Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Cameroun 2024 Mathématiques A et ABI

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5,5 points

exercice 1

I- Pour chacune des questions suivantes, quatre réponses vous sont proposées parmi lesquelles une seule est juste.

Recopier le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse juste.

1. Une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\dfrac{1}{2x-1}}$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {F}$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\left]\dfrac 12\;;\;+\infty\right[}$ par :

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ a. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=2\ln (2x-1)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\ln (2x-1)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ c. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\dfrac 12\ln (2x-1)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ d. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\ln (2x-1)^2}$

2. La valeur exacte du nombre $\overset{ { \white{ . } } } {\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)}$ est :

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ a. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ 2

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ 1

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ c. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {1+\ln (1+\text e)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ d. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {1+2\ln (1+\text e)}$

3. Ramatou est une fille âgée de 18 ans. Elle lance un dé cubique parfaitement équilibre et numéroté de 1 à 6. La probabilité pour que la face supérieure du dé porte un nombre qui divise son âge est :

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ a. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 12}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 13}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ c. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 23}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ d. $\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 56}$

II- 1. Déterminer le triplet $\overset{ { \white{ . } } } {(x\,,\,y\,,\,z)}$ de réels solution du système $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38 \\ x&+&y&+&z&=&23 \\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37 \end{matrix}\right.}$

2. Dans la ferme de M. LELE, les animaux de même type ont le même prix de vente. Il a reçu trois clients ce matin :

Le premier client a acheté 2 coqs, une pintade et 2 chèvres pour un montant de 38 000F.

Le second client a acheté 3 coqs, 3 chèvres et 3 pintades pour un montant de 69 000F.

Le troisième quant à lui, a achète 2 coqs, 2 pintades et une chèvre le tout à 37 000F.

Déterminer le prix de vente de chaque type d'animal.

5,5 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\,,\,I\,,\,J)}$ . Unités sur les axes : 1cm.

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x-1-2\ln x}$ . $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ sa courbe représentative dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } {(O\,,\,I\,,\,J)}$ .

1. a. Vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in ]0\;;\;+\infty[\,,\,f(x)=x\left(1-\dfrac 1x -2\dfrac{ \ln x}{x}\right)}$ et calculer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {+\infty\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty }$ puis en donner une interprétation graphique.

2. a. Montrer que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in ]0\;;\;+\infty[\,,\,f'(x)= \dfrac{x-2}{x}}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ .

3. Ecrire une équation cartésienne de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T )}$ à $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C )}$ au point d'abscisse 1.

4. a. Recopier et compléter le tableau ci-après :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{WWWWWW}}}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline x & 0,5&| & 1 &| & 2& | & 3& | & 4& | &8& \\ \hline f(x)& & | & & | & & | & & | & & | & & \\ \hline \end{array}}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Tracer $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C )}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T )}$ dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } {(O\,,\,I\,,\,J)}$ .

4 points

exercice 3

Dans un pays, une étude est menée durant huit ans sur les moyennes générales en mathématiques aux baccalauréats littéraires. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-après :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{WWWWWW}}}$ $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{array} {|c|ccccccccccccccc|} \hline \text{Numéros des années }x_i & 1&| & 2 &| & 3& | & 4& | & 5& | &6& |&7&|&8\\ \hline \text{Moyennes de mathématiques } y_i&6 & | &8 & | &8 & | & 6& | & 9& | & 10&|&10&|&11 \\ \hline \end{array}}$

1. Représenter le nuage de points de cette série statistique dans un repère orthogonal.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G}$ .

3. Montrer que la droite de Mayer de cette série statistique a pour équation : $\overset{ { \white{ . } } } {y=\dfrac 34 x+5,125}$

4. Donner une estimation de la moyenne en Mathématiques à la 11^ème année.

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation :

Monsieur NYPA achète un paquet de 120 bonbons qu'il partage à ses enfants pour leur bon travail. Mais deux d'entre eux ont mal aux dents, leurs parts sont équitablement partagées à ceux qui ont les dents saines et chacun a vu le nombre de ses bonbons augmenter de 5.

Pour leur sécurité, il souhaite que tous ses enfants empruntent le taxi de NOE qui a 7 places, pour se rendre à l'école. NOE déteste la surcharge dans sa voiture.

