Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques Bac Sénégal

2024

séries S2-S2A-S4-S5 (2e groupe)

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Durée : 2 heures

Coefficient : 5


8 points

exercice 1

Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays. Son intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue. Le tableau ci-dessous représente la production d'arachide   (y_i)  en fonction de la quantité d'engrais   (x_i)  utilisée.

Bac Senegal 2024 séries S2-S2A-S4-S5 (2e groupe) : image 1


A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :

1. la production d'arachide obtenue est-elle fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée? Justifier la réponse.

2. donner une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à 20 (en milliers de kilogrammes).

6 points

exercice 2

Un dé truqué à six faces numérotées de 1 à 6 est tel que les faces 1 et 6 ont la même probabilité de sortie et apparaissent deux fois plus que les autres faces. On note   P_i  la probabilité d'apparition de la face numérotée   i  .

1. Montrer que   {P_1}=\dfrac 14. 

2. En déduire   P_2\,,P_3\,,P_4\,,P_5\text{ et }P_6. 

3. Soit A l'événement « obtenir un nombre pair ». Calculer la probabilité de A.

4. On lance 10 fois de suite ce dé. Les résultats des lancers étant indépendants, déterminer la probabilité d'obtenir 6 fois un nombre pair.

6 points

exercice 3

On désigne par   f  une fonction non constante, positive et deux fois dérivable sur   \mathbb R  telle que :

  \left\lbrace\begin{matrix} (f(x))^2&- & (f'(x))^2 &= & 1\,, & \forall x\in \mathbb R\\ & & f'(0)&= & 0& \end{matrix}\right. 

1. Calculer   f(0)  .

2. Montrer que pour tout réel   x  ,   f''(x)=f(x). 

3. On pose   k(x)=f'(x)+f(x)  et   j(x)=f'(x)-f(x). 

a. Calculer   j(0)  et   k(0). 

b. Montrer que pour tout réel   x  ,   k'(x)=k(x)  et   j'(x)=-j(x). 

c. En déduire l'expression algébrique de   k(x)  et   j(x)  puis montrer que   f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}. 


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Bac Sénégal 2024 séries S2-S2A-S4-S5 (2e groupe)

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8 points

exercice 1

Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays. Son intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue.
Le tableau ci-dessous représente la production d'arachide  \overset{ { \white{ . } } } { (y_i) }  en fonction de la quantité d'engrais  \overset{ { \white{ . } } } { (x_i) }  utilisée.

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&\\x_i&&6&&&8&&&9&&&10&&&12&&\ &&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&\\y_i&&10&&&14&&&15&&&18&&&20&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

1.  Déterminons si la production d'arachide obtenue est fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée.

Les moyennes de  \overset{ { \white{ . } } } { x }  et de  \overset{ { \white{ . } } } { y }  sont données par : :

\begin{cases} \overline{x}=\dfrac{6+8+9+10+12}{5}\\\overset{{\white{.}}}{\overline{y}=\dfrac{10+14+15+18+20}{5}\phantom{ww}}\end{cases}\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\begin{cases}\overline{x}=9\\\overline{y}=15,4\end{cases}

Tableau statistique complété.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\ x_i&\phantom{i} 6\phantom{i} & \phantom{v}8\phantom{v} & 9 & 10 & 12 \\&&&&& \\ \hline& & & & &\\ x_i-\overline{x} & -3 &-1& 0 &1 & 3\\&&&&&\\ \hline& & & & &\\ y_i & 10 & 14& 15 &18 &20\\&&&&&\\ \hline& & & & & \\ y_i-\overline{y} & -5,4 & -1,4& -0,4 &2,6 & 4,6\\&&&&& \\\hline \end{array}


\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[-3\times(-5,4)-1\times(-1,4)+\cdots+3\times4,6\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=6,8 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[(-3)^2+(-1)^2+\cdots+3^2\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=4 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[(-5,4)^2+(-1,4)^2+\cdots+4,6^2\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=11,84

D'où le coefficient de corrélation est  \overset{{\white{.}}}{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{6,8}{\sqrt{4\times 11,84}}\approx0,9881.}

Puisque  \overset{ { \white{ . } } } { 0,87<r<1, }  les deux variables x  et y  présentent une bonne corrélation.
La valeur  \overset{ { \white{ . } } } { r }  étant proche de proche de 1, cela indique une association linéaire positive étroite.
Dès lors, la production d'arachide obtenue est fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée.

