Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Côte d'Ivoire 2024

Épreuve de mathématiques série C

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Toute calculatrice scientifique est autorisée.

2 points

exercice 1

Écris le numéro de chacune des propositions ci-dessous suivi de V si la proposition est vraie ou de F si elle est fausse.

1. Soit $(\Delta )$ une droite et $\overrightarrow u$ un vecteur non nul. On note $S_{(\Delta )}$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta )$ et $t_{\overrightarrow u}$ la translation de vecteur $\overrightarrow u$ . Si $\overrightarrow u$ est normal à $(\Delta )$ , alors la composée $S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u}$ est une symétrie glissée.

2. Soit $(X\,,\,Y)$ une série statistique à deux variables. Une équation de la droite de régression de $X$ en $Y$ par la méthode des moindres carrés est :

$x=\dfrac{cov (X\,,\,Y)}{V(X)}(y-\overline Y)+\overline X.$

3. Toute similitude directe du plan de rapport 1 est une isométrie du plan.

4. La suite géométrique $(u_n)$ définie sur $\textbf N$ par $u_n=-2\left(\dfrac 35\right)^n$ est divergente.

2 points

exercice 2

Écris le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de l'une des lettres A, B, C ou D qui permet d'obtenir la proposition vraie.

1. Les solutions sur $\textbf R$ de l'équation différentielle $y'+2y=0$ sont les fonctions :

$\textbf{A. } x\mapsto 2x+k\,,\,k\in\textbf R\quad;\quad \textbf{B. } x\mapsto k\text e^{2x}\,,\,k\in\textbf R$

$\textbf{C. } x\mapsto k\text e^{-2x}\,,\,k\in\textbf R\quad;\quad \textbf{D. } x\mapsto k(\text e^{2x}.\text e^{-2x})\,,\,k\in\textbf R$

2. L'ensemble de définition de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ vers $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=\ln(\ln(-x))}$ est :

$\textbf{A. } ]-\infty\;;\;-1[\qquad ; \qquad\textbf{B. } ]-\infty\;;\;0[\qquad ; \qquad\textbf{C. } ]-1\;;\;0[\qquad ; \qquad\textbf{D. } ]1\;;\;+\infty[.$

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(0\;;\;\overrightarrow{e_1}\,,\,\overrightarrow{e_2}\right)$ , les coordonnées du foyer de la parabole d'équation $y^2-2y+4x+5=0$ sont :

$\textbf{A. } (-2\,;\,1)\qquad ; \qquad\textbf{B. } (2\,;\,-1)\qquad ; \qquad\textbf{C. } (-1\,;\,0)\qquad ; \qquad\textbf{D. } (-2\,;\,-1)$

4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k\right).$

Si un plan $(P)$ a pour équation cartésienne $y=x-1$ et une droite $(\Delta)$ a pour représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & &&(t\in\textbf R)\; ,\\ z& =& -t& & \end{matrix}\right.$ alors le plan $(P)$ et la droite $(\Delta )$ sont :

$\textbf{A. } \text{ orthogonaux } \quad;\quad \textbf{B. } \text{ parallèles }\quad ;$

$\textbf{C. } \text{ sécants au point }E\,\left(2\;;\;1\;;\;-\dfrac 12\right)\quad;\quad \textbf{D. } \text{ sécants au point }F\,\left(2\;;\;1\;;\;\dfrac 12\right)$

3 points

exercice 3

Un grossiste achète des pagnes basin chez deux fournisseurs A et B. Il achète 80% de sa provision chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B. On sait que 10% des pagnes basin provenant du fournisseur A présentent des défauts. Par ailleurs, 11% des pagnes basin du stock total du grossiste présentent des défauts.

On prélève au hasard un pagne basin du stock du grossiste et on considère les événements suivants :

A : "le pagne basin provient du fournisseur A" ;

B : "le pagne basin provient du fournisseur B" ;

D : "le pagne basin présente des défauts".

1. Traduis la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.

(Tu le complèteras par la suite.)

2. a. Calcule la probabilité pour que le pagne basin provienne du fournisseur A et présente des défauts.

$\white w$ b. Démontre que la probabilité de $B\cap D$ est égale à 0,03.

$\white w$ c. On prélève au hasard un pagne basin provenant du fournisseur B. Détermine la probabilité pour qu'il présente des défauts.

$\white w$ d. Complète l'arbre de probabilité de la question 1.

3. Un gérant de magasin de vente de pagnes basin achète cent pagnes basin chez ce grossiste. On suppose que les pagnes basin sont choisis au hasard l'un après l'autre de façon indépendante. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de pagnes basin avec des défauts.

$\white w$ a. Justifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.

$\white w$ b. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ , puis interprète le résultat obtenu.

