Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques TOGO 2024

Série STIDD

Épreuve du 1er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5 5,5 points

exercice 1

1. On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ , défini par :

$P(z)=z^3+(14-\text i\sqrt 2)z^2+(74-14\text i \sqrt 2)z-74\text i\sqrt 2.$

$\white{w}$ a. Déterminer un nombre réel $\beta$ tel que $\text i \beta$ soit solution de l'équation $P(z)=0.$

$\white{w}$ b. Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ , on ait :

$\white{www}$ $P(z)=(z-\text i \sqrt 2)(z^2+az+b).$

$\white{w}$ c. Résoudre alors dans l'ensemble $\textbf C$ des nombres complexes, l'équation $P(z)=0.$

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right).$
On prendra 1 cm pour unité graphique.

$\white{w}$ a. Placer les points $A$ , $B$ et $I$ d'affixes respectives $z_A=-7+5\text i\;,\;z_B=-7-5\text i \text{ et } z_I=\text i\sqrt 2.$

$\white{w}$ b. Soit $C$ l'image de $I$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}.$ Montrer que l'affixe $z_C$ de $C$ est : $z_C=1+\text i.$ Placer $C.$

$\white{w}$ c. Soit $D$ le point tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Montrer que l'affixe $z_D$ de $D$ est : $z_D=1+11\text i.$ Placer $D.$

3. On pose : $Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}.$

$\white{w}$ a. Ecrire $Z$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

$\white{w}$ b. Justifier alors que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires, puis en déduire la nature exacte du quadrilatère $ABCD.$

5 points

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k\right)$ , on considère les points suivants :

$A(1, -1, 1)\;,\;B(0, 0, 1)\;,\;C(-1, 0, 3)\text{ et } D(-2, 0, 1).$

1. a. Démontrer que les points $A, B \text{ et } C$ ne sont pas alignés.

$\white{w}$ b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC).$

$\white{w}$ c. Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC).$

$\white{w}$ d. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCD.$

2. On considère l'ensemble $(S)$ des points $M(x, y, z)$ tel que $x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z-1=0$ et le plan $(P)$ d'équation $2x+2y+z-1=0.$

$\white{w}$ a. Montrer que $(S)$ est une sphère dont on précisera son centre $I$ et son rayon.

$\white{w}$ b. Justifier que l'intersection $(S)\cap (P)$ de la sphère $(S)$ et du plan $(P)$ est un cercle qu'on notera $(C).$

$\white{w}$ c. Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $I$ et perpendiculaire au plan $(P).$

$\white{w}$ d. Déterminer alors le centre et le rayon du cercle $(C).$

9,5 points

probleme

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x(\ln ^2x-3)$ et $f(0)=0.$

On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).$

1. a. Déterminer le domaine de définition de $f.$

$\white{w}$ b. Montrer que $f$ est continue sur son ensemble de définition.

$\white{w}$ c. Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter graphiquement le résultat.

2. a. Calculer la limite de $f$ en $+\infty.$

$\white{w}$ b. Etudier la branche infinie de la courbe $(C)$ en $+\infty.$

3. a. Résoudre dans $\textbf R$ l'inéquation $\ln ^2x+2\ln x-3\leqslant 0.$

$\white{w}$ b. Déterminer l'expression de la dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle $]0\;,\;+\infty[.$

$\white{w}$ c. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de $f.$

4. a. Résoudre dans $\textbf R$ l'équation $f(x)=0.$

$\white{w}$ b. Ecrire une équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse $x=\text e ^{\sqrt 3}.$

5. Tracer minutieusement $(C), \,(T)$ ainsi que la tangente à $(C)$ au point d'abscisse $0.$

6. Soit $g$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $[\text e\;,\;+\infty[.$

Montrer que $g$ est une bijection de $[\text e\;,\;+\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

7. Construire $(C')$ , courbe représentative de l'application réciproque $g^{-1}$ de $g$ , dans le plan muni du repère $\left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).$

8. Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac 12 x^2\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right)$ est une primitive de $f$ sur $]0\;,\;+\infty[.$

9. Calculer en unité d'aire l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C)$ , l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=\text e^{-\sqrt 3}$ et la droite d'équation $x=\text e^{\sqrt 3}$ .

