Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat Mathématiques 2024

Niger séries A4-A8

Coefficient : 2

Durée : 3 heures

6 points

exercice 1

On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=4$ et $U_{n+1}=\dfrac 12(1+3 U_n)$ .

1. Calculer $U_1, U_2, U_3$ .

2. On considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n = 1 + U_n$ .

a) Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique en précisant sa raison et son 1er terme.

b) Donner l'expression de $V_n$ puis celle de $U_n$ en fonction de $n$ .

3. Calculer les limites des deux suites.

4. On pose $S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n$ et $S_n' = U_0 + U_1 + \cdots + U_n$ .

Exprimer $S_n$ et $S_n'$ en fonction de $n$ .

4 points

exercice 2

L'évolution du prix d'un article sur le marché est consigné dans le tableau suivant :

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Année & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017 & 2018 \\ \hline Rang x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline Prix y_i& 40 & 45 & 50 & 60 & 55 & 80 & 90 & 125 \\ \hline \end{tabular}$

1. Représenter le nuage des points de la série statistique $(x_i, y_i)$ .

2. Quel est le prix moyen de l'article entre 2011 et 2018.

3. Calculer l'écart-type du prix de cet article.

10 points

probleme

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 - 3 - \ln(x)$ .

$(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ avec comme unités graphiques : 5 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .

2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.

3. Justifier que la droite $D$ d'équation $x = 0$ est une asymptote à $(C_f)$ .

4. Calculer $f'(x)$ et donner le sens de variation de $f$ .

5. Dresser le tableau de variation de $f$ .

6. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $(C_f)$ au point d'abscisse $1$ .

7. Tracer $T$ et $(C_f)$ .

Voir la correction

Bac 2024 Niger série A4-A8

6 points

exercice 1

On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { U_0=4 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { U_{n+1}=\dfrac 12(1+3 U_n) }$ .

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { U_1, U_2, U_3 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}\boxed{U_0=4} \\\\ \bullet{\white{x}}U_{1}=\dfrac 12(1+3 U_0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}U_{1}}=\dfrac 12(1+3 \times4) } \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=\dfrac{13}{2}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\ \bullet{\white{x}}U_{2}=\dfrac 12(1+3 U_1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}U_{2}}=\dfrac 12(1+3 \times\dfrac{13}{2}) } \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_2=\dfrac{41}{4}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\ \bullet{\white{x}}U_{3}=\dfrac 12(1+3 U_2) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}U_{3}}=\dfrac 12(1+3 \times\dfrac{41}{4}) } \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_3=\dfrac{127}{8}}$

2. On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { V_n=1+U_n }$ .

2. a) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est géométrique en précisant sa raison et son 1er terme.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $V_{n+1}=1+U_{n+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{n+1}}=1+\dfrac 12(1+3 U_n) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{n+1}}=1+\dfrac 12+\dfrac 32\, U_n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{n+1}}=\dfrac 32+\dfrac 32\, U_n }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{n+1}}=\dfrac 32(1+ U_n) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_{n+1}}=\dfrac 32V_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N, \quad V_{n+1}=\dfrac 32\,V_n}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=\dfrac 32 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { V_0=1+U_0=1+4=5 }$ .

2. b) Nous devons donner l'expression de $\overset{ { \white{ _. } } } { V_n }$ puis celle de $\overset{ { \white{ _. } } } { U_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ .

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{V_n=V_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{V_n=5\times \left(\dfrac 32\right)^n}}$
Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}V_n=1+U_n\\V_n=5\times\left(\dfrac 32\right)^n\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 1+U_n=5\times\left(\dfrac 32\right)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases}V_n=1+U_n\\V_n=5\times\left(\dfrac 32\right)^n\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_n=5\times\left(\dfrac 32\right)^n-1}}$

3. Nous devons calculer les limites des deux suites.

D'une part,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{3}{2}>1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac 32\right)^n=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{3}{2}>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}5\left(\dfrac 32\right)^n=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{3}{2}>1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=+\infty}}$

D'autre part,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}(V_n-1)=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to+\infty}V_n=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=+\infty}}$

4. On pose $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n' = U_0 + U_1 + \cdots + U_n }$ .

Exprimer $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n' }$ en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n }$ est la somme de $\overset{ { \white{ _. } } } { n+1 }$ termes d'une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } {q= \dfrac 32 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { V_0=5 }$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n }=V_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n }=5\times\dfrac{1-\left(\dfrac 32\right)^{n+1}}{1-\dfrac 32} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n }=5\times\dfrac{1-\left(\dfrac 32\right)^{n+1}}{-\dfrac 12} } }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n }=-10\,\left[1-\left(\dfrac 32\right)^{n+1}\right] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n }=-10+10\left(\dfrac 32\right)^{n+1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_n=-10+10\left(\dfrac 32\right)^{n+1} }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $S_n' = (V_0-1) + (V_1-1) + \cdots + (V_n-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S'_n } =(V_0+V_1+\cdots+V_n)-(1+1+\cdots+1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S'_n } =S_n-(n+1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S'_n } =-10+10\left(\dfrac 32\right)^{n+1} -n-1 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S'_n } =-11+10\left(\dfrac 32\right)^{n+1} -n } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{S'_n=10\left(\dfrac 32\right)^{n+1} -n-11 }$

4 points

exercice 2

L'évolution du prix d'un article sur le marché est consigné dans le tableau suivant :

${ \white{ xxxx } }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline&&&&&&&&\\ \text{Année} & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017 & 2018 \\&&&&&&&&\\ \hline &&&&&&&&\\\text{Rang }x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&\\ \text{Prix }y_i& 40 & 45 & 50 & 60 & 55 & 80 & 90 & 125 \\&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Nous devons représenter le nuage des points de la série statistique $\overset{ { \white{ _. } } } { (x_i, y_i) }$ .

