Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat de Mathématiques 2024

Tunisie série Economie et Gestion

Coefficient : 2

Durée : 2 heures

5 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires, en milliers de dinars, d'une société entre les années 2014 et 2021.

$\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline \text{Année} & 2014 & & 2015 & & 2016 & & 2017& & 2018 & & 2019 & & 2020 & & 2021 & \\ \hline \text{Rang }x_i\text{ de l'année} &1 & & 2& & 3& & 4 & & 5 & & 6& & 7 & & 8& \\ \hline \text{Chiffre d'affaires }y_i\text{ en milliers de dinars} & 4 & &5 & & 8&&12,5 & &18 & & 27,5& & 40& & 55& \\ \hline \end{array}$

1. Ajustement affine

Dans le graphique de l'annexe ci-jointe, on a placé deux points du nuage de points $M_i(x_i\,,\,y_i)$ et la droite $(D)$ de régression de $y$ en $x$ de la série statistique $(x_i\,,\,y_i)$ avec $i\in \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace.$

$\white w$ a. Compléter, dans le graphique de l'annexe, le nuage de points.

$\white w$ b. A partir du graphique, donner le chiffre d'affaires en milliers de dinars de la société en 2023 selon cet ajustement.

2. Ajustement non affine

Dans cette question on arrondira au centième les résultats des calculs.

On pose $z_i=\ln (y_i)\,,\;i\in \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace.$

$\white w$ a. Recopier et compléter le tableau suivant :

$\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline x_i&1 & & 2& & 3& & 4 & & 5 & & 6& & 7 & & 8& \\ \hline z_i=\ln (y_i)& & & 1,61 & & & & & & & & 3,31& & & & & \\ \hline \end{array}$

$\white w$ b. En utilisant la méthode des moindres carrés, donner une équation de la droite $(\Delta )$ de régression de $z$ en $x$ .

$\white w$ c. En déduire que $y=2,53\,\text e^{0,39x}.$

$\white w$ d. Donner alors, à mille dinars près, le chiffre d'affaires de la société en 2023 selon cet ajustement.

3. En 2023, le chiffre d'affaires de cette société était de 100 mille dinars. Lequel de ces ajustements est le plus pertinent ?

5 points

exercice 2

On considère le graphe orienté (G) ci-dessous :

Bac Tunisie 2024 série Economie-Gestion : image 1

1. a. Recopier et compléter le tableau suivant :

$\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline \text{Sommet}&A & & B& & C& & D & & E & \\ \hline d^+& & & & & & & & & & \\ \hline d^-& & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}$

$\white w$ b. Justifier que le graphe (G) n'admet pas un cycle orienté eulérien.

$\white w$ c. Montrer que (G) admet une chaîne orientée eulérienne puis donner un exemple.

2. Donner la matrice $M$ associée au graphe (G).
(On range les sommets dans l'ordre A,B,C,D et E)

3. On donne les matrices : $M^3=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 &2 &0 \\ 1& 0 &2 &0 &1 \\ 1& 0 &1 & 0&1 \\ 0&1 &0 &1 &0 \\ 1&0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \text{ et } M^4=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 &1 &1 \\ 2&1 & 0 & 2 &0 \\ 1& 1& 0 & 2 & 0\\ 1& 0& 1& 0 &1 \\ 0& 1 & 0& 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\white w$ a. Combien y-a-t-il de chaînes orientées de longueur 3 arrivant au sommet B ?

$\white w$ b. Combien y-a-t-il de chaînes orientées de longueur 7 allant de E à C ? Citer ces chaînes.

5 points

exercice 3

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\text{ et } B=\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix}$

1. a. Calculer le déterminant de $A$ et déduire que $A$ est inversible.

$\white w$ b. Déterminer la matrice $A\times B$ et déduire la matrice $A^{-1}$ inverse de $A.$

2. Soit le système $(S)\;:\;\left\lbrace\begin{matrix} 4x& + & 2y & + & 5z & = & 3\,640\\ 3x& + & y& +& 2z & =& 1\,870\\ 170x& + & 85y & +& 215z &=& 155\,700 & \end{matrix}\right.$

$\white w$ a. Donner l'écriture matricielle de $(S).$

$\white w$ b. Résoudre alors, dans $\textbf R^3$ , le système $(S).$

3. Un atelier de forgeron fabrique des pièces en acier de trois types différents $(P_1),\,(P_2),\,(P_3).$

${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ Une pièce de type $(P_1)$ nécessite 8 kg d'acier, 3 kg de peinture et 8 heures 30 minutes de durée de travail.