Voir la correction

Bac Togo 2024 série STIDD

5,5 points

exercice 1

1. On considère le polynôme $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ de la variable complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z\,, }$ défini par :

$P(z)=z^3+(14-\text i\sqrt 2)z^2+(74-14\text i \sqrt 2)z-74\text i\sqrt 2.$
1. a) Nous devons déterminer un nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \text i \beta }$ soit solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \text i \beta }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { P(\text i \beta)=0\,. }$

$\text{Or }\quad P(\text i \beta)=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad (\text i \beta)^3+(14-\text i\sqrt 2)(\text i \beta)^2+(74-14\text i \sqrt 2)\times(\text i \beta)-74\text i\sqrt 2=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad -\text i \beta^3+(14-\text i\sqrt 2)\times(-\beta^2)+(74-14\text i \sqrt 2)\times(\text i \beta)-74\text i\sqrt 2=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad -\text i \beta^3-14\beta^2+\text i\beta^2\sqrt 2+74\text i \beta+14\sqrt 2 \beta-74\text i\sqrt 2=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad -14\beta^2+14\sqrt 2 \beta+(-\beta^3+\beta^2\sqrt 2+74 \beta-74\sqrt 2)\,\text i=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-14\beta^2+14\sqrt 2 \beta=0\\-\beta^3+\beta^2\sqrt 2+74 \beta-74\sqrt 2=0\end{matrix}\right.}$

${ \white{ xx } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-14\beta(\beta-\sqrt 2 )=0\\-\beta^2(\beta-\sqrt 2)+74 (\beta-\sqrt 2)=0\end{matrix}\right.} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-14\beta(\beta-\sqrt 2 )=0\\ (\beta-\sqrt 2)(-\beta^2+74)=0\end{matrix}\right.} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-14\beta=0\quad\text{ou}\quad \beta-\sqrt 2 =0\\\beta-\sqrt 2=0\quad\text{ou}\quad-\beta^2+74=0\end{matrix}\right.}$

${ \white{ xx } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\beta=0\quad\text{ou}\quad \beta=\sqrt 2 \\\beta=\sqrt 2\quad\text{ou}\quad \beta^2=74\end{matrix}\right.} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\beta=0\quad\text{ou}\quad \beta=\sqrt 2 \\\beta=\sqrt 2\quad\text{ou}\quad \beta=\sqrt{74}\quad\text{ou}\quad \beta=-\sqrt{74}\end{matrix}\right.}$

La seule valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ vérifiant les deux équations est $\overset{ { \white{ . } } } { \beta=\sqrt 2. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \text i \beta }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }$ si $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\beta=\sqrt 2}\,. }$

1. b) Nous devons trouver deux nombres réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ tels que, pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z\,, }$ on ait :
$\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=(z-\text i \sqrt 2)(z^2+az+b). }$ Nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=(z-\text i \sqrt 2)(z^2+az+b) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(z)}=z^3+az^2+bz-\text iz^2\sqrt 2-\text iaz\sqrt2-\text ib\sqrt2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(z)}=z^3+(a-\text i\sqrt 2)z^2+(b-\text ia\sqrt2)z-\text ib\sqrt2 }$

Dès lors :

$\left\lbrace\begin{matrix} P(z)=z^3+(a-\text i\sqrt 2)z^2+(b-\text ia\sqrt2)z-\text ib\sqrt2\phantom{wwi}\\P(z)=z^3+(14-\text i\sqrt 2)z^2+(74-14\text i \sqrt 2)z-74\text i\sqrt 2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a-\text i\sqrt 2=14-\text i\sqrt 2\\b-\text ia\sqrt2=74-14\text i\sqrt2\\-\text ib\sqrt2=-74\text i\sqrt2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} P(z)=z^3+(a-\text i\sqrt 2)z^2+(b-\text ia\sqrt2)z-\text ib\sqrt2\phantom{wwi}\\P(z)=z^3+(14-\text i\sqrt 2)z^2+(74-14\text i \sqrt 2)z-74\text i\sqrt 2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=14\\b=74\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(z)=(z-\text i \sqrt 2)(z^2+14z+74)} }$