2. Nous devons déterminer quel est le prix moyen de l'article entre 2011 et 2018.

Calculons la moyenne $\overset{ { \white{ _. } } }{\overline y}$ de la variable $\overset{ { \white{ . } } } {y}$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overline{y}=\dfrac{40+45+50+60+55+80+90+125}{8}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\overline{y}=68,125}$

Par conséquent, le prix moyen de l'article entre 2011 et 2018 est de 68,125

3. Nous devons calculer l'écart-type $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma }$ du prix de cet article.

Rappelons que $\overset{ { \white{ _ } } } { \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum(y_i-\overline y)^2}{N}} }$ .

Complétons le tableau mentionnant l'évolution du prix d'un article.
Si nécessaire, les valeurs sont arrondies au millième près.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&\\ y_i& 40 & 45 & 50 & 60 & 55 & 80 & 90 & 125 \\&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&\\ y_i-\overline y& -28,125 & -23,125 & -18,125 & -8,125 & -13,125 & 11,875 & 21,875 & 56,875 \\&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&\\ (y_i-\overline y)^2&791,015 &534,765 & 328,515 & 66,015 & 172,265 & 141,015 & 478,515 & 3234,765 \\&&&&&&&&\\ \hline \end{array} }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\sigma=\sqrt{\dfrac{791,015+534,765+\cdots+3234,765}{8}}=\sqrt{\dfrac{5746,87}{8}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\sigma\approx 26,80}$

10 points

probleme

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = 2x^2 - 3 - \ln(x) }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ est la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans un repère orthogonal $\overset{ { \white{ _. } } } { (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) }$ .

1. Le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {]0\;;\;+\infty[ }$ .

2. Nous devons calculer les limites de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ aux bornes de son domaine de définition.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ WM. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(2x^2-3)=-3 \\\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(2x^2-3)=-3 \\\lim\limits_{x\to 0^+} -\ln(x)=+\infty \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(2x^2-3)=-3 \\\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(2x^2-3-\ln(x))=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(2x^2-3)=-3 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty } }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{WM. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{-. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=2x^2 - 3 - \ln(x)\quad\Longleftrightarrow f(x)=x^2\left(2-\dfrac {3}{x^2} -\dfrac{\ln(x)}{x^2} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=2x^2 - 3 - \ln(x)}\quad\Longleftrightarrow f(x)=x^2\left(2-\dfrac {3}{x^2} -\dfrac 1x\times\dfrac{\ln(x)}{x} \right)}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-3}{x^2}=0 \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-1}{x}=0} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0} \\\text{(croissances comparées)} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(2-\dfrac {3}{x^2} -\dfrac 1x\times\dfrac{\ln(x)}{x} \right)=2$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\left(2-\dfrac {3}{x^2} -\dfrac 1x\times\dfrac{\ln(x)}{x} \right)=2 }\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x^2\left(2-\dfrac {3}{x^2} -\dfrac 1x\times\dfrac{\ln(x)}{x} \right)=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\\WWWWWWWWWWWWWW\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty } }$

3. Puisque $\overset{ { \white{ WM. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty }$ , nous en déduisons la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x = 0 }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ .

4. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ et donner le sens de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(2x^2 - 3 - \ln(x)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=4x-0-\dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=4x-\dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac {4x^2-1}{x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac {(2x+1)(2x-1)}{x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac {(2x+1)(2x-1)}{x} }$

Déterminons le sens de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Nous observons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\;]0\;;\;+\infty[\;,\quad \begin{cases}f'(x)=\dfrac{2x+1}{x}\times(2x-1)\\2x+1>0\\x>0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{2x+1}{x}>0 }$ .

Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x-1 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}2x-1< 0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\dfrac{1}{2}\\\\2x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x= \dfrac12\\\\2x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\dfrac 12\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac 12&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\2x-1&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\ f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\f&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;\left]0\;;\;\dfrac 12\right[\;,f'(x)<0 \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}\forall\,x\in\;\left]\dfrac 12\;;\;+\infty\right[\;,f'(x)>0 \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}f'\left(\dfrac 12\right)=0$

D'où, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left]0\;;\;\dfrac 12\right[ }$ et est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left]\dfrac 12\;;\;+\infty\right[ }$ .

5. Nous devons dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}f\left(\dfrac 12\right)=2\times\dfrac 14-3-\ln\left(\dfrac12\right)\\\phantom{f\left(\frac 12\right)} =\dfrac 12-3+\ln\left(2\right)\phantom{ww}\\\phantom{f\left(\frac 12\right)}=-\dfrac 52+\ln\left(2\right)\phantom{wwW} \\\phantom{f\left(\frac 12\right)}\approx-1,81\phantom{WWWWw}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac 12&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty\\f&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&\ln(2)-2,5\approx-1,8&&\\\hline \end{array}$

6. Nous devons déterminer une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { 1 }$ .

Une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ _. } } } { y=f'(1)(x-1)+f(1) }$ .

$\text{Or }\quad\begin{cases} f(x)=2x^2-3-\ln(x)\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=\dfrac {(2x+1)(2x-1)}{x}} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(1)=2-3-\ln(1)\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(1)=\dfrac {(2+1)(2-1)}{1}} \end{cases} \\\\\phantom{\text{Or }\quad\begin{cases} f(x)=2x^2-3-\ln(x)\\ { f'(x)=\dfrac {(2x+1)(2x-1)}{x}} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(1)=-1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(1)=3} \end{cases}$

D'où une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { 1 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { y=3(x-1)-1 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{T:y=3x-4} }$ .

7. Nous devons tracer $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ .

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 23-12-2025

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir la correction
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 446 topics de mathématiques en terminale sur le forum.