2.  Nous devons donner une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à 20 (en milliers de kilogrammes).

Déterminons par la méthode des moindres carrés une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  de régression de  \overset{ { \white{ . } } } { y }   en  \overset{ { \white{ . } } } { x. } 

Une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  où  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}

\text{Or }\;\begin{cases}a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}=\dfrac{6,8}{4}=1,7\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{x}=15,4-1,7\times9=0,1\end{cases}

Par conséquent, une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  de régression de  \overset{ { \white{ . } } } { y }   en  \overset{ { \white{ . } } } { x }  est :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=1,7x+0,1}\,. } 

Selon ce modèle, donnons une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à 20 milliers de kilogrammes.

Dans l'équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (D), }  remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { x }   par 20 et calculons la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { y. } 
 \overset{ { \white{ . } } } { y=1,7\times20+0,1=34,1 } 

Nous en déduisons que si le don d'engrais s'élève à 20 milliers de kilogrammes, la production d'arachide est estimée à 34,1 milliers de tonnes.


6 points

exercice 2

Un dé truqué à six faces numérotées de 1 à 6 est tel que les faces 1 et 6 ont la même probabilité de sortie et apparaissent deux fois plus que les autres faces.
On note  \overset{ { \white{ _. } } } { P_i }  la probabilité d'apparition de la face numérotée  \overset{ { \white{ _. } } } { i. } 

1.  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ . } } } { P_1=\dfrac 14. } 

Posons :  \overset{ { \white{ . } } } { x=P_1. } 
Les données de l'énoncé peuvent alors se traduire par :

{ \white{ xxi } } \begin{cases} P_1=P_6=x\\P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac x2 \end{cases}

Nous savons que la somme des probabilités d'apparition des faces est égale à 1.

Dès lors,

{ \white{ xxi } } P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1\quad\Longleftrightarrow\quad x+\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac x2+x=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac14} }

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P_1=\dfrac 14}\,. } 

2.  Nous devons en déduire  \overset{ { \white{ . } } } { P_2\,,P_3\,,P_4\,,P_5\text{ et }P_6. } 

Nous avons montré que :  \overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} P_1=P_6=x\\P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac x2\\x=\dfrac 14 \end{cases} } 

Nous en déduisons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\begin{cases} P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac 18\\P_6=\dfrac 14 \end{cases}} } 

3.  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  l'événement « obtenir un nombre pair ».
Nous devons calculer la probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { A. } 

Sur un dé à six faces, les nombres pairs sont : 2, 4 et 6.

{ \white{ xxi } }P(A)=P_2+P_4+P_6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(A) } =\dfrac 18+\dfrac 18+\dfrac 14 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(A) } =\dfrac 12} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(A)=\dfrac 12}

Par conséquent, la probabilité d'obtenir un nombre pair est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 12. } 

4.  On lance 10 fois de suite ce dé. Les résultats des lancers étant indépendants, nous devons déterminer la probabilité d'obtenir 6 fois un nombre pair.

Lors de cette expérience, on répète dix fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « on obtient un nombre pair » dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } { p=P(A)=\dfrac 1 2. } 
Echec : « on obtient un nombre impair » dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } {1-p=\dfrac 1 2. } 
Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  la variable aléatoire comptant le nombre de fois, sur les dix lancers, où un nombre pair est apparu, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } { X }   suit une loi binomiale  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(10\,;\,\dfrac 12\right) } .
Cette loi est donnée par :  \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^k\times\left(\dfrac 1 2\right)^{ 10-k } } 

soit  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^{10} }  ou encore :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\dfrac {1}{1024} } } 

Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ . } } } { X=6. } 

{ \white{ xxi } } P(X=6)=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}\times\dfrac {1}{1024} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=6)} =210\times\dfrac {1}{1024} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=6)} =\dfrac {210}{1024}=\dfrac {105}{512} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=6)=\dfrac {105}{512} \approx0,205}

Par conséquent, la probabilité d'obtenir 6 fois un nombre pair est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac {105}{512}, }  soit environ 0,205 (à 0,001 près).

