Fiche de mathématiques

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Bac Tunisie 2024 Maths-Sport

Durée : 2 heures

Coefficient : 1 6 points

exercice 1

I - Un sac contient cinq jetons numérotés 0, 1, 1, 2, 2.

On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer les probabilités des évènements suivants :

1. A : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 1 ».

2. B : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 2 ».

3. C : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 4 ».

II - Soit X une variable aléatoire ayant la loi de probabilité suivante :

Bac Tunisie 2024 série Maths-Sport : image 4

1. Justifier que $p = 0,4$ .

2. On donne l'espérance mathématique de $X : E(X) = 2,4$ . Déterminer la valeur de $n$ .

3. Montrer que la variance $V(X) = 0,84$ .

7 points

exercice 2

Dans l'annexe ci-jointe, on a tracé, dans un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , la courbe représentative $(\xi)$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ainsi que sa tangente $(T)$ au point $A(1, 1)$ .

- L'axe des abscisses est une asymptote à $(\xi)$ au voisinage de $-\infty$ .

- La courbe $(\xi)$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.

1. En utilisant le graphique et les données :

a) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$

b) Déterminer $f(1)$ et justifier que $f'(1) = 1$ .

c) Dresser le tableau de variation de $f$ .

2. Dans la suite, on suppose que : $f(x) = e^{ax + b}$ , $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ .

a) Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$ .

b) En utilisant les résultats de la question 1) b), justifier que $a + b = 0$ et que $a \cdot e^{a + b} = 1$ .

c) Conclure que $f(x) = e^{x - 1}$ .

3. a) Justifier que la fonction $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0, +\infty[$ . On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque.

b) Construire la courbe $(\xi')$ de $f^{-1}$ dans le repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ de la feuille annexe.

c) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est définie sur $]0, +\infty[$ par $f^{-1}(x) = \ln(e x)$ .

4. On désigne par $D$ le domaine du plan limité par $(\xi), (\xi')$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ . On note $A$ l'aire de $D$ , exprimée en unité d'aire (u.a).

a) Hachurer $D$ .

b) Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{1} (f(x) - x) \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{e}$

c) Déduire que $A = 1 - \frac{2}{e}$

7 points

exercice 3

On donne la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} U_0 = -3 \\ U_{n+1} = \frac{2}{3} U_n - 3 \end{cases}$

pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

1. a) Calculer $U_1$ et $U_2$ .

b) Montrer que la suite $(U_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

2. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_n \geq -9$ .

b) Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_{n+1} - U_n = -\frac{1}{3} (U_n + 9)$ .

c) Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante.

d) En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et calculer sa limite.

3. Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n = -\frac{1}{3} U_n - 3$ ; pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

a) Montrer que la suite $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{2}{3}$ et de premier terme $V_0$ qu'on précisera.

b) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ , pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

c) En déduire que $U_n = 6 \left( \frac{2}{3} \right)^n - 9$ . Retrouver $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n$ .

ANNEXE à rendre avec la copie

Voir la correction

Bac Tunisie 2024 série Maths-Sport

6 points

exercice 1

I - Un sac contient cinq jetons numérotés 0, 1, 1, 2, 2.
On tire simultanément deux jetons du sac.

Le nombre de tirages possibles de 2 jetons parmi 5 jetons est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_5^2=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times4}{2}=10.}$

1. Déterminons la probabilité de l'événement A : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 1 ».

L'événement A est réalisé si un jeton porte le numéro 0 et l'autre le numéro 1.
Il y a un seul choix possible pour le numéro 0 et deux choix possibles pour le numéro 1.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(A)=\dfrac{C_1^1\times C_2^1}{C_5^2}=\dfrac{1\times2}{10}=\dfrac{2}{10}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(A)=\dfrac 15} }$

2. Déterminons la probabilité de l'événement B : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 2 ».

L'événement B est réalisé si un jeton porte le numéro 0 et l'autre le numéro 2 ou bien si les deux jetons portent le numéro 1.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac{C_1^1\times C_2^1+C_2^2}{C_5^2}=\dfrac{1\times2+1}{10}=\dfrac{3}{10}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(B)=\dfrac {3}{10}}}$

3. Déterminons la probabilité de l'événement C : « la somme des deux numéros marqués sur les deux jetons est égale à 4 ».

