Fiche de mathématiques

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Fiche

fiche en cours de rédaction.

Baccalauréat Sénégal 2024

Séries S1-S1A-S3 (Second groupe)

Durée : 2 heures

Coefficient : 8

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

1,25 point par question

exercice 1

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right)$ , on considère la similitude directe $f$ d'écriture complexe $z'=\dfrac 32(1-\text i)\,z+4-2\text i$ .

Proposition 1 : $f=r\circ h$ où $h$ est l'homothétie de rapport $\dfrac{3\sqrt 2}{2}$ et de centre $\Omega$ d'affixe $-2-2\text i$ et $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$ .

2. L'espace est rapporté à un repère orthormal $\left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\right)$ .

Soit $\Sigma$ la surface d'équation $x=y^2+z^2$ .

Proposition 2 : La section de la surface $\Sigma$ et du plan d'équation $z=\lambda$ où $\lambda$ est un réel, est une hyperbole.

3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right)$ ,

Proposition 3 : La similitude plane directe de rapport 2, d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et de centre le point $I$ d'affixe $1-\text i$ a pour écriture complexe $z'=\left(\sqrt 3+\text i\right)\,z+\sqrt 3-\text i\sqrt 3$ .

4. Dans l'espace rapporté à un repère orthormal $\left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\right)$ on considère les points $A(1\,,\,2\,,\,3)\;,\;B(0\,,\,1\,,\,4)\;,\;C(-1\,,\,-3\,,\,2)\;,\;D(4\,,\,-2\,,\,5)$ .

Proposition 4 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right)$ .

On considère un point $A$ d'affixe $a$ .

On note $s$ la réflexion d'axe $\left(O\,,\overrightarrow u\right)$ et $s_A$ la symétrie centrale de centre $A$ .

Proposition 5 : L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s\circ s_A=s_A\circ s$ est l'ensemble des réels.

5,75 points

exercice 2

1. Déterminer le reste de la division euclidienne par 3 de chacun des nombres $2^{364}$ et $5^{143}$ .

2. Démontrer que pour tout entier relatif $n$ , $n(n^2-4)$ est divisible par 3.

3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $4^n\equiv 1\,[3]$ .

4. Prouver que $4^{28}-1$ est divisible par $29$ .

5. Montrer que le nombre dont l'écriture en base $3$ est $100100$ est divisible par $3$ .

8 points

exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\right)$ d'unité graphique $2$ cm.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;,\;+\infty[$ par : $f(x)=x+\ln\left(1+\text e ^{-x}\right)$ et on note $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère $\left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\right)$ .

1. a. Etudier les variations de $f$ .

$\white w$ b. En déduire le signe de $f$ sur $[0\;,\;+\infty[$ .

$\white w$ c. Montrer que $(\mathcal C)$ admet pour asymptote la droite $(\mathcal D)$ d'équation $y=x$ .

$\white w$ d. Construire $(\mathcal C)$ et $(\mathcal D)$ .

2. Soit $I$ l'intégrale définie par $I=\begin{aligned}\int_0^1 \ln\left(1+\text e ^{-x}\right)\,\text dx\end{aligned}$ .

[ $\white w$ a. Donner une interprétation géométrique de $I$ .

$\white w$ b. Montrer que pour tout réel $t\geqslant 0\,,\dfrac{t}{1+t}\leqslant \ln (1+t) \leqslant t$ .

$\white w$ c. En déduire que pour tout $x\in [0\;,\;+\infty[\;,\;\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \leqslant \ln(1+\text e^{-x}) \leqslant \text e^{-x}$ .

$\white w$ d. Montrer que $\ln\left(\dfrac{2}{1+\text e ^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1-\text e ^{-1}$ .

3. On désigne par $M$ et $N$ deux points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $(\mathcal C)$ et $(\mathcal D)$ .

On dit que $M$ et $N$ sont indiscernables loursque la distance $MN$ est inférieure à $0,5$ mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $M$ et $N$ sont indiscernables.

