Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat Sciences économiques

Maroc 2024

L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé.

Durée : 2 heures

Coefficient : 4

5 points

exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in \textbf N}$ la suite numérique définie par : $u_0=5 \text{ et } u_{n+1}=\dfrac 2 5 u_n-1$ pour tout $n$ de N.

1. Calculer $u_1\text{ et } u_2$ .

2. a. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de N : $u_n > -\dfrac 5 3$ .

2. b. Vérifier que $u_{n+1}-u_n=-\dfrac 35\left(u_n+\dfrac 53\right)$ , puis en déduire que $(u_n)_{n\in \textbf N}$ est une suite décroissante.

2. c. Dire pourquoi $(u_n)_{n\in \textbf N}$ est convergente.

3. On pose pour tout $n$ de N : $v_n=u_n + \dfrac 53$ .

3. a. Montrer que $(v_n)_{n\in \textbf N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac 25$ .

3. b. Calculer $v_0$ .

3. c. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .

3. d En déduire que pour tout $n$ de N : $u_n=\dfrac{20}{3}\left(\dfrac 25\right)^n-\dfrac 53$ .

3. e. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$ .

3 points

exercice 2

exercice 3

Soit $h$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $D=]0\;;\;\text e[\cup]\text e\;;\;+\infty[$ par :

${\white{wwwwww}} h(x)=\dfrac{\ln x+1}{\ln x-1}$

1. a. En remarquant que pour tout $x\neq 1\;\; ,h(x)=\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}}$ , montrer que $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}h(x)=1$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=1$ .

1. b. Montrer que $\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}h(x)=-\infty$ et que $\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}h(x)=+\infty$ .

2. a. Montrer que pour tout $x$ de $D$ : $h'(x)=\dfrac{-2}{x(\ln x -1)^2}$ .

2. b. Calculer $h\left(\dfrac{1}{\text e}\right)$ et donner le signe de $h'(x)$ , puis dresser le tableau de variation de $h$ .

2. c Déterminer, à l'aide du tableau de variations :

$\white{www}$ I. l'ensemble des solutions de l'inéquation : $h(x) \le 0$

$\white{www}$ II. l'image de l'intervalle $]0\;;\;\text e[$ par la fonction $h$ .

4 points

exercice 4

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ de la variable $x$ définies respectivement sur R et sur $]0\;;\;+\infty[$ par $f(x)=x^2-4x+3 \text{ et } g(x)=\ln x$ .

1. Calculer $g(1)\;,\; f(1)\;\; \text{ et } f(3)$ .

2. Ci-dessous, $(\mathcal C_f)\text{ et }(\mathcal C_g)$ sont les courbes représentatives de $f \text{ et } g$ dans un repère orthonormé $(O\;;\;\overrightarrow i\;,\; \overrightarrow j)$ .

2. a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\begin{aligned}\int_1^2 \ln x \;\text dx\end{aligned}=2\ln 2-1$ .

2. b. Calculer $\begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3) \text dx\end{aligned}$ .

2. c. En déduire que l'aire de la partie hachurée est égale à $\left(2\ln 2-\dfrac 13\right)$ u.a.

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Bac Maroc 2024 Sciences Economiques

5 points

exercice 1

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \N} }$ la suite numérique définie par : $\overset{ { \white{ . } } } {u_0=5 \text{ et } u_{n+1}=\dfrac 2 5 u_n-1 }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } {\N. }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { u_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=\dfrac 2 5 u_0-1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_1u_1}=\dfrac 2 5 \times5-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_1u_1}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=1}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{2}=\dfrac 2 5 u_1-1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_1u_1}=\dfrac 2 5 \times1-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_1u_1}=-\dfrac35} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=-\dfrac35}$

2. a) Montrons par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N : u_n > -\dfrac 5 3. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{u_0 > -\dfrac 5 3.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$ ${ \white{ x } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {u_0=5>-\dfrac 5 3.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ u_n > -\dfrac 5 3}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1} > -\dfrac 5 3 .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $u_n > -\dfrac 5 3 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac 25\times u_n > -\dfrac 5 3\times\dfrac 25 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac25\,u_n>-\dfrac23 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac25\,u_n-1>-\dfrac23-1 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac25\,u_n-1>-\dfrac53 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}>-\dfrac53}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N : \boxed{u_n > -\dfrac 5 3}\,. }$

2. b) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}-u_n=-\dfrac 35\left(u_n+\dfrac 53\right) }$ , puis en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \N} }$ est une suite décroissante.

