Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2024

Bac général spécialité Mathématiques

Métropole 2024 Jour 2

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

5 points

exercice 1

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 6

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 3

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 2

5 points

exercice 2

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 1

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 4

6 points

exercice 3

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 5

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 10

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 7

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 8

4 points

exercice 4

Correction

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2

5 points

exercice 1

On demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : ''Pensez-vous avoir réussi l'examen ?''.
Seules les réponses ''oui'' ou ''non'' sont possibles et on observe que 91,7% des étudiants interrogés ont répondu ''oui''.

Suite à la publication des résultats de l'examen, on découvre que :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 65% des étudiants ayant échoué ont répondu ''non'' ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 98% des étudiants ayant réussi ont répondu ''oui''.

On note $\overset{ { \white{ . } } } { R }$ l'événement ''l'étudiant a réussi l'examen'' et $\overset{ { \white{ . } } } { Q }$ l'événement ''l'étudiant a répondu ''oui'' à la question ''.

1. Nous devons préciser les valeurs des probabilités $\overset{ { \white{ . } } } { P(Q) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { P_{\overline{R}}(\overline{Q}). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On observe que 91,7% des étudiants interrogés ont répondu ''oui''.
${ \white{ xx } }$ Donc $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(Q)=0,917} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On découvre que 65% des étudiants ayant échoué ont répondu ''non''.
${ \white{ xx } }$ Donc $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0,65} }$

2. On note $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ la probabilité que l'élève interrogé ait réussi l'examen.

2. a) Arbre pondéré modélisant les données.

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 14

2. b) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(R)=x. }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{R}$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)\quad\Longleftrightarrow P(Q)=P(R)\times P_R(Q)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(Q) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow 0,917=x\times 0,98+(1-x)\times 0,35} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow 0,917=0,98x+0,35-0,35x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow 0,567=0,63x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,567}{0,63}=0,9} \\\\\Longrightarrow\boxed{x=P(R)=0,9}$

3. L'étudiant interrogé a répondu ''oui'' à la question.
${\white {w}$ Calculons la probabilité qu'il ait réussi l'examen.

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_Q(R).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_Q(R)=\dfrac{P(R\cap Q)}{P(Q)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_Q(R)}=\dfrac{P(R)\times P_R(Q)}{P(Q)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_Q(R)}=\dfrac{0,9\times 0,98}{0,917}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_Q(R)}\approx0,962} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_Q(R)\approx0,962}$

D'où la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen sachant qu'il a répondu ''oui'' à la question est environ égale à 0,962.

4. Nous devons déterminer la valeur de l'entier $\overset{ { \white{ . } } } { k }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { P(N\ge k)=0,65. }$
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge10)\approx0,8996} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge11)\approx0,7973} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}{\red{P(N\ge12)\approx0,6487}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge13)\approx0,4707} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots}$

Par conséquent, la valeur de l'entier $\overset{ { \white{ . } } } { k }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { P(N\ge k)=0,65 }$ est 12.
Cela signifie que si la note est au moins égale à 12/20, environ 65% des étudiants sont récompensés.

Remarque : Stricto sensu, la réponse à cette question est 11.
Nous avons néanmoins opté pour 12 en sachant que la probabilité de 0,6478 était quasiment égale à 0,65.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux.
On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).
Soit $\overset{ { \white{ . } } } { S }$ la variable définie par $\overset{ { \white{ . } } } {S=N_1+N_2+\cdots+N_{10}. }$

Nous devons calculer l'espérance $\overset{ { \white{ . } } } { E(S) }$ et la variance $\overset{ { \white{ . } } } { V(S) }$ de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'espérance est un opérateur linéaire.
${ \white{ xx } }$ Dès lors nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { E(S)=E(N_1+N_2+\cdots +N_{10})} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=E(N_1)+E(N_2)+\cdots +E(N_{10})}$

Or les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }$ suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { E(N_1)=E(N_2)=\cdots =E(N_{10})=20\times0,615=12,3. }$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { E(N_1)+E(N_2)+\cdots +E(N_{10})=10\times12,3=123 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{E(S)=123} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }$ sont indépendantes.
${ \white{ xx } }$ Dès lors nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { V(S)=V(N_1+N_2+\cdots +N_{10})} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(S)}=V(N_1)+V(N_2)+\cdots +V(N_{10})}$

Or les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }$ suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { V(N_1)=V(N_2)=\cdots =V(N_{10})=20\times0,615\times0,385=4,7355. }$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { V(N_1)+V(N_2)+\cdots +V(N_{10})=10\times4,7355=47,355 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{V(S)=47,355} }$

6. On considère la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } {M=\dfrac{S}{10}. }$

6. a) La variable $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ modélise la moyenne des notes sur 20 des 10 étudiants interrogés.

