Écris le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.
1. Soit une fonction dérivable sur un intervalle et une primitive de
sur
Les fonctions sont les primitives de sur
2. Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique double est tel que :
La corrélation linéaire entre les variables et est forte.
3. La fonction dérivée sur de la fonction , est
la fonction :
4. Soit une fonction définie sur et un nombre réel tel que :
On a :
2 points
exercice 2
Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations et permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de l'information qui donne l'affirmation vraie.
1. est un nombre complexe tel que Le
module de est égal à ...
2. Une primitive sur de la fonction est
la fonction définie par ...
3. Soit un point du plan. L'homothétie de centre et de rapport -3 est une similitude
directe de centre , de ...
4. Si sont des points du plan complexe d'affixes respectives telles
que , alors ...
3 points
exercice 3
Dans le cadre du programme jeunesse d'un gouvernement, une enquête a été menée en 2023 sur l'ensemble des élèves issus d'un centre de
formation professionnelle.
Cette enquête a révélé que 40% de ces élèves sont des bacheliers. Parmi ces bacheliers, 90% ont obtenu un emploi et parmi les non bacheliers, 70%
ont obtenu un emploi.
1. On choisit au hasard un élève issu de ce centre.
Démontre que la probabilité que cet élève ait obtenu un emploi est 0,78.
2. On admet que le centre a formé suffisamment d'élèves.
On choisit au hasard 5 élèves issus du centre et on désigne par la variable aléatoire égale au nombre
d'élèves ayant obtenu un emploi.
a. On admet que suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,78. Calcule l'espérance
mathématique de et interprète le résultat.
b. Calcule la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi.
3 points
exercice 4
On se propose de chercher la fonction , dérivable sur , solution de l'équation différentielle
telle que , puis déterminer une valeur approchée de l'équation
1. Démontre que la fonction définie sur par : est une solution de
2. Soit l'équation différentielle Détermine les solutions sur de
3. Soit une fonction dérivable sur
a. Démontre que est solution de si et seulement si est une solution de
b. Déduis des questions précédentes les solutions de
c. Justifie que la fonction cherchée est définie sur par :
4. a. Justifie que est strictement décroissante sur
b. Démontrer que l'équation , admet une solution unique
telle que :
5 points
exercice 5
Le but de cet exercice est de démontrer qu'une fonction est bijective et d'effectuer un calcul d'aire.
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm.
On considère la fonction numérique , continue sur et définie par :
On note sa courbe représentative dans le repère
1. Démontre que :
2. a. Calcule la limite de à droite en 1, puis interprète graphiquement le résultat.
b. Démontre que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe de
en
3. a. Démontre que :
b. Justifie que :
4. Démontre que est une bijection de dans un intervalle à préciser.
5. Soit la courbe représentative de la fonction définie sur par :
Démontre que est au-dessus de sur .
6. a. Justifie que :
b. Détermine l'aire en de la partie du plan limitée par
et les droites d'équations et
5 points
exercice 6
Monsieur Zahui, un entrepreneur, vient d'acquérir avec la mairie de sa ville natale un terrain qu'il doit mettre en valeur.
Il souhaite construire sur ce terrain un marché de produits vivriers pour aider les femmes à écouler facilement leurs
marchandises. Il dispose de 20 000 000 F CFA et voudrait doubler cette somme avant de commencer à réaliser son projet.
Il sollicite une institution financière qui lui propose d'épargner cette somme à un taux annuel de 6,9 %.
Monsieur Zahui voudrait savoir le nombre minimum d'années qu'il lui faut pour commencer le projet. Ne sachant pas comment s'y prendre,
il te sollicite.
A l'aide d'une argumentation basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de Monsieur Zahui.
1. Soit une fonction dérivable sur un intervalle et une primitive de sur
Les fonctions sont les primitives de sur Cet énoncé est vrai.
En effet, pour tout
2. Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique double est tel que :
La corrélation linéaire entre les variables et est forte. Cet énoncé est vrai.
En effet, le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique double est compris entre -1 et 1.
Si la corrélation linéaire est négative et forte entre les variables et
3. La fonction dérivée sur de la fonction est la fonction : Cet énoncé est faux.
La fonction dérivée sur de la fonction est la fonction :
En effet,
4. Soit une fonction définie sur et un nombre réel tel que :
On a : Cet énoncé est vrai.
En effet, pour tout
En utilisant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :
2 points
exercice 2
1. est un nombre complexe tel que Le module de est égal à - Réponse b.
En effet, dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé
l'image vectorielle d'un nombre complexe est le vecteur
Dans ce cas, le module de noté est égal à la longueur du segment
Donc
2. Une primitive sur de la fonction est la fonction définie par - Réponse c.
En effet, la fonction est dérivable sur .
Montrons que
Pour tout
3. Soit un point du plan. L'homothétie de centre et de rapport -3 est une similitude directe de centre de rapport 3 et d'angle - Réponse c.