1. c) Nous devons résoudre dans l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ des nombres complexes, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {P(z)=0\,.}$

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z-\text i \sqrt 2)(z^2+14z+74)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-\text i \sqrt 2=0\quad\text{ou}\quad z^2+14z+74=0} \\\\\bullet\quad z-\text i \sqrt 2=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=\text i \sqrt 2} \\\\\bullet\quad z^2+14z+74=0$

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\\\\\quad\quad\underline{\text{Discriminant}}:14^2-4\times1\times74=196-296=-100=(10\text i)^2 \\\\\quad\quad\underline{\text{Racines}}:z_1=\dfrac{-14+10\text i}{2}=\dfrac{2(-7+5\text i)}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=-7+5\text i} \\\\\phantom{\quad\quad\underline{\text{Racines}}:}z_2=\dfrac{2(-7-5\text i)}{2}=\dfrac{2(-7-5\text i)}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=-7-5\text i}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {P(z)=0}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\left\lbrace\text i \sqrt 2\;;\;-7+5\text i\;;\;-7-5\text i\right\rbrace} }$

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right)\,. }$

2. a) Plaçons les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ d'affixes respectives $\,\overset{ { \white{ . } } } { z_A=-7+5\text i\;,\;z_B=-7-5\text i \text{ et } z_I=\text i\sqrt 2\,. }$

Plaçons donc les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(-7\;;\;5) , B(-7\;;\;-5) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I(0\;;\;\sqrt2). }$

2. b) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { C}$ l'image de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ par la rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{\pi}{4}\,. }$ Nous devons montrer que l'affixe $\overset{ { \white{. } } } { z_C }$ de $\overset{ { \white{_. } } } { C }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { z_C=1+\text i. }$

L'écriture complexe de la rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{\pi}{4} }$ est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { z_C-z_O=\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}(z_I-z_O). }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $z_C-z_O=\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}(z_I-z_O)\quad\Longleftrightarrow\quad z_C-0=\Big(\cos(-\frac{\pi}{4})+\text i\sin(-\frac{\pi}{4})\Big)\,\Big(\text i\sqrt 2-0\Big) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C-z_O=\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}(z_I-z_O)} \quad\Longleftrightarrow\quad z_C=\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)\,\text i\sqrt 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C-z_O=\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}(z_I-z_O)} \quad\Longleftrightarrow\quad z_C=\dfrac{\sqrt2}{2}\times \text i\sqrt 2-\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\times\text i\sqrt 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C-z_O=\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}(z_I-z_O)} \quad\Longleftrightarrow\quad z_C=\text i +1}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{z_C=1+\text i}\,. }$

Nous devons ensuite placer le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C\,.}$
Plaçons donc le point $\overset{ { \white{ . } } } { C(1\;;\;1)\,. }$ (voir la figure de la question 2. a)

2. c) Soit $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ le point tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ soit un parallélogramme. Nous devons montrer que l'affixe de $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { z_D=1+11\text i\,. }$

Le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un parallélogramme si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} .}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B-z_A=z_C-z_D \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} }\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=z_C-z_B+z_A } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} }\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=(1+\text i)-(-7-5\text i)+(-7+5\text i) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} }\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=1+\text i+7+5\text i-7+5\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} }\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=1+11\text i}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{z_D=1+11\text i}\,. }$

Nous devons ensuite placer le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D\,.}$
Plaçons donc le point $\overset{ { \white{ . } } } { D(1\;;\;11)\,. }$ (voir la figure de la question 2. a)

3. On pose : $\overset{ { \white{ . } } } {Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}. }$

3. a) Nous devons écrire $\overset{ { \white{ . } } } { Z }$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Forme algébrique

${ \white{ xxi } }$ $Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac{-7+5\text i-1-\text i}{1+11\text i+7+5\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac{-8+4\text i}{8+16\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac{4(-2+\text i)}{8(1+2\text i)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac12\times\dfrac{-2+\text i}{1+2\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac12\times\dfrac{(-2+\text i)(1-2\text i)}{(1+2\text i)(1-2\text i)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac12\times\dfrac{-2+4\text i+\text i+2}{1^2+2^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac12\times\dfrac{5\text i}{5} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z} =\dfrac12\,\text i } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{Z=\dfrac12\,\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Forme exponentielle

${ \white{ xxi } }$ $Z=\dfrac12\,\text i\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{Z=\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2}}$

3. b) Nous devons justifier que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BD) }$ sont perpendiculaires.