4 points

exercice 4

1. a. Justifie que : $(4-2\text i)^2=12-16\text i.$

$\white w$ b. Résous dans $\textbf C$ , l'équation $z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i=0.$

2. On considère dans $\textbf C$ le polynôme $P$ tel que : $P(z)=z^3+(1-6\text i)z^2-(17+8\text i)z-33+30\text i.$

$\white w$ a. Calcule $P(-3).$

$\white w$ b. Justifie que : $\forall z\in\textbf C\,,\; P(z)=(z+3)[z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i].$

$\white w$ c. déduis-en les solutions de l'équation : $z\in \textbf C\,,\;P(Z)=0.$

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right).$ (Unité graphique : 1 cm)

On considère les points $A\;,\;B\text{ et }C$ d'affixes respectives $-3\;;\;-1+4\text i\text{ et } 3+2\text i.$

$\white w$ a. Place les points $A\;,\;B\text{ et }C.$

$\white w$ b. Justifie que $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $B.$

$\white w$ c. Soit $D$ le point d'affixe $1-2\text i.$ Démontre que les points $A\;,\;B\;,\;,C\text{ et }D$ sont cocycliques.

4. Soit $(\Gamma )$ l'ensemble des points $M$ du plan tel que : $-MA^2+MB^2+MC^2=-20.$

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A\,,-1)\;;\;(B\,,1)\text{ et }(C\,,1).$

$\white w$ a. Détermine l'affixe $z_G$ du point $G$ , puis place ce point.

$\white w$ b. Justifie que le point $C$ appartient à $(\Gamma ).$

$\white w$ c. Détermine et construis $(\Gamma ).$

4 points

exercice 5

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par $f(x)=\text e^{\sqrt x}.$

On désigne par $(\mathcal C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\,,I\,,J)$ d'unité graphique 2cm.

Partie I

1. a. Calcule : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\white w$ b. Donner une interprétation graphique des résultats précédents.

2. a. Etudier la dérivabilité de $f$ en 0.

$\white w$ b. Interprète graphiquement le résultat de la question 2. a.

3. On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ .

$\white w$ a. Justifie que : $\forall x\in ]0\;;\;+\infty[\,,\,f'(x)=\dfrac{\sqrt x\text e^{\sqrt x}}{2x}.$

$\white w$ b. Dresser le tableau de variation de $f.$

4. Construire la courbe $(\mathcal C).$

Partie II

Soit $g$ et $h$ deux fonctions définies sur $[0\;;\;+\infty[$ par : $g(x)=x^2 \text{ et } h(x)=\begin{aligned} \int_0^x \text e ^{\sqrt t}\text dt\end{aligned}.$

On désigne par $\psi$ la fonction dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et définie par : $\psi (x)=(h\circ g)(x).$

1. a. Calcule $\psi (0).$

$\white w$ b. Justifie que : $\forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi '(x)=2x\text e^x.$

$\white w$ c. Déduis des questions 1. a. et 1. b. que : $\forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi (x)=2(x-1)\text e^x+2.$

2. On pose : $M=\begin{aligned}\int_0^1\text e^{\sqrt t}\text d t.\end{aligned}$

$\white w$ a. Calcule $\psi (1)$ puis déduis en la valeur de $M.$

$\white w$ b. Déduis de tout ce qui précède l'aire $\mathcal A$ , en cm², de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal C)$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation : $x=1.$

5 points

exercice 6

A l'occasion de ton anniversaire, ta maman t'a permis d'inviter dans un restaurant des élèves de ta classe. Les invités avaient la possibilité de choisir deux types de kits : un kit comprenant des frites de pomme de terre et un kit comprenant de l'alloco. Le kit contenant des frites coûte 4 500 F et celui contenant de l'alloco coûte 2 400 F.

A la fin de la cérémonie, tu donnes à ta maman une facture de 90 300 F. Par curiosité, elle te demande de déterminer le nombre de kits de chaque sorte choisie par les invités au cours de la cérémonie.

Tu te souviens seulement que les invités ont choisi plus de 10 kits de chaque sorte.

En utilisant tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de ta maman.

Voir la correction

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C

2 points

exercice 1

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ une droite et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ un vecteur non nul.
On note $\overset{ { \white{ . } } } { S_{(\Delta )} }$ la symétrie orthogonale d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { t_{\overrightarrow u} }$ la translation de vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u . }$

Si $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ est normal à $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ , alors la composée $\overset{ { \white{ . } } } { S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u} }$ est une symétrie glissée.
L'affirmation est fausse.

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ est normal à $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ alors qu'une symétrie glissée est la composition d'une symétrie orthogonale d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ et d'une translation de vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ de même direction que $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f=S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u} }$

Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } {f. }$

Transformons la translation $\overset{ { \white{ . } } } { t_{\overrightarrow u} }$ en une composée de deux symétries orthogonales.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { t_{\overrightarrow u}=S_{(\Delta )}\circ S_{(\Delta ' )}\quad\text{où }\quad (\Delta ')=t_{-\frac 12\overrightarrow u}(\Delta) }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $f=S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f} =S_{(\Delta )}\circ (S_{(\Delta )}\circ S_{(\Delta ' )})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f} =(S_{(\Delta )}\circ S_{(\Delta )})\circ S_{(\Delta ' )}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { S_{(\Delta )}\circ S_{(\Delta )}}$ est l'identité du plan.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{f= S_{(\Delta ' )}} }$

