Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat Mathématiques 2024 Côte d'Ivoire

Série A2-H

Durée : 2 heures

Coefficient : 2

Toute calculatrice scientifique est autorisée.

2 points

exercice 1

Écris le numéro de chaque proposition, suivi de VRAI si la proposition est vraie ou de FAUX si la proposition est fausse.

1. $a$ et $b$ sont des nombres réels.

$\white w$ Si $\lim\limits _ {x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ , alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la représentation graphique de $f$ en $+\infty.$

2. Si $A$ et $B$ sont deux événements contraires d'un univers $\Omega$ et $P$ une probabilité sur $\Omega$ , alors $P(B)=1-P(A).$

3. Si $(u_n)_{n\in \textbf N}$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , alors $u_n=u_0+q^n.$

4. $\lim\limits_{x\to +\infty}(-x^2)=-\infty.$

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des colonnes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie. Écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie.

Bac Cote d'Ivoire 2024 série A2-H : image 2

5 points

exercice 3

On considère le système d'équations $(S)$ d'inconnue le couple $(x\;;\;y)$ de $\textbf R\times \textbf R$ suivant :

$(S)\;\left\lbrace\begin{matrix} 3x &+ & y& =&5 \\ x& -& 2y & =& -3 \end{matrix}\right.$

1. Justifier que le couple $(1\;;\;2)$ est solution du système $(S)$ .

2. Déduis-en la solution dans $\textbf R\times \textbf R$ du système : $\left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right.$

6 points

exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\;;\;+\infty[$ par : $f(x)=5-x+\ln x.$

On note $(\mathcal C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;;\;I\,,\,J)$ d'unités graphiques : $OI=1$ cm et $OJ=1$ cm.

1. a. Justifie que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty.$

$\white w$ b. Donne une interprétation graphique du résultat précédent.

2. On suppose que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f(x)=x\left(\dfrac 5x -1+\dfrac{\ln x}{x}\right).$

$\white w$ Calcule Calcule $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

3. a. On suppose que $f$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[.$

$\white w$ Justifie que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\;;\;+\infty[\;,\;f'(x)=\dfrac{1-x}{x}$ .

$\white w$ b. Justifie que $f$ est croissante sur l'intervalle $]0\;;\;1[$ et décroissante sur $]1\;;\;+\infty[.$

$\white w$ c. Dresse le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur l?intervalle de $\overset{ { \white{ . } } } {]0\ ;;\ ;+\infty[}$

4. Justifie que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $]6,93\;;\;6,94[.$

5 points

exercice 5

Dans le programme d'activités du bureau de la promotion Terminale d'un établissement, est mentionnée : "motivation des candidats pour 100% de réussite au BAC, session 2024".

Pour cela, le bureau rencontre le proviseur pour connaître les pourcentages des admis au baccalauréat des six dernières années. Les pourcentages sont résumés dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline \text{Année} & 2018 &|& 2019 & | & 2020& | & 2021&|&2022&|&2023& \\ \hline \text{Rang de l'année X} &1 & |& 2 & | & 3 & | & 4 & | &5&|&6& \\ \hline \text{Pourcentage Y} & 78,8 &|& 79,7&| &81,1 &|& 82,9&|&83,6&|&92,7& \\\hline \end{array}$

Le président de la promotion soutient que le taux de réussite au BAC de la session 2024 sera d'au moins 90%.

A l'aide d'une production argumentée basée sur les connaissances mathématiques, donne ton avis sur l'affirmation du président.

Voir la correction

Bac Cote d'Ivoire 2024 série A2-H

2 points

exercice 1

1. $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont des nombres réels.
$\white xw$ Si $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits _ {x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0 , }$ alors la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b }$ est une asymptote à la représentation graphique de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$
Affirmation vraie.

C'est la définition formelle d'une droite asymptote à la courbe représentative d'une fonction.

2. Si $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{_. } } } { B }$ sont deux événements contraires d'un univers $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ une probabilité sur $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega , }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { P(B)=1-P(A). }$
Affirmation vraie.

