Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques Côte d'Ivoire 2024 série D

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

Toute calculatrice scientifique est autorisée.

2 points

exercice 1

Écris le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

1. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $K$ et $F$ une primitive de $f$ sur $K.$

Les fonctions $x\mapsto F(x)+c\;,\;c\in \textbf R$ sont les primitives de $f$ sur $K.$

2. Le coefficient de corrélation linéaire $r$ d'une série statistique double $(X\,,\,Y)$ est tel que :

$-1 < r< -0,87.$ La corrélation linéaire entre les variables $X$ et $Y$ est forte.

3. La fonction dérivée sur $\textbf R$ de la fonction $x\mapsto a^x\;,\;a\in \textbf R^*_+\setminus \lbrace 1\rbrace$ , est la fonction : $x\mapsto a^x.$

4. Soit $f$ une fonction définie sur $]0\;;\;+\infty[$ et $\ell$ un nombre réel tel que :

$\forall x\in ]0\;;\;+\infty[\,,\,|f(x)-\ell|<\dfrac 1x.$ On a : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell.$

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations $a\,,\; b\,,\; c$ et $d$ permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.

Écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de l'information qui donne l'affirmation vraie.

1. $z$ est un nombre complexe tel que $z=a+b\text i\,,\,a\in \textbf R\text{ et } b\in \textbf R.$ Le module de $z$ est égal à ...

$\white w$ $a)\;a^2+b^2\qquad b)\;\sqrt{a^2+b^2}\qquad c)\;a^2-b^2\qquad d)\;|a+b|.$

2. Une primitive sur $\left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[$ de la fonction $x\mapsto \dfrac{\cos x}{\sin x}$ est la fonction $F$ définie par ...

$\white w$ $a)\;F(x)=-\dfrac{1}{\sin ^2x}\qquad b)\;F(x)=-\ln(\sin x)\qquad c)\;F(x)=\ln(\sin x)\qquad d)\; F(x)=\dfrac{\cos ^2x-\sin ^2x}{(\sin x)^2}.$

3. Soit $\Omega$ un point du plan. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport -3 est une similitude directe de centre $\Omega$ , de ...

$\white w$ $a)\;\text{rapport }-3 \text{ et d'angle }0\qquad b)\;\text{rapport }-3 \text{ et d'angle }\pi \\ \qquad c)\;\text{rapport }3 \text{ et d'angle }\pi\qquad \quad d)\; \text{rapport }3 \text{ et d'angle }0.$

4. Si $A,\,B,\,C$ sont des points du plan complexe d'affixes respectives $z_A,\,z_B \text{ et }z_C$ telles que $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-\text i\sqrt 3$ , alors ...

$\white w$ $a)\;ABC\text{ est un triangle rectangle en }A \qquad \qquad \qquad b)\;ABC\text{ est un triangle isocèle en }A \\ \qquad c)\;ABC\text{ est un triangle rectangle isocèle en }A\qquad \quad d)\; \text{les points }A,B,C \text{ sont alignés.}$

3 points

exercice 3

Dans le cadre du programme jeunesse d'un gouvernement, une enquête a été menée en 2023 sur l'ensemble des élèves issus d'un centre de formation professionnelle.

Cette enquête a révélé que 40% de ces élèves sont des bacheliers. Parmi ces bacheliers, 90% ont obtenu un emploi et parmi les non bacheliers, 70% ont obtenu un emploi.

1. On choisit au hasard un élève issu de ce centre.

Démontre que la probabilité que cet élève ait obtenu un emploi est 0,78.

2. On admet que le centre a formé suffisamment d'élèves.

On choisit au hasard 5 élèves issus du centre et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves ayant obtenu un emploi.

$\white w$ a. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,78. Calcule l'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ et interprète le résultat.

$\white w$ b. Calcule la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi.

3 points

exercice 4

On se propose de chercher la fonction $f$ , dérivable sur $\textbf R$ , solution de l'équation différentielle $(E)\;:\;y'-2y=-4x-4$ telle que $f(0)=1$ , puis déterminer une valeur approchée de l'équation $x\in [0\;;\;+\infty[\,,\,f(x)=-1.$

1. Démontre que la fonction $h$ définie sur $\textbf R$ par : $h(x)=2x+3$ est une solution de $(E).$

2. Soit l'équation différentielle $(E')\;:\;y'-2y=0.$ Détermine les solutions sur $\textbf R$ de $(E').$

3. Soit $g$ une fonction dérivable sur $\textbf R.$

$\white w$ a. Démontre que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-h$ est une solution de $(E').$