6. b) D'une part,

${ \white{ xxi } }$ $E(M)=E\left(\dfrac{S}{10}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(M)}=\dfrac{1}{10}E(S)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(M)}=\dfrac{1}{10}\times123} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(M)}=12,3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(M)=12,3}$

D'autre part,

${ \white{ xxi } }$ $V(M)=V\left(\dfrac{S}{10}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(M)}=\dfrac{1}{10^2}E(S)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(M)}=\dfrac{1}{100}\times47,355} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(M)}=0,47355} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(M)=0,47355}$

6. c) Nous devons justifier que la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80%.

$\boxed{10,3< M <14,3}\quad\Longleftrightarrow\quad 10,3-12,3<M-12,3<14,3-12,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\boxed{10,3< M <14,3}}\quad\Longleftrightarrow\quad -2<M-12,3<2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\boxed{10,3< M <14,3}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\Big|M-12,3\Big|<2}}$

En appliquant les notations de l'exercice, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev se traduit par :

$P\Big(|M-E(M)|\ge k\Big)\le\dfrac{V(M)}{k^2}$ , soit $\boxed{P\Big(|M-12,3|\ge k\Big)\le\dfrac{0,47355}{k^2}}$ où $\overset{ { \white{ . } } } { k>0. }$
Prenons $\overset{ { \white{ . } } } { k=2. }$

$P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge1-\dfrac{0,47355}{4}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge0,8812125} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge0,8}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(10,3<M<14,3)\ge0,8}}$

D'où il est vrai que la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80%.

5 points

exercice 2

Partie A : étude d'un modèle discret.

1. La piscine contient 50 000 L d'eau.
Pour cette contenance d'eau, 15 g de chlore correspond à un taux exprimé en g.L^-1 égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{15}{50\,000}=0,0003, }$
soit 0,3 mg.L^-1.
D'où cet ajout de 15 g de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg.L^-1.

2. Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n, }$ on note $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ le taux de chlore en mg.L^-1 obtenu $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ jours après le 19 juin.
Ainsi $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=0,7. }$
On admet que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad v_{n+1}=0,92v_n+0,3. }$

2. a) Nous devons montrer par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad v_n\le v_{n+1}\le 4. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{v_0\le v_{1}\le 4.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}v_0=0,7\phantom{WWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {v_1=0,92v_0+0,3}\\\phantom{iWW}=0,92\times0,7+0,3\\=0,944\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_0\le v_1\le4}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ v_n\le v_{n+1}\le 4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{v_{n+1}\le v_{n+2}\le 4 .}$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $v_n\le v_{n+1}\le4\quad\Longleftrightarrow\quad 0,92\times v_n\le 0,92\times v_{n+1}\le0,92\times4 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n\le v_{n+1}\le4}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,92\times v_n+0,3\le 0,92\times v_{n+1}+0,3\le0,92\times4+0,3} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n\le v_{n+1}\le4}\quad\Longleftrightarrow\quad v_{n+1}\le v_{n+2}\le3,98} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}\le v_{n+2}\le4}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad v_n\le v_{n+1}\le 4. }$

2. b) Nous savons montré dans la question précédente que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est croissante et majorée par 4.
${ \white{ xxxi } }$ D'après le théorème de convergence monotone, cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est donc convergente.

Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n). }$

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0,92x+0,3. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est continue sur $\overset{{\white{_.}}}{\R} .$

La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { v_{n+1}=g(v_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=g(\ell).}$

${ \white{ xxi } }$ $\ell=g(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad\ell= 0,92\,\ell+0,3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell-0,92\,\ell=0,3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad0,08\,\ell=0,3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=\dfrac{0,3}{0,08}=3,75}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3,75}}$

3. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg.L^-1.

