Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité maths 2024 Centres étrangers

Jour 2

5 points

exercice 1

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exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac général spécialité maths 2024 Centres étrangers Jour 2

5 points

exercice 1

Nous savons que :
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 1,27 % des véhicules d'occasion (qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Partie A

1. Dressons un arbre pondéré modélisant la situation.

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2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {P(N\cap R). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(N\cap R)=P(N)\times P_N(R) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(N\cap R)}=0,2286\times0,0808} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(N\cap R)}=0,01847088} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(N\cap R)\approx0,0185}$

Par conséquent, la probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à 0,0185.

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(R) }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{N}$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(R)=P(N\cap R)+P(\overline{N}\cap R) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(R)}=0,01847088+P(\overline N)\times P_{\overline N}(R)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(R)}=0,01847088+0,7714\times0,0127} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(R)}=0,02826766} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(R)=0,0283}$

Par conséquent, la probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à 0,0283.

4. Déterminons la probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_R(N).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_R(N)=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)}\approx\dfrac{0,0185}{0,0283}\approx0,6537 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_R(N)\approx0,6537}$

D'où la probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable est environ égale à 0,6537.

Partie B

On choisit 500 véhicules et on admet que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.
Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. On admet que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale.

La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(500\,;\,0,65) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ p(X=k)=\begin{pmatrix}500\\k\end{pmatrix}\times0,65^k\times(1-0,65)^{ 500-k } }$

2. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {p(X=325). }$

${ \white{ xxi } }$ $p(X=325)=\begin{pmatrix}500\\325\end{pmatrix}\times0,65^{325}\times(1-0,65)^{ 500-325 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p(X=325)}=\begin{pmatrix}500\\325\end{pmatrix}\times0,65^{325}\times0,35^{ 175 } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p(X=325)}\approx0,03738424...} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=325)\approx0,0374}$

Par conséquent, la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs est environ égale à 0,0374.

3. Déterminons la probabilité $\overset{ { \white{ _. } } } { p(X\ge325). }$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{p(X\ge325)\approx0,5206}\,. }$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins 325 véhicules parmi les 500 soient neufs est environ égale à 52 %.

Partie C

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ véhicules choisis.
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(n\,;\,0,65) }$ .

1. Nous devons donner l'expression en fonction de $\overset{ { \white{. } } } { n }$ de la probabilité $\overset{ { \white{ o. } } } { p_n }$ que tous les véhicules soient d'occasion.

${ \white{ xxi } }$ $p_n=p(Y=0) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p_n}=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,65^0\times(1-0,65)^{ n-0 } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p_n}=1\times1\times0,35^{ n } } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_n=0,35^n}$

2. On note $\overset{ { \white{ . } } } { q_n }$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf.
Nous devons déterminer la plus petite valeur entière de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { q_n\ge 0,9999. }$

$q_n\ge0,9999\quad\Longleftrightarrow\quad1-p_n\ge0,9999 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{q_n\ge0,9999}\quad\Longleftrightarrow\quad1-0,35^n\ge0,9999} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{q_n\ge0,9999}\quad\Longleftrightarrow\quad0,35^n\le0,0001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{q_n\ge0,9999}\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(0,35^n)\le\ln(0,0001)}$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{q_n\ge0,9999}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(0,35)\le\ln(0,0001)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{q_n\ge0,9999}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,35)<0)} \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx8,77$

Le plus petit nombre entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est 9.

Par conséquent, il faut choisir au moins 9 véhicules pour que la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf soit supérieure ou égale à 0,9999.