Par conséquent, si $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ est normal à $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ , alors la composée $\overset{ { \white{ . } } } { S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u} }$ est une symétrie orthogonale par rapport à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ')}$ telle que $\overset{ { \white{ O. } } } {(\Delta ')=t_{-\frac 12\overrightarrow u}(\Delta). }$

Ci-dessous un schéma illustrant la réponse pour un point quelconque $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ dont l'image par $\overset{ { \white{ o. } } } { S_{(\Delta )}\circ t_{\overrightarrow u} }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {M'. }$

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 6

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(X\,,\,Y) }$ une série statistique à deux variables.
Une équation de la droite de régression de $\overset{ { \white{ . } } } { X}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {Y }$ par la méthode des moindres carrés est :
$\overset{ { \white{ . } } } { x=\dfrac{cov (X\,,\,Y)}{V(X)}(y-\overline Y)+\overline X.}$ L'affirmation est fausse.

L'équation correcte est : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{x=\dfrac{cov (X\,,\,Y)}{V(Y)}(y-\overline Y)+\overline X}\,.}$

3. Toute similitude directe du plan de rapport 1 est une isométrie du plan.
L'affirmation est vraie.

Une similitude de rapport 1 conserve les distances.
Elle est donc une isométrie.

4. La suite géométrique $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { N}$ par $\overset{ { \white{ . } } } {u_n=-2\left(\dfrac 35\right)^n }$ est divergente.
L'affirmation est fausse.

$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac 35\right)^n=0\quad\text{car}\quad0<\dfrac 35<1.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}-2\left(\dfrac 35\right)^n=0}$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}}$
Par conséquent, suite géométrique $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)}$ est convergente et sa limite est égale à 0.

2 points

exercice 2

1. Les solutions sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {y'+2y=0 }$ sont les fonctions : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{x\mapsto k\text e^{-2x}\,,\,k\in\R.\quad-\quad\boxed{\text{proposition C}}}} }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Or $y'+2y=0\Longleftrightarrow y'=-2y.$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=-2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=0. }$

D'où la solution générale de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {y'+2y=0 }$ s'écrit $\boxed{y(x)=k\,\text{e}^{-2x}\ \ (k\in\R)}$

2. L'ensemble de définition de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ vers $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=\ln(\ln(-x))}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{]-\infty\;;\;-1[\quad-\quad\boxed{\text{proposition A}}}} }$

Les conditions sont les suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}-x>0\\\ln(-x)>0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x<0\\-x>1\end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}-x>0\\\ln(-x)>0\end{matrix}\right. } \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x<0\\x<-1\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left\lbrace\begin{matrix}-x>0\\\ln(-x)>0\end{matrix}\right. } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x<-1 }}$

Par conséquent, l'ensemble de définition de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{]-\infty\;;\;-1[}\,. }$

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {\left(0\;;\;\overrightarrow{e_1}\,,\,\overrightarrow{e_2}\right)\, , }$ les coordonnées du foyer de la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {y^2-2y+4x+5=0 }$ sont : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{(-2\;;\;1)\quad-\quad\boxed{\text{proposition A}}}} }$

Rappelons qu'une parabole d'équation $\overset{ { \white{ . } } } {y^2=2px }$ ayant subi une translation de vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } {\vec t\,(\alpha\;;\;\beta) }$ a pour équation : $\overset{ { \white{ . } } } {(y-\beta)^2=2p(x-\alpha). }$
Son foyer a pour coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\alpha+\dfrac p2 \;;\;\beta\right).}$

$\text{Or}\quad y^2-2y+4x+5=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^2-2y +1+4x+4=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad y^2-2y+4x+5=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad y^2-2y +1=-4x-4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad y^2-2y+4x+5=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ (y-1)^2=-4(x+1)}}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\alpha=-1\\\beta=1\phantom{xi}\\p=-2\end{matrix}\right.}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\alpha+\dfrac p2 \;;\;\beta\right)=(-1+\dfrac{-2}{2}\;;\;1)=(-1-1\;;\;1)=\boxed{(-2\;;\;1)}\,.}$

En conclusion, les coordonnées du foyer de la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {y^2-2y+4x+5=0 }$ sont : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{(-2\;;\;1)}\,.}$

4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {\left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k\right). }$

Si un plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ a pour équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } { y=x-1}$ et une droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ a pour représentation paramétrique $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & &&(t\in\R)\; ,\\ z& =& -t& & \end{matrix}\right. }$ alors le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ sont sécants au pont $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{ F\,\left(2\;;\;1\;;\;\dfrac 12\right)\quad-\quad\boxed{\text{proposition D}}.}} }$

Déterminons si le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ sont sécants en résolvant le système suivant : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\y&=&x&-&1& \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\y&=&x&-&1& \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\-2t&=&3&+&2t&-&1& \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\-4t&=&2& \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\y&=&x&-&1& \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3 & + &2t \\ y& = & -2t & \\ z& =& -t& &\\t&=&-\dfrac 12& \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 2 & \\ y& = & 1 & \\ z& =& \dfrac 12&\\\overset{ { \white{ . } } } {t}&=&\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac 12}& \end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ sont sécants au point $\overset{ { \white{ . } } } { F\,\left(2\;;\;1\;;\;\dfrac 12\right) }$

3 points

exercice 3

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 1

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(A\cap D).}$

${ \white{ xxi } }$ $P(A\cap D)=P(A)\times P_{A}(D) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cap D)} =0,8\times 0,1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(A\cap D)} =0,08 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(A\cap D)=0,08}$

D'où la probabilité que le pagne basin provienne du fournisseur A et présente des défauts est égale à 0,08.

