Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Maroc 2024

Sciences expérimentales

Durée : 3 heures

Coefficient : 7

L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.

3 points

exercice 1

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\overrightarrow i\;,\overrightarrow j\;,\overrightarrow k)}$ , on considère les deux points $\overset{ { \white{ . } } } {A(-1\;,0\;,-1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {B(1\;,2\;,-1)}$ , le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } {A}$ et de vecteur normal $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow n (2\;,-2\;,1)}$ et la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ de centre $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega (2\;,-1\;,0)}$ et de rayon 5.

1. Montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {2x-2y+z+3=0}$ est une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ .

2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ .

3. a. Vérifier que la distance du point $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {d(\Omega , (\mathval P))= 3}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. En déduire que le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ suivant un cercle $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ de rayon à déterminer.

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ et perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. Montrer que le point $\overset{ { \white{ . } } } {H(0\;,1\;,-1)}$ est le centre du cercle $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ c. Montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]}$ .

4 points

exercice 3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\overrightarrow u\;, \overrightarrow v)}$ , on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } {A}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {B}$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } {a=\sqrt 3\,(1-\text i)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {b=2+\sqrt 3 +\text i}$ .

1. Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {|a|=\sqrt 6}$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {\text{arg}(a)\equiv \dfrac{-\pi}{4}\;[2\pi]}$ .

2. a. Montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}+\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i}$ puis vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac b a = \dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e ^{\text i\frac{\pi}{3}}}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white {ww} }$ b. En déduire une forme trigonométrique du complexe $\overset{ { \white{ . } } } {b}$ puis vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {b^{24}}$ est un nombre réel.

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {R}$ la rotation de centre $\overset{ { \white{ . } } } {O}$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{\pi}{6}}$ , qui transforme chaque point $\overset{ { \white{ . } } } {M}$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {z}$ en un point $\overset{ { \white{ . } } } {M'}$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {z'}$ . On pose $\overset{ { \white{ . } } } {R(B)=B'\;, R(A)=A' \text{ et } R(A')=A''}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ a. Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {z'=\dfrac 1 2(\sqrt 3+\text i )z}$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {\text{arg}(a')\equiv \dfrac{-\pi}{12}\;[2\pi]}$ où $\overset{ { \white{ . } } } {a'}$ est l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } {A'}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Montrer que l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } {A''}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {a''=\sqrt 6\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}$ et en déduire que les points $\overset{ { \white{ . } } } {O\;, A''\text{ et } B}$ sont alignés.

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ c. Montrer que $b'$ , l'affixe du point $B'$ , vérifie $\overset{ { \white{ . } } } {b'=\left(\dfrac{3+\sqrt 3}{3} \right)\,\overline a}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ d. En déduire que le triangle $\overset{ { \white{ . } } } {OAB'}$ est rectangle en O.

2 points

exercice 4

probleme

Partie I :

On considère les deux fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v}$ définies sur R par : $\overset{ { \white{ . } } } {u(x)=\text e ^x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v(x)=x}$ .

1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v}$ des fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v}$ .

2. Justifier graphiquement que $\overset{ { \white{ . } } } {\text e ^x-x > 0}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de R.

3. Calculer l'aire de la partie de plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u}$ , la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v}$ et les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } {x=0}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {x=1}$ .

Partie II :

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x+1-\ln \left(\text e^x-x\right)}$ .

1. a. Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ est définie sur R.

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Montrer que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \textbf R\;,\;f(x)=1-\ln \left(1-x\text e ^{-x}\right)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ c. En déduire que $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1}$ , puis interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x< 0\;,\; f(x)=x+1-\ln (-x)-\ln \left(1-\dfrac{1}{x\text e ^{-x}}\right)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ c. Calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} }$ puis déduire que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcla C_f)}$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } {y=x}$ au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } {-\infty}$ .

3. a. Montrer que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \textbf R\;:\; f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Etudier le signe de la fonction dérivée de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ , puis déduire le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur R.

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ c. Montrer que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=0}$ admet une solution unique dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;0[}$ .

4. La courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_f}$ ci-après est la représentation graphique de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ dans un repère orthonormé.

Bac Maroc 2024 Sciences expérimentales : image 1

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ a. Justifier graphiquement que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$ admet deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Montrer que : $\overset{ { \white{ . } } } {\text e^{\alpha}-\text e^{\beta}=\alpha - \beta}$ .

5. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ la restriction de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ a. Montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ définie sur un intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {J}$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}(x)}$ ).

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ est dérivable en 1 et calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\left(g^{-1}\right)'(1)}$ .