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\N\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}-u_n=\left(\dfrac 2 5 u_n-1\right)-u_n \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=-\dfrac 3 5 u_n-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=-\dfrac 3 5 u_n+\left(-\dfrac35\right)\times\dfrac53} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=-\dfrac 3 5 \left(u_n+\dfrac53\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad u_{n+1}-u_n=-\dfrac 3 5 \left(u_n+\dfrac53\right)}$

De plus, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\N\, , }$

${ \white{ xxi } }$ $u_n > -\dfrac 5 3 \quad\Longrightarrow\quad u_n+\dfrac53 > -\dfrac 5 3+\dfrac53 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n > -\dfrac 5 3 }\quad\Longrightarrow\quad u_n+\dfrac53 > 0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n > -\dfrac 5 3 }\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac 3 5 \left(u_n+\dfrac53\right)< 0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n > -\dfrac 5 3 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}-u_n< 0}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \N} }$ est une suite décroissante.

2. c) Nous avons montré dans les questions précédentes que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \N} }$ est décroissante et minorée par $-\dfrac 5 3.$
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in \N} }$ est convergente.

3. On pose pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N : v_n=u_n + \dfrac 53. }$
3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)_{n\in \N} }$ est une suite géométrique de raison $\dfrac 25 .$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \N\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac53 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\left(\dfrac 2 5 u_n-1\right)+\dfrac53} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac 2 5 u_n+\dfrac23} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac 2 5 u_n+\dfrac25\times\dfrac53} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac 2 5 \left(u_n+\dfrac53\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac 2 5 v_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad v_{n+1}=\dfrac 2 5 v_n}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)_{n\in \N} }$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac 25 .$

3. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { v_0. }$

${ \white{ xxi } }$ $v_0=u_0+\dfrac53=5+\dfrac53=\dfrac{20}{3}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v_0=\dfrac{20}{3}}$

3. c) Nous devons donner l'expression de $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,,\quad\boxed{v_n=\dfrac{20}{3}\times\left(\dfrac 25\right)^{n}}}$

3. d) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N : u_n=\dfrac{20}{3}\left(\dfrac 25\right)^n-\dfrac 53 .}$

$\forall\ n\in\N,\; \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n + \dfrac 53{\white{Www}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { v_n=\dfrac{20}{3}\times\left(\dfrac 25\right)^{n}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_n + \dfrac 53=\dfrac{20}{3}\times\left(\dfrac 25\right)^{n}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=\dfrac{20}{3}\times\left(\dfrac 25\right)^{n}-\dfrac53}$

3. e) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} u_n . }$

${ \white{ xxi } }$ $0<\dfrac25<1\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac25\right)^n=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac25<1}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{20}{3}\left(\dfrac25\right)^n=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac25<1}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty} \Big[\dfrac{20}{3}\left(\dfrac25\right)^n-\dfrac53\Big]=-\dfrac53} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<\dfrac25<1}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\dfrac53}}$

3 points

exercice 2

Une urne contient trois boules vertes numérotées 1 ; 2 ; 3 , trois boules rouges numérotées 1 ; 2 ; 3 et trois boules blanches numérotées 1 ; 2 ; 2 (Les neuf boules sont indiscernables au toucher).
On tire simultanément au hasard trois boules de l'urne.
On considère les événements suivants :
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; A : }$ « Les trois boules tirées portent le même numéro »
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; B : }$ « Les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes »

1. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { p(A)=\dfrac{5}{84} . }$

Nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Le nombre de groupements possibles de 3 boules parmi les 9 boules de l'urne est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_9^3=\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}=\dfrac{9!}{3!6!}=84. }$

L'événement $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ est réalisé lorsque les trois boules portent le numéro 1 ou lorsqu'elles portent le numéro 2.
Puisqu'il n'y a que trois boules portant le numéro 1, il n'y a qu'une seule façon d'obtenir trois boules portant le numéro 1.
Puisqu'il y a quatre boules portant le numéro 2, le nombre de groupements possibles de 3 boules portant le numéro 2 parmi les 4 boules est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { C_4^3=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{3!1!}=4. }$

Dès lors, le cardinal de l'événement $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ est égal à 1 + 4 = 5.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ p(A)=\dfrac{5}{84}}\, . }$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { p(B) . }$

Les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes.

Le nombre de groupements de trois boules de couleurs deux à deux différentes est égal à
$\overset{ { \white{ . } } } { C_3^1 \times C_3^1\times C_3^1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\times3\times3=27. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ p(B)=\dfrac{27}{84}=\dfrac{9}{28}}\, . }$

3. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { p(A\cap B)=\dfrac{1}{28} . }$

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }$ peut se traduire par : ''les trois boules tirées portent le même numéro et sont de couleurs deux à deux différentes''.

Deux cas sont possibles :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ les trois boules tirées portent le numéro 1.
Dans ce cas, il n'y a qu'une possibilité d'obtenir trois couleurs deux à deux différentes.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ les trois boules tirées portent le numéro 2.
Dans ce cas, il y 2 possibilités d'obtenir trois couleurs deux à deux différentes car 2 boules blanches portent le numéro 2.