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Bac Sénégal 2024 séries S1-S1A-S3

1,5 point par question

exercice 1

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct    $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right)\,, }$ on considère la similitude directe    $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ d'écriture complexe    $\overset{ { \white{ _. } } } { z'=\dfrac 32(1-\text i)\,z+4-2\text i \, . }$

Proposition 1 :    $\overset{ { \white{ . } } } { f=r\circ h }$ où    $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ est l'homothétie de rapport    $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{3\sqrt 2}{2} }$ et de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixe    $\overset{ { \white{ _. } } } { -2-2\text i }$ et    $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ la rotation de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et d'angle    $\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{\pi}{4} \, . }$
Proposition vraie.

L'écriture complexe de la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est :    $\overset{ { \white{ _. } } } { z'=\dfrac 32(1-\text i)\,z+4-2\text i \, . }$
Nous observons que    $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 32(1-\text i)\neq 1. }$
Dès lors, nous déduisons que la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ admet un point invariant    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixe    $\overset{ { \white{ _. } } } { \omega }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est la composée :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\star}{\white{x}}$ de l'homothétie    $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega(\omega) }$ et de rapport    $\overset{ { \white{ . } } } { \left|\dfrac 32(1-\text i)\right|}$ et
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\star}{\white{x}}$ de la rotation $\overset{ { \white{ _. } } } {r }$ de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega(\omega) }$ et d'angle    $\overset{ { \white{ . } } } { \arg\left(\dfrac 32(1-\text i)\right) }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { \omega }$ du point fixe $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega. }$

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i\quad\Longleftrightarrow\quad\omega=\dfrac 32\,\omega-\dfrac 32\,\omega\text i+4-2\text i \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\omega-\dfrac 32\,\omega+\dfrac 32\,\omega\text i=4-2\text i} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad-\dfrac 12\,\omega+\dfrac 32\,\omega\text i=4-2\text i} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad-\dfrac 12(1-3\text i)\,\omega=4-2\text i} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{4-2\text i}{-\dfrac 12(1-3\text i)}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{8-4\text i}{-1+3\text i}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{(8-4\text i)(-1-3\text i)}{(-1+3\text i)(-1-3\text i)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{-8-24\text i+4\text i-12}{1+9}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{-20-20\text i}{10}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\omega=\dfrac 32(1-\text i)\,\omega+4-2\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad\,\omega=\dfrac{10(-2-2\text i)}{10}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\omega=-2-2\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ de l'homothétie $\overset{ { \white{ . } } } { h. }$

${ \white{ xxi } }$ $k=\left|\dfrac 32(1-\text i)\right| \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{k}=\dfrac 32\,\Big|1-\text i\Big|} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{k}=\dfrac 32\,\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{k}=\dfrac 32\,\sqrt{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{k=\dfrac {3\sqrt{2}}{2}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta}$ de la rotation $\overset{ { \white{ . } } } { r. }$

$\theta=\arg\left(\dfrac 32(1-\text i)\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\theta=\arg(1-\text i)}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { |1-\text i|=\sqrt{1+(-1)^2}=\sqrt 2\quad\Longrightarrow\quad |1-\text i|=\sqrt 2 }$

$\text{D'où }\quad1-\text i=\sqrt 2\,\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) \\\phantom{\text{D'où }\quad1-\text i}=\sqrt 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{4}} }$

Par conséquent, la similitude directe   $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est la composée de l'homothétie    $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ de rapport    $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{3\sqrt 2}{2} }$ et de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixe    $\overset{ { \white{ _. } } } { -2-2\text i }$ et de la rotation    $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ de centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et d'angle    $\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{\pi}{4} \, . }$
La proposition est donc vraie.

2. L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\overset{ { \white{. } } } { \left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\right)\, .}$
Soit $\Sigma$ la surface d'équation $x=y^2+z^2 \, .$

Proposition 2 : La section de la surface $\overset{ { \white{ _. } } } {\Sigma}$ et du plan d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {z=\lambda}$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {\lambda}$ est un réel, est une hyperbole.
Proposition fausse.

Une surface d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {x=y^2+z^2}$ est une surface de révolution engendrée par la rotation autour de l'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (Ox) }$ de la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=y^2 }$ dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\;;\;\vec i\,,\vec j)\,. }$
Cette surface est un paraboloïde de révolution.

La section de cette surface et du plan d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {z=\lambda}$ est une parabole.
La proposition est donc fausse.

