Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques C et E

Cameroun 2024

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

3 points

exercice 1

exercice 2

L'espace vectoriel $\overset{ { \white{ . } } } {E_3}$ est rapporté à une base $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\overrightarrow i\;,\;\overrightarrow j\;,\;\overrightarrow k\right)}$ , $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ l'endomorphisme de $\overset{ { \white{ . } } } {E_3}$ défini par $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow i \right)=\overrightarrow i+2\overrightarrow j-\overrightarrow k}$ , $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow j \right)=2\overrightarrow i+\overrightarrow j+\overrightarrow k}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow k \right)=3\overrightarrow j-3\overrightarrow k}$

1. Déterminer une base du noyau $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Ker}\varphi}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ , puis justifier que $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ n'est pas bijectif.

2. a. Montrer que l'image $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi}$ est un plan vectoriel de $\overset{ { \white{ . } } } {E_3.}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow k \right)=2\varphi \left(\overrightarrow i \right)-\varphi \left(\overrightarrow j \right)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ c. En déduire une base de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi .}$

4 points

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\sqrt x~\text e ^{1-x}}$ .

On définit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {F}$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[}$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\begin{aligned}\int_{1}^{x}{f(t)}\;\text dt\end{aligned}}$

1. Déterminer le sens de variation de $\overset{ { \white{ . } } } {F}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[}$

2. a. Montrer que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge 0\;,\;t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. En déduire que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1\;,\;F(x)\le \dfrac{1}{2\sqrt 2}\begin{aligned}\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt\end{aligned}}$

3. a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{aligned}\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt\end{aligned}=4-(x+3)\text e^{1-x}}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. En déduire que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1\;,\;F(x)\le \sqrt 2}$

4. La suite $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ est définie, pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } {n}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {u_n=\begin{aligned}\int_{n}^{n+1}{f(t)}\;\text dt\end{aligned}}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ 4.1 Etudier le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ 4.2 Montrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n\;,\; f(n+1)\le u_n\le f(n)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ 4.3 En déduire que la suite $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ est :
$\overset{ { \white{ . } } } {{\white {www} }}$ (i) décroissante ;
$\overset{ { \white{ . } } } {{\white {www} }}$ (i) convergente.

5 points

exercice 4

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation : Deux étangs d'un pisciculteur comprennent respectivement 250 maquereaux et 450 carpes. Les maquereaux ont un taux de multiplication de 20% par mois tandis que la vitesse d'accroissement de la population des carpes à l'instant ( $\overset{ { \white{ . } } } {t}$ en mois), constitue le cinquantième de la population des carpes à cet instant $\overset{ { \white{ . } } } {t}$ .

Un produit doit être administré à chacune des deux espèces de poissons pour accélérer leur maturité. Le produit ne peut être administré à une espèce que lorsque sa population a au moins doublé.

À la fin du 37^e mois, ce pisciculteur également propriétaire d'un restaurant, créé a proximité de celui-ci, un troisième étang dans lequel il remet des poissons déjà consommables et de même gabarit. Lorsqu'un client passe sa commande, on pèche son poisson et on le fait cuire : si le poisson péché n'est pas de l'espèce commandée, on le remet dans l'étang et on continue la prise. On ne peut pêcher qu'un seul poisson à la fois.

La consigne principale dans ce restaurant est de servir les clients dans l'ordre de passage de leurs commandes. Le gestionnaire fait remarquer au cuisinier que cet étang dispose de 45 carpes et de 55 maquereaux, lorsque deux clients arrivent et passent dans l'ordre, la commande d'un maquereau et d'une carpe.

1. Après combien de temps minimum doit-on administrer ce produit aux maquereaux ?

2. Après combien de temps minimum doit-on administrer ce produit aux carpes ?

3. Le restaurateur a-t-il au moins une chance sur deux, de servir les deux clients dans l'ordre des commandes passées?

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Bac Cameroun 2024 mathématiques C et E

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

3 points

exercice 1

Une urne contient six boules portant des numéros de 1 à 6 et indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne, note son numéro « a » et la remet dans l'urne. On fait un deuxième tirage dans la même urne et note le numéro « b » de la boule ainsi tirée.
Soit (E) l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {y''+2ay'+b=0.}$

1. Nous devons montrer que la probabilité pour qu'une équation caractéristique de (E) admette deux solutions réelles distinctes ou confondues est de $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{29}{36}.}$

Une équation caractéristique de (E) est ${x^2 + 2ax + b = 0. }$

Cette équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues si son discriminant $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$ est positif ou nul.