$\white w$ b. Déduis des questions précédentes les solutions de $(E).$

$\white w$ c. Justifie que la fonction $f$ cherchée est définie sur $\textbf R$ par : $f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3.$

4. a. Justifie que $f$ est strictement décroissante sur $x\in [0\;;\;+\infty[.$

$\white w$ b. Démontrer que l'équation $x\in [0\;;\;+\infty[\,,\,f(x)=-1$ , admet une solution unique $\alpha$ telle que : $0,4< \alpha < 0,5.$

5 points

exercice 5

Le but de cet exercice est de démontrer qu'une fonction est bijective et d'effectuer un calcul d'aire.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(0, I, J)$ d'unité graphique 2 cm.

On considère la fonction numérique $h$ , continue sur $]1\;;\;+\infty[$ et définie par : $h(x)=\dfrac{x+1}{x\ln x}.$

On note $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans le repère $(0, I, J).$

1. Démontre que : $\forall x\in ]1\;;\;+\infty[\,,\;1+x+\ln x > 0.$

2. a. Calcule la limite de $h$ à droite en 1, puis interprète graphiquement le résultat.

$\white w$ b. Démontre que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe $(\mathcal C)$ de $h$ en $+\infty.$

3. a. Démontre que : $\forall x\in ]1\;;\;+\infty[\,,\;h'(x)=-\dfrac{1+x+\ln x}{(x\ln x)^2}.$

$\white w$ b. Justifie que : $\forall x\in ]1\;;\;+\infty[\,,\; h'(x)< 0.$

4. Démontre que $h$ est une bijection de $]1\;;\;+\infty[$ dans un intervalle $K$ à préciser.

5. Soit $(\Gamma )$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $]1\;;\;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{1}{\ln x}.$ Démontre que $(\mathcal C)$ est au-dessus de $(\Gamma )$ sur $]1\;;\;+\infty[$ .

6. a. Justifie que : $\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\end{aligned}=\ln 2.$

$\white w$ b. Détermine l'aire $\mathcal A$ en $\text{cm}^2$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal C)\,,\,(\Gamma )$ et les droites d'équations $x=\text e$ et $x=\text e^2.$

5 points

exercice 6

Monsieur Zahui, un entrepreneur, vient d'acquérir avec la mairie de sa ville natale un terrain qu'il doit mettre en valeur. Il souhaite construire sur ce terrain un marché de produits vivriers pour aider les femmes à écouler facilement leurs marchandises. Il dispose de 20 000 000 F CFA et voudrait doubler cette somme avant de commencer à réaliser son projet. Il sollicite une institution financière qui lui propose d'épargner cette somme à un taux annuel de 6,9 %.

Monsieur Zahui voudrait savoir le nombre minimum d'années qu'il lui faut pour commencer le projet. Ne sachant pas comment s'y prendre, il te sollicite.

A l'aide d'une argumentation basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de Monsieur Zahui.

Voir la correction

Bac Côte d'Ivoire 2024 série D

2 points

exercice 1

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ une fonction dérivable sur un intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { K. }$
Les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto F(x)+c\;,\;c\in \R }$ sont les primitives de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{_{ _.} } } } { K. }$
Cet énoncé est vrai.

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in K,\quad \Big(F(x)+c\Big)'= F'(x)=f(x).}$

2. Le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ d'une série statistique double $\overset{ { \white{ . } } } { (X\,,\,Y) }$ est tel que : $\overset{ { \white{ . } } } {-1<r<-0,87. }$
La corrélation linéaire entre les variables $\overset{ { \white{ _. } } } { X}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ est forte.
Cet énoncé est vrai.

En effet, le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ d'une série statistique double $\overset{ { \white{ . } } } { (X\,,\,Y) }$ est compris entre -1 et 1.
Si $\overset{ { \white{ . } } } { -1 < r < -0,87, }$ la corrélation linéaire est négative et forte entre les variables $\overset{ { \white{ _. } } } { X}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Y. }$

3. La fonction dérivée sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto a^x\;,\;a\in \textbf R^*_+\setminus \lbrace1\rbrace , }$ est la fonction : $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto a^x. }$
Cet énoncé est faux.