En effet, nous savons que si $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{_. } } } { B }$ sont deux événements d'un univers $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega ,}$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{_. } } } { B }$ sont deux événements contraires de l'univers $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega . }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}A\cup B=\Omega\\A\cap B=\phi \end{matrix}\right. , }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}P(A\cup B)=1\\ P(A\cap B)=0 \end{matrix}\right. . }$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\quad\Longleftrightarrow\quad 1=P(A)+P(B)-0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \quad\Longleftrightarrow\quad 1=P(A)+P(B) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(B)=1-P(A) }}$
L'affirmation 2 est donc vraie.

3. Si $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \textbf N} }$ est une suite géométrique de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_0 }$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=u_0+q^n. }$
Affirmation fausse.

L'énoncé correct est le suivant :
$\white xw$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \textbf N} }$ est une suite géométrique de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_0 }$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=u_0\times q^n. }$

4. $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}(-x^2)=-\infty. }$
Affirmation vraie.

${ \white{ xxi } }$ $\text{En effet,}\quad\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\quad\Longrightarrow\quad -\left[\lim\limits_{x\to +\infty}x^2\right]=-\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{En effet,}\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}(-x^2)=-\infty}}$

2 points

exercice 2

Enoncé n°1

$\begin{array} {|c|ccc|cc|cc|cc|cc|} \hline\text N^°&&\text{ Enoncés} & & \text A & & \text B & & \text C & & \text D & \\ \hline 1. && \text{La dérivée sur R} \setminus \lbrace4\rbrace\text{ de la } &&&&&&&&&\\&&\text{fonction } x\mapsto \dfrac{1}{x-4}\text{ est }\cdots& &x\mapsto \dfrac{1}{(x-4)^2} & & x\mapsto \dfrac{1}{x-4} & & x\mapsto \dfrac{-1}{x-4} & & x\mapsto \dfrac{-1}{(x-4)^2} & \\ \hline \end{array}$

L'affirmation vraie correspond à la colonne D.

En effet, si $\overset{ { \white{ . } } } { u(x)=x-4 }$ , alors nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\left(\dfrac{1}{x-4}\right)'=\left(\dfrac{1}{u(x)}\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\dfrac{1}{x-4}\right)'} =\dfrac{-u'(x)}{(u(x))^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\dfrac{1}{x-4}\right)'} =\dfrac{-(x-4)'}{(x-4)^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\dfrac{1}{x-4}\right)'} =\dfrac{-1}{(x-4)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R\setminus\lbrace4\rbrace,\quad \left(\dfrac{1}{x-4}\right)'=\dfrac{-1}{(x-4)^2}}$

Enoncé n°2

$\begin{array} {|c|ccc|cc|cc|cc|cc|} \hline\text N^°&&\text{ Enoncés} & & \text A & & \text B & & \text C & & \text D & \\ \hline 2. && \text{La suite arithmétique }(v_n)_{n\in \text N}&&&&&&&&&\\&&\text{de raison } 2 \text{ et de premier terme }5&&\phantom{x}2n+5& & \phantom{x}5\times 2^n& & \phantom{x}2n-5& & \phantom{x}5n+2 &\\&&\text{a pour formule explicite }\cdots& && && & & & & \\ \hline \end{array}$

L'affirmation vraie correspond à la colonne A.

Rappel : Si $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } {v_0, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_n=v_0+n\times r} }$

Dans l'énoncé, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}v_0=5\\r=2\end{matrix}\right. }$ .
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=5+n\times 2, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_n=2n+5} \,.}$

Enoncé n°3

$\begin{array} {|c|ccc|cc|cc|cc|cc|} \hline\text N^°&&\text{ Enoncés} & & \text A & & \phantom{xx}\text B & & \text C & & \text D & \\ \hline 3.& & \text{La fonction }x\mapsto \text e ^x\text{ a pour}&&&&&&&&&\\&&\text{ensemble de définition} \cdots & &\phantom{xx}]0\,;+\infty[& & \phantom{xx}\R& & \phantom{xx}]-\infty\,;0]& & \phantom{xx}[1\,;+\infty[ & \\ \hline \end{array}$

L'affirmation vraie correspond à la colonne B.