6 points

exercice 3

On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } { f }  une fonction non constante, positive et deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  telle que :

\left\lbrace\begin{matrix} \Big(f(x)\Big)^2&- & \Big(f'(x)\Big)^2 &= & 1\,, & \forall x\in \mathbb R\\ & & f'(0)&= & 0& \end{matrix}\right.


1.  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { f(0). } 

Utilisons la définition de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix} \Big(f(0)\Big)^2&- & \Big(f'(0)\Big)^2 &= & 1\\ & & f'(0)&= & 0& \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \Big(f(0)\Big)^2-0=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(0)\Big)^2- \Big(f'(0)\Big)^2 = 1\Big(f'(0)\Big)^2 = } \quad\Longrightarrow\quad \Big(f(0)\Big)^2=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(0)\Big)^2- \Big(f'(0)\Big)^2 = 1\Big(f'(0)\Big)^2 = } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=1}\quad\text {car }f\geq0.}

2.  Montrons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad f''(x)=f(x). } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une fonction deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R } 

Nous obtenons alors pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x , } 

{ \white{ xxi } } \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1\quad\Longrightarrow\quad \Big[\Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2\Big ]'=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1}\quad\Longrightarrow\quad 2\,f'(x)f(x)- 2\,f''(x)f'(x)=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1}\quad\Longrightarrow\quad 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0}

Or  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une fonction non constante et par suite,  \overset{ { \white{ . } } } { f'\neq 0. }  Nous en déduisons que

{ \white{ xxi } } 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)- f''(x)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=f''(x) }

Par conséquent, pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad \boxed{f''(x)=f(x)}\,. } 

 3.  On pose  \overset{ { \white{ . } } } { k(x)=f'(x)+f(x) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { j(x)=f'(x)-f(x). } 

3. a)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { j(0) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { k(0). } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}j(0)=f'(0)-f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=0-1 }.\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=-1 } \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{j(0)=-1}

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}k(0)=f'(0)+f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=0+1 }.\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=1 } \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{k(0)=1}

3. b)  Nous devons montrer que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad k'(x)=k(x) \; \text{ et }\; j'(x)=-j(x). } 

Nous avons :

{ \white{ xxi } } k(x)=f'(x)+f(x)\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=f''(x)+f'(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=f(x)+f'(x)\quad(\text{voir question 2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=k(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad k'(x)=k(x)}

De même,

{ \white{ xxi } } j(x)=f'(x)-f(x)\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=f''(x)-f'(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ j(x)=f'(x)-f(x)}\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=f(x)-f'(x)\quad(\text{voir question 2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=-j(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad j'(x)=-j(x)}

3. c)  Nous devons en déduire l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { k(x) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { j(x), }  puis montrer que  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}. }

  D'une part,

{ \white{ xxi } }\forall\,x\in\R,\quad k'(x)=k(x)\quad\Longrightarrow\quad {\blue{k(x)=C_1\,\text e^x\quad\text{où}\quad C_1\in\R.}} \\\\\text{Or }\quad k(0)=1\quad\Longrightarrow\quad C_1\,\text e^0=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad k(0)=1 } \quad\Longrightarrow\quad C_1=1 } \\\\\text{D'où }\quad \boxed{\forall\,x\in\R,\quad k(x)=\text e^x}

D'autre part,

{ \white{ xxi } }\forall\,x\in\R,\quad j'(x)=-j(x)\quad\Longrightarrow\quad {\blue{j(x)=C_2\,\text e^{-x}\quad\text{où}\quad C_2\in\R.}} \\\\\text{Or }\quad j(0)=-1\quad\Longrightarrow\quad C_2\,\text e^0=-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad j(0)=-1 } \quad\Longrightarrow\quad C_2=-1 } \\\\\text{D'où }\quad \boxed{\forall\,x\in\R,\quad j(x)=-\text e^{-x}}

Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}. } 

{ \white{ xxi } } \begin{cases} k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1) \\ j(x)=f'(x)-f(x)\quad (E_2) \end{cases}\quad\underset{(E_1)-(E_2)}{\Longrightarrow}\quad k(x)-j(x)=\Big(f'(x)+f(x)\Big)-\Big(f'(x)-f(x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad k(x)-j(x)=f'(x)+f(x)-f'(x)+f(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad k(x)-j(x)=2f(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad f(x)=\dfrac{k(x)-j(x)}{2}}

Or nous avons montré que  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R,\quad k(x)=\text e^{x}\quad\text{et}\quad j(x)=-\text e^{-x}. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in\R,\quad f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}} } 

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8 points

exercice 1

Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays. Son intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue.
Le tableau ci-dessous représente la production d'arachide  \overset{ { \white{ . } } } { (y_i) }  en fonction de la quantité d'engrais  \overset{ { \white{ . } } } { (x_i) }  utilisée.

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&\\x_i&&6&&&8&&&9&&&10&&&12&&\ &&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&\\y_i&&10&&&14&&&15&&&18&&&20&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

1.  Déterminons si la production d'arachide obtenue est fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée.

Les moyennes de  \overset{ { \white{ . } } } { x }  et de  \overset{ { \white{ . } } } { y }  sont données par : :

\begin{cases} \overline{x}=\dfrac{6+8+9+10+12}{5}\\\overset{{\white{.}}}{\overline{y}=\dfrac{10+14+15+18+20}{5}\phantom{ww}}\end{cases}\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\begin{cases}\overline{x}=9\\\overline{y}=15,4\end{cases}

Tableau statistique complété.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\ x_i&\phantom{i} 6\phantom{i} & \phantom{v}8\phantom{v} & 9 & 10 & 12 \\&&&&& \\ \hline& & & & &\\ x_i-\overline{x} & -3 &-1& 0 &1 & 3\\&&&&&\\ \hline& & & & &\\ y_i & 10 & 14& 15 &18 &20\\&&&&&\\ \hline& & & & & \\ y_i-\overline{y} & -5,4 & -1,4& -0,4 &2,6 & 4,6\\&&&&& \\\hline \end{array}


\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[-3\times(-5,4)-1\times(-1,4)+\cdots+3\times4,6\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=6,8 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[(-3)^2+(-1)^2+\cdots+3^2\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=4 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{5}\,\sum\limits_{i=1}^5(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{5}\,\Big[(-5,4)^2+(-1,4)^2+\cdots+4,6^2\Big] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=11,84

D'où le coefficient de corrélation est  \overset{{\white{.}}}{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{6,8}{\sqrt{4\times 11,84}}\approx0,9881.}

Puisque  \overset{ { \white{ . } } } { 0,87<r<1, }  les deux variables x  et y  présentent une bonne corrélation.
La valeur  \overset{ { \white{ . } } } { r }  étant proche de proche de 1, cela indique une association linéaire positive étroite.
Dès lors, la production d'arachide obtenue est fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée.

2.  Nous devons donner une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à 20 (en milliers de kilogrammes).

Déterminons par la méthode des moindres carrés une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  de régression de  \overset{ { \white{ . } } } { y }   en  \overset{ { \white{ . } } } { x. } 

Une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  où  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}

\text{Or }\;\begin{cases}a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}=\dfrac{6,8}{4}=1,7\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{x}=15,4-1,7\times9=0,1\end{cases}

Par conséquent, une équation de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (D) }  de régression de  \overset{ { \white{ . } } } { y }   en  \overset{ { \white{ . } } } { x }  est :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=1,7x+0,1}\,. } 

Selon ce modèle, donnons une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à 20 milliers de kilogrammes.

Dans l'équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (D), }  remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { x }   par 20 et calculons la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { y. } 
 \overset{ { \white{ . } } } { y=1,7\times20+0,1=34,1 } 

Nous en déduisons que si le don d'engrais s'élève à 20 milliers de kilogrammes, la production d'arachide est estimée à 34,1 milliers de tonnes.