${ \white{ xxi } }$ $Z=\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}=\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z=\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2}}\quad\Longrightarrow\quad \arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}\right)=\arg\left(\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2} \right) \;[2\pi] } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Z=\dfrac12\,\text e^{\text i\frac\pi 2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(\widehat{\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA}})=\dfrac \pi 2\;[2\pi]} }$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (BD) }$ sont perpendiculaires.
Nous en déduisons que le parallélogramme $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un losange.

5 points

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k\right) }$ , on considère les points suivants :

$\overset{ { \white{ . } } } { A(1, -1, 1)\;,\;B(0, 0, 1)\;,\;C(-1, 0, 3)\text{ et } D(-2, 0, 1). }$

1. a) Démontrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B \text{ et } C }$ ne sont pas alignés.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;-1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(0\;;\;0\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}0-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0+1} \\1-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1}\\0\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;-1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(-1\;;\;0\;;\;3)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}-1-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0+1} \\3-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1}\\2\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires car les ordonnées non nulles de ces vecteurs sont égales alors que leurs abscisses sont inégales.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B \text{ et } C }$ ne sont pas alignés.

1. b) Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$

Les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B \text{ et } C }$ ne sont pas alignés.
Ils déterminent donc le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ dont un vecteur normal ${ \overrightarrow{n} }$ est $\overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}.$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\times2-0\times1\\0\times(-2)-(-1)\times2\\ (-1)\times1-1\times(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} }$

Donc une équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+2y+z+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { d\in\R. }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { B(0\;;\; 0\;;\; 1) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $2x_B+2y_B+z_B+d=0\quad\Longrightarrow\quad 2\times 0+2\times0+1+d=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2x_B+2y_B+z_B+d=0}\quad\Longrightarrow\quad 1+d=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2x_B+2y_B+z_B+d=0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{d=-1}}$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x+2y+z-1=0} }$

1. c) Vérifions que le point $\overset{ { \white{ . } } } { D}$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ en montrant que ses coordonnées ne vérifient pas l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } {2x_D+2y_D+z_D-1=2\times(-2)+2\times0+1-1=-4\neq0}$

1. d) Nous devons calculer le volume $\overset{ { \white{ . } } } { V }$ du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {ABCD. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {V=\dfrac16\times\left|\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|\right|\times d(D,(ABC))}$ où $\overset{ { \white{ . } } } { d(D,(ABC)) }$ est la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } {(ABC) }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons ${ \left|\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|\right|}$
Nous avons montré dans la question 1 b) que : $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} }$
Nous obtenons alors : $\left|\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|\right|=\sqrt{2^2+2^2+1^1}=\sqrt9=3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left|\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|\right|=3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { d(D,(ABC)) }$

${ \white{ xxi } }$ $d(D,(ABC))=\dfrac{\mid 2\times(-2)+2\times0+1-1\mid}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {{ \phantom{ d(D,(ABC))}=\dfrac{\mid -4\mid}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}}} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \Longrightarrow\boxed{ d(D,(ABC))=\dfrac{4}{3}}}$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } {V=\dfrac16\times\left|\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|\right|\times d(D,(ABC)) =\dfrac16\times3\times \dfrac 43=\dfrac 46=\dfrac 23 }$

Par conséquent, le volume $\overset{ { \white{ . } } } {V }$ du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {ABCD}$ est égal à $\dfrac 23$ unités de volume.

2. On considère l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ des points $\overset{ { \white{ . } } } { M(x,y,z) }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z-1=0 }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+2y+z-1=0. }$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ est une sphère dont on précisera son centre $\overset{ { \white{ . } } } {I }$ et son rayon.

