2.
Calculer la valeur moyenne de sur l'intervalle [0; 1].
3.
Déterminer en fonction de la valeur moyenne de sur l'intervalle [ ; ]. .
4. Soit la suite définie par :
pour tout
entier naturel .
a) Calculer et .
b) Montrer que ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
c) Calculer la somme : .
4 points
exercice 2
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm, on donne les points et d'affixes respectives ; ; . On considère les polynômes et tels que :
et
1.
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe .
2.
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
3. a) Développer, réduire et ordonner .
b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation .
4. a) Placer les points et dans le repère.
b) Calculer puis donner la nature du triangle .
5. a) Calculer l'affixe du point , image de par la translation de vecteur .
b) Quelle est la nature exacte du quadrilatère ? Justifier.
12 points
probleme
Partie A
Soit la fonction définie sur par .
1. Étudier le sens de variation de .
2. Calculer puis en déduire que, pour , .
Partie B
Soit la fonction définie par :
On appelle la courbe représentative de dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm.
1. a) Montrer que l'ensemble de définition de est .
b) Calculer les limites de aux bornes de .
2. Étudier la continuité de en .
3. a) Montrer que :
En déduire la dérivabilité de en .
b) Donner une interprétation graphique des résultats de :
4. a) Montrer que la droite d'équation est une asymptote à en .
b) Montrer que la droite d'équation est une asymptote à en .
5. a) Étudier le sens de variation de sur .
b) Calculer sur puis montrer que : , .
En déduire le sens de variation de .
c) Dresser le tableau de variation de .
6. a) Montrer que l'équation admet une unique solution telle que .
b) En déduire le signe de suivant les valeurs de .
7. Tracer , , les demi-tangentes et dans le repère.
8. Montrer que .
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): 
.
de (  = 1 )
.
la valeur moyenne de 
]. 
. )
définie par :
\text e^{-2n})
pour tout
entier naturel 
.
et 
.
) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
.
)
d'unité graphique 1 cm, on donne les points 
et 
d'affixes respectives 
; 
; 
. On considère les polynômes 
et 
tels que : = z^3 + \left(5 - \dfrac{1}{2}i\right)z^2 + \left(9 - \dfrac{11}{2}i\right)z + 9 - 12i)
et
 = z^2 + (3 - 2i)z - 6i)
^2)
.
des nombres complexes l'équation  = 0)
.g(z))
. = 0)
.
puis donner la nature du triangle 
.
, image de 
par la translation de vecteur 
.
? Justifier.
la fonction définie sur 
par  = x^2 + 1 - \ln x )
. )
puis en déduire que, pour 
,  > 0 )
.![\begin{cases} f(x) = x - 1 - e^{x-1} & \text{si } x \in ]-\infty, 1[ \\ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + \ln x}{x} & \text{si } x \in [1, +\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases} f(x) = x - 1 - e^{x-1} & \text{si } x \in ]-\infty, 1[ \\ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + \ln x}{x} & \text{si } x \in [1, +\infty[ \end{cases} )
la courbe représentative de  )
d'unité graphique 2 cm.
de 
.
.![\forall x \in ]-\infty, 1[, \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = 1 - \dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \forall x \in ]-\infty, 1[, \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = 1 - \dfrac{e^{x-1}-1}{x-1} )
-f(1)}{x-1} = 1 + \dfrac{1}{x}\times\dfrac{ \ln x}{x-1} )
![\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \left[ \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \right] \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \left[ \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \displaystyle \lim_{x \to 1^-} \left[ \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \right] \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \left[ \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \right] )
 )
d'équation 
est une asymptote à 
. )
d'équation 
est une asymptote à 
.![]-\infty, 1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? ]-\infty, 1] )
. )
sur 
,  = \dfrac{g(x)}{x^2} )
. = 0 )
admet une unique solution 
telle que 
. )
suivant les valeurs de 
. )
.
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