$\text {Or }\quad \Delta\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (2a)^2-4\times1\times b\ge 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad \Delta\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad 4a^2-4b\ge 0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad \Delta\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad 4a^2\ge 4b} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad \Delta\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a^2\ge b}}$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { S}$ l'événement : « l'équation caractéristique de (E) admet deux solutions réelles distinctes ou égales ».
Nous rappelons que $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont des nombres entiers vérifiant les relations $\overset{ { \white{ . } } } {1\le a\le 6 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {1\le b\le 6 .}$

Dès lors, l'univers des possibles $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega }$ peut se définir par :

$\Omega=\Big\lbrace(1\;;\;1),(1\;;\;2), (1\;;\;3),(1\;;\;4),(1\;;\;5),(1\;;\;6), \\\phantom{\Omega=\lbrace}(2\;;\;1),(2\;;\;2), (2\;;\;3),(2\;;\;4),(2\;;\;5),(2\;;\;6), \\\phantom{\Omega=\lbrace}\cdots \\\phantom{\Omega=\lbrace}(5\;;\;1),(5\;;\;2), (5\;;\;3),(5\;;\;4),(5\;;\;5),(5\;;\;6), \\\phantom{\Omega=\lbrace}(6\;;\;1),(6\;;\;2), (6\;;\;3),(6\;;\;4),(6\;;\;5),(6\;;\;6)\Big\rbrace$
Cet univers comprend $\overset{ { \white{ . } } } { 6\times6 }$ éléments, soit ${\boxed{ \text{cardinal }\Omega=36}\,. }$

Parmi ces 36 couples $\overset{ { \white{ . } } } { (a\;;\;b) }$ se trouvent les couples tels que ${ a^2<b. }$
L'ensemble de ces couples est $\overset{ { \white{ . } } } { \Big\lbrace (1\;;\;2),(1\;;\;3),(1\;;\;4),(1\;;\;5),(1\;;\;6),(2\;;\;5),(2\;;\;6)\Big\rbrace. }$
Cet ensemble comprend 7 éléments.

Nous en déduisons que : ${ \text{cardinal de }S=36-7 }$ , soit que ${ \boxed{\text{cardinal de }S=29}\,. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } {p(S)= \dfrac{\text{cardinal de }S}{\text{cardinal de }\Omega}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(S)=\dfrac{29}{36}}}$

Par conséquent, la probabilité qu'une équation caractéristique de (E) admette deux solutions réelles distinctes ou confondues est de $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{29}{36}.}$

2. Nous devons déterminer combien de fois au minimum on doit répéter cette expérience pour être sûr d'avoir au moins 98% de chances que l'équation caractéristique de (E) ait au moins une fois, deux solutions non réelles.

Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire donnant le nombre d'expériences réalisées.
On répète $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « l'équation caractéristique de (E) a deux solutions non réelles » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=1-\dfrac{29}{36}=\dfrac{7}{36}. }$
Echec : « l'équation caractéristique de (E) a deux solutions réelles distinctes ou confondues » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { 1-p=\dfrac{29}{36}. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ donne le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(n\,;\,\dfrac{7}{36}). }$
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{7}{36}\right)^k\times\left(\dfrac{29}{36}\right)^{ n-k } }$

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ pour que l'on ait $\overset{ { \white{ . } } } {P(X\ge1)\ge 0,98. }$