${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ Une pièce de type $(P_2)$ nécessite 4 kg d'acier, 1 kg de peinture et 4 heures 15 minutes de durée de travail.

${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ Une pièce de type $(P_3)$ nécessite 10 kg d'acier, 2 kg de peinture et 10 heures 45 minutes de durée de travail.

Déterminer le nombre de pièces fabriquées de chaque type pendant 7 785 heures de travail en utilisant 7 280 kg d'acier et 1 870 kg de peinture.

5 points

exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par $f(x)=x+\text e^{1-x}.$

1. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x).$

2. a. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et que $f'(x)$ est du même signe que $(x-1)$ pour tout $x\in [0\;;\;+\infty[.$

$\white w$ b. Dresser le tableau de variations de $f.$

3. Une entreprise fabrique et vend des pièces mécaniques.

On suppose que :

${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ $f(x)$ représente le coût de fabrication en milliers de dinars de $x$ centaines de pièces.

${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ Un lot de 100 pièces se vend 2 000 dinars.

On désigne par $g(x)$ le gain algébrique en milliers de dinars réalisé par la vente de $x$ centaines de pièces.

$\white w$ a. Montrer que pour tout $x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;g(x)=x-\text e^{1-x}.$

$\white w$ b. Vérifier que pour tout $x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;g(x)=(x-1)+f'(x).$

$\white w$ c. En déduire le signe de $g$ sur $[0\;;\;+\infty[.$

$\white w$ d. Sachant que les pièces fabriquées seront toutes vendues, quel est le nombre minimal de pièces que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice ?

Annexe à rendre avec la copie

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Bac Tunisie 2024 série Economie-Gestion

5 points

exercice 1

Bac Tunisie 2024 série Economie-Gestion : image 6

1. b) A partir du graphique, donnons le chiffre d'affaires en milliers de dinars de la société en 2023 selon cet ajustement.

L'année 2023 correspond au rang 10.
Nous observons sur le graphique que l'ordonnée du point de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ d'abscisse 10 est environ égale à 60.

Par conséquent, selon cet ajustement, le chiffre d'affaires de la société en 2023 est estimé à 60 mille dinars.

2. Ajustement non affine

On pose $\overset{ { \white{ . } } } { z_i=\ln (y_i)\,,\;i\in \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace. }$

2. a) Nous obtenons le tableau suivant :

$\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|} \hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x_i&&1& & & 2& & &3& & &4 & & &5 & & &6& & &7 & & &8& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&z_i=\ln (y_i)& &1,39& & &1,61 & &&2,08 & && 2,53& & & 2,89& && 3,31 & &&3,69 & &&4,01&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

2. b) En utilisant la méthode des moindres carrés, donnons une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ de régression de $\overset{ { \white{ . } } } { z}$ en $\overset{ { \white{ . } } } { x.}$

Complétons le tableau précédent :

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|} \hline &&x_i& & & z_i& & &x_iz_i& & &x_i^2 & & &z_i^2 & \\ \hline & &1& & &1,39 & &&1,39 & && 1& & & 1,9321&\\ & &2& & &1,61 & &&3,22 & && 4& & & 2,5921& \\ & &3& & &2,08 & &&6,24 & && 9& & & 4,3264& \\ & &4& & &2,53 & &&10,12 & && 16& & & 6,4009& \\ & &5& & &2,89 & &&14,45 & && 25& & & 8,3521& \\ & &6& & &3,31 & &&19,86 & && 36& & & 10,9561& \\ & &7& & &3,69 & &&25,83 & && 49& & & 13,6161& \\ & &8& & &4,01 & &&32,08 & && 64& & & 16,0801& \\ \hline \text{Somme}& &36& & &21,51 & &&113,19 & && 204& & & 64,2559& \\ \hline \end{array}$

Effectuons quelques calculs préliminaires.