$M(x,y,z)\in(S)\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z-1=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ M(x,y,z)\in(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2+2x\;{\red{+1}})+(y^2+4y\;{\red{+4}})+(z^2-4z\;{\red{+4}})-1=0+{\red{1+4+4}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ M(x,y,z)\in(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2-1=9} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ M(x,y,z)\in(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(x+1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=10}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ est une sphère de centre $\overset{ { \white{ . } } } {I(-1\;;\;-2\;;\;2) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt{10}\,. }$

2. b) Montrons que l'intersection $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\cap (P) }$ de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est un cercle.

Calculons la distance $\overset{ { \white{ . } } } { d(I,(P)) }$ du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } {(P) }$

${ \white{ xxi } }$ $d(I,(P))=\dfrac{\mid 2\times(-1)+2\times(-2)+2-1\mid}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {{ \phantom{ d(D,(ABC))}=\dfrac{\mid -5\mid}{\sqrt{9}}=\dfrac{5}{3}}} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \Longrightarrow\boxed{ d(I,(P))=\dfrac 53}}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 53 < \sqrt{10}\,. }$

Puisque la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est inférieure au rayon de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S), }$ l'intersection $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\cap (P) }$ de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est un cercle noté $\overset{ { \white{ . } } } { (C). }$

2. c) Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta) }$ passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$
Nous avons montré dans la question 1. b) qu'un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} .}$
Dès lors, un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{2}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { I\,({\blue{-1}}\;;\;{\blue{-2}}\;;\;{\blue{2}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$

D'où, une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{-1}}+{\red{2}}\times t\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{-2}}+{\red{2}}\times t}\\z=\phantom{x}{\blue{2}}+{\red{1}}\times t\end{matrix}\right.\quad \quad(t\in\R) }$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } } { \boxed{(\Delta):\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+2t\\\overset{ { \white{ . } } } {y=-2+2t}\\z=2+t\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad \quad (t\in\R)}}$

2. d) Nous devons alors déterminer le centre $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ et le rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le centre $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ est l'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$
Donc il existe $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in\R }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_J=-1+2t\\\overset{ { \white{ . } } } {y_J=-2+2t}\\z_J=2+t\phantom{xx}\end{matrix}\right. }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$
Dès lors, ses coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $2x_J+2y_J+z_J-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2(-1+2t)+2(-2+2t)+(2+t)-1=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2x_J+2y_J+z_J-1=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad -2+4t-4+4t+2+t-1=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2x_J+2y_J+z_J-1=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad 9t-5=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2x_J+2y_J+z_J-1=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=\dfrac59} }$

$\text{D'où }\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_J=-1+2t\\\overset{ { \white{ . } } } {y_J=-2+2t}\\z_J=2+t\phantom{xx} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { t=\dfrac 59\phantom{xxxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x_J=-1+\dfrac {10}{9}\\\overset{ { \white{ . } } } {y_J=-2+\dfrac {10}{9}}\\z_J=2+\dfrac 59\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x_J=\dfrac {1}{9}\\\overset{ { \white{ . } } } {y_J=-\dfrac {8}{9}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { z_J=\dfrac {23}{9}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, les coordonnées du centre $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left(\dfrac {1}{9}\;;\;-\dfrac {8}{9}\;;\;\dfrac {23}{9}\right)} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Soit $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ un point quelconque du cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C). }$
La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta), }$ c'est-à-dire la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(IJ), }$ passe par $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$
Cette droite $\overset{ { \white{ . } } } {(IJ) }$ est donc perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(MJ)}$

Par Pythagore dans le triangle $\overset{ { \white{ . } } } {IJM }$ rectangle en $\overset{ { \white{ . } } } { J, }$ nous avons la relation : $\overset{ { \white{ . } } } { IJ^2+JM^2=IM^2. }$

D'où, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\left(\dfrac53\right)^2+r^2=\left(\sqrt{10}\right)^2\quad\Longleftrightarrow \quad\dfrac{25}{9}+r^2=10 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\dfrac53\right)^2+r^2=\left(\sqrt{10}\right)^2}\quad\Longleftrightarrow \quad r^2=10-\dfrac{25}{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r^2+\left(\dfrac53\right)^2=\left(\sqrt{10}\right)^2}\quad\Longleftrightarrow \quad r^2=\dfrac{65}{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r^2+\left(\dfrac53\right)^2=\left(\sqrt{10}\right)^2}\quad\Longleftrightarrow \quad \boxed{r=\dfrac{\sqrt{65}}{3}} }$