5 points

exercice 2

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que $\overset{ { \white{ . } } } { AB=3 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { AD=AE=1. }$
On considère le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I}$ du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AB] }$ tel que ${\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI} }$ et on appelle $\overset{ { \white{ _. } } } {M }$ le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [CD]. }$
On se place dans le repère orthonormé ${(A;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). }$

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1. Coordonnées :    $\overset{ { \white{ . } } } { F(3\;;\;0\;;\;1)\quad;\quad H(0\;;\;1\;;\;1)\quad;\quad M(\dfrac32\;;\;1\;;\;0).}$

2. a) Montrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\ 6\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les vecteurs $\overrightarrow {HM}$ et $\overrightarrow {HF}$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}H(0\;;\;1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { M(\dfrac32\;;\;1\;;\;0)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {HM}\begin{pmatrix}\dfrac32-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1-1} \\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {HM}\begin{pmatrix}\dfrac32\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-1\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}H(0\;;\;1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { F(3\;;\;0\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {HF}\begin{pmatrix}3-0\\ { 0-1}\\1-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {HF}\begin{pmatrix}3\\ { -1}\\0\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {HM}$ et $\overrightarrow {HF}$ ne sont pas colinéaires.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}\frac32\\0\\-1\end{pmatrix}. }$

Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{HM}=2\times\dfrac32+6\times0+3\times(-1)=3-3\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{HM}=0.$

D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{HM}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{HF}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}. }$

Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{HF}=2\times3+6\times(-1)+3\times0=6-6\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{HF}=0.$

D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{HF}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous venons de montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{HM} }$ et ${ \overrightarrow{HF.} }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF). }$

2. b) Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF)}$
Nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF). }$
Dès lors, une équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF)}$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+6y+3z+d=0. }$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } {H\,(0;\,1;\,1) } }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF).}$
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } {2\times0+6\times1+3\times1+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad d=-9. }$

Par conséquent, une équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF)}$ est :   $\boxed{2x+6y+3z-9=0}$

2. c) Le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:5x+15y-3z+7=0 }$   est-il parallèle au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF) }$ ?

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}}$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec u\begin{pmatrix}\phantom{x}5\\15\\-3\end{pmatrix} .}$
Nous avons montré qu'un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF)}$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} .}$
Manifestement, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }$ n'est pas parallèle au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF). }$

3. Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (DG).}$

On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { D(0;1;0)} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { G(3;1;1).} }$
Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (DG) }$   est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{DG}\,\begin{pmatrix}3-0\\ 1-1\\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{DG}\,\begin{pmatrix}{\red{3}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { D\,({\blue{0}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{0}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (DG). }$
D'où, une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (DG)}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{0}}+{\red{3}}\times t\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{1}}+{\red{0}}\times t}\\z={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\end{matrix}\right.\quad(t\in\R) }$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } } { \boxed{(DG):\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{}}\\z=t\end{matrix}\right.\quad \quad (t\in\R)} }$

4. Déterminons les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ , point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (DG) }$ avec le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF). }$

Résolvons le système : $\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{WWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{WWWWWWi}}\\z=t\phantom{WWWWWWi}\\2x+6y+3z-9=0\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{WWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{WWWWWWi}}\\z=t\phantom{WWWWWWi}\\2x+6y+3z-9=0\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{WWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{WWWWWWWWi}}\\z=t\phantom{WWWWWWWWi}\\2\times3t+6\times1+3t-9=0\end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longleftrightarrow\quad}\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{WWWWiW}}\\z=t\phantom{WWiWWW}\\6t+6+3t-9=0\end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWWWWWWxWW} }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longleftrightarrow\quad}\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{i}}\\z=t\phantom{i}\\9t=3\end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longleftrightarrow\quad}\left\lbrace\begin{matrix}x=3t\phantom{}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{i}}\\z=t\phantom{i}\\t=\dfrac13\end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWvWW}\quad\Longleftrightarrow\quad}\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1\phantom{i}}\\z=\dfrac13\phantom{i}\\t=\dfrac13\end{matrix}\right.$
Par conséquent, les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left(1\;;\;1\;;\;\dfrac13\right)}\,. }$

5. Montrons que le point $\overset{ { \white{ . } } } {R\left(3\;;\;\dfrac14\;;\;\dfrac12\right) }$ n'est pas le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ . } } } { G }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF) . }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF). }$
$\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}G(3\;;\;1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { R(3\;;\;\dfrac14\;;\;\dfrac12)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {GR}\begin{pmatrix}3-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac14-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac12-1}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {GR}\begin{pmatrix}0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {-\dfrac34}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {-\dfrac12}\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {n}$ et $\overrightarrow {GR}$ ne sont pas colinéaires.