Monsieur NYPA remet 10 000F à ALI son employé de maison, pour l'achat des cadenas à 1 100 F l'un et des cordes de 2 mètres chacune et à 1 100 F l'une, pour un puits de 10 mètres de profondeur.

Ayant dépensé 500F pour son transport et acheté deux fois plus de cordes que de cadenas, il ne reste que 2 700 F à ALI des 10 000F qui lui avaient été remis.

Un agent de la CNPS voudrait aider ALI à s'affilier à la CNPS, à condition que son 1^er salaire soit de 36 000 F au minimum. Ce 1^er salaire, grâce a son dévouement au travail, a subi deux hausses successives de 5% et le salaire actuel est 41 895F.

Tâches :

1. Ces cordes pourront-elles permettre à ALI de puiser de l'eau de ce puits ?

2. Cet agent de la CNPS pourra-t-il aider ALI ?

3. NOE pourra-t-il transporter les enfants de Monsieur NYPA ?

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Bac Cameroun 2024 mathématiques A et ABI

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5,5 points

exercice 1

I - 1. Une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\dfrac{1}{2x-1}}$ est la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\left]\dfrac 12\;;\;+\infty\right[}$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{F(x)=\dfrac 12\ln (2x-1)}}.}$

En effet, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[.}$
$\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)=\left[\dfrac 12\ln(2x-1)\right]' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)}=\dfrac 12\Big[\ln(2x-1)\Big]'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)}=\dfrac 12\times\dfrac{(2x-1)'}{2x-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)}=\dfrac 12\times\dfrac{2}{2x-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)}=\dfrac{1}{2x-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\left]\dfrac 12\;;\;+\infty \right[,\quad F'(x)=f(x)}$

Donc la proposition correcte est la proposition c.

2. La valeur exacte du nombre $\overset{ { \white{ . } } } {\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)}$ est : 1.

$\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+{\red{\dfrac{1}{\text e ^{-1}}}}\right)=\ln \Big(\text e\,(1 +\text e)\Big)-\ln \left(1+{\red{\text e}}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)}=\ln \dfrac{\text e\,(1 +\text e)}{1+\text e}} \\ \phantom{\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)}=\ln\text e \\ \phantom{\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\ln (\text e +\text e^2)-\ln \left(1+\dfrac{1}{\text e ^{-1}}\right)=1}$

Donc la proposition correcte est la proposition b.

3. Ramatou est une fille âgée de 18 ans.
${ \white{ xx } }$ Elle lance un dé cubique parfaitement équilibré et numéroté de 1 à 6.
${ \white{ xx } }$ La probabilité pour que la face supérieure du dé porte un nombre qui divise son âge est : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{\dfrac 23}}.}$

Parmi les 6 nombres entiers allant de 1 à 6, les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3 et 6.
Il y a donc 4 diviseurs possibles.
Nous sommes dans le cas d'une équiprobabilité car le dé est parfaitement équilibré.

D'où la probabilité pour que la face supérieure du dé porte un nombre qui divise son âge est : $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 46 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 23. }$

Donc la proposition correcte est la proposition c.

II - 1. Nous devons déterminer le triplet $\overset{ { \white{ . } } } {(x\,,\,y\,,\,z)}$ de réels solution du système $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38 \\ x&+&y&+&z&=&23 \\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37 \end{matrix}\right.}$

$\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38 \\ x&+&y&+&z&=&23 \\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38\quad(E_1) \\2 x&+&2y&+&2z&=&46 \quad(E_2)\\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37\quad(E_3) \end{matrix}\right.$

$(E_2)-(E_1)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y=8} \\\\ (E_2)-(E_3)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{z=9} \\\\\left\lbrace\begin{matrix} &&&&y& =&8\\&&&&z&=&9 \\ x&+&y&+&z&=&23 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} &&&&y& =&8\\&&&&z&=&9 \\ x&+&8&+&9&=&23 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=6}$

Par conséquent, le triplet de réels solution du système est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(x\;;\;y\;;\;z)=(6\;;\;8\;;\;9)} }$

2. Le premier client a acheté 2 coqs, une pintade et 2 chèvres pour un montant de 38 000F.
${ \white{ xx } }$ Le deuxième client a acheté 3 coqs, 3 chèvres et 3 pintades pour un montant de 69 000F.
${ \white{ xx } }$ Le troisième quant à lui, a acheté 2 coqs, 2 pintades et une chèvre le tout à 37 000F.