L'événement C est réalisé si les deux jetons portent le numéro 2.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(C)=\dfrac{C_2^2}{C_5^2}=\dfrac{1}{10}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(C)=\dfrac {1}{10}}}$

II - Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ une variable aléatoire ayant la loi de probabilité suivante :

${ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\X=x_i&&1&&&2&&&3&&&n\ &&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&0,2&&&0,3&&&p&&&0,1&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

1. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { p = 0,4 . }$
Nous savons que la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $0,2+0,3+p+0,1=1\quad\Longleftrightarrow\quad p+0,6=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,2+0,3+p+0,1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad p=1-0,6}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,2+0,3+p+0,1=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{p=0,4}}$

2. On donne l'espérance mathématique de $\overset{ { \white{ . } } } { X : E(X) = 2,4 . }$
Déterminons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=2,4\quad\Longleftrightarrow\quad \displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\times P(X=x_i)=2,4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)=2,4 }\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times 0,2+2\times0,3+3\times0,4+n\times0,1 =2,4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)=2,4 }\quad\Longleftrightarrow\quad 0,2+0,6+1,2+0,1\, n =2,4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)=2,4 }\quad\Longleftrightarrow\quad 2+0,1\, n =2,4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(X)=2,4 }\quad\Longleftrightarrow\quad 0,1\, n =0,4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(X)=2,4 }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{n =4}}$

3. Montrons que la variance $\overset{ { \white{ . } } } { V(X) = 0,84 . }$

${ \white{ xxi } }$ $V(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^4(x_i-E(X))^2\times P(X=x_i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V(X) } =(1-2,4)^2\times 0,2+(2-2,4)^2\times 0,3+(3-2,4)^2\times 0,4+(4-2,4)^2\times 0,1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V(X) } =(-1,4)^2\times 0,2+(-0,4)^2\times 0,3+0,6^2\times 0,4+1,6^2\times 0,1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V(X) } =0,392+0,048+0,144+0,256} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(X) } =0,84 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)=0,84}$

7 points

exercice 2

1. a) Nous savons que l'axe des abscisses est une asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty . }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) =0} \,. }$

Par l'analyse du graphique et en sachant que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi) }$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées, nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) =+\infty} }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} =+\infty} . }$

1. b) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { f(1) }$ et justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(1) = 1 . }$

L'énoncé nous indique que le point $\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;1) }$ appartient à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi). }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{f(1)=1} }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { f'(1) }$ représente le coefficient directeur de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { A(1\;;\;1). }$
Or cette tangente $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ passe par les points de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (0\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (1\;;\;1). }$
Son coefficient directeur est donc égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{1-0}{1-0} }$ , soit égal à 1.

Par conséquent, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f'(1)=1}\,. }$

1. c) Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&&&+\infty\\ &&&&& \\\hline&&&&&+\infty\\f&&\nearrow&&\nearrow&\\&0&&&&\\\hline \end{array}$

2. Dans la suite, on suppose que : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = \text e^{ax + b} , a \in \R }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b \in \R . }$

2. a) Exprimer $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ à l'aide de $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b . }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) = (ax+b)'\,\text e^{ax + b} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =a\,\text e^{ax + b} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed {f'(x)=a\,\text e^{ax + b} }$

2. b) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { a + b = 0 }$ et que $\overset{ { \white{ } } } { a \cdot e^{a + b} = 1 . }$

En utilisant les résultats de la question 1. b), nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}f(1)=1\\f'(1)=1 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} \text e^{a + b}=1\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} \text e^{a + b}=\text e^0\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(1)=1\\f'(1)=1 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{cases}{a + b}=0\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases}} }$

2. c) Nous devons conclure que $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = e^{x - 1} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}{a + b}=0\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}{a + b}=0\\a\cdot\text e^{0}=1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}{a + b}=0\\a=1 \end{cases} }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}{a + b}=0\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}a=1\\1+b=0 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}{a + b}=0\\a\cdot\text e^{a + b}=1 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ \begin{cases}a=1\\b=-1 \end{cases} }}$

Remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ par 1 et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ par -1 dans l'expression $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = \text e^{ax + b} . }$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x) = e^{x - 1}}}$