Par conséquent, le rayon du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ est $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{r=\dfrac{\sqrt{65}}{3}}\,. }$

9,5 points

probleme

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ la fonction définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x(\ln ^2x-3) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0. }$

1. a) Nous devons déterminer le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f.}$

La fonction logarithme est définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est également définie en 0.
Donc le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{D_f=[\,0\;;\;+\infty\,[} \,. }$

1. b) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue sur son ensemble de définition.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ (produit de fonctions continues sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ).

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue en 0.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{P . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}f(x). }$

$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln^2x-3)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x\ln^2x-3x)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x\,.}$

Nous remarquons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \ln\sqrt x= \dfrac12\ln x\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ln x=2\ln \sqrt x} }$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x=\lim\limits_{x\to 0^+}(\sqrt x)^2(2\ln \sqrt x)^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x }=4\times\lim\limits_{x\to 0^+}(\sqrt x)^2(\ln \sqrt x)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x }=4\times\lim\limits_{x\to 0^+}(\sqrt x\,\ln \sqrt x)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x }=4\times\lim\limits_{X\to 0^+}(X\,\ln X)^2}\quad\Big[\text{en posant }X=\sqrt x\Big] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x }=4\times0}\quad\Big[\text{croissances comparées\Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ De plus, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}3x=0} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x\ln^2x-3x) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln^2x-\lim\limits_{x\to 0^+}3x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)}=0-0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0}$

En conclusion, nous obtenons : $\overset{ { \white{ P. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)} }$ et donc, $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue en 0.

Puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et en 0, nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est continue sur son ensemble de définition.

1. c) Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ à droite en $\overset{ { \white{ . } } } { 0.}$

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x(\ln ^2x-3)-0}{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to0^+}(\ln ^2x-3) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=+\infty} \\ \phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}\quad(\text{car }\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}\ln^2x=+\infty) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ n'est pas dérivable à droite en 0.

Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet au point d'abscisse 0, soit en $\overset{ { \white{ . } } } { O(0\;;\;0)\,, }$ une demi-tangente verticale orientée vers le haut.

2. a) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty.}$

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln ^2x-3)$

$\text{Or }\; \lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(\ln^2 x-3)=+\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\; \lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln^2 x-3)=+\infty } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty }$

2. b) Nous devons étudier la branche infinie de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

Par la question 2. a), nous savons que $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. }$

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x(\ln ^2x-3)}{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln ^2x-3) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=+\infty } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet une branche parabolique verticale orientée vers le haut en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

3. a) Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ l'inéquation : $\ln ^2x+2\ln x-3\le 0.$

Condition : $\overset{ { \white{ . } } } { x>0 }$

Posons : $\overset{ { \white{ . } } } { X=\ln x }$
L'inéquation peut alors s'écrire : $\overset{ { \white{ . } } } { X^2+2X-3\le 0. }$

Discriminant du trinôme : $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0 }$

Racines du trinôme :

${ \white{ xxi } }$ $X_1= \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}= \dfrac{-2-4}{2}= \dfrac{-6}{2}=-3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_1=-3} \\\\X_2= \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}= \dfrac{-2+4}{2}= \dfrac{2}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_2=1}$

Tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } {X^2+2X-3 : }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&X&-\infty&&-3&&1&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\X^2+2X-3&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Dès lors : $\overset{ { \white{ . } } } { X^2+2X-3\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad -3\le X\le 1 }$

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ } } } { \ln^2x+2\ln x-3\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad -3\le \ln x\le 1 }$

soit que : $\overset{ { \white{ } } } {\boxed{ \ln^2x+2\ln x-3\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-3}\le x\le \text e}\,. }$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln ^2x+2\ln x-3\le 0$ est $\boxed{S=\left[\,\text e^{-3}\;;\;\text e\,\right]}\,.$

3. b) Déterminons l'expression de la dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;,\;+\infty\,[. }$