3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\overset{ { \white{ . } } } {\left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right).}$

Proposition 3 : La similitude plane directe de rapport 2, d'angle    $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{6} }$ et de centre le point $\overset{ { \white{ . } } } { I}$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { 1-\text i }$ a pour écriture complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z'=\left(\sqrt 3+\text i\right)\,z+\sqrt 3-\text i\sqrt 3 . }$
Proposition fausse.

Toute similitude directe de centre $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega(\omega)\,,}$ de rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \theta }$ admet une écriture complexe de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'-\omega=k\,\text e^{\theta}(z-\omega)} }$

Si $\overset{ { \white{ . } } } {\omega=1-\text i,\;k=2\text{ et }\theta=\dfrac{\pi}{6}\,, }$ alors l'écriture complexe de la similitude peut s'écrire comme suit :

$z'-(1-\text i)=2\,\text e^{\frac{\pi}{6}}\Big(z-(1-\text i)\Big)\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1+\text i=2\,\Big(\cos\dfrac\pi6+\text i\sin\dfrac\pi6\Big)(z-1+\text i) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-(1-\text i)=2\,\text e^{\frac{\pi}{6}}\Big(z-(1-\text i)\Big)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1+\text i=2\,\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12\text i\Big)(z-1+\text i) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-(1-\text i)=2\,\text e^{\frac{\pi}{6}}\Big(z-(1-\text i)\Big)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1+\text i=(\sqrt3+\text i)(z-1+\text i) } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-(1-\text i)=2\,\text e^{\frac{\pi}{6}}\Big(z-(1-\text i)\Big)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1+\text i=(\sqrt3+\text i)z-\sqrt3-\text i+\sqrt3\,\text i-1}$

$\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z'-(1-\text i)=2\,\text e^{\frac{\pi}{6}}\Big(z-(1-\text i)\Big)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=(\sqrt3+\text i)z-\sqrt3-2\text i+\sqrt3\,\text i} \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{z'=(\sqrt3+\text i)z-\sqrt3-(2-\sqrt3)\,\text i}$

Cette écriture complexe de la similitude n'est pas équivalente à l'écriture citée dans la proposition.
La proposition est donc fausse.

4. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k\right)\,,}$ on considère les points $A(1\,,\,2\,,\,3)\;,\;B(0\,,\,1\,,\,4)\;,\;C(-1\,,\,-3\,,\,2)\;,\;D(4\,,\,-2\,,\,5) \, .$

Proposition 4 : Les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AB)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(CD)}$ sont orthogonales.
Proposition fausse.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;2\;;\;3)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(0\;;\;1\;;\;4)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}0-1\\ 1-2 \\4-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-1\\-1\\\phantom{ . } { 1}\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}C(-1\;;\;-3\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { D(4\;;\;-2\;;\;5)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}4+1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -2+3} \\5-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}5\\ 1\\3\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=(-1) \times5+(-1)\times1+1\times3 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}}=-5-1+3} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}}=-3\neq0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\not\perp\overrightarrow {CD}}$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AB)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(CD)}$ ne sont pas orthogonales.
La proposition est donc fausse.

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\; \overrightarrow u\,,\overrightarrow v\right)\, . }$
On considère un point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { a\,. }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ la réflexion d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\,,\overrightarrow u\right) }$ et $\overset{ { \white{ P. } } } { s_A}$ la symétrie centrale de centre $\overset{ { \white{ . } } } {A. }$

Proposition 5 : L'ensemble des nombres complexes $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { s\circ s_A=s_A\circ s }$ est l'ensemble des réels.
Proposition vraie.

Par définition, $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est la réflexion d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\,,\overrightarrow u\right) .}$
L'écriture complexe de $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est donc : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'=\overline z}\,.}$

Par définition, $\overset{ { \white{ P. } } } { s_A}$ est la symétrie centrale de centre $\overset{ { \white{ . } } } {A. }$
Le point $\overset{ { \white{ } } } { M' }$ d'affixe $\overset{ { \white{ } } } { z' }$ est l'image du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ par la symétrie centrale de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [MM']\,. }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM'}\quad\Longleftrightarrow a-z=z'-a \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM'}}\quad\Longleftrightarrow \boxed{z'=2a-z}}$

L'écriture complexe de $\overset{ { \white{ . } } } { s_A }$ est donc : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'=2a-z}\,.}$

Déterminons l'écriture complexe de $\overset{ { \white{ . } } } { s\circ s_A\,. }$