Or à long terme, le taux de chlore va se stabiliser à 3,75 mg.L^-1.

Par conséquent, à long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.

4. Ci-dessous le script Python renvoyant le plus petit entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } {v_n>s. }$

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 12

5. Déterminons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ obtenue en saisissant l'instruction $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{alerte}\underline{\phantom{x}}\text{chlore(3).} }$

Nous voulons donc déterminer le plus petit entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } {v_n>3. }$

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}v_{15}\approx2,87679\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}v_{16}\approx2,94665\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{{\red{\phantom{x}}v_{17}\approx3,01091}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}v_{18}\approx3,07004\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots$

Donc l'instruction $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{alerte}\underline{\phantom{x}}\text{chlore(3).} }$ renvoie la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{n=17}\,.}$
Par conséquent, la préconisation des piscinistes sera dépassée au bout de 17 jours.

Partie B : étude d'un modèle continu.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E):y'=-0,08y+\dfrac{q}{50} }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { q }$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

1. Déterminons les solutions sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=C\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (C\in\R).$
Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } {a=-0,08}$ et $\underset{{\white{.}}}{-\dfrac ba=-\dfrac{\dfrac{q}{50}}{-0,08}}=\dfrac{q}{4}.$
D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E):y'=-0,08y+\dfrac{q}{50} }$ est de la forme $\boxed{f(x)=C\,\text e^{-0,08x}+\dfrac q4\quad(C\in\R)}$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,08x=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{X\to -\infty}\text e^X=0\phantom{WWW} }\end{matrix}\right.\quad\quad\underset{(X=-0,08x)}{\Longrightarrow}\quad\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{-0,08x}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,08x=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{X\to -\infty}\text e^X=0\phantom{WWW} }\end{matrix}\right.zz}\quad\quad\Longrightarrow\quad\quad\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(C\,\text e^{-0,08x}+\dfrac q4\right)=\dfrac q4$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac q4 }}$

2. b) $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg.L^-1.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac q4=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{q=8}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg.L^-1.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0,7. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad f(0)=0,7\quad\Longleftrightarrow\quad C\,\text e^{-0,08\times0}+\dfrac{q}{4}=0,7 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad C\times1+\dfrac{8}{4}=0,7} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad C+2=0,7} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=-1,3}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{C=-1,3} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{q=8} }$

6 points

exercice 3

On considère une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie et deux fois dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[.}$
On a tracé ci-dessous $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan et sa tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ d'abscisse -1.

On précise que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } } { A(0\;;\;-1). }$

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 13

Partie A : exploitation du graphique.

1. Nous devons préciser $\overset{ { \white{ . } } } { f(-1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f'(-1). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par lecture graphique, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(-1)=-2}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { f'(-1) }$ représente le coefficient directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ passant par les deux points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $f'(-1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=\dfrac{-2-(-1)}{-1-0}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=\dfrac{-1}{-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(-1)=1}$

2. La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ paraît posséder un point d'inflexion au point d'abscisse -1,3.
La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ ne semble donc pas être convexe sur son ensemble de définition.

3. La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ paraît couper l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse 0,1.
Il s'ensuit que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ semble posséder une solution unique dont la valeur approchée est 0,1.

Partie B : étude de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{ f}} }$ .

On considère que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2). }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-2}f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-2}(x^2+2x-1)=4-4-1=-1\phantom{WWWWWW}\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-2^+}(x+2)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=x+2)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-2^+}\ln(x+2)=-\infty\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-2^+}\Big(x^2+2x-1+\ln(x+2)\Big)=-\infty }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty} }$

Graphiquement, nous pouvons en déduire que la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=-2 }$ est une asymptote verticale pour la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f). }$

On admet que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} }$

2. Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x>-2. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>-2, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x^2+2x-1+\ln(x+2)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2x+2+0+\dfrac{(x+2)'}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2x+2+\dfrac{1}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>-2,\quad f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}}$

3. Étudions les variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

Sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[,\quad x>-2\quad\Longrightarrow\quad x+2>0. }$
Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de ${ 2x^2+6x+5. }$

Le discriminant du trinôme ${ 2x^2+6x+5 }$ est ${ \Delta=6^2-4\times2\times5=-4. }$