Correction

Bac Maroc 2024 Sciences expérimentales

3 points

exercice 1

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)}$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } {u_0=4 \text{ et } u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}}$ , pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

1. a) Vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}}$ , pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} ,$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{4u_n+4-6}{1+u_n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{4(u_n+1)-6}{1+u_n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{4(u_n+1)}{1+u_n}-\dfrac{6}{1+u_n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}}=4-\dfrac{6}{1+u_n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}}$

1. b) Nous devons montrer par récurrence que $\overset{ { \white{ . } } } {2\le u_n\le 4}$ , pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{2\le u_0\le 4.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), \quad u_0=4 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ 2\le u_0\le4}\,.}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{2\le u_n\le 4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 2\le u_{n+1}\le 4 .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $2\le u_{n}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad 3\le 1+u_{n}\le 5 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad \dfrac15\le \dfrac{1}{1+u_{n}}\le \dfrac13} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac63\le -\dfrac{6}{1+u_{n}}\le -\dfrac65} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad -2\le -\dfrac{6}{1+u_{n}}\le -\dfrac65} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad 4-2\le 4-\dfrac{6}{1+u_{n}}\le 4-\dfrac65} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad 2\le u_{n+1}\le \dfrac{14}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\le u_{n}\le 4 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2\le u_{n+1}\le 4}}\quad\quad(\text{car }\dfrac{14}{5}\le4)$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n ,}$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {2\le u_n\le 4. }$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}} ,$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} ,$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n+2}{1+u_n}-u_n \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{4u_n+2-u_n(1+u_n)}{1+u_n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{4u_n+2-u_n-u_n^2}{1+u_n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-u_n^2+3u_n+2}{1+u_n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n^2+3u_n+2}{1+u_n}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} ,$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}=\dfrac{2u_n-u_n^2-2+u_n}{1+u_n} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}}=\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}-u_n={\red{\dfrac{-u_n^2+3u_n+2}{1+u_n}}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}={\red{\dfrac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}}}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}}}$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

2. b) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)}$ est décroissante.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {2\le u_n\le 4}$ , pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $2\le u_n\le 4\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1\le u_n-1\le3\phantom{}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -4\le -u_n\le-2}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3\le 1+u_n\le5}\phantom{}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1\le u_n-1\le3\phantom{}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -2\le2-u_n\le0}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3\le 1+u_n\le5}\phantom{}\end{matrix}\right. \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{2\le u_n\le 4}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} u_n-1>0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 2-u_n\le0}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1+u_n>0}\end{matrix}\right.} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{2\le u_n\le 4}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}\le0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{2\le u_n\le 4}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,n\in\N,\quad u_{n+1}-u_n\le0}}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)}$ est décroissante.
De plus, cette suite est minorée par 2.

D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)}$ la suite numérique définie par $\overset{ { \white{ . } } } {v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}} ,$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)}$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 2 3} .$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} ,$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=\dfrac{2-u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2-\frac{4u_n-2}{1+u_n}}{1-\frac{4u_n-2}{1+u_n}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{\frac{2+2u_n-4u_n+2}{1+u_n}}{\frac{1+u_n-4u_n+2}{1+u_n}}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2+2u_n-4u_n+2}{1+u_n-4u_n+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{-2u_n+4}{-3u_n+3}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2(-u_n+2)}{3(-u_n+1)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac23\times\dfrac{2-u_n}{1-u_n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac23\times v_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad v_{n+1}=\dfrac23\times v_n}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)}$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } {q=\dfrac 2 3} .$

3. b) Montrons que $\overset{ { \white{ \dfrac a a } } } {u_n=1+\dfrac{1}{1-\left(\dfrac 2 3\right)^{n+1}}}$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$
Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ où $\overset{ { \white{ . } } } {v_0=\dfrac{2-u_0}{1-u_0}=\dfrac{2-4}{1-4}=\dfrac23 }$
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,,\quad v_n=\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac 23\right)^{n}}$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{v_n=\left(\dfrac23\right)^{n+1}} }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}} ,$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

${ \white{ xxi } }$ $v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n=\dfrac{1+1-u_n}{1-u_n} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n=\dfrac{1}{1-u_n}+\dfrac{1-u_n}{1-u_n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n=\dfrac{1}{1-u_n}+1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n-1=\dfrac{1}{1-u_n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-u_n=\dfrac{1}{v_n-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad -u_n=-1+\dfrac{1}{v_n-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad u_n=1+\dfrac{1}{1-v_n}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=\left(\dfrac23\right)^{n+1} }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ \dfrac a a } } }{\boxed{u_n=1+\dfrac{1}{1-\left(\dfrac 2 3\right)^{n+1}}}}$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n} .$

3. c) Nous devons calculer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)} .$

${ \white{ xxi } }$ $0<\dfrac23<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac23\right)^{n+1}=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac23<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left[1-\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right]=1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac23<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{1-\left(\dfrac 2 3\right)^{n+1}}=1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac23<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{1-\left(\dfrac 2 3\right)^{n+1}}\right)=2}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2} }$

3 points

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\overrightarrow i\;,\overrightarrow j\;,\overrightarrow k)} ,$ on considère les deux points $\overset{ { \white{ . } } } {A(-1\;,0\;,-1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {B(1\;,2\;,-1)} ,$ le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ passant par $\overset{ { \white{ _. } } } {A}$ et de vecteur normal $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow n (2\;,-2\;,1)}$ et la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ de centre $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega (2\;,-1\;,0)}$ et de rayon 5.

1. Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal P) . }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n (2\;,-2\;,1) }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal P) \,.}$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x-2y+z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(-1\;;\;0\;;\;-1) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times(-1)-3\times0-1+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=3. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x-2y+z+3=0}\,. }$

2. Déterminons une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)} .$

La sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ admet comme centre le point $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega (2\;,-1\;,0)}$ et admet un rayon égal à 5.

Une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { (x-2)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2=5^2 . }$

${ \white{ xxi } }$ $(x-2)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2=5^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWW}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWW}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-4x+4+y^2+2y+1+z^2=25} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWW}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0}$

D'où, une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0} }$

3. a) Vérifions que la distance du point $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {d(\Omega , (\mathval P))= 3} .$

${ \white{ xxi } }$ $d(\Omega , (\mathcal P))=\dfrac{\Big|2x_{\Omega}-2y_{\Omega}+z_{\Omega}+3\Big|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(\Omega , (\mathcal P))}=\dfrac{\Big|2\times2-2\times(-1)+0+3\Big|}{\sqrt{4+4+1}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(\Omega , (\mathcal P))}=\dfrac{\Big|9\Big|}{\sqrt{9}}=\dfrac93=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(\Omega , (\mathcal P))=3}$

3. b) Puisque la distance du point $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ est strictement inférieure au rayon de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S),}$ nous en déduisons que le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ suivant un cercle noté $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad r=\sqrt{R^2-d^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad r}=\sqrt{5^2-3^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad r}=\sqrt{25-9}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad r}=\sqrt{16}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad r}=4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r=4}$

Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)}$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal S)}$ suivant un cercle $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r=4. }$

4. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ et perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)} .$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } }{ \overrightarrow n ({\red{2 } }\;,{\red{-2 } }\;,{\red{1 } }).}$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ \Omega ({ \blue{ 2 } }\;,{ \blue{ -1 } }\;,{ \blue{ 0 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{2 } }+{ \red{ 2 } }\times t\\y={ \blue{ -1 } }+{ \red{ (-2) } }\times t\\z={ \blue{ 0 } }+{ \red{1} }\times t \end{array}\quad(t\in\mathbb{ R })$ , ${ \white{ xx } }$ soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (\Delta):\left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=-1-2t\\z=t\end{array}\quad(t\in\mathbb{ R }) } }$

4. b) Nous devons montrer que le point $\overset{ { \white{ . } } } {H(0\;,1\;,-1)}$ est le centre du cercle    $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) } .$

Le centre du cercle    $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal P) }$ et à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega}$ et perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P)} .$

Le centre du cercle    $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) }$ est donc le point de percée de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ dans le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal P).}$

Résolvons le système : $\left\lbrace\begin{matrix} x=2+2t\phantom{WWWW} \\y=-1-2t\phantom{WWiW} \\z=t\phantom{WWWWWW} \\2x-2y+z+3=0\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=2+2t\phantom{WWWW} \\y=-1-2t\phantom{WWiW} \\z=t\phantom{WWWWWW} \\2x-2y+z+3=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 2+2t\phantom{WWiWWWWWWW} \\ y =-1-2t\phantom{WWWWWWWWW}\\ z=t\phantom{WWWWWWWWWWWW} \\2(2t+2)-2(-1-2t)+t-3=0 \end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWW } }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 2+2t\phantom{WWiWWWW} \\ y =-1-2t\phantom{WWWWWW}\\ z=t\phantom{WWWWWWWWW} \\4t+4+2+4t+t+3=0 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 2+2t \\ y =-1-t\\ z=t\phantom{WiW} \\9t+9=0 \end{matrix}\right.$

${ \white{WWWW } }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 2+2t \\ y = -1-2t\\ z=t \phantom{WWW}\\t=-1\phantom{WW} \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 0 \\ y = 1\\ z=-1 \\t=-1 \end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { (0\;;\;1\;;\;-1) .}$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } {H(0\;,1\;,-1)}$ est le centre du cercle    $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma ) } .$

4. c) Nous devons montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(AB)} .$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n (2\;,-2\;,1) }$
Déterminons les coordonnées du vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}. }$

$\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}A(-1\;;\;0\;;\;-1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(1\;;\;2\;;\;-1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\,(1+1\;;\; 2-0\;;\;-1+1)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\,(2\;;\; 2\;;\;0)} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=2\times2-2\times2+1\times0 \\\phantom{\vec n\cdot\overrightarrow{AB}}=4-4+0 \\\phantom{\vec n\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\vec n\perp\overrightarrow{AB}}$

Nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(AB)} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ passe par le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]} .$

Les coordonnées du milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]}$ se déterminent par :

$\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)=\left(\dfrac{-1+1}{2}\;;\;\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{-1-1}{2}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)}=\left(0\;;\;1\;;\;-1\right)}$

D'où les coordonnées du milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\;;\;1\;;\;-1\right) }$ qui sont également les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { H. }$

Or nous savons par la question 4. b) que le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$
Nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ passe par le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta )}$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[AB]} .$

4 points

exercice 3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\overrightarrow u\;, \overrightarrow v)} ,$ on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } {A}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {B}$ d'affixes respectives ${a=\sqrt 3\,(1-\text i)}$ et ${b=2+\sqrt 3+\text i} .$

1. Vérifions que $\overset{ { \white{ . } } } {|a|=\sqrt 6}$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {\text{arg}(a)\equiv \dfrac{-\pi}{4}\;[2\pi]} .$

${ \white{ xxi } }$ $a=\sqrt 3\,(1-\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{a}=\sqrt 3\,\sqrt 2(\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt2}\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{a}=\sqrt 6\,(\dfrac{\sqrt2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt2}{2})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{a}=\sqrt 6\,\Big[\cos\left(-\dfrac\pi 4\right)+\text i\sin\left(-\dfrac\pi 4\right)\Big]} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{a=\sqrt 6\,\Big[\cos\left(-\dfrac\pi 4\right)+\text i\sin\left(-\dfrac\pi 4\right)\Big]}$

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}|a|=\sqrt 6\phantom{WWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {\text{arg}(a)\equiv -\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} \end{matrix}\right.} }$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}+\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i},$ puis vérifions que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac b a = \dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e ^{\text i\frac{\pi}{3}}} .$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac ba=\dfrac{2+\sqrt3+\text i}{\sqrt3\,(1-\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{(2+\sqrt3+\text i)\,(1+\text i)}{\sqrt3\,(1-\text i)\,(1+\text i)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{2+\sqrt3+(2+\sqrt3)\,\text i+\text i-1}{\sqrt3\,(1^2+1^2)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{1+\sqrt3+(3+\sqrt3)\,\text i}{2\,\sqrt3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{1+\sqrt3}{2\,\sqrt3}+\dfrac{(3+\sqrt3)\,\text i}{2\,\sqrt3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{(1+\sqrt3)\sqrt3}{2\,\sqrt3\sqrt3}+\dfrac{\sqrt 3(\sqrt 3+1)\,\text i}{2\,\sqrt3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac b a}=\dfrac{\sqrt3+3}{2\times 3}+\dfrac{(\sqrt 3+1)\,\text i}{2}}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}+\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i}}\,.$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}+\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\dfrac12+\dfrac{3}{3+\sqrt 3}\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i\right]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\dfrac12+\dfrac{3}{\sqrt 3(\sqrt 3+1)}\left(\dfrac{1+\sqrt 3}{2}\right)\text i\right]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\dfrac12+\dfrac{3}{\sqrt 3}\left(\dfrac{1}{2}\right)\text i\right]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\dfrac12+\sqrt 3\left(\dfrac{1}{2}\right)\text i\right]}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\dfrac12+\dfrac{\sqrt 3}{2}\text i\right]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\left[\cos\dfrac\pi3+\sin\dfrac\pi 3\text i\right]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac b a}=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}$

2. b) Nous devons en déduire une forme trigonométrique du complexe $\overset{ { \white{ _. } } } {b}$ puis vérifier que ${b^{24}}$ est un nombre réel.

En utilisant les résultats de la question 1., nous obtenons : ${ a=\sqrt 6\,\text e^{\text i\left(\frac{-\pi}{4}\right)}. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}\quad\Longrightarrow\quad b=a\times\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3} \\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=\sqrt 6\,\text e^{\text i\left(\frac{-\pi}{4}\right)}\times\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3} \\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=\dfrac{(3+\sqrt 3)\sqrt 6}{3}\,\text e^{\text i\left(\frac\pi3-\frac{\pi}{4}\right)} \\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=\dfrac{3\sqrt 6+\sqrt {18}}{3}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=\dfrac{3\sqrt 6+3\sqrt {2}}{3}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}} \\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=\dfrac{3(\sqrt 6+\sqrt {2})}{3}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}} \\\phantom{\dfrac b a=\dfrac{3+\sqrt 3}{3}\,\text e^{\text i\frac\pi3}}\quad\Longrightarrow\quad b=(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}} \\\\\Longrightarrow\boxed{b=(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+\text i\,\sin\dfrac{\pi}{12}\right)}$

En utilisant la formule de Moivre, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $b^{24}=(\sqrt 6+\sqrt {2})^{24}\,\left(\cos\dfrac{24\,\pi}{12}+\text i\,\sin\dfrac{24\,\pi}{12}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{b^{24}}=(\sqrt 6+\sqrt {2})^{24}\,\left(\cos2\pi+\text i\,\sin2\pi\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{b^{24}}=(\sqrt 6+\sqrt {2})^{24}\,\left(1+\text i\times0\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{b^{24}}=(\sqrt 6+\sqrt {2})^{24}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{b^{24}=(\sqrt 6+\sqrt {2})^{24}\,{\red{\in\R}}}$

Par conséquent, ${b^{24}}$ est un nombre réel.