Dès lors, le nombre de groupements de trois boules de même numéro et de couleurs deux à deux différentes est égal à 1 + 2 = 3.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ p(A\cap B)=\dfrac{3}{84}=\dfrac{1}{28}}\, . }$

4. Nous devons en déduire $\overset{ { \white{ . } } } { p(A\cup B). }$

${ \white{ xxi } }$ $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)}=\dfrac{5}{84}+\dfrac{9}{28}-\dfrac{1}{28}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)}=\dfrac{5}{84}+\dfrac{27}{84}-\dfrac{3}{84}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)}=\dfrac{29}{84}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(A\cup B)=\dfrac{29}{84}}$

8 points

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ la fonction numérique de la variable réelle $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { D=]0\;;\;\text e[\;\cup\;]\text e\;;\;+\infty[ }$ par :

$h(x)=\dfrac{\ln x + 1}{\ln x - 1}$

1. a) En remarquant que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq 1\;\; ,h(x)=\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}} }$ , montrer que $\overset{ { \white{ Ô. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}h(x)=1 }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=1 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in D,\;x\neq1, \quad h(x)=\dfrac{\ln x + 1}{\ln x - 1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in D,\;x\neq1, \quad h(x)}=\dfrac{\ln x\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)}{\ln x\left(1-\frac{1}{\ln x}\right)} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in D,\;x\neq1, \quad h(x)}=\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in D,\;x\neq1, \quad h(x)=\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ Ô. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}h(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\ln x=-\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\dfrac{1}{\ln x}=0 \\\\\phantom{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\left(1+\dfrac{1}{\ln x}\right)=1\\\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\left(1-\dfrac{1}{\ln x}\right)=1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}}=1$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ Ô. } } } {\boxed{ \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}h(x)=1}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}h(x) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\ln x}=0 \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{\ln x}\right)=1\\\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{\ln x}\right)=1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}}=1$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=1}\,. }$

1. b) Montrons que $\overset{ { \white{ Ô. } } } {\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}h(x)=-\infty }$ et que $\overset{ { \white{ Ô. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}h(x)=+\infty . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ Ô. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}h(x). }$
${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}\ln x=1^-\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}\left(\ln x+1\right)=2\\\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}\left(\ln x-1\right)=0^-\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}\dfrac{\ln x + 1}{\ln x - 1}=-\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ Ô. } } } {\boxed{\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x < \text e }}h(x)=-\infty}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ Ô. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}h(x). }$
${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}\ln x=1^+\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}\left(\ln x+1\right)=2\\\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x >\text e }}\left(\ln x-1\right)=0^+\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ x > 0 }}\ln x=-\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x> \text e }}\dfrac{\ln x + 1}{\ln x - 1}=+\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ Ô. } } } {\boxed{\lim\limits_{\substack{x\to \text e \\ x > \text e }}h(x)=+\infty}\,. }$

2. a) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in D, }$ déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { h'(x). }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in D, }$

${ \white{ xxi } }$ $h'(x)=\left(\dfrac{\ln x + 1}{\ln x - 1}\right)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h'(x)}=\dfrac{(\ln x + 1)'\times (\ln x - 1)-(\ln x + 1)\times (\ln x - 1)'}{(\ln x - 1)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h'(x)}=\dfrac{\dfrac 1x\times (\ln x - 1)-(\ln x + 1)\times \dfrac 1x}{(\ln x - 1)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h'(x)}=\dfrac{\dfrac {\ln x}{x} - \dfrac1x-\dfrac {\ln x}{x} - \dfrac1x}{(\ln x - 1)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h'(x)}=\dfrac{- \dfrac2x}{(\ln x - 1)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h'(x)}=\dfrac{-2}{x(\ln x - 1)^2}}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in D,\quad h'(x)=\dfrac{-2}{x(\ln x - 1)^2}}$

2. b) $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { h\left(\dfrac{1}{\text e}\right).}$

${ \white{ xxi } }$ $h\left(\dfrac{1}{\text e}\right)=\dfrac{\ln \left(\frac{1}{\text e}\right) + 1}{\ln \left(\frac{1}{\text e}\right) - 1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h\left(\dfrac{1}{\text e}\right)}=\dfrac{-\ln \text e + 1}{-\ln \text e - 1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h\left(\dfrac{1}{\text e}\right)}=\dfrac{-1 + 1}{-1 - 1}=\dfrac{0}{-2}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{h\left(\dfrac{1}{\text e}\right)=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Donnons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { h'(x). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ dans $\overset{ { \white{ . } } } { D=]0\;;\;\text e[\;\cup\;]\text e\;;\;+\infty[ , }$

$\left\lbrace\begin{matrix}-2<0\phantom{XXX}\\x>0\phantom{XXX}\\ (\ln x-1)^2>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{-2}{x(\ln x - 1)^2}<0.$