$(s\circ s_A)(z)=s(s_A(z)) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=s(2a-z)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=\overline{2a-z}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=\overline{2a}-\overline{z}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=2\,\overline{a}-\overline{z}} \\\\\Longrightarrow\boxed{(s\circ s_A)(z)=2\,\overline{a}-\overline{z}}$

Déterminons l'écriture complexe de $\overset{ { \white{ . } } } { s_A\circ s\,. }$

$(s_A\circ s)(z)=s_A(s(z)) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=s_A(\overline z)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)}=2a-\overline{z}} \\\\\Longrightarrow\boxed{(s_A\circ s)(z)=2a-\overline{z}}$

Nous en déduisons que pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ P. } } } {z\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $(s\circ s_A)(z)=(s_A\circ s)(z)\quad\Longleftrightarrow\quad 2\,\overline{a}-\overline{z}=2a-\overline{z} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)=(s_A\circ s)(z)}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\,\overline{a}=2a} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)=(s_A\circ s)(z)}\quad\Longleftrightarrow\quad \overline{a}=a} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(s\circ s_A)(z)=(s_A\circ s)(z)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a\in\R}}$

Par conséquent, l'ensemble des nombres complexes $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { s\circ s_A=s_A\circ s }$ est l'ensemble des réels.
La proposition est donc vraie.

5,75 points

exercice 2

1. Déterminons le reste de la division euclidienne par 3 de chacun des nombres $2^{364}$ et $5^{143}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sachant que $\overset{ { \white{ . } } } { 4=1\times3+1\,, }$ nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { 2^2\equiv 1\,[3] }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { 364=2\times182 }$
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } { 2^{364}=2^{2\times182}\quad\Longleftrightarrow\quad2^{364}=\Big(2^{2}\Big)^{182} }$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $2^2\equiv 1\,[3]\quad\Longleftrightarrow\quad \Big(2^2\Big)^{182}\equiv 1^{182}\,[3] \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2^2\equiv 1\,[3]}\quad\Longleftrightarrow\quad \Big(2^2\Big)^{182}\equiv 1\,[3]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2^2\equiv 1\,[3]}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{2^{364}\equiv 1\,[3]}}$

Par conséquent, le reste de la division euclidienne par 3 de $2^{364}$ est 1.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sachant que $\overset{ { \white{ . } } } { 5=1\times3+2\,, }$ nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { 5\equiv 2\,[3]\,, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { 5\equiv (-1)\,[3]\,. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $5\equiv (-1)\,[3]\quad\Longleftrightarrow\quad 5^{143}\equiv (-1)^{143}\,[3] \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{5\equiv (-1)\,[3]}\quad\Longleftrightarrow\quad 5^{143}\equiv -1\,[3]} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{5\equiv (-1)\,[3]}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ 5^{143}\equiv 2\,[3]}}$

Par conséquent, le reste de la division euclidienne par 3 de $5^{143}$ est 2.

2. Démontrons que pour tout entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad n(n^2-4) }$ est divisible par 3.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { n\in\Z. }$
Alors nous savons qu'il existe un unique couple $\overset{ { \white{ . } } } { (k\;;\;r) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } {k \in\Z }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { r\in \N }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+r }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { 0\le r<3\,. }$
Trois cas sont possibles : $\overset{ { \white{ _. } } } { n=3k }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+1 }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+2\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k\,, }$ alors :

${ \white{ xxi } }$ $n(n^2-4)=3k\Big((3k)^2-4\Big) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=3k(9k^2-4)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=3\times \Big[k(9k^2-4)\Big]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\Z,\quad n(n^2-4)={\red{3\times}} \Big[k(9k^2-4)\Big]\quad\text{avec }\quad k(9k^2-4)\in\Z}$

D'où si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k\,, }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } { n(n^2-4) }$ est divisible par 3.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+1\,, }$ alors :

${ \white{ xxi } }$ $n(n^2-4)=(3k+1)\Big((3k+1)^2-4\Big) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+1)(9k^2+6k+1-4)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+1)(9k^2+6k+3)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+1)\times3(3k^2+2k+1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=3\times \Big[(3k+1)(3k^2+2k+1)\Big]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\Z,\quad n(n^2-4)={\red{3\times}} \Big[(3k+1)(3k^2+2k+1)\Big]\quad\text{avec }\quad (3k+1)(3k^2+2k+1)\in\Z}$