$f'(x)=\Big(x(\ln ^2x-3)\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=x'\times(\ln ^2x-3) +x\times (\ln ^2x-3)'} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1\times(\ln ^2x-3) +x\times2(\ln x)'\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(\ln ^2x-3) +x\times2\times\dfrac 1x\times\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\ln ^2x-3 +2\ln x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[, \quad f'(x)=\ln^2x+2\ln x-3}$

3. c) Déduire des questions précédentes le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

En utilisant les résultats de la question 3. a), nous déduisons le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ et les variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [\,0\;,\;+\infty\,[. }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&\text e^{-3}\approx0,05&&\text e\approx2,7&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\f'(x)&||&+&0&-&0&+&\\&||&&&&&&\\\hline &&&6\text e^{-3}\approx0,3&&&&+\infty\\f &&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\&0&&&&-2\text e\approx-5,4&&\\\hline \end{array}$

4. a) Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } {f(x)=0}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Une solution évidente de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=0}$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{x=0} }$ car nous savons que : $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons les éventuelles solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=0}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;,\;+\infty\,[. }$

$f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x(\ln^2x-3)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln^2x-3=0}\quad(\text{car }x>0\Longrightarrow x\neq0) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln^2x=3} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=\sqrt 3\quad\text{ou}\quad \ln x=-\sqrt 3} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\text e^{\sqrt 3}\quad\text{ou}\quad x=\text e^{-\sqrt 3}}}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {f(x)=0}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace0\;;\;\text e^{-\sqrt 3}\;;\;\text e^{\sqrt 3}\right\rbrace} }$

4. b) Nous devons écrire une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } {( T) }$ à $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ au point d'abscisse $\underset{ { \white{ '' } } } { x=\text e ^{\sqrt 3}. }$

Une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (T ) }$ tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C ) }$ au point d'abscisse $\underset{ { \white{ ' } } } {\text e ^{\sqrt 3}}$ est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'(\text e ^{\sqrt 3})(x-\text e ^{\sqrt 3})+f(\text e ^{\sqrt 3})\,. }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(\text e ^{\sqrt 3})=0\quad\text{(voir question 4. a)}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f'(x)=\ln^2x+2\ln x-3\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(\text e ^{\sqrt 3})=0\phantom{WWWWWWWWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(\text e ^{\sqrt 3})=(\sqrt 3)^2+2\sqrt 3-3=2\sqrt 3}\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, une équation de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (T ) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=2\sqrt 3\left(x-\text e ^{\sqrt 3}\right)\,, }$ soit $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{y=2\sqrt 3 x-2\sqrt 3 \,\text e ^{\sqrt 3} }\,.}$

5. Traçons $\overset{ { \white{ . } } } { (C), \,(T) }$ ainsi que la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { 0. }$

6. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la restriction de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;,\;+\infty[. }$

Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;,\;+\infty[ }$ vers un intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ à préciser.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;,\;+\infty[. }$
Sur base de la question 3; d), nous pouvons déduire que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;,\;+\infty[. }$
Nous observons également que $\overset{ { \white{ . } } } { g\Big([\text e\;,\;+\infty[\Big)=[-2\text e\;,\;+\infty[. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e\;,\;+\infty[ }$ vers l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { J=[-2\text e\;,\;+\infty[. }$

7. Construisons $\overset{ { \white{ . } } } { (C') }$ , courbe représentative de l'application réciproque $\overset{ { \white{ } } } { g^{-1} }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { g\,, }$ dans le plan muni du repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right). }$

Nous savons que les courbes $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (C') }$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x. }$

8. Nous devons montrer que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { F(x)=\dfrac 12 x^2\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right) }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[\,. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[ }$ comme étant le produit de deux fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[\,. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]0\;,\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\dfrac 12 \left[x^2\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right)\right]' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =\dfrac 12 \left[(x^2)'\times\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right)+x^2\times\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right)'\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =\dfrac 12 \left[2x\times\left(\ln^2x-\ln x-\dfrac 52\right)+x^2\times\left(2\times\dfrac 1x\ln x-\dfrac 1x\right)\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =\dfrac 12 \left[2x\times\left(\ln^2x-\ln x-\dfrac 52\right)+x\times\left(2\times\ln x-1\right)\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =\dfrac 12 \left[2x\ln^2x-2x\ln x-5x+2x\ln x-x\right]}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =\dfrac 12 \left[2x\ln^2x-6x\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =x\ln^2x-3x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =x(\ln^2x-3)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ F'(x) } =f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\; ]0\;,\;+\infty[\,, \quad F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { F(x)=\dfrac 12 x^2\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right) }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[\,. }$