Nous devons déterminer le prix de vente de chaque type d'animal.

Posons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le prix du coq,
${ \white{ WWW }$ $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ le prix de la pintade,
${ \white{ WWW }$ $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ le prix de la chèvre.

Les données du problème peuvent se traduire par le système : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38\,000 \\ 3x&+&3y&+&3z&=&69\,000 \\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37\,000 \end{matrix}\right.}$ ,
soit le système : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} 2x &+&y&+&2z & =&38\,000 \\ x&+&y&+&z&=&23\,000 \\ 2x&+ & 2y &+ &z & =& 37\,000 \end{matrix}\right.}$

En utilisant les résultats de la question 1., nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y\;;\;z)=(6\,000\;;\;8\,000\;;\;9\,000) }$

D'où, un coq coûte 6 000F, une pintade coûte 8 000F et une chèvre coûte 9 000F.

5,5 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\,,\,I\,,\,J).}$

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x-1-2\ln x} .$

1. a) Nous devons vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0\;;\;+\infty[\,,\,f(x)=x\left(1-\dfrac 1x -2\,\dfrac{ \ln x}{x}\right)}$
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]0\;;\;+\infty[,}$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x-1-2\ln x \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=x-\dfrac xx-2x\,\dfrac{\ln x}{x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=x\left(1-\dfrac 1x-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\, ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f(x)=x\left(1-\dfrac 1x-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)}$

Calculons la limite de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {+\infty\,.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 1x=0\phantom{WWWWWWWWWWWx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})} \end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac 1x-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\dfrac 1x-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

1. b) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0} f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}x=0\phantom{WWx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to0}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}x=0\phantom{WWWWx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to0}\Big(-2\ln x\Big)=+\infty}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0}\left(x-1-2\ln x\right)=+\infty \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty}$

Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x = 0 }$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$

2. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]0\;;\;+\infty[\,,\,f'(x)= \dfrac{x-2}{x}.}$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]0\;;\;+\infty[,}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x-1-2\ln x\Big)' \\\phantom{f'(x)}=1-0-2\times\dfrac 1x \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1-\dfrac 2x} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac {x-2}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac {x-2}{x}}$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ o. } } } {]0\;;\;+\infty[\,.}$

Le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { (x-2) }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { x>0. }$

$\begin{matrix}x-2<0\Longleftrightarrow x<2\\\overset{ { \white{.} } } {x-2=0\Longleftrightarrow x=2} \\\overset{ { \phantom{.} } } {x-2>0\Longleftrightarrow x>2}\\\\f(2)=2-1-2\ln 2\\\phantom{}=1-2\ln 2\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&2&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-2&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline &+\infty&&&&&&+\infty\\f&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&1-2\ln 2&&&\\\hline \end{array}$

3. Nous devons déterminer une équation cartésienne de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T )}$ à $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C )}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal T ) }$ tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C ) }$ au point d'abscisse 1 est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'(1)(x-1)+f(1)\,. }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=x-1-2\ln x\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(x)=\dfrac{x-2}{x}\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=1-1-2\ln1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(1)=\dfrac{1-2}{1}\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\phantom{W}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(1)=-1}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, l'équation réduite de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal T ) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ y=-x+1}\,. }$

4. a) Tableau complété des valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } {f(x) }$ sont arrondies au millième.

$\overset{ { \phantom{ . } } } {\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline x & 0,5&| & 1 &| & 2& | & 3& | & 4& | &8& \\ \hline f(x)& 0,886& | &0 & | &-0,386 & | &-0,197 & | &0,227 & | &2,841 & \\ \hline \end{array}}$

4. b) Traçons $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C )}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T )}$ dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } {(O\,,\,I\,,\,J)} .$

Bac Cameroun 2024 mathématiques A et ABI : image 1

4 points

exercice 3

Dans un pays, une étude est menée durant huit ans sur les moyennes générales en mathématiques aux baccalauréats littéraires. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-après :

$\overset{ { \white{ . } } } {\begin{array} {|c|ccccccccccccccc|} \hline \text{Numéros des années }x_i & 1&| & 2 &| & 3& | & 4& | & 5& | &6& |&7&|&8\\ \hline \text{Moyennes de mathématiques } y_i&6 & | &8 & | &8 & | & 6& | & 9& | & 10&|&10&|&11 \\ \hline \end{array}}$