D'où si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+1\,, }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } { n(n^2-4) }$ est divisible par 3.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+2\,, }$ alors :

${ \white{ xxi } }$ $n(n^2-4)=(3k+2)\Big((3k+2)^2-4\Big) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+2)(9k^2+12k+4-4)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+2)(9k^2+12k)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=(3k+2)\times3(3k^2+4k)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{n(n^2-4)}=3\times \Big[(3k+2)(3k^2+4k)\Big]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\Z,\quad n(n^2-4)={\red{3\times}} \Big[(3k+2)(3k^2+4k)\Big]\quad\text{avec }\quad (3k+2)(3k^2+4k)\in\Z}$

D'où si $\overset{ { \white{ . } } } { n=3k+2\,, }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } { n(n^2-4) }$ est divisible par 3.

Par conséquent, pour tout entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad n(n^2-4) }$ est divisible par 3.

3. Démontrons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad 4^n\equiv 1\,[3]\, . }$

Sachant que $\overset{ { \white{ . } } } { 4=1\times3+1\,, }$ nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { 4\equiv 1\,[3] }$
D'où pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad 4^n\equiv 1^n\,[3]\,, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ 4^n\equiv 1\,[3]} }$

Nous pouvons également démontrer cette relation par récurrence.

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad 4^n\equiv 1\,[3]\, . }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=0\,, }$ soit que $\overset{{\white{.}}}{4^0\equiv 1\,[3]}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{4^0=1=0\times3+1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{4^0\equiv 1\,[3]}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 4^n\equiv 1\,[3]}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 4^{n+1}\equiv 1\,[3]\, .}$
Autrement dit, montrons que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 3|4^n-1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 3|4^{n+1}-1\, .}$

D'une part, nous savons que : $\overset{ { \white{ . } } } { 3|4^n-1\quad\Longleftrightarrow\quad\exists k\in\N:4^n-1=3k. }$

D'autre part,

${ \white{ xxi } }$ $4^{n+1}-1=4\times4^n-1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=(3+1)\times4^n-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=3\times4^n+4^n-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=3\times4^n+(4^n-1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=3\times4^n+3k} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=3\times(4^n+k)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{4^{n+1}-1}=3\times k'\quad\text{avec }k'=4^n+k}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ \boxed{3|4^{n+1}-1}\, .}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad \boxed{4^n\equiv 1\,[3]}\, . }$

4. Prouvons que $\overset{ { \white{ } } } { 4^{28}-1 }$ est divisible par $\overset{ { \white{ . } } } { 29\,. }$

Rappelons le petit théorème de Fermat :

${ \white{ xxi } }$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { p }$ est un nombre entier et $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ un entier naturel premier avec $\overset{ { \white{ . } } } { p\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { a^{p-1}-1\equiv0\;[p]\,. }$

29 est un nombre entier.
Les nombres 4 et 29 sont premiers entre eux.
Dès lors, selon le théorème de Fermat, nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { 4^{29-1}-1\equiv0\;[29]\,, }$ soit que $\overset{ { \white{ . } } } { 4^{28}-1\equiv0\;[29]\,. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ } } } { 4^{28}-1 }$ est divisible par $\overset{ { \white{ . } } } { 29\,. }$

5. Montrer que le nombre dont l'écriture en base 3 est $\overset{ { \white{ _. } } } { 100100 }$ est divisible par 3.

Le nombre dont l'écriture en base 3 est $\overset{ { \white{ _. } } } { 100100 }$ se calcule en base 10 par la somme $\overset{ { \white{ . } } } { 1\times3^5+0\times3^4+0\times3^3+1\times3^2+0\times3+0=3^5+3^2. }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {3^5+3^2={\red{3\times}}(3^4+3) }$ qui est un multiple de 3.

Par conséquent, le nombre dont l'écriture en base 3 est $\overset{ { \white{ _. } } } { 100100 }$ est divisible par 3.

8 points

exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\; \overrightarrow i\,,\overrightarrow j\right) }$ d'unité graphique 2 cm.

