Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat Tunisie 2024

Epreuve de Mathématiques

Section Lettres

Durée : 1h30

6 points

exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

I. Dans une classe de 25 élèves, chaque élève doit choisir une seule option parmi l?allemand et l'espagnol. Le tableau suivant donne la répartition des élèves selon le sexe et l'option choisie :

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 5

On interroge un élève au hasard de cette classe.

1. La probabilité que l'élève interrogé soit un garçon est égale à :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } 0,5{\white{wwwww8}}\text{b) } 0,4{\white{wwwww8}}\text{c) } 0,6{\white{wwwww8}}}$

2. La probabilité que l'élève interrogé soit une fille et qu'elle ait choisi l'allemand est égale à :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } 0,2{\white{wwwww8}}\text{b) } 0,5{\white{wwwww8}}\text{c) } 0,4{\white{wwwww8}}}$

3. La probabilité que l'élève interrogé ait choisi l'espagnol ou soit une fille est égale à :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } 0,68{\white{wwwww}}\text{b) } 0,88{\white{wwwww}}\text{c) } 0,5{\white{wwwww8}}}$

II. On considère une suite géométrique $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } {u_0=-3}$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } {q=2}$ .

1. La limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ est égale à :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } +\infty {\white{wwwww8}}\text{b) } -\infty {\white{wwwww8}}\text{c) } 0{\white{wwwww8}}}$

2. Le terme $\overset{ { \white{ . } } } {U_5}$ est égal à :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } 90{\white{wwwwwww}}\text{b) } -30{\white{wwwww8}}\text{c) } -96{\white{wwwww8}}}$

3. La somme $\overset{ { \white{ . } } } {U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}$ vaut :

$\overset{ { \white{ . } } } {{\white{ww}}\text{a) } 500{\white{wwwwww}}\text{b) } -189{\white{wwwww8}}\text{c) } -33{\white{wwwww8}}}$

7 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre des entreprises privées selon le régime offshore en Tunisie. On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } {x_i}$ le rang de l'année à partir de 2014 et par $\overset{ { \white{ . } } } {y_i}$ le nombre (en milliers) d'entreprises privées selon le régime offshore.

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 2

1. Compléter, sur la feuille annexe, le nuage des points associés à la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)}$ .

Dans toute la suite, les résultats seront arrondis au millième.

2. a. Calculer les moyennes $\overset{ { \white{ . } } } {\overline X}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline Y}$ respectivement des variables $\overset{ { \white{ . } } } {X}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {Y}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. Placer le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G(\overline X\;,\overline Y)}$ sur la feuille annexe.

3. a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal r}$ de la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Justifier que l'on peut procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)}$ .

4. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de $\overset{ { \white{ . } } } {Y}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {X}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w }$ b. Donner une estimation du nombre d'entreprises privées selon le régime offshore en Tunisie pour l'année 2024.

7 points

exercice 3

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur R par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\text e^{-2x+1}}$ .

1. a. Calculer $\overset{ { \white{ . } } } {f(0)\;;\;f(1)\;;\; f\left(\dfrac 1 2\right) \text{ et } f\left(\dfrac{1-\ln 2}{2}\right)}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. Déterminer $\overset{ { \white{ \frac a a } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)}$ .

2. a. Déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)}$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. Dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ c. Vérifier qu'une équation de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T)}$ à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 1 2 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {y=-2x+2}$ .

3. On a tracé ci-dessous la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal D\;:\;y=1}$ dans un repère orthonormé.

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ a. Résoudre graphiquement dans R, l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=1}$ .

$\overset{ { \white{ . } } } {\white w}$ b. Résoudre graphiquement dans R, l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)\ge 1}$ .

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 1

Annexe à rendre avec la copie

Voir la correction

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres

6 points

exercice 1

I. Dans une classe de 25 élèves, chaque élève doit choisir une seule option parmi l'allemand et l'espagnol.
Le tableau suivant donne la répartition des élèves selon le sexe et l'option choisie :

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 6

On interroge un élève au hasard de cette classe.

1. La probabilité que l'élève interrogé soit un garçon est égale à 0,4 .

En effet, dans cette classe, il y a 10 garçons parmi les 25 élèves.
Donc la probabilité que l'élève interrogé soit un garçon est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{10}{25}, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0,4}\,. }$
La réponse correcte est la réponse b.

2. La probabilité que l'élève interrogé soit une fille et qu'elle ait choisi l'allemand est égale à 0,4 .

En effet, dans cette classe, 10 filles parmi les 25 élèves ont choisi l'allemand.
Donc la probabilité que l'élève interrogé soit une fille et qu'elle ait choisi l'allemand est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{10}{25}, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0,4}\,. }$
La réponse correcte est la réponse c.