3. a) Nous devons justifier que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ . }$
Nous noterons $\overset{ { \white{ . } } } { f^{-1} }$ sa fonction réciproque.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ avec $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) =0 }$ et $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) =+\infty. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ . }$

3. b) Construisons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi') }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { f^{-1} }$ dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) . }$

Bac Tunisie 2024 série Maths-Sport : image 2

3. c) Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f^{-1} }$ est définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f^{-1}(x) = \ln(\text e x) . }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in \R }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y\in \; ]0, +\infty[ . }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $y=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad y=\text e^{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=\ln y } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1+\ln y } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln \text e+\ln y } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln (\text ey) }$

Par conséquent, la fonction réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { f^{-1} }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f^{-1}(x) = \ln(\text e x) . }$

4. On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ le domaine du plan limité par $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi),\; (\xi') , }$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x = 1 . }$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ l'aire de $\overset{ { \white{ . } } } { D, }$ exprimée en unité d'aire (u.a).

4. a) Le domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est hachuré sur le graphique.

4. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} (f(x) - x) \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{\text e} }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \Big(\text e^{x-1} - x\Big) \, \text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx } =\Big[\text e^{x-1} - \dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx } =\Big(\text e^{1-1} - \dfrac{1^2}{2}\Big)-\Big(\text e^{0-1} - 0\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx } =1 - \dfrac{1}{2}-\text e^{-1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx } =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\text e}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\text e}}$

4. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { A = 1 - \dfrac{2}{\text e} . }$

Nous désignerons par $\overset{ { \white{ _. } } } { D_1 }$ le domaine du plan limité par $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi), }$ l'axe des ordonnées, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { T}$ et la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x = 1 . }$
Nous désignerons par $\overset{ { \white{ _. } } } { D_2 }$ le domaine du plan limité par la droite $\overset{ { \white{ . } } } { T, }$ l'axe des abscisses, $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi') }$ et la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x = 1 . }$

L'aire du domaine $\overset{ { \white{ . } } } { D_1 }$ est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(f(x) - x\Big) \, \text dx }$
En vertu de la question 4. b), cette aire est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\text e}. }$

En raison de la symétrie de $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\xi') }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x, }$ les domaines $\overset{ { \white{ . } } } { D_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D_2 }$ ont la même aire.
Dès lors, l'aire de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { A }$ est égale au double de l'aire du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D_1. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { A=2\times\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\text e}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{A = 1 - \dfrac{2}{\text e} } }$

7 points

exercice 3

On donne la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n)_{n \in \N} }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \N }$ par : ${\white{.}}\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} U_0 = -3 \\ U_{n+1} = \frac{2}{3} U_n - 3 \end{cases}{\white{.}} }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N . }$

1. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}\boxed{U_0=-3} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}} U_1 = \dfrac{2}{3} U_0 - 3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_1 }= \dfrac{2}{3} \times(-3) - 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_1 }= -2- 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_1 }= -5 } \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_1=-5}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}} U_2= \dfrac{2}{3} U_1 - 3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_2 }= \dfrac{2}{3} \times(-5) - 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_2 }= - \dfrac{10}{3}- 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{{ \bullet}{\phantom{x}} U_2 }= - \dfrac{19}{3} } \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_2=- \dfrac{19}{3} }$

1. b) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est pas arithmétique.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} U_1-U_0=-5-(-3) \\U_2-U_1=-\dfrac{19}{3}-(-5) \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} U_1-U_0=-2\\U_2-U_1=-\dfrac{4}{3} \end{cases}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { U_1-U_0\neq U_2-U_1. }$

Puisque la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est pas arithmétique.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est pas géométrique.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{-5}{-3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{-\dfrac{19}{3}}{-5}} \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{5}{3} =\dfrac{25}{15} \\\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{19}{15}} \end{cases}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{U_1}{U_0} \neq \dfrac{U_2}{U_1}. }$

Puisque le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est pas géométrique.