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x+\ln\left(1+\text e ^{-x}\right) \,. }$

1. a) Nous devons étudier les variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f\,. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;,\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=1+\dfrac{(1+\text e^{-x})'}{1+\text e^{-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1+\dfrac{-\,\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1+\text e^{-x}-\text e^{-x}}{1+\text e^{-x}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{1+\text e^{-x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad f\,'(x)=\dfrac{1}{1+\text e^{-x}}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad \text e^{-x}>0\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{1+\text e^{-x}}>0. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)>0. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$

Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

$\begin{matrix}f(0)=0+\ln (1+\text e^0)\\\phantom{f(0)}=\ln 2\phantom{WWWW}\\\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\phantom{ww}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|cccc|}\hline &&&&&x&0&&&+\infty&&&&& \\\hline &&&& \\f'(x)&&+&+&\\&&&&\\\hline &&&&+\infty\\f&&\nearrow&\nearrow&\\&\ln 2&&&\\\hline \end{array}$

1. b) Nous avons montré dans la question précédente que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {f(0)=\ln 2>0. }$

Dès lors, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;,\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(0)< f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\ln 2<f(x)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<f(x)}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement positive sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$

1. c) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet pour asymptote la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x . }$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=0. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\Big(1+\text e^{-x}\Big)=1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\Big(1+\text e^{-x}\Big)=\ln 1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\Big(1+\text e^{-x}\Big)=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(f(x)-x\Big)=0}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet pour asymptote la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x . }$

1. d) Construisons $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal D)\, . }$

Bac Sénégal 2024 séries S1-S1A-S3 : image 1

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ l'intégrale définie par $\overset{ { \white{ . } } } { I=\displaystyle\int_0^1 \ln\left(1+\text e ^{-x}\right)\,\text dx\, . }$

2. a) Nous savons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$

Donc l'intégrale $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_f }$ compris entre la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C)\,, }$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x=1. }$

2. b) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\geqslant 0\,,\quad \dfrac{t}{1+t}\leqslant \ln (1+t) \leqslant t .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons d'abord que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\geqslant 0\,,\quad \ln (1+t) \leqslant t .}$

Soit la fonction $\overset{ { \white{ p. } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { g(t)=t-\ln(1+t) \,. }$
La fonction $\overset{ { \white{ p. } } } { g}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { t\in [0\;,\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $g'(t)=1-\dfrac{(1+t)'}{1+t} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=1-\dfrac{1}{1+t}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{1+t-1}{1+t}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{t}{1+t}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad g'(t)=\dfrac{t}{1+t}}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { t\ge0\,, }$ nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { g'(t)\ge0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$
D'où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$

Dès lors, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge0\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $g(0)\le g(t)\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le t-\ln(1+t) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g(0)\le g(t)}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(1+t)\le t}$

Par conséquent, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\ge 0\,,\quad \boxed{\ln (1+t) \le t}\; .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons ensuite que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\geqslant 0\,,\quad \dfrac{t}{1+t}\le \ln (1+t) .}$

Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { h(t)=\ln(1+t) -\dfrac{t}{1+t} \,. }$
La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { t\in [0\;,\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $h'(t)=\dfrac{(1+t)'}{1+t}-\dfrac{t'\times(1+t)-t\times(1+t)'}{(1+t)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1+t-t}{(1+t)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{(1+t)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{1+t-1}{(1+t)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(t)}=\dfrac{t}{(1+t)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad h'(t)=\dfrac{t}{(1+t)^2}}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { t\ge0\,, }$ nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { h'(t)\ge0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$
D'où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[\,. }$

Dès lors, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {t\ge0\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $h(0)\le h(t)\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le \ln(1+t)-\dfrac{t}{1+t} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g(0)\le g(t)}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{t}{1+t}\le \ln(1+t)}$

Par conséquent, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\ge 0\,,\quad \boxed{\dfrac{t}{1+t}\le \ln(1+t)}\; .}$

Nous avons donc montré que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t\geqslant 0\,,\quad \boxed{\dfrac{t}{1+t}\leqslant \ln (1+t) \leqslant t}\, .}$

2. c) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0\;,\;+\infty[\;,\;\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \leqslant \ln(1+\text e^{-x}) \leqslant \text e^{-x} . }$

Dans la question 2. b), nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { t\ge 0\,. }$
De plus, nous savons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x\geqslant 0\,,\quad \text e^{-x}>0\, .}$
Dès lors, dans cette question 2. b), nous pouvons remplacer $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e^{-x}\,. }$