${ \white{ xxi } }$ $\overline{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i=\dfrac{36}{8}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overline{x}=4,5} \\\\\overline{z}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i=\dfrac{21,51}{8}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overline{z}=2,68875} \\\\SS_{xx}=\sum_{i=1}^nx_i^2-\dfrac 1n\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=204-\dfrac{36^2}{8}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{SS_{xx}=42} \\\\SS_{zz}=\sum_{i=1}^nz_i^2-\dfrac 1n\left(\sum_{i=1}^nz_i\right)^2=64,2559-\dfrac{21,51^2}{8}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{SS_{zz}=6,4208875} \\\\SS_{xz}=\sum_{i=1}^nx_iz_i-\dfrac 1n\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i\right)=113,19-\dfrac{36\times21,51}{8}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{SS_{xz}=16,395}$

L'équation de régression est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { z=ax+b }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a=\dfrac{SS_{xz}}{SS_{xx}} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=\overline{z}-a\overline{x} }$

Nous avons alors : $\overset{ { \white{ . } } } {a=\dfrac{16,395}{42}=0,3904 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {b=2,68875-4,5\times0,3904=0,9321 }$

Par conséquent, l'équation de régression est : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{z=0,39x+0,93} }$

2. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { y=2,53\,\text e^{0,39x}.}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}z=\ln (y)\phantom{WWW}\\z=0,39x+0,93\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \ln(y)=0,39x+0,93 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z=\ln (y)\phantom{WWW}\\z=0,39x+0,93\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad y=\text e^{0,39x+0,93} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z=\ln (y)\phantom{WWW}\\z=0,39x+0,93\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad y=\text e^{0,39x}\times\text e^{0,93} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z=\ln (y)\phantom{WWW}\\z=0,39x+0,93\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y=2,53\,\text e^{0,39x}}$

2. d) Donnons alors, à mille dinars près, le chiffre d'affaires de la société en 2023 selon cet ajustement.

L'année 2023 correspond au rang 10.
Remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 10 dans l'équation de régression.

${ \white{ xxi } }$ $y=2,53\,\text e^{0,39\times10}=2,53\,\text e^{3,9}\approx124,99.$

Par conséquent, selon cet ajustement, le chiffre d'affaires de la société en 2023 est estimé à 125 mille dinars.

3. En 2023, le chiffre d'affaires de cette société était de 100 mille dinars.
L'écart entre le chiffre d'affaires réel en 2023 et l'estimation selon l'ajustement affine est de 40 mille dinars et cet écart est de 25 mille dinars selon l'ajustement non affine.

L'ajustement non affine est donc plus pertinent que l'ajustement affine.

5 points

exercice 2

On considère le graphe orienté (G) ci-dessous :

Bac Tunisie 2024 série Economie-Gestion : image 4

1. a) Tableau résumant les degrés extérieurs et intérieurs des sommets :

${ \white{WWWW} }$ $\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{Sommet}&&A && & B&& & C&& & D && & E & \\ \hline &&&&&&&&&&&&&&&\\d^+& &2&&&2&& &1 & & &1 & & &1 &\\&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&&&&&&&&\\d^-& &2&&&1&& &1 & & & 2& & &1 &\\&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

1. b) Justifions que le graphe (G) n'admet pas un cycle orienté eulérien.

En effet, un graphe connexe admet un cycle eulérien si tous ses sommets sont de degré pair.
Or les degrés de B et de D sont égaux à 3, donc impairs.

Dès lors, le graphe (G) n'admet pas un cycle orienté eulérien.

1. c) Montrons que (G) admet une chaîne orientée eulérienne.

Pour qu'un graphe comporte une chaine eulérienne, il faut qu'il possède 0 ou deux sommets de degré impair.
Dans le cas de deux sommets de degré impair, ils seront situés au début et à la fin de la chaine.

Dans cet exercice, le graphe (G) possède deux sommets de degré impair : les sommets B et D.
Il existe donc une chaine eulérienne commençant par B et se terminant par D.
Par exemple, la chaine B - A - B - E - D - C - A - D.