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

2. a) Montrons par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \N ,\quad U_n \geq -9 . }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=0, }$ soit que $\overset{{\white{.}}}{U_0\geq -9.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{U_0=-3\quad\Longrightarrow\quad U_0\geq -9.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } {(n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{U_n\geq -9,}$ alors $\overset{{\white{.}}}{U_{n+1}\geq -9 .}$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $U_n\geq -9\quad\Longrightarrow\quad \dfrac 23\,U_n\geq \dfrac 23\,\times(-9) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_n\geq -9 } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac 23\,U_n\geq -6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_n\geq -9 } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac 23\,U_n-3\geq -9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_n\geq -9 } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_{n+1}\geq -9} }$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \N ,\quad U_n \geq -9 . }$

2. b) Nous devons justifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \N ,\quad U_{n+1} - U_n = -\frac{1}{3} (U_n + 9) . }$

En effet, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $U_{n+1}-U_n=\left( \dfrac{2}{3} \,U_n - 3\right)-U_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_{n+1}-U_n}=-\dfrac{1}{3} \,U_n - 3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_{n+1}-U_n}=-\dfrac{1}{3} \,U_n-\dfrac{1}{3} \times9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_{n+1}-U_n}=-\dfrac{1}{3} \,(U_n+9) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad U_{n+1}-U_n=-\dfrac{1}{3} \,(U_n+9) }$

2. c) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est décroissante.

Nous savons par la question 2. a) que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \N ,\quad U_n \geq -9 . }$

En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $U_n\geq-9\quad\Longrightarrow\quad U_n+9 \geq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_n\geq-9}\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac13\,(U_n+9) \leq 0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ U_n\geq-9}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_{n+1}-U_n\leq 0}}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est décroissante.

2. d) Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est convergente et calculer sa limite.

Nous avons montré dans les questions 2. a) et 2. c) que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est décroissante et minorée par -9.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est convergente.

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac 23 x - 3. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { U_{n+1}=f(U_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $x=f(x)\quad\Longleftrightarrow \quad x=\dfrac 23x - 3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=f(x)}\quad\Longleftrightarrow \quad x-\dfrac 23x =- 3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=f(x)}\quad\Longleftrightarrow \quad \dfrac 13x =- 3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=f(x)}\quad\Longleftrightarrow \quad x =- 9 }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\ell = -9 } }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=-9}}$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ la suite définie par $\overset{ { \white{ . } } } { V_n = -\dfrac{1}{3}\, U_n - 3 ; }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N . }$

3. a) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q = \dfrac{2}{3} }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { V_0 }$ à préciser.

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N , }$

${ \white{ xxi } }$ $V_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\, U_{n +1}- 3 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=-\dfrac{1}{3} \left(\dfrac 23U_{n}-3\right)- 3 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=-\dfrac 29\,U_{n}+1- 3 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=-\dfrac 29\,U_{n}-2 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=-\dfrac 29\,U_{n}-\dfrac 63} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac 23\left(-\dfrac 13\,U_{n}-3\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1}}=\dfrac23\,V_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{V_{n+1}=\dfrac23\,V_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}: V_0 = -\dfrac{1}{3}\, U_0 - 3 = -\dfrac{1}{3}\, (-3) - 3\Longrightarrow\boxed{V_0=-2}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q = \dfrac{2}{3} }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { V_0=-2. }$

3. b) Exprimons $\overset{ { \white{ . } } } { V_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ W. } } } { n, }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{V_n=V_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{V_n=-2\times \left(\dfrac 23\right)^n}}$

3. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { U_n = 6 \left( \frac{2}{3} \right)^n - 9 }$ et retrouver $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} V_n=-2\times \left(\dfrac 23\right)^n\\V_{n}=-\dfrac{1}{3}\, U_{n }- 3 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad -2\times \left(\dfrac 23\right)^n=-\dfrac{1}{3}\, U_{n }- 3 \\ {\white{WWWWWWWWW}}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{3}\, U_{n }=2\times \left(\dfrac 23\right)^n- 3 \\\\ {\white{WWWWWWWWW}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_{n }=6\times \left(\dfrac 23\right)^n- 9 }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{De plus, }\quad 0<\dfrac 23 < 1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac 23\right)^n=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{De plus, }\quad 0<\dfrac 23 < 1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}6\times\left(\dfrac 23\right)^n=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{De plus, }\quad 0<\dfrac 23 < 1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\Big[6\times\left(\dfrac 23\right)^n-9\Big]=-9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{De plus, }\quad 0<\dfrac 23 < 1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=-9 } }$

Nous retrouvons bien la valeur de la limite calculée dans la question 2. d).

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 24-03-2025

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