$P(X\ge1)\ge 0,98\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P(X=0)\ge0,98 \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad P(X=0)\le1-0,98} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad P(X=0)\le0,02} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{7}{36}\right)^0\times\left(\dfrac{29}{36}\right)^{ n-0 }\le0,02} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times1\times\left(\dfrac{29}{36}\right)^{ n }\le0,02}$
$\\ { \white{ xi } } \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{29}{36}\right)^{ n }\le0,02} \\ { \white{ xi } }\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln\Big[\left(\dfrac{29}{36}\right)^{ n }\Big ]\le\ln(0,02)} \\ { \white{ xi } }\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln\left(\dfrac{29}{36}\right)\le\ln(0,02)} \\ { \white{ xi } }\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge1)\ge 0,98}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln(0,02)}{\ln\left(\dfrac{29}{36}\right)}\quad(\text{changement du sens de l'inégalité car }\ln\left(\dfrac{29}{36}\right)<0)} \\\\\text{Or }\quad\dfrac{\ln(0,02)}{\ln\left(\dfrac{29}{36}\right)}\approx18,0925$

Nous en déduisons que la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=19. }$

Par conséquent, il faut répéter cette expérience au moins 19 fois pour être sûr d'avoir au moins 98% de chances que l'équation caractéristique de (E) ait au moins une fois, deux solutions non réelles.

3 points

exercice 2

L'espace vectoriel $\overset{ { \white{ . } } } {E_3}$ est rapporté à une base $\overset{ { \white{ . } } } {\Big(\overrightarrow i\;,\;\overrightarrow j\;,\;\overrightarrow k \Big)}$ , $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ l'endomorphisme de $\overset{ { \white{ . } } } {E_3}$ défini par $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow i \right)=\overrightarrow i+2\overrightarrow j-\overrightarrow k}$ , $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow j \right)=2\overrightarrow i+\overrightarrow j+\overrightarrow k}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi \left(\overrightarrow k \right)=3\overrightarrow j-3\overrightarrow k.}$

1. Nous devons déterminer une base du noyau $\overset{ { \white{ . } } } {(\text{Ker}\varphi)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ , puis justifier que $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ n'est pas bijectif.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \vec v(x\;;\;y\;;\;z)\in E_3. }$

En utilisant la définition du noyau d'une application linéaire et la linéarité, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\vec v\in\text{Ker}\varphi\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(\vec v)=\vec 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\vec v\in\text{Ker}\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(x\vec i+y\vec j+k\vec k)=\vec 0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\vec v\in\text{Ker}\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad x\, \varphi(\vec i)+y\, \varphi(\vec j)+k\, \varphi(\vec k)=\vec 0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\vec v\in\text{Ker}\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad x\,(\vec i+2\vec j-\vec k)+y\, (2\vec i+\vec j+\vec k)+k\, (3\vec j-3\vec k)=\vec 0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\vec v\in\text{Ker}\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad (x+2y)\vec i+(2x+y+3z)\vec j+(-x+y-3z)\vec k=\vec 0}$

Dès lors, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}x+2y=0\\2x+y+3z=0\\-x+y-3z=0 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-2y\\2x+y+3z=0\\-x+y-3z=0 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-2y\\-4y+y+3z=0\\2y+y-3z=0 \end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}x+2y=0\\2x+y+3z=0\\-x+y-3z=0 \end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-2y\\-3y+3z=0\\3y-3z=0 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-2y\\3z=3y \end{matrix}\right.} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}x+2y=0\\2x+y+3z=0\\-x+y-3z=0 \end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=-2y\\z=y\phantom{W} \end{matrix}\right.}}$

Il s'ensuit qu'un vecteur quelconque de $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Ker}\varphi }$ admet des coordonnées de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { (-2t\;;\;t\;;\;t) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { t\in\R. }$

Par conséquent, une base du noyau $\overset{ { \white{ . } } } {(\text{Ker}\varphi)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi}$ est $\boxed{\Big\lbrace-2\vec i+\vec j+\vec k\Big\rbrace}\,.$

De plus, nous remarquons que $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Ker}\varphi\neq\Big\lbrace\vec 0\Big\rbrace }$ .
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi }$ n'est pas injective.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\varphi }$ n'est pas bijective.