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {R}$ la rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } {O}$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{\pi}{6}}$ , qui transforme chaque point $\overset{ { \white{ _. } } } {M}$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {z}$ en un point $\overset{ { \white{ _. } } } {M'}$ d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } {z'.}$
On pose $\overset{ { \white{ . } } } {R(B)=B'\;, R(A)=A' \text{ et } R(A')=A''} .$

3. a) Vérifions que $\overset{ { \white{ . } } } {z'=\dfrac 1 2(\sqrt 3+\text i )z}$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {\text{arg}(a')\equiv -\dfrac{\pi}{12}\;[2\pi]}$ où ${a'}$ est l'affixe du point $\{A'} .$

L'écriture complexe de la rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega(\omega)}$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } {\theta}$ est donnée par : $\overset{ { \white{ . } } } { z'-\omega=\text e^{\text i\,\theta}(z-\omega). }$
Donc l'écriture complexe de la rotation $\overset{ { \white{ _. } } } {R}$ est donnée par : $z'-0=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}(z-0).$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $z'-0=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}(z-0)\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}\,z \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-0=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}(z-0)\quad}\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\cos\dfrac\pi6+\text i\sin\dfrac\pi6\right)\,z} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-0=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}(z-0)\quad}\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\text i\times\dfrac12\right)\,z} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-0=\text e^{\text i\,\frac{\pi}{6}}(z-0)\quad}\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,z}}$

Nous obtenons alors :

$z'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,z\quad\Longrightarrow\quad a'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,a \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,z}\quad\Longrightarrow\quad \arg (a')=\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,a\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,z}\quad\Longrightarrow\quad \arg(a')=\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\right)+\arg(a)}$

$\text{Or }\quad \dfrac12\,(\sqrt3+\text i)=\dfrac{\sqrt3}{ 2}+\dfrac12\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\quad \dfrac12\,(\sqrt3+\text i)}=\cos\dfrac{\pi}{6}+\text i\sin\dfrac{\pi}{6}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\right)=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]}$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\arg(a')=\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\right)+\arg(a) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\arg(a')}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\arg(a')}=-\dfrac{\pi}{12}\;[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg(a')=-\dfrac{\pi}{12}\;[2\pi]}$

3. b) Nous devons montrer que l'affixe du point ${A''}$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {a''=\sqrt 6\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}.}$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A''=R(A') }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { A'=R(A). }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { |a''|=|a|=\sqrt 6\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ |a''|=\sqrt 6} }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $A''=R(A') \quad\Longrightarrow\quad a''=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,a' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A''=R(A') }\quad\Longrightarrow\quad \arg (a'')=\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,a'\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A''=R(A') }\quad\Longrightarrow\quad \arg(a'')=\arg\left(\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\right)+\arg(a')} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A''=R(A') }\quad\Longrightarrow\quad \arg(a'')=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{12}\;[2\pi]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A''=R(A') }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\arg(a'')=\dfrac{\pi}{12}\;[2\pi]}}$

Par conséquent, l'affixe du point ${A''}$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{a''=\sqrt 6\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}\,.}$

Montrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } {O\;, A''\text{ et } B}$ sont alignés.

Nous avons montré dans la question 2. b) que $\overset{ { \white{ . } } } { b=(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+\text i\,\sin\dfrac{\pi}{12}\right). }$

Par suite, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { b=(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{b-0}{a''-0}=\dfrac{(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}{\sqrt 6\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{b-0}{a''-0}=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt {2}}{\sqrt 6}\in\R \\\\\phantom{\dfrac{b-0}{a''-0}=\dfrac{(\sqrt 6+\sqrt {2})\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}{\sqrt 6\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{b-0}{a''-0}\,{\red{\in\R}}}$

D'où les points $\overset{ { \white{ . } } } {O\;, A''\text{ et } B}$ sont alignés.