La fonction dérivée sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto a^x\;,\;a\in \textbf R^*_+\setminus \lbrace1\rbrace , }$ est la fonction : $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto (\ln a)\,a^x. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $(a^x)'=\Big((\text e^{\ln a})^x\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (a^x)'}=\Big(\text e^{(\ln a)x}\Big)' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (a^x)'}=\Big((\ln a)x\Big)'\times \text e^{(\ln a)x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (a^x)'}=\ln a\times (\text e^{\ln a})^x } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (a^x)'}=\ln a\times a^x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad (a^x)'=(\ln a)\,x}$

4. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ une fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\ell }$ un nombre réel tel que :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \forall x\in ]0\;;\;+\infty[\,,\,|f(x)-\ell|<\dfrac 1x. }$

On a : $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell. }$
Cet énoncé est vrai.

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\;]0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $|f(x)-\ell|<\dfrac 1x\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac 1x<f(x)-\ell<\dfrac 1x \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |f(x)-\ell|<\dfrac 1x} \quad\Longleftrightarrow\quad \ell-\dfrac 1x<f(x)<\ell+\dfrac 1x }\\\\\text{Or }\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0\quad \Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\ell-\dfrac 1x\Big)=\ell\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\ell+\dfrac 1x\Big)=\ell}\end{matrix}.$

En utilisant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

$\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} \ell-\dfrac 1x<f(x)<\ell+\dfrac 1x \\\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\ell-\dfrac 1x\Big)=\ell\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\ell+\dfrac 1x\Big)=\ell}\end{matrix}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell} }$

2 points

exercice 2

1. $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ est un nombre complexe tel que $\overset{ { \white{ . } } } { z=a+b\text i\,,\,a\in \R\text{ et } b\in \R. }$
${ \white{ xxi } }$ Le module de $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { {\red\sqrt{a^2+b^2}} }$ - Réponse b.

En effet, dans un plan complexe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal {P} }$ muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O;\vec {u},\vec {v}) ,}$ l'image vectorielle d'un nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } {a+\text i b }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {OM}(a\;;\; b). }$
Dans ce cas, le module de $\overset{ { \white{ . } } } { z ,}$ noté $\overset{ { \white{ . } } } { |z| }$ est égal à la longueur $\overset{ { \white{ . } } } { OM }$ du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [OM]. }$
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}} }$

2. Une primitive sur $\overset{ { \white{ . } } } { \left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[ }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f: x\mapsto f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} }$ est la fonction $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{F(x)=\ln(\sin x)}} }$ - Réponse c.

En effet, la fonction $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { \left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[ }$ .
Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in \left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[,\quad F'(x)=f(x) }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[, }$

${ \white{ WWWi } }$ $F'(x)=\Big(\ln(\sin x)\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x) } =\dfrac{(\sin x)'}{\sin x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x) } =\dfrac{\cos x}{\sin x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x) } =f(x) }$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in \left]0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right[,\quad F'(x)=f(x) }$

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ un point du plan. L'homothétie de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et de rapport -3 est une similitude directe de centre $\overset{ { \white{. } } } { \Omega , }$ de rapport 3 et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{\pi}} }$ - Réponse c.

En effet, une homothétie de rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ est une similitude de rapport $\overset{ { \white{ . } } } { |k| }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \arg(k), }$ donc d'angle 0 si $\overset{ { \white{ _. } } } { k>0 }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \pi }$ si $\overset{ { \white{ _. } } } { k<0. }$

4. Si $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C }$ sont des points du plan complexe d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { z_A,\,z_B \text{ et }z_C }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-\text i\sqrt 3 , }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{ABC}} }$ est un triangle rectangle en $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{A}} }$ - Réponse a.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left|\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=\left|-\text i\sqrt 3\,\right| \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\left|z_B-z_A\right|}{\left|z_C-z_A\right|}=\sqrt 3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{W\left|\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=\left|-\text i\sqrt 3\,\right|}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{AB}{AC}=\sqrt 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{W\left|\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=\left|-\text i\sqrt 3\,\right|}\quad\Longleftrightarrow\quad AB=\sqrt 3\,AC }$

Nous en déduisons que le triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABC }$ n'est pas isocèle.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=\arg\left(-\text i\sqrt 3\,\right)\;[2\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$

Nous en déduisons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ . } } } { A. }$

Dès lors, la réponse correcte est la proposition a.

3 points

exercice 3

L'enquête a révélé que 40% de ces élèves sont des bacheliers.
Parmi ces bacheliers, 90% ont obtenu un emploi et parmi les non bacheliers, 70% ont obtenu un emploi.

On considère les événements suivants :
${ \white{ xxi } }$ B : "l'élève est un bachelier" ;
${ \white{ xxi } }$ E : "l'élève a obtenu un emploi".

Traduisons la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.