2. Ci-dessous, la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ associée au graphe (G).

${ \white{ WWWWWW } }$ $M=\begin{pmatrix}0&1&0&1&0\\1&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

3. On donne les matrices : $\overset{ { \white{ . } } } { M^3=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 &2 &0 \\ 1& 0 &2 &0 &1 \\ 1& 0 &1 & 0&1 \\ 0&1 &0 &1 &0 \\ 1&0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \text{ et } M^4=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 &1 &1 \\ 2&1 & 0 & 2 &0 \\ 1& 1& 0 & 2 & 0\\ 1& 0& 1& 0 &1 \\ 0& 1 & 0& 1 & 0 \end{pmatrix} }$

3. a) Déterminons le nombre de chaînes orientées de longueur 3 arrivant au sommet B.

Additionnons les éléments de $\overset{ { \white{ } } } { M^3 }$ correspondant à l'arrivée au sommet B, soient les éléments de la 2^ème colonne.

Nous obtenons : 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2.

Il y a donc deux chaînes orientées de longueur 3 arrivant au sommet B.

3. b) Déterminons le nombre de chaînes orientées de longueur 7 allant de E à C.

Ce nombre est l'élément de la matrice $\overset{ { \white{ } } } { M^7 }$ situé à la 5^ème ligne 3^ème colonne.

Cet élément est le produit de la matrice-ligne correspondant à la 5^ème ligne de $\overset{ { \white{ } } } { M^3 }$ par la matrice-colonne correspondant à la 3^ème colonne de $\overset{ { \white{ } } } { M^4. }$

$\text{Or }\;\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=2+0+0+0+0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=2}$

Il existe donc deux chaînes orientées de longueur 7 allant de E à C.

Ces deux chaînes sont : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{E - D - C - A - B - E - D - C} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{E - D - C - A - B - A - D - C} }$

5 points

exercice 3

On considère les matrices $\overset{ { \white{ . } } } {A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\text{ et } B=\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix} }$

1. a) Calculons le déterminant de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et justifions que $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est inversible.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\det(A)=\begin{vmatrix}4&2&5\\3&1&2\\170&85&215\end{vmatrix} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\det(A)}=4\begin{vmatrix}1&2\\85&215\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}3&2\\170&215\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}3&1\\170&85\end{vmatrix} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\det(A)}=4(215-170)-2(645-340) +5(255-170) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\det(A)}=4\times45-2\times305 +5\times85 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\det(A)}=-5}\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\det(A)=-5}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\det(A)=-5\neq 0.$

Donc la matrice $\overset{ { \white{ . } } } { A}$ est inversible.

1. b) Nous devons déterminer la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { A\times B }$ et déduire la matrice $\overset{ { \white{ } } } { A^{-1} }$ inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

$A\times B=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {=\begin{pmatrix} 4\times(-45)+2\times305+5\times(-85) & 4\times5+2\times(-10)+5\times0 & 4\times1+2\times(-7)+5\times2\\ 3\times(-45)+1\times305+2\times(-85)& 3\times5+1\times(-10)+2\times0 & 3\times1+1\times(-7)+2\times2 \\170\times(-45)+85\times305+215\times(-85)& 170\times5+85\times(-10)+215\times0 & 170\times1+85\times(-7)+215\times2 \end{pmatrix} } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A\times B=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix}=5I_3\quad\text{où}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix} }$

De même, nous obtenons par calcul que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{B\times A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix}=5I_3\quad\text{où}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix} } }$

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } { A\times\left(\dfrac15 B\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix} =\left(\dfrac15 B\right)\times A }$

Donc la matrice inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est $\overset{ { \white{ } } } { A^{-1}= \dfrac 15 B.}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac15 B=\dfrac 15\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac15 B=\begin{pmatrix} -9 & \overset{ { \white{ . } } } { 1} & \frac 15\\ 61& \overset{ { \white{ . } } } {-2 }& -\frac75\\ -17& \overset{ { \white{ . } } } {0} & \frac25 \end{pmatrix} }$

Par conséquent, la matrice inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix} -9 & \overset{ { \white{ . } } } { 1} & \frac 15\\ 61& \overset{ { \white{ . } } } {-2 }& -\frac75\\ -17& \overset{ { \white{ . } } } {0} & \frac25 \end{pmatrix}} }$