2. b) Démontrons que la probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { B\cap D}$ est égale à 0,03.

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{A}$ et $\overset{{\white{_.}}}{B}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)\quad\Longleftrightarrow\quad 0,11=0,08+P(B\cap D) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) } \quad\Longleftrightarrow\quad P(B\cap D)=0,11-0,08 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(B\cap D)=0,03 }}$

2. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P_B(D).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_B(D)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_B(D) }=\dfrac{0,03}{0,2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_B(D) }=0,15} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_B(D)=0,15}$

Par conséquent, sachant qu'un pagne basin provient du fournisseur B, la probabilité qu'il présente des défauts est égale à 0,15.

2. d) Complétons l'arbre de probabilité de la question 1.

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 4

3. Un gérant de magasin de vente de pagnes basin achète cent pagnes basin chez ce grossiste.
On suppose que les pagnes basin sont choisis au hasard l'un après l'autre de façon indépendante.
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } {X }$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de pagnes basin avec des défauts.

3. a) Lors de cette expérience, on répète $\overset{ { \white{ . } } } { 100 }$ fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « le pagne basin présente au moins un défaut » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,11. }$
Echec : « le pagne basin ne présente aucun défaut » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,89. }$

Soit la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ comptant le nombre de pagnes basin avec des défauts, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit donc une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(100\,;\,0,11\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}100\\k\end{pmatrix}\times0,11^k\times0,89^{ 100-k } }$

3. b) Calculons l'espérance mathématique $\overset{ { \white{ . } } } {E(X) }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=np \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(X) }=100\times 0,11 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(X) }=11 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=11}$

Interprétation : Sur cent pagnes basin achetés, il y a en moyenne 11 pagnes basin comportant un défaut.

4 points

exercice 4

1. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { (4-2\text i)^2.}$

${ \white{ xxi } }$ $(4-2\text i)^2=4^2-2\times 4\times 2\text i+(2\text i)^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (4-2\text i)^2} =16-16\text i-4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (4-2\text i)^2} =12-16\text i } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(4-2\text i)^2=12-16\text i }$

1. b) Résolvons dans $\overset{ { \white{ . } } } {\C ,}$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i=0. }$

Discriminant de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=[-(2+6\text i)]^2-4\times 1\times (-11+10\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta } =4+24\text i-36+44-40\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta } =12-16\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta } =(4-2\text i)^2\quad\text{(voir exercice 1. a)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta=(4-2\text i)^2}$

Solutions de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}z_1=\dfrac{2+6\text i-(4-2\text i)}{2\times1}=\dfrac{2+6\text i-4+2\text i}{2}=\dfrac{-2+8\text i}{2}=\dfrac{2(-1+4\text i)}{2} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=-1+4\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}z_2=\dfrac{2+6\text i+(4-2\text i)}{2\times1}=\dfrac{2+6\text i+4-2\text i}{2}=\dfrac{6+4\text i}{2}=\dfrac{2(3+2\text i)}{2} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=3+2\text i}$

D'où l'ensemble des solutions dans $\overset{ { \white{ . } } } { \C }$ de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\Big\lbrace-1+4\text i\;;\; 3+2\text i\Big\rbrace}\,.}$

2. On considère dans $\overset{ { \white{ . } } } {\C ,}$ le polynôme $\overset{ { \white{ _. } } } {P}$ tel que : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z)=z^3+(1-6\text i)z^2-(17+8\text i)z-33+30\text i.}$

2. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {P(-3). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(-3)=(-3)^3+(1-6\text i)\times (-3)^2-(17+8\text i)\times(-3)-33+30\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(-3) }=-27+9(1-6\text i)+3(17+8\text i)-33+30\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(-3) }=-27+9-54\text i+51+24\text i-33+30\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(-3) }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-3)=0}$

2. b) Nous devons justifier que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall z\in\C\,,\; P(z)=(z+3)[z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i]. }$

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {z\in\C, }$

${ \white{ xxi } }$ $(z+3)[z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWW}=z^3-(2+6\text i)z^2-11z+10\text iz+3z^2-3(2+6\text i)z-33+30\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWW}=z^3-2z^2-6\text iz^2-11z+10\text iz+3z^2-6z-18\text iz-33+30\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWW}=z^3+(1-6\text i)z^2-(17+8\text i)z-33+30\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWW}=P(z)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,z\in\C,\quad P(z)=(z+3)[z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i]}$