3. c) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { b', }$ l'affixe du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B' }$ , vérifie $\overset{ { \white{ . } } } {b'=\left(\dfrac{3+\sqrt 3}{3} \right)\,\overline a} .$

${ \white{ xxi } }$ $B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)\,b \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\dfrac12\,(\sqrt3+\text i)(\sqrt6+\sqrt2)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}(\sqrt6+\sqrt2)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=(\sqrt6+\sqrt2)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{12}+\text i\frac{\pi}{6}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=(\sqrt6+\sqrt2)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\sqrt2(\sqrt3+1)\,\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}(\sqrt3+1)\,(1+\text i)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=(\sqrt3+1)\,(1+\text i)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3}\times\sqrt3\,(1+\text i)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\dfrac{(\sqrt3+1)\sqrt3}{\sqrt3\sqrt3}\times\overline {a}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{B'=R(B) \quad\Longrightarrow\quad b'}=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\times\overline {a}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{b'=\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3}\right)\overline {a}}$

3. d) Montrons que le triangle ${OAB'}$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { O. }$

${ \white{ xxi } }$ $\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3}\right)\overline {a}}{a}\right)\;[2\pi] \\\phantom{\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3}\right)\text i a}{a}\right)\;[2\pi] \\\phantom{\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3}\;\text i \right)\;[2\pi] \\\phantom{\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)}\equiv\arg\left(\text i\right)\;[2\pi] \\\phantom{\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi] \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg\left(\dfrac{b'-0}{a-0}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}$

D'où le triangle ${OAB'}$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { O. }$

2 points

exercice 4

Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

On considère les événements suivants :
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; A : }$ « Les deux boules tirées portent le même numéro »
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; B : }$ « La somme des deux numéros des boules tirées est 4 »

1. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A)=\dfrac{1}{3} . }$

Nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Le nombre de groupements possibles de 2 boules parmi les 7 boules de l'urne est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_7^2=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}=\dfrac{7!}{2!5!}=21. }$
L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est réalisé lorsque les deux boules portent le numéro 1 ou lorsqu'elles portent le numéro 2.
Puisqu'il y a quatre boules portant le numéro 1, le nombre de groupements possibles de 2 boules portant le numéro 1 parmi les 4 boules est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_4^2=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{2!2!}=6. }$
Puisqu'il n'y a que deux boules portant le numéro 2, il n'y a qu'une seule façon d'obtenir deux boules portant le numéro 2.
Dès lors, le cardinal de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est égal à 6 + 1 = 7.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A)=\dfrac{7}{21}, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{p(A)=\dfrac{1}{3}}\,. }$

2. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(B)=\dfrac{5}{21} . }$

Nous savons que le nombre de groupements possibles de 2 boules parmi les 7 boules de l'urne est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 21. }$
La somme des deux numéros des boules tirées est 4 si nous additionnons 1 et 3 ou si nous additionnons 2 et 2.

Puisqu'il y a quatre boules portant le numéro 1 et une seule boule portant le numéro 3, il y a 4 groupements possibles permettant d'obtenir une somme égale à 4 en utilisant ces numéros.
Puisqu'il n'y a que deux boules portant le numéro 2, il n'y a qu'une seule façon d'obtenir une somme égale à 4.
Dès lors, le cardinal de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est égal à 4 + 1 = 5.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{p(B)=\dfrac{5}{21}}\,. }$

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A\cap B) . }$

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }$ peut se traduire par : ''les deux boules tirées portent le même numéro et leur somme est égale à 4''.

Il n'y a qu'un cas possible : les deux boules portent le numéro 2.

Dès lors, le nombre de groupements de deux boules de même numéro et de somme égale à 4 est égal à 1.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}}\, . }$

4. Les événements $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ sont indépendants si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { p(A\cap B)=p(A)\times p(B). }$

$\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(A)=\dfrac{1}{3}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(B)=\dfrac{5}{21}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5}{21}}\end{matrix}\right. \\\phantom{\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(A)=\dfrac{1}{3}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(B)=\dfrac{5}{21}}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { p(A)\times p(B)=\dfrac{5}{63}}\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)} }$

Par conséquent, les événements $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ ne sont pas indépendants.

8 points

probleme

Partie I

On considère les deux fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v}$ définies sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {u(x)=\text e ^x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v(x)=x} .$

1. Traçons dans un même repère orthonormé les courbes $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v}$ des fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {u}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {v} .$

Bac Maroc 2024 Sciences expérimentales : image 3

2. Nous devons justifier graphiquement que $\overset{ { \white{ . } } } {\text e ^x-x > 0}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R.}$

Nous observons graphiquement que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u}$ est située au-dessus de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v.}$

Donc pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R,\quad u(x)>v(x),}$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } { u(x)-v(x)>0.}$

Nous en déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R,\quad \boxed{\text e^x-x>0}\,.}$

3. L'aire en unité d'aire (u.a.) de la partie de plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u} ,$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v}$ et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } {x=0}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {x=1}$ se détermine par $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x. }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x=\Big[\text e^x-\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1 \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x}=\Big(\text e^1-\dfrac{1^2}{2}\Big)-\Big(\text e^0-0\Big) \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x}=\text e-\dfrac{1}{2}-1 \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x}=\text e-\dfrac{3}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\text e^x-x\right)\,\text{d}x=\left(\text e-\dfrac{3}{2}\right)\,\text{u.a.}}$