2. a) Montrons que l'image $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\text{Im}\varphi\right)}$ est un plan vectoriel de $\overset{ { \white{ . } } } {E_3.}$

Nous savons qu'une base du noyau $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Ker}\varphi}$ est $\Big\lbrace-2\vec i+\vec j+\vec k\Big\rbrace\,.$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Ker}\varphi}$ est la droite vectorielle dirigée par le vecteur $-2\vec i+\vec j+\vec k.$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\dim(\text{Ker}\varphi)=1}\,.}$

$\text{D'où }\quad\dim(\text{Im}\varphi)=\dim(E_3)-(\dim(\text{Ker}\varphi) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad\dim(\text{Im}\varphi)}=3-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad\dim(\text{Im}\varphi)}=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dim(\text{Im}\varphi)=2}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi}$ est un plan vectoriel de $\overset{ { \white{ . } } } {E_3.}$

2. b) Nous devons vérifier que ${\varphi (\vec k )=2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j ).}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, nous avons : ${\varphi (\vec k )=3\vec j-3\vec k}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j)=2\,(\vec i+2\vec j-\vec k)-(2\vec i+\vec j+\vec k) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j)}=2\vec i+4\vec j-2\vec k-2\vec i-\vec j-\vec k} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j)}=3\vec j-3\vec k}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'où $\left\lbrace\begin{matrix}\varphi (\vec k )={\red{3\vec j-3\vec k}} \phantom{WWW}\\2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j) \overset{ { \phantom{ . } } } {={\red{3\vec j-3\vec k}}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\varphi (\vec k )=2\varphi (\vec i )-\varphi (\vec j )}$

2. c) Nous devons en déduire une base de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi .}$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi }$ est un espace vectoriel de dimension 2.
Nous savons également que toute partie génératrice de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi }$ qui compte deux éléments est une base de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi .}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \Big\lbrace\varphi (\vec i )\,,\varphi (\vec j)\,,\varphi (\vec k )\Big\rbrace }$ est une partie génératrice de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi }$
Mais nous avons montré dans la question 2. a) que ${ \varphi (\vec k ) }$ est une combinaison linéaire de ${ \varphi (\vec i ) }$ et de ${ \varphi (\vec j ). }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { \Big\lbrace\varphi (\vec i )\,,\varphi (\vec j)\Big\rbrace }$ est une partie génératrice de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi }.$
Cette partie génératrice comprend deux éléments.
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \Big\lbrace\varphi (\vec i )\,,\varphi (\vec j)\Big\rbrace }$ est une base de $\overset{ { \white{ . } } } {\text{Im}\varphi .}$

4 points

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\sqrt x~\text e ^{1-x}} .$

On définit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[}$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}{f(t)}\;\text dt. }$

1. Nous devons déterminer le sens de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[.}$

Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[}$ , la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ est dérivable et $\overset{ { \white{ _. } } } {F\,'(x)=f(x).}$
Or pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[}$ ,

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\sqrt x>0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \text e ^{1-x}>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \sqrt x~\text e ^{1-x}>0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\sqrt x\ge0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \text e ^{1-x}>0}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad f(x)>0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\sqrt x\ge0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \text e ^{1-x}>0}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad F\,'(x)>0$

Il s'ensuit que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {F}$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {[1\;;\;+\infty[.}$

2. a) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge 0,\quad t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t.}$

Nous devons donc montrer que pour tout réel    $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge 0,\quad t-2\sqrt 2\,\times \sqrt t+2\ge 0.}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { t-2\sqrt 2\,\times \sqrt t+2=(\sqrt t-\sqrt 2)^2\ge0. }$
D'où pour tout réel    $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge 0,\quad t-2\sqrt 2\,\times \sqrt t+2\ge 0}$
Par conséquent, pour tout réel ${t\ge 0,\quad \boxed{t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t}\,.}$