Puisque ce discriminant est strictement négatif, le signe du trinôme $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x^2+6x+5 }$ est le signe de son coefficient principal.
Donc nous obtenons : ${ 2x^2+6x+5>0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>-2,\quad f'(x)>0. }$

Il s'ensuit que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&& \\f'(x)&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\f&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}$

4. Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty\,[.}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty\,[.}$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -2^+}f=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\lim\limits_{x\to -2^+}f\;;\;\lim\limits_{x\to+\infty}f\,[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,]-2\;;\;+\infty\,[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0. }$
Par la calculatrice, nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \alpha\approx 0,12} }$ (valeur arrondie à 10^-2 près).

5. Nous pouvons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\f&||&\nearrow&\nearrow&0&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

6. Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ admet un unique point d'inflexion.

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est deux fois dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x>-2, }$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\left(\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\right)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{(2x^2+6x+5)'\times(x+2)-(2x^2+6x+5)\times (x+2)'}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{(4x+6)\times(x+2)-(2x^2+6x+5)\times 1}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>2,\;f''(x)=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}}$

Sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[,\quad x>-2\quad\Longrightarrow\quad x+2>0. }$
Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ est le signe de ${ 2x^2+8x+7. }$

Le discriminant du trinôme ${ 2x^2+8x+7 }$ est ${ \Delta=8^2-4\times2\times7=8>0. }$

Le trinôme ${ 2x^2+8x+7 }$ admet donc deux racines réelles distinctes.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}x_1=\dfrac{-8-\sqrt 8}{4}=\dfrac{-8-2\sqrt 2}{4}=-2-\dfrac{\sqrt 2}{2} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}x_2=\dfrac{-8+\sqrt 8}{4}=\dfrac{-8+2\sqrt 2}{4}=-2+\dfrac{\sqrt 2}{2}$

La valeur $\overset{ { \white{ O. } } } { x_1 }$ est à exclure car $\overset{ { \white{ . } } } { x_1<-2. }$

Dès lors, sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[, }$ le trinôme ${ 2x^2+8x+7 }$ et par suite $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ change de signe en ne s'annulant qu'une seule fois en ${ x_2=-2+\dfrac{\sqrt 2}{2}. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ admet un unique point d'inflexion dont l'abscisse est $\overset{ { \white{ . } } } { -2+\dfrac{\sqrt 2}{2}. }$

Partie C : une distance minimale.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=\ln(x+2). }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O;I,J) .}$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ un point de $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ la distance $\overset{ { \white{ . } } } { JM }$ est minimale.

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=JM^2. }$

1. Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { J(0\;;\;1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\; g(x)), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;\ln(x+2)). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>2, }$

${ \white{ xxi } }$ $h(x)=JM^2=(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)=JM^2}=(x-0)^2+[\ln(x+2)-1]^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)=JM^2}=x^2+[\ln(x+2)-1]^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>-2,\quad h(x)=x^2+[\ln(x+2)-1]^2}$

2. On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[. }$
On admet également que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x>-2,\quad h'(x)=\dfrac{2\,f(x)}{x+2} .}$
2. a) Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[. }$
${ \white{ xxxi } }$ (Les limites ne sont pas demandées).

En utilisant le tableau de la question 5. - Partie B, nous obtenons :

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&\alpha&&&+\infty&&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\2\,f(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\x+2&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\h'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\h&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

2. b) Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ admet un minimum en $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha. }$
D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { JM^2 }$ est minimale en $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha. }$

Or la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto \sqrt x }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R^+. }$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { JM }$ est minimale en $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$

3. On notera $\overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }$ le point de $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha. }$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\ln(\alpha +2)=1-2\alpha-\alpha^2. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2}}$

3. b) Nous devons en déduire que la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }$    et la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(JM_{\alpha}) }$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le coefficient directeur de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { g'(\alpha). }$

$\text{Or }g(x)=\ln(x+2)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{1}{x+2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }g(x)=\ln(x+2)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le coefficient directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (JM_{\alpha}) }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha-0}=\boxed{\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}. }$

Montrons que le produit de ces deux coefficients directeurs est égal à -1.