D'où l'aire en unité d'aire de la partie de plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_u} ,$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_v}$ et les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } {x=0}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {x=1}$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\left(\text e-\dfrac{3}{2}\right)\,\text{u.a.}} }$

Partie II

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x+1-\ln \left(\text e^x-x\right)} .$

1. a) La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ est définie si $\overset{ { \white{ . } } } { \text e^x-x>0. }$
Or nous avons montré dans la question 2. - Partie I que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R,\quad \text e^x-x>0\,.}$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ est définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

1. b) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x+1-\ln \left(\text e^x-x\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\ln \Big(\text e^x(1-x\,\text e^{-x})\Big)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\Big(\ln (\text e^x)+\ln(1-x\,\text e^{-x})\Big)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\Big(x+\ln(1-x\,\text e^{-x})\Big)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-x-\ln(1-x\,\text e^{-x})} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=1-\ln(1-x\,\text e^{-x})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f(x)=1-\ln(1-x\,\text e^{-x})}$

1. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1.}$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \Big(1-\ln(1-x\,\text e^{-x})\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty} \Big[1-\ln\left(1-\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)\Big]$

$\text{Or }\;\lim\limits_{x\to +\infty}\, \dfrac{x}{\text e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to +\infty}\, \dfrac{x}{\text e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\ln\left(1-\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)=\ln1=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to +\infty}\, \dfrac{x}{\text e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty} \Big[1-\ln\left(1-\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)\Big]=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to +\infty}\, \dfrac{x}{\text e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1}}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f }$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=1. }$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)} .$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty}(\text e^x-x)=+\infty\end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty}\ln(\text e^x-x)=+\infty\end{matrix}\right.}$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \Big(x+1-\ln(\text e^x-x)\Big)=-\infty} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty}}$

2. b) Nous devons vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x< 0\;,\; f(x)=x+1-\ln (-x)-\ln \left(1-\dfrac{1}{x\text e ^{-x}}\right)} .$
${ \white{ xxi } }$ Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x+1-\ln \left(\text e^x-x\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\ln \left(-x\,\left(\dfrac{\text e^x}{-x}+1\right)\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\left[\ln(-x)+\ln \left(\dfrac{\text e^x}{-x}+1\right)\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\ln(-x)-\ln \left(1-\dfrac{\text e^x}{x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=x+1-\ln(-x)-\ln \left(1-\dfrac{1}{x\,\text e^{-x}}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<0,\quad f(x)=x+1-\ln(-x)-\ln \left(1-\dfrac{1}{x\,\text e^{-x}}\right)}$

2. c) Nous devons calculer ${\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}} .$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x+1-\ln(-x)-\ln \left(1-\dfrac{1}{x\,\text e^{-x}}\right)}{x} \\\phantom{\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left[\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln(-x)}{x}-\dfrac{\ln \left(1-\dfrac{1}{x\,\text e^{-x}}\right)}{x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left[1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln(-x)}{-x}-\dfrac{\ln \left(1+\dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}\right)}{x}\right]$

$\text{Or }\quad\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x}=0 \\\\\phantom{\text{Or }\quad}\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{\ln(-x)}{-x}\underset{(X=-x)}{=}\phantom{x}\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\ln(X)}{X}=0\quad(\text{croissances comparées}) \\\\\phantom{\text{Or }\quad}\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to -\infty} (-x)\,\text e^{-x}\underset{(X=-x)}{=}\phantom{x}\lim\limits_{X\to +\infty} X\,\text e^X=+\infty \\\\\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}\right)=1 \\\\\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\ln \left(1+\dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}\right)}{x}=0$

$\text{D'où }\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left[1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln(-x)}{-x}-\dfrac{\ln \left(1+\dfrac{1}{(-x)\,\text e^{-x}}\right)}{x}\right] \\\phantom{\text{D'où }\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=1+0+0-0=1 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=1}$

De plus, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-x\Big)=\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(1-\ln(\text e^x-x)\Big) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-x\Big)}=1-\lim\limits_{x\to -\infty} \ln(\text e^x-x)} \\\\\text{Or }\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \ln(\text e^x-x)=+\infty \\\\\text{D'où }\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-x\Big)=-\infty}$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcla C_f)}$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } {y=x}$ au voisinage de $\overset{ { \white{_. } } } {-\infty} .$

3. a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x+1-\ln (\text e^x-x) \Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1-\dfrac{(\text e^x-x)'}{\text e^x-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1-\dfrac{\text e^x-1}{\text e^x-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text e^x-x-\text e^x+1}{\text e^x-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}}$

3. b) Nous devons étudier le signe de la fonction dérivée de $\overset{ { \white{ . } } } {f} ,$ puis déduire le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Nous avons montré à la question 2. - Partie I que $\overset{ { \white{ . } } } {\text e ^x-x > 0}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (1-x). }$

Nous pouvons dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ et de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