En effet, une homothétie de rapport est une similitude de rapport et d'angle donc d'angle 0 si et d'angle si
4. Si sont des points du plan complexe d'affixes
respectives telles que
alors est un triangle rectangle en - Réponse a.
En effet,
Nous en déduisons que le triangle n'est pas isocèle.
Nous en déduisons que le triangle est rectangle en
Dès lors, la réponse correcte est la proposition a.
3 points
exercice 3
L'enquête a révélé que 40% de ces élèves sont des bacheliers.
Parmi ces bacheliers, 90% ont obtenu un emploi et parmi les non bacheliers, 70% ont obtenu un emploi.
On considère les événements suivants : B : "l'élève est un bachelier" ; E : "l'élève a obtenu un emploi".
Traduisons la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.
1. On choisit au hasard un élève issu de ce centre.
Démontrons que la probabilité que cet élève ait obtenu un emploi est 0,78.
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité que l'élève ait obtenu un emploi est 0,78.
2. On admet que le centre a formé suffisamment d'élèves.
On choisit au hasard 5 élèves issus du centre et on désigne par la variable aléatoire égale au nombre d'élèves ayant obtenu un emploi.
2. a) On admet que suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,78.
Nous obtenons ainsi :
Nous devons calculer l'espérance mathématique de et interpréter le résultat.
L'espérance mathématique de est donnée par :
Cela signifie que dans ce centre, il y a en moyenne 4 personnes sur 5 ayant obtenu un emploi.
2. b) Nous devons calculer la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi, soit
Par conséquent, la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi est égale à 0,926 (valeur arrondie au millième près).
3 points
exercice 4
On considère la fonction dérivable sur solution de l'équation différentielle telle que
1. Démontrons que la fonction définie sur par : est une solution de
Nous observons que :
Dès lors,
D'où, la fonction définie sur par : est une solution de
2. Soit l'équation différentielle Déterminons les solutions sur de
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Or
Dans ce cas, et
D'où la solution générale de l'équation différentielle s'écrit
3. Soit une fonction dérivable sur
3. a) Démontrons que est solution de si et seulement si est une solution de
est une solution de est une solution de
Par conséquent, est une solution de si et seulement si est une solution de
3. b) Déduisons des questions précédentes les solutions de
Nous savons que est une solution de si et seulement si est une solution de soit
D'où l'ensemble des solutions de est l'ensemble des fonctions définies sur par
3. c) Justifions que la fonction cherchée est définie sur par :
La fonction solution de l'équation différentielle est telle que
Nous obtenons alors :
Par conséquent, la fonction cherchée est définie sur par :
4. a) Justifions que est strictement décroissante sur
Pour tout
D'où,
Par conséquent, est strictement décroissante sur
4. b) Démontrons que l'équation admet une solution unique telle que :
La fonction est continue est strictement décroissante sur l'intervalle
Nous savons que
Calculons
D'où
Dès lors,
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle
De plus,
5 points
exercice 5
On considère la fonction numérique continue sur et définie par :
1. Démontrons que :
En effet,
Par conséquent,
2. a) Nous devons calculer la limite de à droite en 1, puis interpréter graphiquement le résultat.
Par conséquent,
Graphiquement, la droite d'équation est une asymptote verticale à la courbe
2. b) Nous devons démontrer que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe de en
Par conséquent,
Nous en déduisons que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe de en
3. a) Nous devons démontrer que :
Pour tout
3. b) Nous devons justifier que :
En effet,
Par conséquent,
4. Nous devons démontrer que est une bijection de dans un intervalle à préciser.
La fonction est continue sur l'intervalle
La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle car
De plus, et
Nous en déduisons que la fonction constitue une bijection entre et
5. Soit la courbe représentative de la fonction définie sur par :
Démontre que est au-dessus de sur
Montrons donc que
En effet, pour tout
Par conséquent, nous avons montré que est au-dessus de sur
6. a) Nous devons justifier que :
6. b) Déterminons l'aire en cm2 de la partie du plan limitée par et les droites d'équations et
Les fonctions et sont positives.
De plus nous savons que est au-dessus de sur et en particulier sur l'intervalle
Nous en déduisons que l'aire en unité d'aire (u.a.) se calcule par :
Or l'unité graphique est de 2 cm.
Cela signifie que l'unité d'aire est de 4 cm2.
Par conséquent,
5 points
exercice 6
Soit la suite réelle dont le terme représente le montant du capital après années d'épargne.
La suite est définie par
Cette suite est une suite géométrique de raison et de premier terme
Le terme général de la suite est .
Donc, pour tout
L'entrepreneur désire savoir le nombre minimum d'années nécessaires pour doubler la somme de départ.
Nous devons donc déterminer la plus petite valeur de telle que :
Le plus petit entier naturel vérifiant l'inéquation est
Donc le nombre minimum d'années nécessaires pour doubler la somme de départ et commencer le projet est 11.
Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir participé à l'élboration de cette fiche.
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
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Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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