Nous obtenons alors : pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0\;,\;+\infty[\;,\;\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \leqslant \ln(1+\text e^{-x}) \leqslant \text e^{-x} . }$

2. d) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\ln\left(\dfrac{2}{1+\text e ^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1-\text e ^{-1} . }$

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0\;,\;+\infty[\;,\;\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \leqslant \ln(1+\text e^{-x}) \leqslant \text e^{-x} . }$

Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx\leqslant\displaystyle\int_0^1 \ln(1+\text e^{-x})\;\text dx \leqslant \displaystyle\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx\,, }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx\leqslant I\leqslant \displaystyle\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx} }$   (relation (1)).

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx=-\int_0^1\dfrac{-\,\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx}=-\int_0^1\dfrac{(1+\,\text e ^{-x})'}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx}=-\Big[\ln(1+\text e^{-x})\Big]_0^1} \\ \phantom{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx}=-\Big(\ln(1+\text e^{-1})-\ln(1+\text e^{0})\Big) \\ \phantom{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx}=-\Big(\ln(1+\text e^{-1})-\ln 2\Big) \\ \phantom{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx}=\ln 2-\ln(1+\text e^{-1}) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\int_0^1\dfrac{\text e ^{-x}}{1+\text e ^{-x}} \;\text dx=\ln\left(\dfrac{2}{1+\text e^{-1}}\right)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^1\text e ^{-x} \;\text dx\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_0^1\text e ^{-x} \;\text dx=-\int_0^1-\,\text e ^{-x} \;\text dx \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx}=-\int_0^1(-x)'\,\text e ^{-x} \;\text dx} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx}=-\Big[\text e ^{-x}\Big]_0^1} \\ \phantom{\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx}=-\Big(\text e ^{-1}-\text e ^{0}\Big) \\ \phantom{\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx}=-\Big(\text e ^{-1}-1\Big) \\ \phantom{\int_0^1\text e^{-x} \;\text dx}=1-\text e^{-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\int_0^1\text e ^{-x} \;\text dx=1-\text e^{-1} }$

Par conséquent, la relation (1) peut s'écrire : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\ln\left(\dfrac{2}{1+\text e ^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1-\text e ^{-1} }\, . }$

3. On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } {M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ deux points de même abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ appartenant respectivement à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal D) \, . }$
On dit que $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont indiscernables lorsque la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { MN }$ est inférieure à $\overset{ { \white{ . } } } {0,5 }$ mm.

Nous devons déterminer l'ensemble des valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ pour lesquelles $\overset{ { \white{ _. } } } {M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont indiscernables.

Nous savons que l'unité graphique mesure 2 cm, soit 20 mm.

Donc $\overset{ { \white{ . } } } {0,5 }$ mm correspond à $\dfrac{1}{40}$ unité, soit $\overset{ { \white{ . } } } {0,025 }$   unité graphique.

Dès lors, nous recherchons l'ensemble des valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ pour lesquelles $\overset{ { \white{ . } } } { MN\le 0,025. }$

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } {M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont deux points de même abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ appartenant respectivement à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal D) \, . }$ nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { MN=|f(x)-x| }$

Or    $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-x=\ln(1+\text e^{-x}) }$

$\text{et }\quad\text e^{-x}>0\quad\Longrightarrow\quad 1+\text e^{-x}>1\\\phantom{WWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\ln(1+\text e^{-x})>0$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-x>0 }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{MN=f(x)-x} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $MN\le 0,025\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x\le0,025 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(1+\text e^{-x})\le0,025} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad1+\text e^{-x}\le\text e^{0,025}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad\text e^{-x}\le\text e^{0,025}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad\text e^{-x}\le\text e^{0,025}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad -x\le\ln(\text e^{0,025}-1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge-\ln(\text e^{0,025}-1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{MN\le 0,025}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\ln\Big(\dfrac{1}{\text e^{0,025}-1}\Big)}$

Par conséquent, l'ensemble des valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ pour lesquelles les points $\overset{ { \white{ _. } } } {M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont indiscernables est l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\Big[\ln\Big(\dfrac{1}{\text e^{0,025}-1}\Big)\;;\;+\infty\Big[} }$

Publié par malou le 11-11-2024

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