Dès lors, le vecteur ${ \overrightarrow{GR} }$ n'est pas normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (HMF). }$
Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } {R\left(3\;;\;\dfrac14\;;\;\dfrac12\right) }$ n'est pas le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ . } } } { G }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(HMF) . }$

6 points

exercice 3

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=2x-x^2. }$

1. Étudions la croissance de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ sur l'intervalle [0 ; 1].

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1].

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1],\quad g'(x)=2-2x. }$

${ \white{ xxi } }$ ${ \phantom{ xxi } }\begin{matrix}\\\overset{ { \phantom{.} } } {2-2x>0\Longleftrightarrow 2x<2}\\\phantom{WWxW}\Longleftrightarrow x<1 \\\overset{ { \white{.} } } {2-2x=0\Longleftrightarrow x=1} \\\\\\\overset{ { \white{.} } } {g(0)=2\times0-0=0}\\\overset{ { \white{.} } } {g(1)=2\times1-1=1} \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&&&1\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\2-2x&+&+&+&+&0\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&+&+&+&+&0\\&&&&&\\\hline&&&&&1\\g(x)&&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&0&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac12\phantom{WW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { u_{n+1}=g(u_n)}\end{matrix}\right. }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

2. Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { u_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_1=g(u_0)=g\left(\frac12\right)=2\times\dfrac12-\left(\dfrac12\right)^2=1-\dfrac14\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=\dfrac34} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_2=g(u_1)=g\left(\frac34\right)=2\times\dfrac34-\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac32-\dfrac{9}{16}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=\dfrac{15}{16}}$

3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 0<u_n<u_{n+1}<1. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{0<u_0<u_{1}<1.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac12\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { u_1=\dfrac34}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<u_0<u_1<1}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 0<u_n<u_{n+1}<1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 0<u_{n+1}<u_{n+2}<1 .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est strictement croissante sur [0 ; 1],

${ \white{ xxi } }$ $0<u_n<u_{n+1}<1\quad\Longrightarrow\quad g(0)<g(u_n)<g(u_{n+1})<g(1) \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<u_{n+1}<u_{n+2}<1}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 0<u_n<u_{n+1}<1. }$

4. Nous avons montré dans la question 3. que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante et majorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

5. Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;1]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=g(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=g(\ell).}$

${ \white{ xxi } }$ $\ell=g(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=2\ell-\ell^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad-\ell+\ell^2=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell\,(-1+\ell)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,-1+\ell=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\,\ell=1}$

Or la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante et nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { u_1=\dfrac34. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \ell\ge\dfrac{3}{4} }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\ell = 1. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}}$

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=\ln(1-u_n) }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

6. Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est une suite géométrique de raison 2.

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=\ln(1-u_{n+1}) \\\phantom{v_{n+1}}=\ln(1-2u_n+u_n^2) \\\phantom{v_{n+1}}=\ln(1-u_n)^2 \\\phantom{v_{n+1}}=2\ln(1-u_n)\quad\text{(car }u_n<1\Longrightarrow 1-u_n>0) \\\phantom{v_{n+1}}=2\,v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=2\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=\ln(1-u_0)=\ln\left(\dfrac12\right)\Longrightarrow\boxed{v_0=-\ln(2)}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=2 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=-\ln(2). }$

7. Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\;\boxed{v_n=-\ln(2)\times2^{n}}}$

8. Nous devons en déduire une expression de $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.

${ \white{ xxi } }$ $\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=\ln(1-u_n){\phantom{w}}\\v_n=-\ln(2)\times2^{n}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow{\phantom{ww}} \ln(1-u_n)=-\ln(2)\times2^{n} \\\phantom{WWWWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow{\phantom{ww}}1-u_n=\text e^{-\ln(2)\times2^{n}} \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=1-\text e^{-\ln(2)\times2^{n}}}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}-\ln(2)<0\phantom{WW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}-\ln(2)\times2^n=-\infty$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}-\ln(2)\times2^n=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{N\to-\infty}\text e^ N=0\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{[N=-\ln(2)\times2^n]}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{-\ln(2)\times2^n}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWvWWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\text e^{-\ln(2)\times2^n}\right)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWvWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}$

Nous retrouvons ainsi la limite déterminée à la question 5.