2. b) Nous devons en déduire que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1,\quad F(x)\le \dfrac{1}{2\sqrt 2}\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt.}$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1}$ et pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { t\in\,[1\;;\;x], }$ nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2\sqrt 2} (t+2)\ge \sqrt t \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2\sqrt 2} (t+2)\,\text e^{1-t}\ge \sqrt t \,\text e^{1-t}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t}\quad\Longleftrightarrow\quad \displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{2\sqrt 2}(t+2)\,\text e^{1-t}\,\text{d}t\ge \int_1^x\sqrt t \,\text e^{1-t}\,\text{d}t} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t+2\ge 2\sqrt 2\,\times \sqrt t}\quad\Longleftrightarrow\quad \displaystyle\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int_{1}^{x}(t+2)\,\text e^{1-t}\,\text{d}t\ge F(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\ge1,\quad F(x)\le\displaystyle\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int_{1}^{x}(t+2)\,\text e^{1-t}\,\text{d}t}$

3. a) À l'aide d'une intégration par parties, montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=4-(x+3)\text e^{1-x}}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{x}u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_1^{x}- \displaystyle\int_1^{x}u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(t)=t+2\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=1\phantom{WW} \\\\v'(t)=\text e^{1-t}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=-\text e^{1-t}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=\left[\overset{}{-(t+2)\,\text e^{1-t}}\right]_1^{x}-\displaystyle\int_1^{x}1\times(-\text{e}^{1-t})\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-(t+2)\,\text e^{1-t}}\right]_1^{x}-\displaystyle\int_1^{x}-\text{e}^{1-t}\,\text{d}t} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-(t+2)\,\text e^{1-t}}\right]_1^{x}-\left[\overset{}{\text e^{1-t}}\right]_1^{x}}$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\Big(-(x+2)\,\text e^{1-x}-(-3)\Big)-\Big(\text e^{1-x}-1\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=-(x+2)\,\text e^{1-x}+3-\text e^{1-x}+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWW}=4-(x+3)\,\text e^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=4-(x+3)\,\text e^{1-x}}$

3. b) Nous devons en déduire que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1\;,\;F(x)\le \sqrt 2.}$

En utilisant les questions 2. b) et 3. a), nous obtenons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge1, }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=4-(x+3)\,\text e^{1-x}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt\le4 \\\phantom{\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=4-(x+3)\,\text e^{1-x}}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt\le\dfrac{4}{2\sqrt 2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\displaystyle\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt=4-(x+3)\,\text e^{1-x}}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int_{1}^{x}{(t+2)\text e^{1-t}}\;\text dt\le\sqrt 2}$

Or pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1\;,\quad F(x)\le\displaystyle\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int_{1}^{x}(t+2)\,\text e^{1-t}\,\text{d}t }$

Donc pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge 1\;,\;F(x)\le \sqrt 2.}$

4. La suite $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ est définie, pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } {n}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {u_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1}{f(t)}\;\text dt}$

4. 1. Étudions le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[} .$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[}$ (produit de deux fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[}$ ).

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]0\;;\;+\infty[}\,,$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(\sqrt x~\text e ^{1-x}\Big)' \\\phantom{f'(x)}=(\sqrt x)'\times\text e ^{1-x}+\sqrt x\times\Big(\text e ^{1-x}\Big)' \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt x}~\text e ^{1-x}+\sqrt x\times\Big(-\text e ^{1-x}\Big) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt x}\times\text e ^{1-x}-\sqrt x~\text e ^{1-x} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}-\sqrt x\right)~\text e ^{1-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1-2x}{2\sqrt x}~\text e ^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{1-2x}{2\sqrt x}~\text e ^{1-x}}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{1}{2\sqrt x}~\text e ^{1-x} >0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\,]0\;;\;+\infty[\,, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { (1-2x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}1-2x<0\Longleftrightarrow 2x>1\Longleftrightarrow x>\dfrac 12\\\overset{ { \white{.} } } {1-2x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac 12} \phantom{WWWWW}\\\overset{ { \phantom{.} } } {1-2x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac 12\phantom{WWWWW}}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac 12&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\1-2x&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&+&+&0&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { \Big[0\;;\;\dfrac{1}{2}\Big] }$ et est décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { \Big[\dfrac{1}{2}\;;\;+\infty\Big[. }$

4. 2. Montrons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n\,,\quad f(n+1)\le u_n\le f(n).}$

