-2(4+t)+5=00 }\quad\Longleftrightarrow\quad t=1$

Remplaçons t par 1 dans les coordonnées de H .

$(1-t\,;\,-2+t\,;\,4-2t)=\left(1-1\,;\,-2+1\,;\,4-2\times1\right) \\ \phantom{ WWWWWWWWW }=\left(0\,;\,-1\,;\,2\right)$
Par conséquent, le point H a pour coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {\left(0\,;\,-1\,;\,2\right)\,.}$

6. Calculons la valeur exacte de la distance SH .

$\overrightarrow{ SH }\ \begin{pmatrix}0-1\\ \overset{ { \white{ . } } }{ -1+2 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ 2-4 }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ 1 }\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ -2 }\end{pmatrix} \\ \\ \\ \Longrightarrow\quad SH=\sqrt{ \left(-1\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 1+1+4 } } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ WWWW }=\sqrt{ 6} }$

Par conséquent, la distance SH est égale à $\sqrt{ 6 }.$

7. On considère le cercle $\mathscr C$ , inclus dans le plan (ABC ), de centre H , passant par le point B .
${ \white { wl } }$ On appelle $\mathscr D$ le disque délimité par le cercle $\mathscr C.$
${ \white { wl } }$ Déterminons la valeur exacte de l'aire du disque $\mathscr D.$

Nous savons que l'aire d'un disque de rayon R est donnée par l'expression $\pi\times R^2.$
Le rayon du cercle $\mathscr C$ est égal à HB.

Dès lors, l'aire $\mathscr A_{\mathscr D}$ du disque $\mathscr D$ est donnée par : $\mathscr A_{\mathscr D}=\pi\times HB^2.$

Or $\overrightarrow{ HB }\ \begin{pmatrix}2-0 \\ 1-(-1) \\ 2-2 \end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{ HB }\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$

D'où $HB^2=\left|\left|\overrightarrow{ HB }\right|\right|^2=2^2+2^2+0^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ HB^2=8 } \,.$

Par conséquent, l'aire $\mathscr A_{\mathscr D}$ du disque $\mathscr D$ est : $\boxed{ \mathscr A_{ \mathscr D }=\pi\times 8=8\pi } \,.$

8. Nous devons en déduire la valeur exacte du volume $V_{\text{cône}}$ du cône de sommet S et de base le disque $\mathscr D$ .

${ \white { wl } }$ $V_{ \text{cône} } =\dfrac1 3 \times \mathscr A_{ \mathscr D }\times SH \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{ \text{cône} } }=\dfrac 1 3\times 8\pi\times\sqrt 6 }. \\ \\ \Longrightarrow\quad \boxed{ V_{\text{cône}}= \dfrac{ 8\sqrt 6 \pi } { 3 } }$

5 points

exercice 4

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques.
On estime que 4 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard n pièces produites par la chaîne de fabrication.
Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend n = 50.

1. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ? Réponse b.

Lors de cette expérience, on répète 50 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la pièce est défectueuse » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,04 }$
Echec : « la pièce n'est pas défectueuse » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { 1-p=0,96. }$
La variable aléatoire X compte le nombre de pièces défectueuses parmi les 50 tirages, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(50\,;\,0,04) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ p(X=k)=\begin{pmatrix}50\\k\end{pmatrix}\times0,04^k\times0,96^{ 50-k } }$
Nous devons calculer la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse, soit $\overset{ { \white{ . } } } { p(X\ge1). }$

$p(X\ge1)=1-p(X=0) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-\begin{pmatrix}50\\0\end{pmatrix}\times0,04^0\times0,96^{ 50-0 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-1\times1\times0,96^{ 50 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-0,96^{ 50 } }$
$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }\approx 0,870 } \\ \\ \Longrightarrow\quad \boxed{ p(X\ge1) \approx 0,870 }$

Par conséquent, la proposition ${ \red{ \boxed{ \text{ b } } } }$ est correcte.

2. La probabilité $p(3 < X \le 7)$ est égale à : $p(X\le7) - p(X\le3).$ Réponse b.

3. Quel est le plus petit entier naturel k tel que la probabilité de tirer au plus k pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 95 % ? Réponse c.

Par la calculatrice, nous obtenons :

${ \white { wwwl } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}p(X\le1)\approx0,400\\ \overset{ { \white{ . } } } {p(X\le2)\approx0,677}\\ \overset{ { \white{ . } } } {p(X\le3)\approx0,861} \\ \overset{ { \white{ . } } } {p(X\le4)\approx{ \red{ 0,951 } } } \end{matrix}\right.$
Donc le plus petit entier naturel k vérifiant la condition est $\boxed{ k=4 }\,.$

Par conséquent, la proposition ${ \red{ \boxed{ \text{ c } } } }$ est correcte.

4. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ? Réponse a.

On note Y la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Lors de cette expérience, on répète n fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la pièce est défectueuse » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,04 }$
Echec : « la pièce n'est pas défectueuse » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { 1-p=0,96. }$
La variable aléatoire Y compte le nombre de pièces défectueuses parmi les n tirages, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire Y suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(n\,;\,0,04) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ p(Y=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,04^k\times0,96^{ n-k } }$
Nous devons calculer la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses, soit $\overset{ { \white{ . } } } { p(Y=n). }$

$p(Y=n)=\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}\times0,04^n\times0,96^{ n-n } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X=n)}=1\times0,04^n\times0,96^{ 0 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X=n)}=1\times0,04^n\times1} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X=n)}=0,04^n} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ p(Y=n)=0,04^n }$

Par conséquent, la proposition ${ \red{ \boxed{ \text{ a } } } }$ est correcte.

5. On considère la fonction Python ci-dessous.

${\white{WWWWW}}\begin{array} { |l|l| } \hline { \blue { \text{d} } } { \blue { \text{e} } } { \blue { \text {f} } } \text{ seuil(x)} :\phantom{ Wwx } \\ \phantom{ Wii }\text{n = 1}\phantom{ Wwww } \\ \phantom{ x }\phantom{ w } { \blue { \text{ while } } }{1-0,96** }\text{ n }<\text{ x}:\phantom { Wi } \\ \phantom { x } \phantom { WWvi } \text{ n = }\text{ n + 1 }\phantom { W XWxi } \\ \phantom { x } \phantom { w } { \blue { \text { return } } } { \text { n } } \phantom { Wi } \\ \hline\end {array}$

La fonction Python s'arrête dès qu'elle arrive au premier entier naturel n vérifiant la relation $\overset{ { \white{ . } } } { 1-0,96^n\ge x. }$

En nous basant sur la réponse à la question 1., nous déduisons que :

$p(Y\ge1)=1-p(Y=0) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,04^0\times0,96^{ n-0 } } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-1\times1\times0,96^{ n } }$

$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p(X\ge1) }=1-0,96^{ n} } \\ \\ \Longrightarrow\quad \boxed{ p(Y\ge1)= 1-0,96^n }$

D'où la fonction Python renvoie le plus petit nombre n tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x .

Par conséquent, la proposition ${ \red{ \boxed{ \text{ a } } } }$ est correcte.

Publié par malou le 22-01-2024

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