Bac Côte d'Ivoire 2024 série D : image 1

1. On choisit au hasard un élève issu de ce centre.
Démontrons que la probabilité que cet élève ait obtenu un emploi est 0,78.

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{B}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline B}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(E)=P(B\cap E)+P(\overline B\cap E)\quad\Longleftrightarrow\quad P(E)=P(B)\times P_B(E)+P(\overline B)\times P_{\overline B}(E) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) } \quad\Longleftrightarrow\quad P(E)=0,4\times 0,9+0,6\times 0,7 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) } \quad\Longleftrightarrow\quad P(E)=0,36+0,42} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(E)=0,78}}$

Par conséquent, la probabilité que l'élève ait obtenu un emploi est 0,78.

2. On admet que le centre a formé suffisamment d'élèves.
On choisit au hasard 5 élèves issus du centre et on désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves ayant obtenu un emploi.

2. a) On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } {X }$ suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,78.

Nous obtenons ainsi : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}5\\k\end{pmatrix}\times0,78^k\times0,22^{ 5-k } }$

Nous devons calculer l'espérance mathématique $\overset{ { \white{ . } } } { E(X) }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ et interpréter le résultat.

L'espérance mathématique de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=np \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(X)}=5\times 0,78 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(X)}=3,9 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=3,9}$

Cela signifie que dans ce centre, il y a en moyenne 4 personnes sur 5 ayant obtenu un emploi.

2. b) Nous devons calculer la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\ge 3) }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(X\ge 3)} =\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\times0,78^3\times0,22^{ 5-3 } +\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\times0,78^4\times0,22^{ 5-4 } +\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\times0,78^5\times0,22^{ 5-5 } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(X\ge 3)} =10\times0,78^3\times0,22^{2 } +5\times0,78^4\times0,22 +0,78^5 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(X\ge 3)} \approx0,926 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(X\ge 3)\approx0,926 }$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi est égale à 0,926 (valeur arrondie au millième près).

3 points

exercice 4

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f,}$ dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R, }$ solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\;:\;y'-2y=-4x-4 }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=1. }$

1. Démontrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=2x+3 }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

Nous observons que : $\overset{ { \white{ . } } } {h(x)=2x+3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{h'(x)=2}\,. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $h'(x)-2h(x)=2-2(2x+3) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x) -2h(x)} =2-4x-6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x) -2h(x)} =-4x-4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{h'(x)-2h(x)=-4x-4}$

D'où, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=2x+3 }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

2. Soit l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E')\;:\;y'-2y=0. }$
${ \white{ xx } }$ Déterminons les solutions sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { (E'). }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Or $y'-2y=0\Longleftrightarrow y'=2y.$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=0. }$

D'où la solution générale de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E'):y'-2y=0 }$ s'écrit $\boxed{y(x)=k\,\text{e}^{2x}\ \ (k\in\R)}$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ une fonction dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

3. a) Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { g-h }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E'). }$

$\overset{ { \white{ . } } } {g-h }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E')\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(g(x)-h(x)\Big)'-2\Big(g(x)-h(x)\Big)=0 }$
${ \white{ WWWWWWw} }$ ${ \white{ WWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad g'(x)-h'(x)-2\,g(x)+2\,h(x)=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad g'(x)-2\,g(x)=h'(x)-2\,h(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad g'(x)-2\,g(x)=-4x-4} \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\text{car }h\,\text{est une solution de }(E)$
${ \white{ WWWWWWW} }$ ${ \white{ WWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad g}$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E)}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } {g-h }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E'). }$

3. b) Déduisons des questions précédentes les solutions de $\overset{ { \white{ . } } } {(E). }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } {g-h }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E'), }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {g(x)-h(x)=k\,\text{e}^{2x}\ \ (k\in\R). }$

$\text{Or }\;\overset{ { \white{ _. } } } {g(x)-h(x)=k\,\text{e}^{2x}\ \ (k\in\R)\quad\Longleftrightarrow\quad g(x)=k\,\text{e}^{2x}+h(x)\ \ (k\in\R) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWWwWWv} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed {g(x)= k\,\text{e}^{2x}+2x+3\ \ (k\in\R) } }$

D'où l'ensemble des solutions de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est l'ensemble des fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ définies sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R}$ par $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto k\,\text{e}^{2x}+2x+3\ \ (k\in\R). }$

3. c) Justifions que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ cherchée est définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3.}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f,}$ solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\;:\;y'-2y=-4x-4 }$ est telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=1. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $k\,\text{e}^{0}+2\times0+3=1\quad\Longleftrightarrow\quad k+3=1\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=-2}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ cherchée est définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3}\,.}$