2. c) Nous devons en déduire les solutions de l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { z\in \C\,,\;P(Z)=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad(z+3)[z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i]=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z+3=0\quad\text{ou}\quad z^2-(2+6\text i)z-11+10\text i=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z=-3\quad\text{ou}\quad z=-1+4\text i\quad\text{ou}\quad z=3+2\text i}$

D'où l'ensemble des solutions dans $\overset{ { \white{ . } } } { \C }$ de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { \;P(Z)=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\Big\lbrace-3\;;\;-1+4\text i\;;\; 3+2\text i\Big\rbrace}\,.}$

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right).}$ (Unité graphique : 1 cm)

On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } {A\;;\;B\text{ et }C }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } {-3\;;\;-1+4\text i\text{ et } 3+2\text i. }$

3. a) Plaçons les points $\overset{ { \white{ . } } } {A\;,\;B\text{ et }C. }$

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 3

3. b) Justifions que $\overset{ { \white{ _. } } } {ABC }$ est un triangle rectangle isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } {B. }$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\text i. }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{(3+2\text i)-(-1+4\text i)}{-3-(-1+4\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B} }=\dfrac{3+2\text i+1-4\text i}{-3+1-4\text i}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B} }=\dfrac{4-2\text i}{-2-4\text i}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B} }=\dfrac{\text i(-4\text i-2)}{-2-4\text i}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B} }=\dfrac{\text i(-2-4\text i)}{-2-4\text i}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B} }=\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\text i}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } {ABC }$ est un triangle rectangle isocèle en $\overset{ { \white{ . } } } {B. }$

3. c) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { D}$ le point d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {1-2\text i. }$
Démontrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A\;,\;B\;,\;C\text{ et }D }$ sont cocycliques.

Les points $\overset{ { \white{ . } } } { A\;,\;B\;,\;C\text{ et }D }$ sont cocycliques $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi].}$

${ \white{ xxi } }$ $\left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\right)\equiv \arg\left(\dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_B}\right)\;[\pi] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\right)- \arg\left(\dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_B}\right)\equiv0\;[\pi] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}:\dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_B}\right)\equiv0\;[\pi] }$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\right)\equiv0\;[\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\overrightarrow{AC}\;;\;\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{BC}\;;\;\overrightarrow{BD}\right)\;[\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\right)\equiv0\;[\pi] }$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\in\R}\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}=\dfrac{(1-2\text i)-(-3)}{(3+2\text i)-(-3)}\times\dfrac{(3+2\text i)-(-1+4\text i)}{(1-2\text i)-(-1+4\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac{1-2\text i+3}{3+2\text i+3}\times\dfrac{3+2\text i+1-4\text i}{1-2\text i+1-4\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac{4-2\text i}{6+2\text i}\times\dfrac{4-2\text i}{2-6\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac{16- 8\text i-8\text i-4}{12-36\text i+4\text i+12} }$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ww \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac{12-16\text i}{24-32\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ww \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac{12-16\text i}{2(12-16\text i)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ww \dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}}=\dfrac12 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}\times\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\in\R}$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A\;,\;B\;,\;C\text{ et }D }$ sont cocycliques.

4. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$ l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ du plan tel que : $\overset{ { \white{ _. } } } { -MA^2+MB^2+MC^2=-20. }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {G }$ le barycentre des points pondérés $\overset{ { \white{ . } } } { (A\,,-1)\;;\;(B\,,1)\text{ et }(C\,,1). }$

4. a) Déterminons l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } {z_G }$ du point $\overset{ { \white{ . } } } {G }$ , puis plaçons ce point.

${ \white{ xxi } }$ $z_G=\dfrac{(-1)\times z_A+1\times z_B+1\times z_C}{-1+1+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_G }=\dfrac{-(-3)+(-1+4\text i)+(3+2\text i)}{1} } .\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_G }=3-1+4\text i+3+2\text i} .\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_G }=5+6\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_G=5+6\text i}$

Placement du point $\overset{ { \white{ _. } } } {G }$ : voir la figure de la question 4. c)

4. b) Justifions que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {C }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) .}$

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { -CA^2+CB^2+CC^2=-20. }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet \phantom{X}CA^2=|z_A-z_C|^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =|-3-3-2 \text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =|-6-2 \text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =(-6)^2+(-2)^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =36+4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =40}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet \phantom{X}CB^2=|z_B-z_C|^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =|-1+4\text i-3-2 \text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =|-4+2 \text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =(-4)^2+2^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =16+4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet \phantom{X}CA^2} =20} \\\\ \bullet \phantom{X}CC^2=0$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {-CA^2+CB^2+CC^2=-40+20+0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{-CA^2+CB^2+CC^2=-20} }$

Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {C }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) .}$

4. c) Déterminons et construisons $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$

La fonction scalaire de Leibniz associée au système de points pondérés $\overset{ { \white{ . } } } { (A\,,-1)\;;\;(B\,,1)\text{ et }(C\,,1) }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ définie pour tout point $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ du plan par $\overset{ { \white{ . } } } {f(M)=-MA^2+MB^2+MC^2. }$