2. Soit le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\;:\;\left\lbrace\begin{matrix} 4x& + & 2y & + & 5z & = & 3\,640\\ 3x& + & y& +& 2z & =& 1\,870\\ 170x& + & 85y & +& 215z &=& 155\,700 & \end{matrix}\right. }$

2. a) Nous devons donner l'écriture matricielle de $\overset{ { \white{ . } } } { (S).}$

L'écriture matricielle de $\overset{ { \white{ . } } } { (S)}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix} }$

2. b) Nous devons résoudre, dans $\overset{ { \white{ _. } } } {\R^3 , }$ le système $\overset{ { \white{ _. } } } { (S). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad A\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix} \\\\\phantom{\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$
${ \white{ xxi } }$ $. \\\\\phantom{\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9 & \overset{ { \white{ . } } } { 1} & \frac 15\\ 61& \overset{ { \phantom{ . } } } {-2 }& -\frac75\\ -17& \overset{ { \phantom{ . } } } {0} & \frac25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix} \\\\\phantom{\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -32\,760+1870+31\,140\\ 222\,040-3\,740-217\,980\\-61\,880+0+62\,280 \end{pmatrix}$
${ \white{ xxi } }$ $.\\\\\phantom{\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 250\\320\\400 \end{pmatrix} }$

Par conséquent, le système $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ admet comme solution : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(x\;;\;y\;;\;z)=(250\;;\;320\;;\;400)}\,. }$

3. Un atelier de forgeron fabrique des pièces en acier de trois types différents $\overset{ { \white{ . } } } { (P_1),\,(P_2),\,(P_3). }$

$\overset{ { \white{ . } } } { {\white {w}}\bullet {\white {w}} }$ Une pièce de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_1) }$ nécessite 8 kg d'acier, 3 kg de peinture et 8 heures 30 minutes de durée de travail.
$\overset{ { \white{ . } } } { {\white {w}}\bullet {\white {w}} }$ Une pièce de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_2) }$ nécessite 4 kg d'acier, 1 kg de peinture et 4 heures 15 minutes de durée de travail.
$\overset{ { \white{ . } } } { {\white {w}}\bullet {\white {w}} }$ Une pièce de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_3) }$ nécessite 10 kg d'acier, 2 kg de peinture et 10 heures 45 minutes de durée de travail.
Nous devons déterminer le nombre de pièces fabriquées de chaque type pendant 7 785 heures de travail en utilisant 7 280 kg d'acier et 1 870 kg de peinture.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ le nombre de pièces fabriquées de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_1) }$
${ \white{ xxx } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {y }$ le nombre de pièces fabriquées de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_2) }$
${ \white{ xxx } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {z }$ le nombre de pièces fabriquées de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_3). }$

Les contraintes du problème peuvent se traduire par le système :

$\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}8x&+&4y&+&10z&=&7\,280\\3x&+&y&+&2z&=&1\,870\\8,5x&+&4,25y&+&10,75z&=&7\,785 \end{matrix}\right. }$

En divisant par 2 les termes de la première équation et en multipliant par 20 les termes de la troisième équation, nous obtenons le système équivalent suivant :

$\left\lbrace\begin{matrix} 4x& + & 2y & + & 5z & = & 3\,640\\ 3x& + & y& +& 2z & =& 1\,870\\ 170x& + & 85y & +& 215z &=& 155\,700 & \end{matrix}\right.$

Ce système admet comme solution : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(x\;;\;y\;;\;z)=(250\;;\;320\;;\;400)} }$ (voir question 2. b.)

En conclusion, pour répondre aux contraintes, l'atelier de forgeron doit fabriquer 250 pièces de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_1) ,}$ 320 pièces de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_2) }$ et 400 pièces de type $\overset{ { \white{ . } } } { (P_3). }$