Par définition, la suite $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ est définie, pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } {n.}$
Pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } {n\,,}$ soit un réel $\overset{ { \white{ . } } } {t\in[n\;;\;n+1]\,.}$
Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { n\neq0, }$ les intervalles $\overset{ { \white{ . } } } { [n\;;\;n+1]}$ sont inclus dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { \Big[\dfrac{1}{2}\;;\;+\infty\Big[. } }$
Or nous savons que la fonction f est décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { \Big[\dfrac{1}{2}\;;\;+\infty\Big[. }$

Dès lors, nous obtenons :

$t\in[n\;;\;n+1]\quad\Longrightarrow\quad n\le t \le n+1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\le f(t) \le f(n)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_n^{n+1}f(n+1)\,\text{d}t\le \displaystyle\int_n^{n+1}f(t)\,\text{d}t \le \displaystyle\int_n^{n+1}f(n)\,\text{d}t} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\displaystyle\int_n^{n+1}1\,\text{d}t\le u_n \le f(n)\displaystyle\int_n^{n+1}1\,\text{d}t}$

$\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\times\Big[t\Big]_n^{n+1}\le u_n \le f(n)\times\Big[t\Big]_n^{n+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\times\Big[(n+1)-n\Big]\le u_n \le f(n)\times\Big[(n+1)-n\Big]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t\in[n\;;\;n+1]}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\times1\le u_n \le f(n)\times1} \\ \\\text{D'où }\quad \boxed{f(n+1)\le u_n \le f(n)}$

4. 3. (i) En utilisant le résultat de la question 4. 2., nous déduisons que pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n\,, }$

$\left\lbrace\begin{matrix}f(n+2)\le u_{n+1} \le{\red{ f(n+1)}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { {\red{f(n+1)}}~~\le~~ u_n~~ \le~ f(n)\phantom{W}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f(n+2)\le u_{n+1}\le f(n+1)\le u_n\le f(n) \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}f(n+2)\le u_{n+1}) \le{\red{ f(n+1)}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { {\red{f(n+1)}}~~\le~~ u_n~~ \le~ f(n)\phantom{W}}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}\le u_n}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est décroissante.

4. 3. (ii) Nous savons par la question précédente que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est décroissante.

De plus, pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n\neq0, }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(n+1)\le u_n\\f(n+1)\ge 0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le f(n+1)\le u_n} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}f(n+1)\le u_n\\f(n+1)\ge 0\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_n}$

La suite $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est donc minorée par 0.

D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est convergente.

5 points

exercice 4

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } {\left(O\;;\;\overrightarrow u\;;\;\overrightarrow v\right)}$ ;
$\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ l'ensemble des points de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {(x\;;\;y)}$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } {3x^2-y^2-6x-1=0.}$

1. Montrons que l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ peut encore s'écrire $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{(x-1)^2}{\alpha}-\dfrac{y^2}{\beta}=1}$ où $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta}$ sont deux réels strictement positifs.

L'équation de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ peut s'écrire sous les formes suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $3x^2-y^2-6x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-6x-y^2=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3x^2-y^2-6x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(x^2-2x)-y^2=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3x^2-y^2-6x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(x^2-2x\;{\red{+1}})-y^2=1\;{\red{+3}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3x^2-y^2-6x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(x-1)^2-y^2=4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3x^2-y^2-6x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 34(x-1)^2-\dfrac 14y^2=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3x^2-y^2-6x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac {(x-1)^2}{\frac 43}-\dfrac {y^2}{4}=1}$
Par conséquent, l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ peut encore s'écrire $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\dfrac{(x-1)^2}{\frac 43}-\dfrac{y^2}{4}=1}}$
Les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta}$ sont respectivement $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 43}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {4.}$

2. Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ est une hyperbole dont les coordonnées du centre sont $\overset{ { \white{ . } } } { (1\;;\;0). }$