La masse $\overset{ { \white{ . } } } {m }$ du système est $\overset{ { \white{ . } } } { m=-1+1+1=1\neq 0.}$
Puisque cette masse est non nulle, la fonction scalaire de Leibniz peut s'écrire plus simplement par : $\overset{ { \white{ . } } } {f(M)=f(G)+(-1+1+1)MG^2, }$ soit par $\overset{ { \white{ . } } } { f(M)=-GA^2+GB^2+GC^2 +MG^2.}$

De plus, nous savons que pour tout point $\overset{ { \white{ _. } } } { M\in(\Gamma),\; f(M)=-MA^2+MB^2+MC^2=-20.}$

Dès lors, pour tout point M appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma) ,\quad -GA^2+GB^2+GC^2 +MG^2=-20 .}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {GA^2,GB^2 }$ et $\overset{ { \white{ } } } {GC^2 }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{w}GA^2=|z_A-z_G|^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GA^2} =|-3-5-6\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GA^2} =|-8-6\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GA^2} =64+36} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GA^2} =100} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}} \Longrightarrow\quad\boxed{GA^2=100}}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{w}GB^2=|z_B-z_G|^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GB^2} =|-1+4\text i-5-6\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GB^2} =|-6-2\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GB^2} =36+4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GB^2} =40} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}} \Longrightarrow\quad\boxed{GB^2=40}}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{w}GC^2=|z_C-z_G|^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GC^2} =|3+2\text i-5-6\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GC^2} =|-2-4\text i|^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GC^2} =4+16} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}GC^2} =20} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{w}} \Longrightarrow\quad\boxed{GC^2=20}}$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $-GA^2+GB^2+GC^2 +MG^2=-20\quad\Longleftrightarrow -100+40+20+MG^2=-20 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{-GA^2+GB^2+GC^2 +MG^2=-20} \quad\Longleftrightarrow -40+MG^2=-20 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{-GA^2+GB^2+GC^2 +MG^2=-20} \quad\Longleftrightarrow MG^2=20 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{MG=2\sqrt 5}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma) }$ est un cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } {G }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } {2\sqrt 5 .}$

Nous pouvons construire le cercle $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma) }$ en sachant que son centre est le point $\overset{ { \white{ _. } } } {G }$ et que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {C}$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma) }$ (voir question b)

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 2

4 points

exercice 5

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\text e^{\sqrt x}. }$

Partie I

1. a) Nous devons calculer : $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons : $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) .}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^X=+\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=\sqrt x)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{\sqrt x}=+\infty \\\phantom{w\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^X=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\underset{}{\Longrightarrow}\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons : $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x},$ soit $\underset{ { \white{ '' } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{x}.}$

Si $\overset{ { \white{ . } } } {X=\sqrt x }$ , alors $\overset{ { \white{ } } } {x = X^2. }$

Dans ce cas, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{x}=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\text e^{X}}{X^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{x} } =+\infty\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{x}=+\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

1. b) Interprétation graphique :
${ \white{ XXi } }$ La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C)}$ admet une branche parabolique de direction $\overset{ { \white{ . } } } {(OJ) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty.}$

2. a) Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ en 0.

Calculons : $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}.$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } {f(0)=\text e^0=1. }$

Dès lors, nous devons calculer $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}.$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{\sqrt x}-1}{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x} } =\lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-1}{X^2} \quad(\text{où }X=\sqrt x)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x} } =\lim\limits_{X\to 0^+}\Big(\dfrac{e^{X}-1}{X} \times \dfrac{1}{X} \Big)}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-1}{X}=\lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-\text e^0}{X-0} \\\overset{ { \phantom{} } } { \phantom{ \text{Or }\quad \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-1}{X} } =g'(0)\quad\text{où } g\text{ est la fonction définie par }g(x)=\text e^x} \\\overset{ { \phantom{ } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-1}{X} } =1\quad\text{car } g '(x)=\text{e}^x \Longrightarrow g'(0)=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{e^{X}-1}{X}=1} \\\\\text{et }\boxed{ \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{1}{X}=+\infty}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x}=+\infty}\,.}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ n'est pas dérivable en 0.

2. b) Interprétation graphique :
${ \white{ XXi } }$ La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet en 0 une demi-tangente verticale de direction $\overset{ { \white{ . } } } {(OJ). }$

3. On suppose que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ . }$

3. a) Justifions que : $\overset{ { \white{ } } } { \forall x\in\; ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{\sqrt x\text e^{\sqrt x}}{2x}. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]\,0\;;\;+\infty\,[\, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(\text e^{\sqrt x}\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(\sqrt x)'\,\text e^{\sqrt x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2\,\sqrt x}\,\text e^{\sqrt x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1\times\sqrt x}{2\,\sqrt x\times\sqrt x}\,\text e^{\sqrt x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\sqrt x}{2x}\,\text e^{\sqrt x} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall x\in\; ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{\sqrt x\text e^{\sqrt x}}{2x}}$

3. b) Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } { f.}$

Nous avons montré dans la question précédente que $\overset{ { \white{ } } } { \forall x\in\; ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{\sqrt x\text e^{\sqrt x}}{2x}.}$
Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ est strictement positif, nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)>0.}$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[\,. }$

Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } { f.}$

${ \white{ XXXXX } }$ $\begin{array}{|c|cccc|}\hline &&&&&x&0&&&+\infty &&&&& \\\hline &||&&&\\f'(x)&||&+&+&\\&||&&&\\\hline &&&&+\infty\\f&&\nearrow&\nearrow&\\&1&&&\\\hline \end{array}$

4. Construisons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C). }$

Bac Côte d'Ivoire 2024 série C : image 5

Partie II

Soit $\overset{ { \white{ o } } } {g }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { h}$ deux fonctions définies sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } {g(x)=x^2 \text{ et } h(x)=\begin{aligned} \int_0^x \text e ^{\sqrt t}\text dt\end{aligned}. }$
On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } {\psi }$ la fonction dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[}$ et définie par : $\overset{ { \white{ . } } } {\psi (x)=(h\circ g)(x). }$

1. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \psi (0). }$

${ \white{ xxi } }$ $\psi(0)=(h\circ g)(0) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =h\Big(g(0)\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =h(0) \quad \text{car }g(0)=0^2=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =\displaystyle\int_0^0 \text e ^{\sqrt t}\text dt } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\psi(0)=0}$

1. b) Justifions que : $\overset{ { \white{ . } } } {\forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi '(x)=2x\text e^x. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]\,0\;;\;+\infty\,[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $\psi(x)=(h\circ g)(x) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =h\Big(g(x)\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =h(x^2) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(0) } =\displaystyle\int_0^{x^2} \text e ^{\sqrt t}\text dt } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\psi(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} \text e ^{\sqrt t}\text dt }$

Cette dernière relation signifie que si la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {F }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(t)=\text e^{\sqrt t}, }$ alors nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } {F'(t)=f(t)=\text e^{\sqrt t} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\psi(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} \text e ^{\sqrt t}\text dt \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(x) }=\Big[F(t)\Big]_0^{x^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \psi(x) }=F(x^2)-F(0)}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow \psi '(x) =\Big[F(x^2)-F(0)\Big]' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =\Big[F(x^2)\Big]'-\Big[F(0)\Big]' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =\Big[F(x^2)\Big]'-0\qquad\text{car }F(0) }\text{ est une constante} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =\Big[F(x^2)\Big]'} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =(x^2)'F'(x^2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =2x\,\text e^{\sqrt{x^2}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow \psi '(x) } =2x\text e^{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi '(x)=2x\text e^x}$

1. c) Nous devons en déduire que : $\overset{ { \white{ . } } } {\forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi (x)=2(x-1)\text e^x+2. }$

Nous déduisons des questions 1. a) et 1. b) que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {\psi }$ est l'unique primitive définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[}$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto 2x\text e^x }$ s'annulant en 0.

Dès lors, nous avons : $\psi(x)=\displaystyle\int 2x\,\text e^x\,\text dx + k\quad(k\in \R).$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int 2x\,\text e^x\,\text dx }$ par la méthode d'intégration par parties.

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int u(x)v'(x)\,\text{d}x=u(x)v(x)-\displaystyle\int u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=2x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2 \\\\v'(x)=\text e^x\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\text e^x\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int2x\,\text e^x\text dx=2x\,\text e^x-\displaystyle\int2\,\text e^x\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWxWWWW}=2x\,\text e^x-2\,\text e^x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWxWWWW}=2(x-1)\,\text e^x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad\psi(x)=\displaystyle\int 2x\,\text e^x\,\text dx + k=2(x-1)\,\text e^x+k\quad(k\in\R)}$

Or nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\psi(0)=0. }$
Il s'ensuit que :

${ \white{ xxi } }$ $\psi(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2(0-1)\,\text e^0+k=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\psi(0)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad -2+k=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\psi(0)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad k=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \forall x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;\psi (x)=2(x-1)\text e^x+2 }$

2. On pose : $\overset{ { \white{ . } } } { M=\begin{aligned}\int_0^1\text e^{\sqrt t}\text d t.\end{aligned} }$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\psi (1) }$ puis en déduire en la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } {M.}$

${ \white{ xxi } }$ $\psi (1)=2(1-1)\text e^1+2\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\psi (1)=2}$

Nous en déduisons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } {M;}$

${ \white{ xxi } }$ $M=\displaystyle\int_0^1\text e^{\sqrt t}\text d t \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =h(1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =h\Big(g(1)\Big)\quad\text{car }g(1)=1^2=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =\psi(1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M=2}$

2. b) Déduisons de tout ce qui précède l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } {\mathcal A , }$ en cm², de la partie du plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathcal C) , }$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } {x=1. }$

L'aire $\overset{ { \white{ _. } } } {\mathcal A , }$ en unité d'aire (u.a.), est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A=\displaystyle\int_0^1f(x)\,\text d x \;\;\text{u.a.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M }=\displaystyle\int_0^1\text e^{\sqrt x}\text d x \;\;\text{u.a.}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =M\;\;\text{u.a.}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{M } =2\;\;\text{u.a.}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A=2\;\;\text{u.a.}}$

Or l'unité graphique est de 2 cm.
Cela signifie que l'unité d'aire est de 4 cm².