Nous en déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ dans $\overset{ { \white{ . } } } { D=]0\;;\;\text e[\;\cup\;]\text e\;;\;+\infty[ , \quad h'(x)<0.}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {D. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Dressons le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h. }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&\dfrac{1}{\text e}&&\text e&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&||&& \\h'(x)&||&-&-&-&||&-&\\&||&&&&||&&\\\hline&1&\searrow&&&\phantom{WW}||+\infty&&\\h&||&&0&&||&\searrow&\\&||&&&\searrow&-\infty||\phantom{wW}&&1\\\hline \end{array}$

2. c) I. Déterminons , à l'aide du tableau de variations, l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ des solutions de l'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } { h(x) \le 0. }$

L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } { h(x) \le 0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\left[\dfrac{1}{\text e}\;;\;\text e\right[} }$

2. c) II. Déterminons , à l'aide du tableau de variations, l'image de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\text e[ }$ par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\text e[. }$
D'après le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ , nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{h(\,]0\;;\;\text e[\,)\,=\,]-\infty\;;\;1[} }$

4 points

exercice 4

On considère les fonctions numériques $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ de la variable $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ définies respectivement sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ et sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^2-4x+3 \text{ et } g(x)=\ln x . }$

1. Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { g(1)\;,\; f(1) \text{ et } f(3) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}g(1)=\ln 1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(1)=1^2-4\times1+3=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(1)=0} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(3)=3^2-4\times3+3=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(3)=0}$

2. Ci-dessous, $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C_f)\text{ et }(\mathcal C_g) }$ sont les courbes représentatives de $\overset{ { \white{ . } } } { f \text{ et } g }$ dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O\;;\;\overrightarrow i\;,\; \overrightarrow j) . }$

2. a) Montrons, à l'aide d'une intégration par parties, que $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{aligned}\int_1^2 \ln x \;\text dx\end{aligned}=2\ln 2-1 . }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{2} \ln x\,\text{d}x\,, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{2} 1\times\ln x\,\text{d}x }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{2}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{2}- \displaystyle\int_1^{2}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac1x \\\\v'(x)=1\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=x\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\,\ln x}\right]_1^{2}-\displaystyle\int_1^{2}\dfrac 1x\times x\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,\ln x}\right]_1^{2}-\displaystyle\int_0^{2}1\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,\ln x}\right]_1^{2}-\left[\overset{}{x}\right]_1^{2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=(2\ln 2-1\ln 1)-(2-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=2\ln2-0-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=2\ln 2-1}$

$\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{2} \ln x\,\text{d}x=2\ln2-1}$

2. b) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3) \text dx\end{aligned}. }$ ${ \white{ WWW } }$ $\begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3)\, \text dx\end{aligned}=\left[\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_1^2 \\\phantom{ \begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3)\, \text dx\end{aligned}}=\left(\dfrac{2^3}{3}-2\times 2^2+3\times2\right)-\left(\dfrac{1^3}{3}-2\times 1^2+3\times1\right) \\\phantom{ \begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3)\, \text dx\end{aligned}}=\left(\dfrac{8}{3}-8+6\right)-\left(\dfrac{1}{3}-2+3\right) \\\phantom{ \begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3)\, \text dx\end{aligned}}=\dfrac{8}{3}-2-\dfrac{1}{3}-1 \\\phantom{ \begin{aligned}\int_1^2 (x^2-4x+3)\, \text dx\end{aligned}}=-\dfrac{2}{3}$

$\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{2} (x^2-4x+3\,\text{d}x=-\dfrac{2}{3}}$

2. c) Nous devons en déduire que l'aire de la partie hachurée est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \left(2\ln 2-\dfrac 13\right) }$ u.a.

Sur l'intervalle [1 ; 2], la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C_g) }$ est au-dessus de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C_f). }$
Dès lors, l'aire, en unité d'aire, de la partie hachurée se calcule par :

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(g(x)-f(x)\Big)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(\ln x-(x^2-4x+3)\Big)\,\text{d}x \\\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(g(x)-f(x)\Big)\,\text{d}x}=\displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,\text{d}x-\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-4x+3)\,\text{d}x \\\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(g(x)-f(x)\Big)\,\text{d}x}=2\ln2-1-\left(-\dfrac23\right)=2\ln2-1+\dfrac23 \\\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(g(x)-f(x)\Big)\,\text{d}x}=2\ln2-\dfrac13 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(g(x)-f(x)\Big)\,\text{d}x=2\ln2-\dfrac13}$

Par conséquent, l'aire de la partie hachurée est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \left(2\ln 2-\dfrac 13\right) }$ u.a.

Merci à Hiphigenie et malou pour avoir participé à l'élaboration de cette contribution.

Publié par malou le 10-01-2025

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