9. Calculer en unité d'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C)\,, }$ l'axe des abscisses, la droite d'équation $\underset{ { \white{ '' } } }{ x=\text e^{-\sqrt 3} }$ et la droite d'équation $\underset{ { \white{ '' } } } { x=\text e^{\sqrt 3}\, . }$

À partir des questions 3. c) et 4. a), nous pouvons déduire le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&\text e^{-\sqrt 3}&&\text e^{\sqrt 3}&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f(x)&0&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous observons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;\left[\text e^{-\sqrt 3}\;;\;\text e^{\sqrt 3}\right],\quad f(x)\le 0. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }\mathscr{A}=\left|\;\displaystyle\int_{\text e^{-\sqrt 3}}^{\text e^{\sqrt 3}}x(\ln ^2x-3)\,\text dx\;\right| \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AWx } =-\displaystyle\int_{\text e^{-\sqrt 3}}^{\text e^{\sqrt 3}}x(\ln ^2x-3)\,\text dx\;} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{AWx } =\displaystyle\int_{\text e^{\sqrt 3}}^{\text e^{-\sqrt 3}}x(\ln ^2x-3)\,\text dx\;}$

${ \white{ WWi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}}=\left[\dfrac 12 x^2\left(\ln ^2x-\ln x-\dfrac 52\right)\right]_{\text e^{\sqrt 3}}^{\text e^{-\sqrt 3}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}}=\dfrac 12\left[\left (\text e^{-\sqrt 3}\right)^2\left(\ln ^2\text e^{-\sqrt 3}-\ln \text e^{-\sqrt 3}-\dfrac 52\right)-\left (\text e^{\sqrt 3}\right)^2\left(\ln ^2\text e^{\sqrt 3}-\ln \text e^{\sqrt 3}-\dfrac 52\right)\right] \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}}=\dfrac 12\left[\text e^{-2\sqrt 3}\left(\ln ^2\text e^{-\sqrt 3}-\ln \text e^{-\sqrt 3}-\dfrac 52\right)-\text e^{2\sqrt 3}\left(\ln ^2\text e^{\sqrt 3}-\ln \text e^{\sqrt 3}-\dfrac 52\right)\right]$

${ \white{ xxi } }\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\ln \text e^{-\sqrt 3}=-\sqrt3\phantom{WWW}\\\ln^2 \text e^{-\sqrt 3}=(-\sqrt3)^2=3\\\ln \text e^{\sqrt 3}=\sqrt3\phantom{WWWiW}\\\ln^2 \text e^{\sqrt 3}=(\sqrt3)^2=3\phantom{Wi}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }\text{D'où }\quad\mathscr{A}=\dfrac 12\left[\text e^{-2\sqrt 3}\left(3+\sqrt 3-\dfrac 52\right)-\text e^{2\sqrt 3}\left(3-\sqrt 3-\dfrac 52\right)\right] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad AWW}=\dfrac 12\left[\text e^{-2\sqrt 3}\left(\dfrac 12+\sqrt 3\right)-\text e^{2\sqrt 3}\left(\dfrac 12-\sqrt 3\right)\right] }$

Par conséquent, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C)\,, }$ l'axe des abscisses, la droite d'équation $\underset{ { \white{ '' } } }{ x=\text e^{-\sqrt 3} }$ et la droite d'équation $\underset{ { \white{ '' } } } { x=\text e^{\sqrt 3} }$ est égale à

$\boxed{\mathscr{A}=\dfrac 12\left[\text e^{-2\sqrt 3}\left(\dfrac 12+\sqrt 3\right)-\text e^{2\sqrt 3}\left(\dfrac 12-\sqrt 3\right)\right]\;\text{u.a.}\approx 19,72\;\text{u.a.} }$
Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 21-11-2024

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