Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Sénégal 2024

Séries L1a-L1b-L'1-L2-LA

Épreuve du 2^e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 2 7,5 points

exercice 1

Pour chacun des 5 items ci-dessous, indiquer la lettre qui correspond à l'unique bonne réponse. Chaque bonne réponse rapporte 01,5 point.

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L’1-L2-LA (2e groupe) : image 2

5 points

exercice 2

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \frac{2x-1}{x+2}$ et $g(x) = \ln x$ .

1. Déterminer les ensembles de définition respectifs des fonctions $f$ et $g$ .

2. Calculer $(g \circ f)(3)$ et $(f \circ g)(1)$ .

3. Déterminer les ensembles de définition respectifs des fonctions $g \circ f$ et $f \circ g$ .

4. Donner les formules explicites respectives de $(g \circ f)(x)$ et de $(f \circ g)(x)$ .

7,5 points

exercice 3

Dans une classe de 12 élèves, la répartition suivant l'âge et le sexe est donnée par le tableau suivant :

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L’1-L2-LA (2e groupe) : image 1

On choisit au hasard et simultanément trois élèves de la classe.

1. Déterminer le nombre de choix possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

a. A « les élèves choisis sont des filles ».

b. B « les élèves choisis ont plus de 18 ans ».

c. C « les trois élèves choisis ne sont pas tous du même sexe ».

d. D « les élèves choisis ont tous le même âge ».

Voir la correction

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L?1-L2-LA (2e groupe)

7,5 points

exercice 1

Pour chacun des 5 items ci-dessous, nous devons indiquer la lettre qui correspond à l'unique bonne réponse.

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L’1-L2-LA (2e groupe) : image 6

Ci-dessous, le tableau reprenant les bonnes réponses.

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L’1-L2-LA (2e groupe) : image 4

Explications

Item n° 1.

${ \white{ xxi } }$ $\ln x=\ln6-\ln4=\ln\dfrac 64=\ln\dfrac 3 2 \\\Longrightarrow\boxed{\ln x =\ln\dfrac 32 }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { x=\dfrac32, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ x=1,5} }$
La réponse correcte est donc la réponse b.

Item n° 2.

${ \white{ xxi } }$ $\text e^x=10^3\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(\text e^x)=\ln(10^3) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text e^x=10^3\quad}\Longleftrightarrow\quad x=\ln(10^3) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text e^x=10^3\quad}\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=3\ln10} }$
La réponse correcte est donc la réponse c.

Item n° 3.

$\overset{ { \white{ . } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ étant deux ensembles finis, selon la formule du crible, nous obtenons :

$\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B) } }$
La réponse correcte est donc la réponse c.

Item n° 4.

Si $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\ln(1-x^2), }$ alors

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac{(1-x^2)'}{1-x^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{-2x}{1-x^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{-2x}{-(x^2-1)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{2x}{x^2-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}}$
La réponse correcte est donc la réponse b.

Item n° 5.

$\ln(x+1)<2\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x+1)<\ln(\text e^2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ln(x+1)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x+1>0\\x+1<\text e^2 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ln(x+1)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x>-1\\x<\text e^2 -1 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ln(x+1)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad -1< x <\text e^2 -1}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } {\ln(x+1)<2 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{]-1\;;\;\text e^2-1[} }$
La réponse correcte est donc la réponse c.

5 points

exercice 2

On considère les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définies par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = \dfrac{2x-1}{x+2} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { g(x) = \ln x . }$

1. Nous devons déterminer les ensembles de définition respectifs des fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}f(x)\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad x+2\neq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(x)\in\R } \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq -2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{D_f=\R\setminus\lbrace -2 \rbrace}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}g(x)\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad x>0\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{D_g=\;]0\;;\;+\infty[}$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { (g \circ f)(3) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (f \circ g)(1) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(g \circ f)(3)=g\Big(f(3)\Big) \\\\\text{Or }\; f(3)=\dfrac{2\times3-1}{3+2}=\dfrac 55=1 \\\\\text{D'où }\;(g \circ f)(3)=g(1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\;(g \circ f)(3) }=\ln 1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\;(g \circ f)(3) }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(g \circ f)(3)=0}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(f \circ g)(1)=f\Big(g(1)\Big) \\\\\text{Or }\; g(1)=\ln1=0 \\\\\text{D'où }\;(f \circ g)(1)=f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\;(f \circ g)(1) }=\dfrac{2\times0-1}{0+2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\;(f \circ g)(1) }=-\dfrac12} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(f \circ g)(1)=-\dfrac12}$