1. Représentons le nuage de points de cette série statistique dans un repère orthogonal.

Bac Cameroun 2024 mathématiques A et ABI : image 3

2. Calculons les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G} .$

Nous devons calculer les moyennes $\overset{ { \white{ . } } } {\overline x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline y}$ respectivement des variables $\overset{ { \white{ _. } } } {X}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {Y}.$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}\phantom{W}\\\\\overline{y}=\dfrac{6+8+8+6+9+10+10+11}{8}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=4,5\\\\\overline{y}=8,5\end{matrix}\right.}$

Nous obtenons ainsi le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G(4,5\;;\;8,5)}\,. }$

3. Montrons que la droite de Mayer de cette série statistique a pour équation : $\overset{ { \white{ . } } } {y=\dfrac 34 x+5,125.}$

Partageons le nuage de points rangés dans l'ordre croissant de leurs abscisses en deux sous-groupes de même effectif.

Le premier groupe de points est (1;6), (2;8), (3;8) et (4;6).
Déterminons les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { G_1 }$ de ce sous-groupe.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4}{4}\phantom{}\\\\\overline{y}=\dfrac{6+8+8+6}{4}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=2,5\\\\\overline{y}=7\end{matrix}\right.}$

Nous obtenons ainsi le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G_1(2,5\;;\;7)}\,. }$

Le second groupe de points est (5;6), (6;10), (7;10) et (8;11).
Déterminons les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { G_2 }$ de ce sous-groupe.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{5+6+7+8}{4}\phantom{}\\\\\overline{y}=\dfrac{9+10+10+11}{4}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=6,5\\\\\overline{y}=10\end{matrix}\right.}$

Nous obtenons ainsi le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G_2(6,5\;;\;10)}\,. }$

La droite de Mayer passe par les deux points $\overset{ { \white{ . } } } {G_1(2,5\;;\;7) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {G_2(6,5\;;\;10) . }$
Son équation réduite est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b. }$

$a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}=\dfrac{10-7}{6,5-2,5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=\dfrac{3}{4}}$

L'équation de la droite est alors de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=\dfrac 34x+b. }$

Exprimons que le point $\overset{ { \white{ . } } } { G_1(2,5\;;\;7) }$ appartient à celle droite.

$7=\dfrac 34\times2,5+b\quad\Longrightarrow\quad 7=1,875+b \\\phantom{7=\dfrac 34\times2,5+b}\quad\Longrightarrow\quad b=7-1,875 \\\phantom{7=\dfrac 34\times2,5+b}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{b=5,125}$
Donc la droite de Mayer de cette série statistique a pour équation : ${\boxed{y=\dfrac 34 x+5,125}\,.}$

4. Nous devons donner une estimation de la moyenne en Mathématiques à la 11^ème année.

Dans l'équation de la droite, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 11 et calculons $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

$\overset{ { \white{ . } } } {y=\dfrac 34\times11+5,125\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y=13,375}}$

Selon ce modèle, nous pouvons estimer que la moyenne en Mathématiques est de 13,375 à la 11^ème année.

Bac Cameroun 2024 mathématiques A et ABI : image 2

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Monsieur NYPA remet 10 000F à ALI son employé de maison, pour l'achat des cadenas à 1200F l'un et des cordes de 2 mètres chacune et à 1100F l'une, pour un puits de 10 mètres de profondeur.
Ayant dépensé 500F pour son transport et acheté deux fois plus de cordes que de cadenas, il ne reste que 2700F à ALI des 10 000F qui lui avaient été remis.

1. Ces cordes pourront-elles permettre à ALI de puiser de l'eau de ce puits ?

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le nombre de cadenas
${ \white{ xxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ le nombre de cordes de 2 mètres.

ALI reçoit 10 000F pour couvrir les frais dus à ses achats.

Le montant des achats d'ALI élève à $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,200x+1\,100y. }$
Il a dépensé 500F pour le transport et il lui reste 2700F des 10 000F qui lui avaient été remis.

Dès lors, nous obtenons l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,200x+1\,100y+500+2\,700=10\,000\,, }$ soit l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,200x+1\,100y=6\,800\,, }$ ou encore l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 12x+11y=68. }$

De plus nous savons que ALI a acheté deux fois plus de cordes que de cadenas. Donc $\overset{ { \white{ . } } } { y=2x. }$

Résolvons le système : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}12x+11y=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}12x+11y=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}12x+11\times2x=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}12x+22x=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}12x+11y=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}34x=68\\y=2x\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}12x+11y=68\\y=2x\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.}$

Nous en déduisons que ALI a acheté 2 cadenas et 4 cordes de 2 mètres chacune.