$\begin{matrix}1-x>0\quad \Longleftrightarrow\quad x<1\\\\1-x=0\quad \Longleftrightarrow\quad x=1\\\\1-x<0\quad \Longleftrightarrow\quad x>1\\\\\\f(1)=1+1-\ln\left(\text e^1-1\right)\\ \phantom{XX}\overset{ { \phantom{ . } } } {=2-\ln(\text e-1)\phantom{WW}}\end{matrix} {\white{x}}\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-\infty&&1&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&\\1-x&&+&0&-&&&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&2-\ln(\text e-1)&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&1\\\hline \end{array}$

3. c) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=0}$ admet une solution unique dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;0[} .$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;0[.}$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(-1)=-\ln(\text e^{-1}+1)<0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f(0)=1-\ln1=1>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,f(-1)\;;\;f(0)\,[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { a\in\,]-1\;;\;0[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(a)=0. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;0[.}$

4. La courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_f}$ ci-après est la représentation graphique de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ dans un repère orthonormé.

Bac Maroc 2024 Sciences expérimentales : image 2

4. a) Nous devons justifier graphiquement que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$ admet deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta} .$

Nous observons sur le graphique que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal C_f}$ et la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x }$ possèdent deux points communs.
Les abscisses de ces deux points sont les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$

Donc nous en déduisons par l'analyse graphique de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$ admet deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta} .$

4. b) Nous devons montrer que : $\overset{ { \white{ . } } } {\text e^{\alpha}-\text e^{\beta}=\alpha - \beta} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha}$ est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$ et par suite que : $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=\alpha}.$
${ \white{ xi } }$ Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $f(\alpha)=\alpha\quad\Longrightarrow\quad \alpha+1-\ln \left(\text e^{\alpha}-\alpha\right)=\alpha \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\alpha)=\alpha}\quad\Longrightarrow\quad 1-\ln \left(\text e^{\alpha}-\alpha\right)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\alpha)=\alpha}\quad\Longrightarrow\quad \ln \left(\text e^{\alpha}-\alpha\right)=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\alpha)=\alpha}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\text e^{\alpha}-\alpha=\text e}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\beta}$ est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x}$ et par suite que : $\overset{ { \white{ . } } } { f(\beta)=\beta}.$
${ \white{ xi } }$ Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $f(\beta)=\beta\quad\Longrightarrow\quad \beta+1-\ln \left(\text e^{\beta}-\beta\right)=\beta \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\beta)=\beta}\quad\Longrightarrow\quad 1-\ln \left(\text e^{\beta}-\beta\right)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\beta)=\beta}\quad\Longrightarrow\quad \ln \left(\text e^{\beta}-\beta\right)=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\beta)=\beta}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\text e^{\beta}-\beta=\text e}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\text e^{\alpha}-\alpha=\text e\\\text e^{\beta}-\beta=\text e\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad e^{\alpha}-\alpha=\text e^{\beta}-\beta \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\text e^{\alpha}-\alpha=\text e\\\text e^{\beta}-\beta=\text e\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{e^{\alpha}-\text e^{\beta}=\alpha-\beta}$

5. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ la restriction de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]} .$

5. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ définie sur un intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {J}$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}(x)} ).$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]} .$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]}$ (voir question 3. b)

Donc la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]}$ vers $\overset{ { \white{ . } } } {J=g(]-\infty\;; 1]).}$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ définie sur un intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {J}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {J= g(\,]-\infty\;; 1]\,)=\,\Big]\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\;;\;g(1)\Big]. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } { g(1)=f(1)=2-\ln(\text e-1)}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {g}$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {J= \;]-\infty\;;2-\ln(\text e-1)].}$

5. b) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } {g^{-1}}$ est dérivable en 1 et calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\left(g^{-1}\right)'(1)} .$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {f(0)=1 }$ et par suite, que $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=1 .}$

Nous savons également que $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est une fonction continue et dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {I=]-\infty\;; 1]} .$

De plus,

$f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}}\quad\Longrightarrow\quad g'(0)=\dfrac{1-0}{\text e^0-0}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}}\quad\Longrightarrow\quad g'(0)=\dfrac{1-0}{1-0}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x-x}}\quad\Longrightarrow\quad g'(0)=1}$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est dérivable en 0 et que $\overset{ { \white{ . } } } { g'(0)=1\neq 0. }$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g^{-1} }$ est dérivable en $\overset{ { \white{ . } } } { 1=g(0) }$ et de plus :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\overset{ { \white{ . } } } {\left(g^{-1}\right)'(1)=\dfrac{1}{g'\Big(g^{-1}(1)\Big)}}. }$
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\left(g^{-1}\right)'(1)=\dfrac{1}{g'\Big(g^{-1}(1)\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left(g^{-1}\right)'(1)}=\dfrac{1}{g'(0)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left(g^{-1}\right)'(1)}=\dfrac{1}{1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left(g^{-1}\right)'(1)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(g^{-1}\right)'(1)=1}$

Publié par malou le 10-08-2024

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