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathcal A=8\;\;\text{cm}^2}}$

5 points

exercice 6

A l'occasion de ton anniversaire, ta maman t'a permis d'inviter dans un restaurant des élèves de ta classe.
Les invités avaient la possibilité de choisir deux types de kits :
${ \white{ xxi } }$ - un kit comprenant des frites de pomme de terre et
${ \white{ xxi } }$ - un kit comprenant de l'alloco.
Le kit contenant des frites coûte 4 500 F et celui contenant de l'alloco coûte 2 400 F.

A la fin de la cérémonie, tu donnes à ta maman une facture de 90 300 F.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ le nombre de kits achetés comprenant des frites et
${ \white{ xxii } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { y}$ le nombre de kits achetés comprenant de l'alloco.

Nous avons donc l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {4\,500x+2\,400y=90\,300 }$

En divisant les deux membres de cette équation par 300, nous obtenons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) : \boxed{15x+8y=301}\,. }$

Déterminons une solution particulière de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E).}$

Pour ce faire, utilisons l'algorithme d'Euclide étendu que nous appliquerons aux entiers $\overset{ { \white{ . } } } {a=15 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {b=8. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}1\times a+0\times b=15\quad\text(1)\\0\times a+1\times b=8\quad\text(2)\end{matrix}\right. \\\\ (1)-(2) : 1\times a-1\times b=7\quad (3) \\\\\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}0\times a+1\times b=8\quad\text(2)\\1\times a-1\times b=7\quad\text(3)\end{matrix}\right. \\\\ (2)-(3) : -1\times a+2\times b=1\quad (4)$

En multipliant les deux membres de l'équation (4) par 301, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {-301\times a+602\times b=301,}$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{15\times(-301)+8\times602=301}\,. }$

Nous en déduisons que le couple (-301 ; 602) est une solution particulière de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E).}$

Résolvons dans $\overset{ { \white{ . } } } { \Z\times \Z\, , }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E)\,. }$

Nous savons que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (-301\,,\,602) }$ est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,, }$

$\left\lbrace\begin{matrix}15x+8y=301\\15\times(-301)+8\times602=306\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad15(x+301)+8(y-602)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWWWW...}\Longrightarrow\quad\quad\quad 15(x+301)=8(602-y)$

Donc l'entier 8 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } { 15(x+301)\,. }$
Or 8 et 15 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 8 divise $\overset{ { \white{ . } } } { (x+301) }$
Dès lors, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { x+301=8k\,, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x=-301+8k}}\,.$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}15(x+301)=8(602-y)\phantom{xxxx}\\x=-301+8k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}15({\red{x+301}})=8(602-y)\quad\\ {\red{x+301}}=8k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad15\times8k=8(602-y) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 15k=602-y } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=602-15k}}$

Donc, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x=-301+8k\\y=602-15k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (-301 + 8k\;;\; 602-15k) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ pour tout entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } {k\,. }$
En effet, $\overset{{\white{.}}}{15(-301+8k)+8(602-15k)=-4515+120k+4816-120k=301.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est $\overset{{\white{.}}}{S=\lbrace(-301+8k\,;\,602-15k)\,/\,k\in\Z\rbrace}$

Optimisons le paramétrage.

Posons $\overset{ { \white{ . } } } {k=40+k'. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $S=\lbrace(-301+8k\,;\,602-15k)\,/\,k\in\Z\rbrace \\ {{ \white{WWWW}}\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad S=\lbrace(-301+8(40+k')\,;\,602-15(40+k'))\,/\,k'\in\Z\rbrace}} \\ {{ \phantom{WWWW}}\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad S=\lbrace(-301+320+8k'\,;\,602-600-15k')\,/\,k'\in\Z\rbrace}} \\ {{ \phantom{WWWW}}\overset{ { \phantom{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad S=\lbrace(19+8k'\,;\,2-15k')\,/\,k'\in\Z\rbrace}}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(19+8k\,;\,2-15k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

Or l'énoncé stipule que les invités ont choisi plus de 10 kits de chaque sorte.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}19+8k>10\\2-15k>10\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}8k>-9\\-15k>8\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}k>-\dfrac 98\\\overset{ { \white{ . } } } {k<-\dfrac {8}{15}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom {\left\lbrace\begin{matrix}19+8k>10\\2-15k>10\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{-\dfrac 98<k<-\dfrac{8}{15}} \\\\\text{N.B. : }-\dfrac 98=-1,125\quad\text{et}\quad -\dfrac{8}{15}\approx-0,53$

La seule valeur entière de $\overset{ { \white{ _. } } } {k }$ vérifiant les conditions est $\overset{ { \white{ _. } } } {k=-1. }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y)=(19+8k\,;\,2-15k)=(19-8\,;\,2+15)=(11\,;\,17),}$
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{(x\;;\;y)=(11\;;\;17)}\,. }$

Par conséquent, les invités ont choisi 11 kits comprenant des frites et 17 kits comprenant de l'alloco.

Merci à Hiphigénie et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.

Publié par malou le 08-01-2025

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