Mises bout à bout, ces cordes ont une longueur totale de $\overset{ { \white{ . } } } { 4\times2 }$ mètres, c'est-à-dire $\overset{ { \white{ . } } } { 8 }$ mètres.
Or le puits a une profondeur de 10 mètres.
Par conséquent, ces cordes ne pourront pas permettre à ALI de puiser de l'eau de ce puits.

2. Un agent de la CNPS voudrait aider ALI à s'affilier à la CNPS, à condition que son 1er salaire soit de 36 000 F au minimum.
Ce 1er salaire, grâce à son dévouement au travail, a subi deux hausses successives de 5% et le salaire actuel est 41 895F.

Cet agent de la CNPS pourra-t-il aider ALI ?

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le montant du 1^er salaire.

Le salaire après la première hausse de 5% s'élève à $\overset{ { \white{ . } } } { (x+0,05\times x), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { 1,05x. }$
Le salaire après la seconde hausse de 5% s'élève à $\overset{ { \white{ . } } } { (1,05x+0,05\times1,05x), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { 1,1025x. }$
Or le salaire actuel est 41 895F.

Nous obtenons ainsi l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 1,1025x=41\,895. }$

${ \white{ xxi } }$ $1,1025x=41\,895\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{41\,895}{1,1025}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{x=38\,000}$
Donc le montant du 1^er salaire est de 38 000F.
Ce premier salaire dépasse les 36 000F exigés par l'agent de la CNPS.
Par conséquent, cet agent de la CNPS pourra aider ALI.

3. Monsieur NYPA achète un paquet de 120 bonbons qu'il partage à ses enfants pour leur bon travail. Mais deux d'entre eux ont mal aux dents, leurs parts sont équitablement partagées à ceux qui ont les dents saines et chacun a vu le nombre de ses bonbons augmenter de 5.
Pour leur sécurité, il souhaite que tous ses enfants empruntent le taxi de NOE qui a 7 places, pour se rendre à l'école. NOE déteste la surcharge dans sa voiture.

NOE pourra-t-il transporter les enfants de Monsieur NYPA ?

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le nombre d'enfants
${ \white{ xxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ le nombre de bonbons de chaque enfant.

Dès lors, nous avons l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { x\times y=120. }$

Suivant les données de l'énoncé, nous déduisons que seulement $\overset{ { \white{ . } } } { (x-2) }$ enfants recevront chacun $\overset{ { \white{ . } } } { (y+5) }$ bonbons sur l'ensemble des 120 bonbons.

Nous obtenons alors l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { (x-2)(y+5)=120. }$

Résolvons le système : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWWWW}\\ xy+5x-2y-10=120\end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWWWW}\\ 120+5x-2y-10=120\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{120}{x}\phantom{WWW}\\ 5x-2y-10=0\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{120}{x}\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {5x-\dfrac{240}{x}-10=0}\end{matrix}\right. }$

$\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{120}{x}\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {x-\dfrac{48}{x}-2=0}\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{120}{x}\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{x^2-48-2x}{x}=0}\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}xy=120\phantom{WWWW}\\ (x-2)(y+5)=120\end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{120}{x}\phantom{WWW}\quad(1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {x^2-48-2x=0\quad(2)}\end{matrix}\right. } \\\\ (2)\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-48=0$

$\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-48)=4+192=196>0 \\\\\underline{\text{Racines}}:\quad x_1=\dfrac{2-\sqrt{196}}{2}=\dfrac{2-14}{2}=-6 \\\\\phantom{WWWWW}x_2=\dfrac{2+\sqrt{196}}{2}=\dfrac{2+14}{2}=8$

La valeur -6 est à rejeter car $\overset{ { \white{ _. } } } {x>0. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{x=8}\,. }$
L'équation (1) devient alors : $\overset{ { \white{ . } } } { y=\dfrac{120}{8}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{y=15}\,. }$

Il y a donc 8 enfants à transporter alors que le taxi de NOE ne compte que 7 places disponibles.
Par conséquent, NOE ne pourra pas transporter les enfants de Monsieur NYPA.

Publié par malou le 01-09-2024

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