Les coordonnées des sommets sont de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { (\sqrt{\alpha}+1\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (-\sqrt{\alpha}+1\;;\;0) }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}(\sqrt{\alpha}+1\;;\;0)=\left(\sqrt{\dfrac 43}+1\;;\;0\right)=\left(\dfrac {2}{\sqrt{3}}+1\;;\;0\right)=(\dfrac {2\sqrt 3}{3}+1\;;\;0)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { (-\sqrt{\alpha}+1\;;\;0)=\left(\dfrac {-2\sqrt 3}{3}+1\;;\;0\right)\phantom{WWWWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right. }$

D'où les coordonnées des sommets sont ${ \left(\dfrac {2\sqrt 3}{3}+1\;;\;0\right) }$ et ${ \left(-\dfrac {2\sqrt 3}{3}+1\;;\;0\right). }$

3. La demi distance focale est déterminée par $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt{\alpha + \beta}.} }$

Or ${\sqrt{\alpha + \beta}=\sqrt{\dfrac 43+4}=\sqrt{\dfrac {16}{3}}=\dfrac{4}{\sqrt 3}=\dfrac{4\sqrt 3}{3} }$
D'où la demi distance focale est égale à ${ \dfrac{4\sqrt 3}{3}\,. }$

L'excentricité de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\dfrac{4\sqrt 3}{3}}{\dfrac{2\sqrt 3}{3}}=2. }$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {S}$ l'application affine du plan dans lui-même, qui à un point d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {z}$ , associe le point d'affixe ${z'}$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } {z'=2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}z+1-\sqrt 3 -\text i} .$

4. 1 Nous devons donner la nature et les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ _. } } } {S} .$

$\overset{ { \white{ _. } } } {S}$ est une similitude plane directe de rapport 2 et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{6}~[2\pi] .}$

Déterminons l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {\omega }$ du centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { S .}$

Nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\omega=2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}\omega+1-\sqrt 3 -\text i\quad\Longleftrightarrow\quad \omega-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}\omega=1-\sqrt 3 -\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}\omega+1-\sqrt 3 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad (1-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}})\;\omega=1-\sqrt 3 -\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}\omega+1-\sqrt 3 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}}}$

$\text{Or }\quad2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\text i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\quad2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}=2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac 12\text i\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\quad2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}=\sqrt 3+\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}=\sqrt 3+\text i}$

$\text{D'où }\quad\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}\quad\Longleftrightarrow\quad\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-(\sqrt 3+\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\quad\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}}\quad\Longleftrightarrow\quad\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-\sqrt 3-\text i}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\quad\omega=\dfrac{1-\sqrt 3 -\text i}{1-2\text e ^{\text i\frac{\pi}{6}}}}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\omega=1}}$

Dès lors, le centre de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } {S}$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixe ${ \omega=1.}$

4. 2 $\overset{ { \white{ _. } } } {I}$ désigne le point de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {(1\;;\;0)} .$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {M}$ un point de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ , $\overset{ { \white{ _. } } } {N}$ le point du plan tel que $\overset{ { \white{ . } } } {IN=2IM\text{ et } \text{Mes}\left(\overrightarrow{IM}\;;\;\overrightarrow{IN}\right)=\dfrac{\pi}{6}}$

4. 2. a. Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } {N}$ est l'image de $\overset{ { \white{ _. } } } {M}$ par une transformation du plan.

La définition du point $\overset{ { \white{ _. } } } {N}$ nous permet de déduire que $\overset{ { \white{ . } } } {N}$ est l'image de $\overset{ { \white{ . } } } {M}$ par une similitude plane directe de rapport 2, d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{6}~[2\pi] }$ et de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I. }$
Par conséquent, cette transformation directe est la similitude $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

4. 2. b. Nous devons en déduire la nature de l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ')}$ , décrit par $\overset{ { \white{ _. } } } {N}$ lorsque le point $\overset{ { \white{ _. } } } {M}$ décrit l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ , puis préciser l'excentricité de $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ' )} .$

L'image d'une conique par une similitude directe est une conique de même nature et de même excentricité.

Dès lors, l'image $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ')}$ de l'hyperbole $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma )}$ par la similitude $\overset{ { \white{ . } } } { S }$ est une hyperbole dont l'excentricité est égale à 2.