3. La probabilité que l'élève interrogé ait choisi l'espagnol ou soit une fille est égale à 0,68 .

En effet, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ l'événement : ''l'élève interrogé a choisi l'espagnol'' et $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ l'événement : ''l'élève interrogé est une fille''.

Dans ce cas, l'événement ''l'élève interrogé est une fille ou a choisi l'allemand'' est $\overset{ { \white{ . } } } { E\cup F. }$

Nous savons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)}\,. }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {P(E)=\dfrac{7}{25}=0,28 }$ car 7 élèves parmi les 25 ont choisi l'espagnol.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {P(F)=\dfrac{15}{25}=0,6 }$ car 15 élèves parmi les 25 ont sont des filles.

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {P(E\cap F). }$

L'événement $\overset{ { \white{ . } } } { P(E\cap F) }$ peut se traduire par : ''l'élève interrogé a choisi l'espagnol et est une fille.
Nous savons que 5 élèves parmi les 25 sont des filles ayant choisi l'espagnol.
Dès lors $\overset{ { \white{ . } } } { P(E\cap F)=\dfrac{5}{25}=0,2 .}$

Donc nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(E\cup F)}=0,28+0,6-0,2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(E\cup F)}=0,68} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(E\cup F)=0,68}$

Par conséquent, la probabilité que l'élève interrogé ait choisi l'espagnol ou soit une fille est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0,68}\,. }$
La réponse correcte est la réponse a.

ll. On considère une suite géométrique $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } {u_0=-3}$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } {q=2} .$

1. La limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n)}$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{-\infty }}.}$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{U_n=U_0\times q^{n}.}$
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,,\quad U_n=(-3)\times2^{n}.}$

Nous devons calculer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n)} .$

${ \white{ xxi } }$ $2>1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}(-3)\times2^n=-\infty} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=-\infty}}$

La réponse correcte est la réponse b.

2. Le terme $\overset{ { \white{ . } } } {U_5}$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{-96 }}.}$

Nous avons montré dans la question précédente que le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{U_n=U_0\times q^{n}}$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { U_5=(-3)\times2^5\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_5=-96}\,. }$

La réponse correcte est la réponse c.

3. La somme $\overset{ { \white{ . } } } {U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}$ vaut $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{-189 }}.}$

La somme $\overset{ { \white{ . } } } {U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}$ représente la somme des 6 premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(U_n).}$

Or la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par : $\overset{ { \white{ . } } } { S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5=U_0\times\dfrac{1-q^6}{1-q} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}=(-3)\times\dfrac{1-2^6}{1-2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}=(-3)\times\dfrac{1-64}{-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}=(-3)\times63} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}=-189} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5=-189}$

La réponse correcte est la réponse b.

7 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre des entreprises privées selon le régime offshore en Tunisie.
On désigne par $\overset{ { \white{. } } } {x_i}$ le rang de l'année à partir de 2014 et par $\overset{ { \white{ . } } } {y_i}$ le nombre (en milliers) d'entreprises privées selon le régime offshore.

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 9

a) Représentons le nuage des points associés à la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)} .$

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 8

2. a) Nous devons calculer les moyennes ${\overline X}$ et ${\overline Y}$ respectivement des variables $\overset{ { \white{ _. } } } {X}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {Y}.$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}=4,5\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\\\\\overline{Y}=\dfrac{27,06+28,49+29,62+30,9+29,06+31,06+32,25+33,32}{8}=30,22\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overline{X}=4,5\\\\\overline{Y}=30,22\end{matrix}\right.}$

2. b) Plaçons le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G(\overline X\;,\overline Y)}$ sur le graphique. (voir question 1.)

3. a) Nous devons calculer le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } } { r}$ de la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)} .$

La calculatrice nous donne le résultat suivant : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{r\approx 0,923}\,. }$

Effectuons le calcul ''à la main''.

$r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}}\quad \text{où }\quad\left\lbrace\begin{matrix}S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{8}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{8}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{8}}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum xy=1\times27,06+2\times28,49+\cdots+8\times33,32 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum xy=1120,47} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x^2=1^2+2^2+\cdots+8^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x^2=204} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y^2=27,06^2+28,49^2+\cdots+33,32^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y^2=7335,5702}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x=1+2+\cdots+8 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x=36} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y=27,06+28,49+\cdots+33,32 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y=241,76}$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=1120,47-\dfrac{36\times241,76}{8}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=32,55} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xy}=32,55}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=204-\dfrac{36^2}{8}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=42} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xx}=42}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=7335,5702-\dfrac{(241,76)^2}{8}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=29,583} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{yy}=29,583}$

Nous en déduisons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { r.}$

${ \white{ xxi } }$ $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r}=\dfrac{32,55}{\sqrt{42\times 29,583}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r}\approx0,9234326819} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r\approx 0,923}$

3. b) On peut procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de la série statistique $\overset{ { \white{ . } } } {(X\;,\;Y)}$ car le coefficient de corrélation est proche de 1.