6 points

exercice 2

Un dé truqué à six faces numérotées de 1 à 6 est tel que les faces 1 et 6 ont la même probabilité de sortie et apparaissent deux fois plus que les autres faces.
On note  \overset{ { \white{ _. } } } { P_i }  la probabilité d'apparition de la face numérotée  \overset{ { \white{ _. } } } { i. } 

1.  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ . } } } { P_1=\dfrac 14. } 

Posons :  \overset{ { \white{ . } } } { x=P_1. } 
Les données de l'énoncé peuvent alors se traduire par :

{ \white{ xxi } } \begin{cases} P_1=P_6=x\\P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac x2 \end{cases}

Nous savons que la somme des probabilités d'apparition des faces est égale à 1.

Dès lors,

{ \white{ xxi } } P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1\quad\Longleftrightarrow\quad x+\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac x2+x=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac14} }

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P_1=\dfrac 14}\,. } 

2.  Nous devons en déduire  \overset{ { \white{ . } } } { P_2\,,P_3\,,P_4\,,P_5\text{ et }P_6. } 

Nous avons montré que :  \overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} P_1=P_6=x\\P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac x2\\x=\dfrac 14 \end{cases} } 

Nous en déduisons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\begin{cases} P_2=P_3=P_4=P_5=\dfrac 18\\P_6=\dfrac 14 \end{cases}} } 

3.  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  l'événement « obtenir un nombre pair ».
Nous devons calculer la probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { A. } 

Sur un dé à six faces, les nombres pairs sont : 2, 4 et 6.

{ \white{ xxi } }P(A)=P_2+P_4+P_6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(A) } =\dfrac 18+\dfrac 18+\dfrac 14 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(A) } =\dfrac 12} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(A)=\dfrac 12}

Par conséquent, la probabilité d'obtenir un nombre pair est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 12. } 

4.  On lance 10 fois de suite ce dé. Les résultats des lancers étant indépendants, nous devons déterminer la probabilité d'obtenir 6 fois un nombre pair.

Lors de cette expérience, on répète dix fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « on obtient un nombre pair » dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } { p=P(A)=\dfrac 1 2. } 
Echec : « on obtient un nombre impair » dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } {1-p=\dfrac 1 2. } 
Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  la variable aléatoire comptant le nombre de fois, sur les dix lancers, où un nombre pair est apparu, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } { X }   suit une loi binomiale  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(10\,;\,\dfrac 12\right) } .
Cette loi est donnée par :  \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^k\times\left(\dfrac 1 2\right)^{ 10-k } } 

soit  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^{10} }  ou encore :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times\dfrac {1}{1024} } } 

Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ . } } } { X=6. } 

{ \white{ xxi } } P(X=6)=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}\times\dfrac {1}{1024} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=6)} =210\times\dfrac {1}{1024} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=6)} =\dfrac {210}{1024}=\dfrac {105}{512} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=6)=\dfrac {105}{512} \approx0,205}

Par conséquent, la probabilité d'obtenir 6 fois un nombre pair est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac {105}{512}, }  soit environ 0,205 (à 0,001 près).

6 points

exercice 3

On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } { f }  une fonction non constante, positive et deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  telle que :

\left\lbrace\begin{matrix} \Big(f(x)\Big)^2&- & \Big(f'(x)\Big)^2 &= & 1\,, & \forall x\in \mathbb R\\ & & f'(0)&= & 0& \end{matrix}\right.