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

1. Nous devons déterminer après combien de temps minimum on doit administrer ce produit aux maquereaux.

Le premier étang contient 250 maquereaux.
Les maquereaux ont un taux de multiplication de 20% par mois.

Une augmentation de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1,2.

Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { P_0 }$ la population initiale de maquereaux et $\overset{ { \white{ . } } } { P_t }$ la population de maquereaux à l'instant $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ est le temps exprimé en mois.
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } { P_0=250 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { t,\quad P_{t+1}=1,2\times P_t. }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (P_t) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=1,2 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { P_0=250. }$

D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { P_t=P_0\times q^t }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P_t=250\times(1,2)^t}\,. }$

Le produit ne peut être administré à une espèce que lorsque sa population a au moins doublé.
Déterminons le nombre minimum de mois après lesquels la population aura au moins doublé.

Nous devons donc déterminer le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'inégalité $\overset{ { \white{ . } } } { P_t\ge 2\,P_0. }$

$P_t\ge 2\,P_0\quad\Longleftrightarrow\quad 250\times (1,2)^t\ge2\times250 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad (1,2)^t\ge2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(1,2)^t\ge\ln2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad t\times \ln1,2\ge\ln2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad t\ge\dfrac{\ln2}{\ln1,2}}$
Or $\dfrac{\ln 2}{\ln1,2}\approx3,80.$

D'où le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'inégalité est 4.
Par conséquent, le produit peut être administré aux maquereaux après 4 mois.

2. Nous devons déterminer après combien de temps minimum on doit administrer ce produit aux carpes.

Le deuxième étang contient 450 carpes.
La vitesse d'accroissement de la population des carpes à l'instant $\overset{ { \white{ . } } } {t}$ (en mois), constitue le cinquantième de la population des carpes à cet instant $\overset{ { \white{ . } } } {t} .$
Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { P(t) }$ la population de carpes après $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ mois.
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } { P\,'(t)=\dfrac{1}{50}P(t). }$
Les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { P\,'(t)=\dfrac{1}{50}P(t) }$ sont les fonctions définies sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par ${ P(t)=k\,\text e^{\frac{1}{50}t} .}$
$\text{Or }\enskip P(0)=450\quad\Longrightarrow\quad k\,\text e^{\frac{1}{50}\times0}=450 \\\phantom{\text{Or }\enskip P(0)=450}\quad\Longrightarrow\quad k\times1=450 \\\phantom{\text{Or }\enskip P(0)=450}\quad\Longrightarrow\quad k=450$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(t)=450\,\text e^{\frac{1}{50}t}} }$

Le produit ne peut être administré à une espèce que lorsque sa population a au moins doublé.
Déterminons le nombre minimum de mois après lesquels la population aura au moins doublé.

Nous devons donc déterminer le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'inégalité $\overset{ { \white{ . } } } { P_t\ge 2\,P_0. }$

$P_t\ge 2\,P_0\quad\Longleftrightarrow\quad 450\,\text e^{\frac{1}{50}t}\ge2\times450 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{\frac{1}{50}t}\ge2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(\text e^{\frac{1}{50}t})\ge\ln2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{50}\,t\ge\ln2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_t\ge 2\,P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad t\ge50\ln2}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { 50\ln2\approx34,66. }$

D'où le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'inégalité est 35.
Par conséquent, le produit peut être administré aux carpes après 35 mois.

3. À la fin du 37^e mois, ce pisciculteur également propriétaire d'un restaurant, a créé à proximité de celui-ci, un troisième étang dans lequel il remet des poissons déjà consommables et de même gabarit.

Lorsqu'un client passe sa commande, on pèche son poisson et on le fait cuire : si le poisson péché n'est pas de l'espèce commandée, on le remet dans l'étang et on continue la prise.

En supposant que ce procédé peut être répété tant que le poisson péché n'est pas de l'espèce commandée, le restaurateur pourra donc toujours servir les deux clients dans l'ordre des commandes passées.

Par conséquent, le restaurateur a au moins une chance sur deux, de servir les deux clients dans l'ordre des commandes passées.

Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.

Publié par malou le 08-01-2025

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