5 points

exercice 4

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x+\text e^{1-x}. }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ P. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}(1-x)=-\infty\\\lim\limits_{X\to -\infty}\text e^X=0\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=1-x)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{1-x}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}x1-x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^X=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\underset{}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(x+e^{1-x})=+\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt xxxx=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^X=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\underset{}{\Longrightarrow}\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est du même signe que $\overset{ { \white{ . } } } { (x-1) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ comme étant la somme de deux fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ ,}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x+\text e^{1-x})' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =1+(1-x)'\text e^{1-x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =1+(-1)\,\text e^{1-x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =1-\text e^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x) =1-\text e^{1-x}}$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est du même signe que $\overset{ { \white{ . } } } { (x-1) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad 1-\text e^{1-x}\ge 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)\ge 0} \quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{1-x}\le 1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)\ge 0} \quad\Longleftrightarrow\quad 1-x\le 0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)\ge 0} \quad\Longleftrightarrow\quad x-1\ge 0 }$

$\text{D'où }\quad\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x-1\ge 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,}\quad f'(x)\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x-1\le 0 }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est du même signe que $\overset{ { \white{ . } } } { (x-1) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{matrix}f(0)=0+\text e^1\\\overset{ { \white{.} } } {=\text e}\\\\f(1)=1+\text e^0\\\overset{ { \phantom{.} } } {=2}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'(x) &&-&-&0&+&+& \\&&&&&&&\\\hline &\text e&&&&&&+\infty\\f(x) &&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow& \\&&&& 2&&&\\\hline \end{array}$

3. Une entreprise fabrique et vend des pièces mécaniques.

On suppose que :

${\white {w}}\bullet {\white {w}} f(x)$ représente le coût de fabrication en milliers de dinars de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ centaines de pièces.
${\white {w}}\bullet {\white {w}}$ Un lot de 100 pièces se vend 2 000 dinars.

On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x) }$ le gain algébrique en milliers de dinars réalisé par la vente de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ centaines de pièces.

3. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;g(x)=x-\text e^{1-x}. }$

Le gain algébrique est la différence entre le revenu de la vente des pièces mécaniques et le coût de leur fabrication.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Un lot de 100 pièces se vend 2 000 dinars.
${ \white{ xi } }$ Autrement dit, 1 centaine de pièces se vend 2 milliers de dinars.
${ \white{ xi } }$ Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ centaines de pièces se vendent $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x}$ milliers de dinars.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) }$ représente le coût de fabrication en milliers de dinars de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ centaines de pièces.

D'où le gain algébrique en milliers de dinars est donné par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=2x-f(x). }$

$\text{Or } 2x-f(x)=2x-(x+\text e^{1-x}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or } 2x-f(x)}=2x-x-\text e^{1-x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or } 2x-f(x)}=x-\text e^{1-x} }$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[\;,\quad\boxed{g(x)=x-\text e^{1-x}}\,. }$

3. b) Vérifions que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[\;,\;g(x)=(x-1)+f'(x). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ ,}$

${ \white{ xxi } }$ $g(x)-f'(x)=(x-\text e^{1-x})-(1-\text e^{-1-x}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g(x)-f'(x)}=x-\text e^{1-x}-1+\text e^{-1-x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g(x)-f'(x)}=x-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[,\quad g(x)-f'(x)=x-1}$

D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[,\quad g(x)=(x-1)+f'(x)} }$

3. c) Nous devons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[.}$

Nous avons montré dans la question 2. a) que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est du même signe que $\overset{ { \white{ . } } } { (x-1) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[. }$

Nous obtenons alors le tableau suivant :

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'(x) &&-&-&0&+&+& \\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\g(x)=(x-1)+f'(x) &&-&-&0&+&+& \\&&&& &&&\\\hline \end{array}$

En conclusion, $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R :\quad 0\le x<1\quad\Longrightarrow\quad g(x)<0 }$
${ \white{ WWN\quad WW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { x=1,\quad g(x)=0}$
${ \white{ WWN\quad WW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>1,\quad g(x)>0. }$

3. d) Sachant que les pièces fabriquées seront toutes vendues, déterminons le nombre minimal de pièces que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice.

L'entreprise réalise un bénéfice lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { g(x) }$ est strictement positif, soit lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { x>1. }$

Dans ce cas, le nombre de pièces fabriquées et vendues doit être supérieur à 1 centaine.

Dès lors, sachant que les pièces fabriquées seront toutes vendues, l'entreprise doit fabriquer au moins 100 pièces pour réaliser un bénéfice.

_{=Merci à Hiphigenie et à malou pour avoir élaboré cette contibution=}

Publié par malou le 02-02-2025

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