4. a) Justifions que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-2\times (2x)'\,\text e^{2x}+2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-2\times 2\,\text e^{2x}+2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=-2\text e^{2x}+2x+3} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-4\,\text e^{2x}+2} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in [0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)= -4\,\text e^{2x}+2}$

$\text{Or }\quad x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad 2x\ge0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{2x}\ge1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad -4\,\text e^{2x}\le -4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad -4\,\text e^{2x}+2\le -4+2 <0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\ge 0}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)<0}$

D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in [0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)<0} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

4. b) Démontrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[\,,\,f(x)=-1 , }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ telle que : $\overset{ { \white{ . } } } { 0,4< \alpha < 0,5. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[\,0\;;\;+\infty\,[.}$
Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=1. }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(-2\text e^{2x}+2x+3) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) }=\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{2x}\left(-2+\dfrac{2x}{\text e^{2x}}+\dfrac{3}{\text e^{2x}}\right) } \\\\\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{2x}=+\infty{\white{WWWWWWWWW}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{\text e^{2x}}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{\text e^{2x}}=0{\white{WWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{2x}=+\infty{\white{WWWWWW}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2+\dfrac{2x}{\text e^{2x}}+\dfrac{3}{\text e^{2x}}\right) =-2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{2x}\left(-2+\dfrac{2x}{\text e^{2x}}+\dfrac{3}{\text e^{2x}}\right) =-\infty$

D'où ${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-1\in\;\left]\,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\;;\;f(0)\,\right]} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,[0\;;\;+\infty\,[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=-1. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=-1 }$ admet une unique solution    $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$    sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty\,[.}$

De plus,    $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(0,4)\approx-0,65>-1\\f(0,5)\approx-1,44<-1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0,4<\alpha<0,5} }$

5 points

exercice 5

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } { h, }$ continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ }$ et définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=\dfrac{x+1}{x\ln x}. }$

1. Démontrons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\;1+x+\ln x > 0. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $x>1\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1+x>2\\\ln x>\ln 1\end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1+x>0\\\ln x>0\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{o . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad 1+x+\ln x>0 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\;1+x+\ln x > 0}\,. }$

2. a) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { h }$ à droite en 1, puis interpréter graphiquement le résultat.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 1^+}h(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x+1}{x\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^+}h(x)} =\lim\limits_{x\to 1^+}\left(\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{\ln x}\right)} \\\\\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x+1}{x}=2\phantom{WWWWWWWWWiW}\\\lim\limits_{x\to 1^+}\ln x=0^+\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1}{\ln x}=+\infty\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où}\quad\lim\limits_{x\to 1^+}\left(\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{\ln x}\right)=+\infty.$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}h(x)=+\infty} }$

Graphiquement, la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) . }$

2. b) Nous devons démontrer que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty}h(x)} =\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{\ln x}\right)} \\\\\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x}=1\phantom{WWWWiW}\\\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\ln x}=0\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où}\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{\ln x}\right)=0$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=0} }$

Nous en déduisons que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

3. a) Nous devons démontrer que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\;h'(x)=-\dfrac{1+x+\ln x}{(x\ln x)^2}. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $h'(x)=\left(\dfrac{x+1}{x\ln x}\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{(x+1)'\times x\ln x-(x+1)\times (x\ln x)'}{(x\ln x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{1\times x\ln x-(x+1)\times \Big(x'\times \ln x+x\times (\ln x)'\Big)}{(x\ln x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{x\ln x-(x+1)\times \Big(1\times \ln x+x\times \dfrac 1x\Big)}{(x\ln x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{x\ln x-(x+1)\times ( \ln x+1)}{(x\ln x)^2} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{x\ln x-(x\ln x+x+\ln x+1)}{(x\ln x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{x\ln x-x\ln x-x-\ln x-1}{(x\ln x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h'(x)} =\dfrac{-x-\ln x-1}{(x\ln x)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\;h'(x)=-\dfrac{1+x+\ln x}{(x\ln x)^2}}$

3. b) Nous devons justifier que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\; h'(x)< 0. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $x>1\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1+x>2\\\ln x>\ln 1\\ (x\ln x)^2>0\end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}1+x>0\\\ln x>0\\ (x\ln x)^2>0\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1+x+\ln x}{(x\ln x)^2} >0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad -\dfrac{1+x+\ln x}{(x\ln x)^2} <0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x>1 } \quad\Longrightarrow\quad h'(x) <0}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\; h'(x)< 0. }}$

4. Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ }$ dans un intervalle $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { K }$ à préciser.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ \,.}$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { \forall x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,,\; h'(x)< 0.}$

De plus, $\overset{ { \white{ ZO. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}h(x)=+\infty}$ et $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=0}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ constitue une bijection entre $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {K=\; ]0\;;\;+\infty[\,. }$

5. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$ la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=\dfrac{1}{\ln x}. }$
Démontre que $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ . }$

Montrons donc que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,]1\;;\;+\infty[,\quad h(x)-g(x)>0. }$

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]1\;;\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $h(x)-g(x)=\dfrac{x+1}{x\ln x}-\dfrac{1}{\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)-g(x) }=\dfrac{x+1}{x\ln x}-\dfrac{x}{x\ln x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)-g(x) }=\dfrac{x+1-x}{x\ln x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)-g(x) }=\dfrac{1}{x\ln x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]1\;;\;+\infty[,\quad h(x)-g(x)=\dfrac{1}{x\ln x}}$

$\text{Or }\quad x>1\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x>0\\\ln x>\ln 1\end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad x>1 } \quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x>0\\\ln x>0\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad x>1 } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x\ln x} >0} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad x>1 } \quad\Longrightarrow\quad\boxed{ h(x)-g(x)>0}}$

Par conséquent, nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[ . }$

6. a) Nous devons justifier que : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\end{aligned}=\ln 2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\end{aligned}=\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{\frac 1x}{\ln x}\,\text dx\end{aligned} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\end{aligned} } =\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}\,\text dx\end{aligned}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\end{aligned} } =\Big[\ln\,(\ln x)\Big]_{\text e}^{\text e^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWW} =\ln\,(\ln \text e^2)-\ln\,(\ln \text e)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWW} =\ln 2-\ln 1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWW} =\ln 2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{aligned}\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\end{aligned}=\ln 2}$

6. b) Déterminons l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } {\mathcal A }$ en cm² de la partie du plan limitée par $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C)\,,\,(\Gamma )}$ et les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } {x=\text e }$ et $\overset{ { \white{ } } } { x=\text e^2. }$

Les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ sont positives.
De plus nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma ) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[,}$ et en particulier sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;;\;\text e^2]. }$

Nous en déduisons que l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } {\mathcal A }$ en unité d'aire (u.a.) se calcule par :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A=\displaystyle\int_{\text e}^{\text e^2}\Big(h(x)-g(x)\Big)\,\text dx\;\text{u.a.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A } =\displaystyle\int_{\text e}^{\text e^2}\dfrac{1}{x\ln x}\,\text dx\;\text{u.a.}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A } =\ln 2\;\text{u.a.}\quad(\text{voir exercice 6. a})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A=(\ln 2)\;\text{u.a.}}$

Or l'unité graphique est de 2 cm.
Cela signifie que l'unité d'aire est de 4 cm².

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathcal A=(4\,\ln 2)\;\text{cm}^2} }$

5 points

exercice 6

Soit la suite réelle $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ dont le terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ représente le montant du capital après $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ années d'épargne.
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}u_0=20\,000\,000\\u_{n+1}=1,069\, u_n\end{matrix}\right. }$

Cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=1,069 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=20\,000\,000. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\ge 0,\quad\boxed{u_n=20\,000\,000\times1,069^{n}}}$

L'entrepreneur désire savoir le nombre minimum d'années nécessaires pour doubler la somme de départ.

Nous devons donc déterminer la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ telle que : $\overset{ { \white{ . } } } { u_n\ge 2\,u_0. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_n\ge 2\,u_0\quad\Longleftrightarrow 20\,000\,000\times 1,069^n\ge 40\,000\,000 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n\ge 2\,u_0 } \quad\Longleftrightarrow 1,069^n\ge 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n\ge 2\,u_0 } \quad\Longleftrightarrow \ln(1,069^n)\ge \ln 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n\ge 2\,u_0 } \quad\Longleftrightarrow n\times\ln1,069\ge \ln 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n\ge 2\,u_0 } \quad\Longleftrightarrow n\ge \dfrac{\ln 2}{\ln1,069} } \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln2}{\ln1,069}\approx10,39$

Le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inéquation est $\overset{ { \white{ . } } } { n=11. }$

Donc le nombre minimum d'années nécessaires pour doubler la somme de départ et commencer le projet est 11.

Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir participé à l'élboration de cette fiche.

Publié par malou le 08-01-2025

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