Enoncé n°4

$\begin{array} {|c|ccc|cc|cc|cc|cc|} \hline\text N^°&&\text{ Enoncés} & & \text A & & \phantom{xx}\text B & & \text C & & \phantom{x}\text D & \\ \hline 4.& & \text{Soient }A \text{ et } B \text{ deux événements d'un}&&&&&&&&&\\&&\text{univers }\Omega \text{ et }P\text{ une probabilité sur }\Omega .&&&&&&&&&\\&&\text{Si } P(A)=0,35\;;\;P(B)=0,4\text{ et }P(A\cup B)=0,5& &\phantom{x}0,35& &\phantom{x}0,4& &\phantom{xx}0,25& &\phantom{xx} 0,6& \\&&\text{alors }P(A\cap B)\text{ est égale à }\cdots &&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

L'affirmation vraie correspond à la colonne C.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\quad\Longleftrightarrow\quad0,5=0,35+0,4-P(A\cap B) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\cap B)=0,35+0,4-0,5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(A\cap B)=0,25}}$

5 points

exercice 3

On considère le système d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ d'inconnue le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y) }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R\times \R }$ suivant :

$\overset{ { \white{ . } } } { (S)\;\left\lbrace\begin{matrix} 3x &+ & y& =&5 \\ x& -& 2y & =& -3 \end{matrix}\right. }$

1. Le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (1\;;\;2) }$ est solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$

En effet, si nous remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 1 et $\overset{ { \white{. } } } { y }$ par 2 dans le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S), }$ nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}3\times1+2=3+2=5\\1-2\times2=1-4=-3\end{matrix}\right.$ Le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est bien vérifié par le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (1\;;\;2). }$

2. Nous devons en déduire la solution dans $\overset{ { \white{ _. } } } {\R\times \R }$ du système : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. }$

Posons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}X=\text e^x\\Y=\text e^y\end{matrix}\right. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} 3X &+ &Y& =&5 \\ X& -& 2Y & =& -3 \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} X & =&1 \\ Y & =& 2 \end{matrix}\right. \quad (\text{voir question 1.}) \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} \text e^x & =&1 \\ \text e^y & =& 2 \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x & =&0 \\ y & =& \ln 2 \end{matrix}\right. }$

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} 3\text e^x &+ &\text e^y& =&5 \\ \text e^x& -& 2\text e ^y & =& -3 \end{matrix}\right. }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\Big\lbrace (0\;;\;\ln 2)\Big\rbrace}\,. }$

6 points

exercice 4

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=5-x+\ln x. }$

1. a) Nous devons justifier que : $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}(5-x)=5\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to 0}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0}(5-x+\ln x)=-\infty\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty}$

1. b) Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet une asymptote verticale d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=0, }$ soit la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (OJ). }$

2. On suppose que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ strictement positif, $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\left(\dfrac 5x -1+\dfrac{\ln x}{x}\right). }$
Nous devons calculer $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 5x=0{\white{WWWWWWWWWWW}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac 5x-1+\dfrac {\ln x}{x}\right)=-1 \\ {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWxWW}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\dfrac 5x-1+\dfrac {\ln x}{x}\right)=-\infty \\\\ {\white{WWWWWWWWWWWWWWWxWW}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

3. a) On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$
Nous devons justifier que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\;,\;f'(x)=\dfrac{1-x}{x} . }$

Pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle    $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(5-x+\ln x)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =-1+\dfrac 1x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =\dfrac {-x}{x}+\dfrac {1}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =\dfrac {-x+1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\quad f'(x)=\dfrac {1-x}{x}}$

3. b) Étudions la croissance de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

$\begin{matrix}1-x<0\Longleftrightarrow -x<-1\\\overset{ { \white{.} } } {\phantom{1-x<0}\Longleftrightarrow x>1}\\\\1-x=0\Longleftrightarrow x=1\\\\1-x>0\Longleftrightarrow x<1\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\1-x&||&+&+&0&-&-&\\x&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&\\f'(x)=\frac{1-x}{x} &||&+&+&0&-&-& \\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&\\f &||&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow& \\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;1[ }$ et décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[.}$

3. c) Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

$\text{N.B.: }\quad f(1)=5-1+\ln 1=5-1+0=4\\\\\\ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\f'(x)&||&+&+&0&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&4&&&\\f&||&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&\phantom{XX}||-\infty&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

4. Nous devons justifier que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]6,93\;;\;6,94[. }$

La fonction    $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]6,93\;;\;6,94[ }$ car elle est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]6,93\;;\;6,94[.}$

La fonction    $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]6,93\;;\;6,94[. }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(6,93)\approx0,0059>0\phantom{x}\\f(6,94)\approx-0,0027<0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad 0\in[f(6,94)\;;f(6,93)] }$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution, notée $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha , }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]6,93\;;\;6,94[ . }$