9. Ci-dessous le script Python renvoyant le rang n à partir duquel la suite dépasse 0,95.

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4 points

exercice 4

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { a}$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=a\ln(x). }$
Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C} }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x_0 }$ un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminons l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C} }$ et de l'axe des abscisses.

Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a\ln(x)=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x)=0\quad(\text{car }a\neq0)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1}}$

Donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C} }$ et de l'axe des abscisses est $\overset{ { \white{ . } } } { x=1. }$

2. Vérifions que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { F(x)=a(x\,\ln(x) - x) }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[ .}$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[ .}$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ strictement positif,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=a\Big(x\,\ln(x) - x\Big)' \\\phantom{F'(x)}=a\Big(x'\times \ln(x)+x\times(\ln(x))'-x'\Big) \\\phantom{F'(x)}=a\Big(1\times \ln(x)+x\times\dfrac1x-1\Big) \\\phantom{F'(x)}=a\Big(\ln(x)+1-1\Big) \\\phantom{F'(x)}=a\ln(x) \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { F(x)=a(x\,\ln(x) - x) }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[ .}$

3. Calculons l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ de la portion du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}}$ , les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x=1}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x=x_0.}$

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\displaystyle\int_1^{x_0}f(x)\,\text dx \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{A}=\Big[F(x)\Big]_1^{x_0} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{A}=\Big[a(x\,\ln(x) - x)\Big]_1^{x_0} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{A}=a(x_0\,\ln(x_0) - x_0)-a(1\times\,\ln(1) - 1) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{A}=a(x_0\,\ln(x_0) - x_0)-a(- 1) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{A}=a\Big(x_0\,\ln(x_0) - x_0+1\Big) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A}=a\Big(x_0\,\ln(x_0) - x_0+1\Big) }$

4. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ la tangente à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{C} }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } }{ M }$ d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { x_0. }$
On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ le point d'intersection de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ avec l'axe des ordonnées et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ le projeté orthogonal de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ sur l'axe des ordonnées.

Bac général spécialité maths 2024 Centres étrangers Jour 2 : image 11

Démontrons que la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ est égale à une constante.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

Déterminons d'abord l'équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T. }$
L'équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). }$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=a\ln(x)\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=\dfrac{a}{x}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(x_0)=a\ln(x_0)\\\overset{ { \white{ . } } } {f'(x_0)=\dfrac{a}{x_0}}\end{matrix}\right.$

D'où une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } {T }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=\dfrac{a}{x_0}(x-x_0)+a\ln(x_0)} }$
L'ordonnée à l'origine de $\overset{ { \white{ _. } } } {T }$ est $\overset{ { \white{ o. } } } {\dfrac{a}{x_0}(-x_0)+a\,\ln(x_0) }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {-a+a\,\ln(x_0) }$

Nous en déduisons que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(0\;;\;a\ln(x_0)-a)}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$

Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { (0\;;\;f(x_0)) }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ (0\;;\;a\ln(x_0))}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { AB. }$

${ \white{ xxi } }$ $AB=|y_B-y_A| \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AB}=\Big|a\ln(x_0) -\Big(a\ln(x_0) -a\Big)\Big| } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AB}=\Big|a\ln(x_0) -a\ln(x_0) +a\Big| } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AB}=|a| } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AB}=a\quad(\text{car }a>0)}$

Par conséquent, la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ est égale à la constante $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{a}\,. }$

Publié par malou le 11-06-2024

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