3. Nous devons déterminer les ensembles de définition respectifs des fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { g \circ f }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f \circ g. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} x\in D_{g\,\circ f}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x\in D_f\\f(x)\in D_g\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} x\in D_{g\,\circ f} } \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x\neq -2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{2x-1}{x+2}>0}\end{cases} }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\,\bullet}{\white{x}}$ D'une part, nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } {{\blue{ x\neq -2}}. }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\,\bullet}{\white{x}}$ Nous allons d'autre part étudier le signe du quotient $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{2x-1}{x+2} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } 2x-1>0\Longleftrightarrow 2x>1\\\phantom{2x-1>0}\Longleftrightarrow x>\dfrac 12\\\overset{ { \white{ . } } } { 2x-1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac 12} \\\overset{ { \white{ . } } } { 2x-1<0\Longleftrightarrow x<\dfrac 12} \\\\x+2>0\Longleftrightarrow x>-2\\x+2=0\Longleftrightarrow x=-2\\x+2<0\Longleftrightarrow x<-2\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline &&&&&&&&\\x&-\infty&&-2&&\dfrac 12&&&+\infty\\ &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&\\2x-1&&-&-&-&0&+&&&x+2&&-&0&+&+&+&&\\&&&&&&&&\\\hline&&&||&&&&&\\\dfrac {2x-1}{x+2}&&+&||&-&0&+&&\\&&&||&&&&&\\\hline \end{array}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac {2x-1}{x+2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad{\blue{ x\in\;\Big]-\infty\;;\;-2\,\Big[\;\cup \,\Big]\,\dfrac 12\;;\;+\infty\,\Big[}} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{D_{g\,\circ f}=\Big]-\infty\;;\;-2\,\Big[\;\cup \,\Big]\,\dfrac 12\;;\;+\infty\,\Big[} }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} x\in D_{f\,\circ\, g}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x\in D_g\\g(x)\in D_f\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} x\in D_{g\,\circ f} } \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \ln x\neq -2}\end{cases} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} x\in D_{g\,\circ f} } \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {x\neq \text e^{-2}}\end{cases} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{D_{f\,\circ\, g}=\Big]\,0\;;\;\text e^{-2}\,\Big[\;\cup \,\Big]\,\text e^{-2}\;;\;+\infty\,\Big[} }$

4. Nous devons donner les formules explicites respectives de $\overset{ { \white{ . } } } { (g \circ f)(x) }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { (f \circ g)(x) . }$

${ \white{ xxi } }$ $(g \circ f)(x)=g\Big(f(x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ (g \circ f)(x)}=g\Big(\dfrac{2x-1}{x+2}\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ (g \circ f)(x)}=\ln\Big(\dfrac{2x-1}{x+2}\Big) } \\\\\Longrightarrow\boxed{(g \circ f)(x)=\ln\Big(\dfrac{2x-1}{x+2}\Big) }$

${ \white{ xxi } }$ $(f \circ g)(x)=f\Big(g(x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ (g \circ f)(x)}=f(\ln x) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ (g \circ f)(x)}=\dfrac{2\ln x-1}{\ln x+2} } \\\\\Longrightarrow\boxed{(f \circ g)(x)=\dfrac{2\ln x-1}{\ln x+2} }$

7,5 points

exercice 3

Dans une classe de 12 élèves, la répartition suivant l'âge et le sexe est donnée par le tableau suivant :

${ \white{ WWWW } }$

Bac Sénégal 2024 séries L1a-L1b-L’1-L2-LA (2e groupe) : image 5

On choisit au hasard et simultanément trois élèves de la classe.

1. Déterminons le nombre de choix possibles.

Le nombre de choix possibles est le nombre de groupements de 3 élèves parmi 12.

${ \white{ xxi } }$ $C_{12}^3=\begin{pmatrix}12\\3\end{pmatrix}=\dfrac{12!}{3!(12-3)!}=\dfrac{12!}{3!\,9!}=\dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{C_{12}^3=\begin{pmatrix}12\\3\end{pmatrix}=220}$

Donc il y a 220 cas possibles.

2. Nous devons calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

2. a) A : « les élèves choisis sont des filles ».

Dans la classe de 12 élèves, il y a 7 filles.
Le nombre de groupements de 3 filles choisies parmi 7 filles est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_{7}^3=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}=\dfrac{7!}{3!(7-3)!}=\dfrac{7!}{3!\,4!}=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1} }$ , soit à 35.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{p(A)=\dfrac{35}{220}=\dfrac{7}{44}} }$

2. b) B : « les élèves choisis ont plus de 18 ans ».

Dans la classe de 12 élèves, 5 parmi eux ont plus de 18 ans (4 élèves de 19 ans et un élève de 20 ans).
Le nombre de groupements de 3 élèves de plus de 18 ans choisis parmi 5 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_{5}^3=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{5!}{3!\,2!}=10 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{p(B)=\dfrac{10}{220}=\dfrac{1}{22}} }$

2. c) C : « les trois élèves choisis ne sont pas tous du même sexe »

L'événement contraire est $\overset{ { \white{ } } } { \overline C }$ : « les trois élèves choisis sont tous les trois des filles ou des garçons. »

Calculons la probabilité $\overset{ { \white{ _. } } } { p(\overline C). }$

Nous avons montré dans la question 2. a. que la probabilité que les élèves choisis sont des filles est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{35}{220}. }$

Calculons la probabilité que les élèves choisis sont des garçons.
Dans la classe de 12 élèves, il y a 5 garçons.
Le nombre de groupements de 3 garçons choisis parmi 5 garçons est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_{5}^3=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{5!}{3!\,2!}=10 . }$

Par conséquent, la probabilité que les élèves choisis sont des garçons est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{10}{220} }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(\overline C)=\dfrac{35}{220}+\dfrac{10}{220}=\dfrac{45}{220}=\dfrac{9}{44}. }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { p(C)=1-p(\overline C)=1-\dfrac{9}{44}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(C)=\dfrac{35}{44}} }$

2. d) D « les élèves choisis ont tous le même âge ».

Les 3 élèves choisis ont donc, soit 18 ans, soit 19 ans.

Le nombre de groupements de 3 élèves de 18 ans choisis parmi 7 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_{7}^3=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}=\dfrac{7!}{3!(7-3)!}=\dfrac{7!}{3!\,4!}=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1} }$ , soit à 35.

Le nombre de groupements de 3 élèves de 19 ans choisis parmi 4 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_{4}^3=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{3!(4-3)!}=\dfrac{4!}{3!\,1!} }$ , soit à 4.

Donc le nombre de groupements de 3 élèves ayant le même âge est égal à 35 + 4 = 39.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{p(D)=\dfrac{39}{220}} }$

_{Merci à Hiphigénie et malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 12-03-2025

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