5 points

exercice 5

Les pourcentages des admis au baccalauréat des six dernières années sont résumés dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline \text{Année} & 2018 &|& 2019 & | & 2020& | & 2021&|&2022&|&2023& \\ \hline \text{Rang de l'année X} &1 & |& 2 & | & 3 & | & 4 & | &5&|&6& \\ \hline \text{Pourcentage Y} & 78,8 &|& 79,7&| &81,1 &|& 82,9&|&83,6&|&92,7& \\\hline \end{array}$

Le président de la promotion soutient que le taux de réussite au BAC de la session 2024 sera d'au moins 90%.

Déterminons si le président a tort ou a raison.

Déterminons d'abord s'il y a une bonne corrélation entre les deux variables x et y .

Les moyennes de x et de y sont données par :

$\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\phantom{WWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\overline{y}=\dfrac{78,8+79,7+81,1+82,9+83,6+92,7}{6}\phantom{ww}}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=3,5\phantom{WWWW}\\\overline{y}=\dfrac{498,8}{6}\approx83,13\end{matrix}\right.$

Tableau statistique complété.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&\\ x_i&\phantom{i} 1\phantom{i} & \phantom{v}2\phantom{v} & 3 & 4 & 5 & 6 \\&&&&&&\\ \hline& & & & & & & x_i-\overline{x} & -2,5 &-1,5& -0,5 &0,5 & 1,5& 2,5 \\&&&&&&\\ \hline& & & & & & & y_i & 78,8 & 79,7& 81,1 &82,9 &83,6& 92,7 \\&&&&&&\\ \hline& & & & & &&y_i-\overline{y} & -\dfrac{13}{3} & -\dfrac{103}{30}& -\dfrac{61}{30} &-\dfrac{7}{30} & \dfrac{7}{15}& \dfrac{287}{30} \\&&&&&& \\\hline \end{array}$

$\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{6}\,\sum\limits_{i=1}^6(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{6}\,\left[-2,5\times\left(-\dfrac{13}{3}\right)-1,5\times\left(-\dfrac{103}{30}\right)+\cdots+2,5\times\dfrac{287}{30}\right] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{41,5}{6}=\dfrac{83}{12}$

$\\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{6}\,\sum\limits_{i=1}^6(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=\dfrac{1}{6}\,[(-2,5)^2+(-1,5)^2+\cdots+2,5^2] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=\dfrac{17,5}{6}=\dfrac{35}{12} \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{6}\,\sum\limits_{i=1}^6(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{6}\,\left[\left(-\dfrac{13}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{103}{30}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{287}{30}\right)^2\right] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{9487}{450}$

D'où le coefficient de corrélation est $\overset{{\white{[TO.}}}{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{\frac{83}{12}}{\sqrt{\frac{35}{12}\times \frac{9487}{450}}}\approx0,882.}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { 0,87 < r < 1, }$ les deux variables x et y présentent une bonne corrélation.

Déterminons ensuite par la méthode des moindres carrés une équation de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ de régression
de $\overset{ { \white{ . } } } { y }$    en $\overset{ { \white{ . } } } {x. }$
Une équation de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b}$ où $\overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}$ et $\overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}=\dfrac{\frac{83}{12}}{\frac{35}{12}}=\dfrac{83}{35}\approx2,37\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{x}=\dfrac{498,8}{6}-\dfrac{83}{35}\times3,5=\dfrac{449}{6}\approx74,83\end{matrix}\right.$

Par conséquent, une équation de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ de régression de $\overset{ { \white{ . } } } { y }$    en $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=\dfrac{83}{35}x+\dfrac{449}{6}} }$

Selon ce modèle, donnons une estimation du taux de réussite au BAC de la session 2024.

Le rang de l'année 2024 est 7.
Dans l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ , remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$    par 7 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$
$\overset{ { \white{ . } } } { y=\dfrac{83}{35}\times7+\dfrac{449}{6}=\dfrac{2743}{30}\approx91,43 }$

Nous en déduisons qu'une estimation du taux de réussite au BAC de la session 2024 est de 91,43 % , soit un taux supérieur à 90%.

Par conséquent, l'affirmation du président est correcte.

Merci à Hiphigenie et malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.

Publié par malou le 08-01-2025

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