1.  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { f(0). } 

Utilisons la définition de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix} \Big(f(0)\Big)^2&- & \Big(f'(0)\Big)^2 &= & 1\\ & & f'(0)&= & 0& \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \Big(f(0)\Big)^2-0=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(0)\Big)^2- \Big(f'(0)\Big)^2 = 1\Big(f'(0)\Big)^2 = } \quad\Longrightarrow\quad \Big(f(0)\Big)^2=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(0)\Big)^2- \Big(f'(0)\Big)^2 = 1\Big(f'(0)\Big)^2 = } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=1}\quad\text {car }f\geq0.}

2.  Montrons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad f''(x)=f(x). } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une fonction deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R } 

Nous obtenons alors pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x , } 

{ \white{ xxi } } \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1\quad\Longrightarrow\quad \Big[\Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2\Big ]'=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1}\quad\Longrightarrow\quad 2\,f'(x)f(x)- 2\,f''(x)f'(x)=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Big(f(x)\Big)^2- \Big(f'(x)\Big)^2=1}\quad\Longrightarrow\quad 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0}

Or  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une fonction non constante et par suite,  \overset{ { \white{ . } } } { f'\neq 0. }  Nous en déduisons que

{ \white{ xxi } } 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)- f''(x)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2\,f'(x)\Big[f(x)- f''(x)\Big]=0}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=f''(x) }

Par conséquent, pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad \boxed{f''(x)=f(x)}\,. } 

 3.  On pose  \overset{ { \white{ . } } } { k(x)=f'(x)+f(x) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { j(x)=f'(x)-f(x). } 

3. a)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { j(0) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { k(0). } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}j(0)=f'(0)-f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=0-1 }.\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=-1 } \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{j(0)=-1}

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}k(0)=f'(0)+f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=0+1 }.\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}j(0)}=1 } \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{k(0)=1}

3. b)  Nous devons montrer que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x ,\quad k'(x)=k(x) \; \text{ et }\; j'(x)=-j(x). } 

Nous avons :

{ \white{ xxi } } k(x)=f'(x)+f(x)\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=f''(x)+f'(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=f(x)+f'(x)\quad(\text{voir question 2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad k'(x)=k(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad k'(x)=k(x)}

De même,

{ \white{ xxi } } j(x)=f'(x)-f(x)\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=f''(x)-f'(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ j(x)=f'(x)-f(x)}\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=f(x)-f'(x)\quad(\text{voir question 2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)}\quad\Longrightarrow\quad j'(x)=-j(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad j'(x)=-j(x)}

3. c)  Nous devons en déduire l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { k(x) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { j(x), }  puis montrer que  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}. }

  D'une part,

{ \white{ xxi } }\forall\,x\in\R,\quad k'(x)=k(x)\quad\Longrightarrow\quad {\blue{k(x)=C_1\,\text e^x\quad\text{où}\quad C_1\in\R.}} \\\\\text{Or }\quad k(0)=1\quad\Longrightarrow\quad C_1\,\text e^0=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad k(0)=1 } \quad\Longrightarrow\quad C_1=1 } \\\\\text{D'où }\quad \boxed{\forall\,x\in\R,\quad k(x)=\text e^x}

D'autre part,

{ \white{ xxi } }\forall\,x\in\R,\quad j'(x)=-j(x)\quad\Longrightarrow\quad {\blue{j(x)=C_2\,\text e^{-x}\quad\text{où}\quad C_2\in\R.}} \\\\\text{Or }\quad j(0)=-1\quad\Longrightarrow\quad C_2\,\text e^0=-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad j(0)=-1 } \quad\Longrightarrow\quad C_2=-1 } \\\\\text{D'où }\quad \boxed{\forall\,x\in\R,\quad j(x)=-\text e^{-x}}

Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}. } 

{ \white{ xxi } } \begin{cases} k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1) \\ j(x)=f'(x)-f(x)\quad (E_2) \end{cases}\quad\underset{(E_1)-(E_2)}{\Longrightarrow}\quad k(x)-j(x)=\Big(f'(x)+f(x)\Big)-\Big(f'(x)-f(x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad k(x)-j(x)=f'(x)+f(x)-f'(x)+f(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad k(x)-j(x)=2f(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k(x)=f'(x)+f(x)\quad (E_1)(E_1)( } \qquad\Longrightarrow\quad f(x)=\dfrac{k(x)-j(x)}{2}}

Or nous avons montré que  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R,\quad k(x)=\text e^{x}\quad\text{et}\quad j(x)=-\text e^{-x}. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in\R,\quad f(x)=\dfrac{\text e^x+\text e^{-x}}{2}} } 

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