4. a) Déterminons une équation cartésienne de la droite de régression de $\overset{ { \white{ . } } } {Y}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {X} .$

La calculatrice nous donne le résultat suivant : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=0,775x+26,7325}\,. }$

Effectuons le calcul ''à la main''.

L'équation de cette droite est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b .}$

$\text{Or }\quad a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{32,55}{42}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=0,775} \\\\\phantom{\text{Or }\quad }b=\overline{Y}-a\overline{X}=30,22-0,775\times4,5\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b=26,7325}$

Par conséquent, une équation cartésienne de la droite de régression de $\overset{ { \white{ . } } } {Y}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {X}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=0,775x+26,7325}\,. }$

4. b) Nous devons donner une estimation du nombre d'entreprises privées selon le régime offshore en Tunisie pour l'année 2024.

Le rang de l'année 2024 est 11.

Dans l'équation de la droite de régression, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 11 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

${ \white{ xxi } }$ $0,775\times11+26,7325=35,2575.$

Par conséquent, selon ce modèle, le nombre d'entreprises privées selon le régime offshore en Tunisie pour l'année 2024 est estimé à 35 257.

7 points

exercice 3

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\text e^{-2x+1}} .$

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {f(0)\;;\;f(1)\;;\; f\left(\dfrac 1 2\right) \text{ et } f\left(\dfrac{1-\ln 2}{2}\right)} .$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(0)=\text e^{0+1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(0)=\text e} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(1)=\text e^{-2\times1+1}=\text e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(1) =\text e^{-1}} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f\left(\dfrac 1 2\right) =\text e^{-2\times\frac 12+1}=\text e^{-1+1}=\text e^{0}=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f\left(\dfrac 1 2\right) =1} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f\left(\dfrac{1-\ln 2}{2}\right) =\text e^{-2\times\frac{1-\ln 2}{2}+1}=\text e^{-1+\ln 2+1}=\text e^{\ln 2}=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f\left(\dfrac{1-\ln 2}{2}\right) =2}$

1. a) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}$ et $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x+1)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^ X=0\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{[X=-2x+1]}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-2x+1}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWvWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x+1)=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{X\to+\infty}\text e^ X=+\infty\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{[X=-2x+1]}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-2x+1}=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWvWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$

2. a) Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)}$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x} .$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x} ,$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(-2x+1)'\times \text e^{-2x+1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=-2\,\text e^{-2x+1}}$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } {f.}$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x} ,$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix} -2<0\phantom{WW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \text e^{-2x+1}>0}\end{matrix}\right.\qud\Longrightarrow\quad f'(x)<0.$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R .}$

Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } {f.}$

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|cccc|} \hline &&&&& x &-\infty&&&+\infty\\ &&&&\\ \hline&+\infty&&&\\ f&&\searrow&&\\&&&&0 \\ \hline \end{array}$

2. c) Vérifions qu'une équation de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T)}$ à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 1 2 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {y=-2x+2} .$

Une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal T) }$ tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal{C} }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 1 2 }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'(\frac 12)(x-\frac 12)+f(\frac 12). }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=\text e^{-2x+1}\phantom{Ww}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(x)=-2\,\text e^{-2x+1}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f\left(\dfrac12\right)=1\quad\text{(voir ex 1. a)}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'\left(\dfrac12\right)=-2\times1\phantom{WWWw}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f\left(\dfrac12\right)=1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'\left(\dfrac12\right)=-2}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, l'équation réduite de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal T) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=-2\left(x-\dfrac 12\right)+1 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ y=-2x+2}\,. }$

3. On a tracé ci-dessous la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ de $\overset{ { \white{ . } } } {f}$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal D\;:\;y=1}$ dans un repère orthonormé.

Bac Tunisie 2024 Mathématiques section Lettres : image 7

3. a) Résoudre graphiquement dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=1} .$

Graphiquement, nous observons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal D\;:\;y=1}$ ne rencontre la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ qu'en un seul point dont l'abscisse est $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 12. }$
Par conséquent, l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=1}$ admet une solution unique : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x=\dfrac 12}\;.}$

3. b) Résoudre graphiquement dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , l'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)\ge1} .$

Graphiquement, nous observons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C)}$ est au-dessus de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal D\;:\;y=1}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\dfrac 12][. }$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)\ge 1}$ est l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ ]-\infty\;;\dfrac 12]}\,.}$

Publié par malou le 15-08-2024

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir la correction
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 230 topics de mathématiques en terminale sur le forum.