$g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha +2}\times\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha(\alpha+2)}\quad(\text{voir question 3. a)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha(\alpha+2)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{-\alpha(2+\alpha)}{\alpha(\alpha+2)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}=-1}$

Par conséquent, la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { C_g }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }$    et la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(JM_{\alpha}) }$ sont perpendiculaires.

4 points

exercice 4

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :

$A(2\;;\;0\;;\;0),\;B(0\;;\;4\;;\;3),\;C(4\;;\;4\;;\;1),\;D(0\;;\;0\;;\;4),\;H(-1\;;\;1\;;\;2).$

Affirmation 1 : les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ définissent un plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .}$
L'affirmation 1 est vraie.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons d'abord que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne sont pas alignés.

Nous allons montrer que les vecteurs ${ \overrightarrow{AC} }$ et ${ \overrightarrow{AD} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(4\;;\;4\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}4-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4-0} \\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\1\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ ${\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { D(0\;;\;0\;;\;4)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {AD}\begin{pmatrix}0-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0-0} \\4-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AD}\begin{pmatrix}-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\4\end{pmatrix}}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {AD}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne sont pas alignés.
Nous en déduisons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ déterminent un plan.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les coordonnées des points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ vérifient l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .}$

$\left\lbrace\begin{matrix}8\times2-5\times0+4\times0-16=16-16=0 \phantom{WWWx} \\8\times4-5\times4+4\times1-16=32-20+4-16=0 \\8\times0-5\times0+4\times4-16=16-16=0 \phantom{WWWx}\end{matrix}\right.$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}A\in\mathscr{P}\\C\in\mathscr{P}\\D\in\mathscr{P}\end{matrix}\right. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ définissent un plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .}$

Affirmation 2 : les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont coplanaires.
L'affirmation 2 est fausse.

Montrons que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ ne vérifie pas l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .}$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { 8\times0-5\times4+4\times3-16=-20+12-16=-24\neq0. }$

Nous avons donc montré dans la question précédente que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .}$
Par contre, le point $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .}$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne sont pas coplanaires.

Affirmation 3 : les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BH) }$ sont sécantes.
L'affirmation 3 est vraie.

Nous allons d'abord montrer que les vecteurs ${ \overrightarrow{AC} }$ et ${ \overrightarrow{BH} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(4\;;\;4\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}4-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4-0} \\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\1\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}B(0\;;\;4\;;\;3)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(-1\;;\;1\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}-1-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1-4} \\2-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\\-1\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {BH}$ ne sont pas colinéaires.

Dès lors, les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BH) }$ ne sont pas parallèles.

Montrons que ces droites sont sécantes.

Des représentations paramétriques des droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BH) }$ sont respectivement :

$\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\end{matrix}\right.\quad (r\in \R)$ et $\left\lbrace\begin{matrix}x=-s\phantom{W}\\y=4-3s\\z=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.\quad (s\in \R)$

Résolvons le système composé par ces deux représentations paramétriques.

$\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\x=-s\phantom{W}\\y=4-3s\\z=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\2+2r=-s\phantom{W}\\4r=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\2+2(3-s)=-s\phantom{W}\\4(3-s)=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\8-2s=-s\phantom{W}\\12-4s=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\12-4s=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Wx}\\z=r\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\r=-5\phantom{W}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-8\\y=-20\\z=-5\phantom{i}\\s=8\phantom{W}\\r=-5\end{matrix}\right.$

Le système admet donc une solution unique.

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BH) }$ sont sécantes au point de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {(-8\;;\;-20\;;\;-5). }$

On admet que le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ a pour équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } {x-y+2z-2=0. }$
Affirmation 4 : le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H}$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
L'affirmation 4 est vraie.

Nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}D(0\;;\;0\;;\;4)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(-1\;;\;1\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {DH}\begin{pmatrix}-1-0\\ 1-0 \\2-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {DH}\begin{pmatrix}-1\\ 1\\-2\end{pmatrix}}$

Or nous savons qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {x-y+2z-2=0. }$
Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}1\\ -1\\2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Or ${ \overrightarrow {DH} }=-\overrightarrow {n}.$
Nous en déduisons que ${ \overrightarrow {DH} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

De plus le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { -1-1+2\times2-2=0. }$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H}$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Publié par malou le 01-07-2024

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir l'énoncé seul
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 318 topics de mathématiques en terminale sur le forum.