Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Baccalauréat Tunisie 2024

Sciences de l'informatique

Durée : 3 heures

Coefficient : 3

5 points

exercice 1

1. Résoudre dans C, l'équation $z^2-2\text iz-4=0$ .

2. a. Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ , on a $z^3-8\text i=(z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)$ .

$\white w$ b. Résoudre alors dans C, l'équation $z^3=8\text i$ .

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,,\,\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right)$ . On considère les points $A\,,\, B \text{ et } D$ d'affixes respectives $z_A=-2\text i\,,\,z_B=\sqrt 3+\text i\,,\, \text{ et } z_D=-\sqrt 3+\text i$ .

Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, on a placé le point $A$ et on a tracé le cercle $(C)$ de centre $O$ et passant par $A$ .

$\white w$ a. Montrer que les points $B$ et $D$ appartiennent au cercle $(C)$ .

$\white w$ b. Construire les points $B$ et $D$ .

$\white w$ c. Montrer que le triangle $ABD$ est équilatéral.

4. La tangente $T_1$ à $(C)$ en $A$ et la tangente $T_2$ à $(C)$ en $B$ se coupent en $E$ .

$\white w$ a. Justifier que l'affixe du point $E$ s'écrit comme $z_E=x-2\text i$ , où $x$ est un réel.

$\white w$ b. Montrer que $(z_E-z_B)\overline{z_B}=x\sqrt 3-6-\text i(x+2\sqrt 3)$ .

$\white w$ c. Déduire que $z_E=2\sqrt 3-2\text i$ .

5. a. Prouver que le quadrilatère $AEBD$ est un losange.

$\white w$ b. Montrer que l'aire du losange $AEBD$ , en unité d'aire, est égale à $6\sqrt 3$ .

4 points

exercice 2

On considère dans $\textbf Z\times \textbf Z$ , l'équation $(E)\;:\;4x-3y=6$ .

1. a. Vérifier que le couple $(3\,,\,2)$ est une solution de l'équation $(E)$ .

$\white w$ b. Résoudre dans $\textbf Z\times \textbf Z$ l'équation $(E)$ .

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\,,\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right)$ , on considère les points $A(3\,,\,2)$ , $B(7\,,\,-1)$ et $M(x\,,\,y)$ , où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs.

Montrer que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux si et seulement si le couple $(x\,,\,y)$ est solution de l'équation $(E)$ .

3. Soit le point $C\left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right)$ .

$\white w$ a. Vérifier que le couple $\left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right)$ est solution de $(E)$ .

$\white w$ b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

4. a. Soit $\mathcal A$ l'aire, en unité d'aire, du triangle $ABC$ . Montrer que $\mathcal A=25\times 7^{1445}$ .

$\white w$ b. Vérifier que $7^4\equiv 1\,[100]$ et déduire que $7^{1445}\equiv 7\,[100]$ .

$\white w$ c. Déterminer alors le chiffre des unités et celui des dizaines de $\mathcal A$ .

5 points

exercice 3

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -1\\ 20& -22 & 2\\ -17& -2 & 1\end{pmatrix}$ .

1. a. Montrer que la matrice $A$ est inversible. On notera $A^{-1}$ la matrice inverse de $A$ .

$\white w$ b. Montrer que $A\times B=-18I_3$ .

$\white w$ c. Déterminer alors la matrice $A^{-1}$ .

2. On considère le système $(S)\,:\,\left\lbrace\begin{matrix} x+z & =&3 \\ 3x+y+z&= & 23&\text{ , où }x \,,\,y \text{ et }z\text{ sont des réels}.\\ 23x=2y+z & = &115 \end{matrix}\right.$

$\white w$ a. En utilisant l'écriture matricielle du système $(S)$ , montrer que $\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\23 \\ 115 \end{pmatrix}.$

$\white w$ b. Résoudre alors le système $(S)$ .

3. Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\textbf N$ par $\left\lbrace\begin{matrix} u_0 & = &1 & \\ u_{n+1}&= & au_n+bn+c& ,\text{ pour tout }n\in \textbf N\,, \end{matrix}\right.$

où $a\,,\,b\,\text { et } c$ sont trois réels.

$\textbf{ On donne : }u_1=3\;,\;u_2=23\;\text{ et } u_3=115$ .

$\white w$ a. Montrer que le triplet $(a, b, c)$ est la solution du système $(S)$ .

$\white w$ b. Déduire que pour tout $n\in \textbf N}\,,\,u_{n+1}=4u_n+12n-1$ .

4. Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\textbf N$ par $v_n=u_n+4n+1$ .

$\white w$ a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$ .

$\white w$ b. Déduire que pour tout $n\in \textbf N}\,,\,u_{n}=2\times 4^n-4n-1$ .

6 points

exercice 4

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\;,\;+\infty[$ par $\left\lbrace\begin{matrix} f(x) & =& x\ln x+\text e^{1-x} &, & \text{si } x> 0\\ f(0)& = & \text e & \end{matrix}\right.$

On désigne par $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,,\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right)$ .

1. Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

2. a. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0\;,\;+\infty[$ .

$\white w$ b. Vérifier que pour tout $x\in ]0\;,\;+\infty[\;,\; \ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e ^x-1}{x}\right)=\dfrac{f(x)-\text e}{x}$ .

$\white w$ c. Etudier alors la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ . Interpréter graphiquement le résultat.

3. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ et montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ . Interpréter graphiquement les résultats.

4. Dans la $\textbf{figure 2}$ de l'annexe ci-jointe, on a tracé dans le repère $\left(O\,,\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right)$ $\textbf{la courbe }(\Gamma) \textbf{ de la fonction dérivée } f'$ de la fonction $f$ .

La courbe $(\Gamma)$ coupe l'axe des abscisses uniquement au point $P(1\,,\,0)$ et passe par le point $Q(\alpha\,,\,2)$ , où $\alpha$ est un réel.

En utilisant le graphique :

$\white w$ a. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in ]0\;,\;+\infty[$ .

$\white w$ b. Justifier que la tangente à $(\mathcal C)$ au point d'abscisse $1$ est la seule tangente horizontale à $(\mathcal C)$ .

5. a. Dresser le tableau de variation de $f$ .

$\white w$ b. Tracer la courbe $(\mathcal C)$ .

6. a. Montrer que pour tout $x\in ]0\;,\;+\infty[\;,\; f'(x)=1+\ln x-\text e^{1-x}$ .

$\white w$ b. Déduire que $\text e^{1-\alpha}=\ln (\alpha)-1$ .

$\white w$ c. Soit $\mathcal A$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $(\Gamma)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\alpha$ .

Montrer que $\mathcal A=(\alpha +1)\ln [\alpha)-2$ .

$\white w$ d. Déterminer alors $\mathcal A'$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $(\Gamma)$ et le segment $[PQ]$ .

ANNEXE

Figure 1 :

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique : image 1

Figure 2 :

Voir la correction

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique

5 points

exercice 1

1. Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ . } } } { \C\,, }$ l'équation $\overset{ { \white{ } } } { z^2-2\text iz-4=0\, . }$

Discriminant de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=(-2\text i)^2-4\times 1\times (-4) \\\phantom{\Delta}=-4+16 \\\phantom{\Delta}=12>0$

Racines de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $z_1=\dfrac{2\text i+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\text i+2\sqrt{3}}{2}=\text i+\sqrt 3 \\z_2=\dfrac{2\text i-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\text i-2\sqrt{3}}{2}=\text i-\sqrt 3$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ } } } { z^2-2\text iz-4=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\Big\lbrace\sqrt3+\text i\;;\;-\sqrt 3 +\text i\Big\rbrace}\, . }$

2. a) Vérifions que pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ p. } } } { z\,, }$ on a $\overset{ { \white{ . } } } { z^3-8\text i=(z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)\, . }$

${ \white{ xxi } }$ $(z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)=z^3-2\text i z^2-4z+2\text i z^2+4z-8\text i \\\phantom{(z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)}=z^3-8\text i \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z^3-8\text i=(z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)}$

2. b) Nous devons résoudre alors dans $\overset{ { \white{ . } } } { \C\,, }$ l'équation $\overset{ { \white{ } } } { z^3=8\text i\, . }$

$z^3=8\text i\quad\Longleftrightarrow\quad z^3-8\text i=0 \\\phantom{z^3=8\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad (z+2\text i)(z^2-2\text iz-4)=0 \\\phantom{z^3=8\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z+2\text i=0\quad\text{ou}\quad z^2-2\text iz-4=0 \\\phantom{z^3=8\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z=-2\text i\quad\text{ou}\quad z=\sqrt 3+\text i\quad\text{ou}\quad z=-\sqrt 3+\text i\quad(\text {voir question 1.})$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ } } } { z^3=8\text i }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\Big\lbrace-2\text i\;;\;\sqrt3+\text i\;;\;-\sqrt 3 +\text i\Big\rbrace}\, . }$

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\,,\,\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right)\, . }$
On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A\,,\, B \text{ et } D }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ } } } { z_A=-2\text i\,,\,z_B=\sqrt 3+\text i\,,\, \text{ et } z_D=-\sqrt 3+\text i\, . }$

Dans la figure 1 ci-dessous, on a placé le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et on a tracé le cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,. }$

3. a) Nous devons montrer que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartiennent au cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C)\,. }$

Le cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ passe par $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,. }$
Donc le rayon du cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { |z_A|=|-2\text i|=2\,. }$

Pour montrer que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartiennent au cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C)\,, }$ montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {|z_B|=2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { |z_D|=2\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}|z_B|=|\sqrt 3+\text i|=\sqrt{(\sqrt 3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt 4=2 \quad\Longrightarrow\quad\boxed{|z_B|=2} \\\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}|z_D|=|-\sqrt 3+\text i|=\sqrt{(-\sqrt 3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt 4=2 \quad\Longrightarrow\quad\boxed{|z_D|=2}$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartiennent au cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (C)\,. }$

3. b) Construisons les points $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D \,.}$ Les parties imaginaires de    $\overset{ { \white{ . } } } { z_B }$ et de    $\overset{ { \white{ . } } } { z_D }$ sont égales à 1.
Les parties réelles de    $\overset{ { \white{ . } } } { z_B }$ et de    $\overset{ { \white{ . } } } { z_D }$ sont respectivement positive et négative.

Nous pouvons ainsi construire les points    $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ comme étant les intersection du cercle    $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ avec la droite d'équation    $\overset{ { \white{ . } } } {y=1\,, }$ l'abscisse de    $\overset{ { \white{ _. } } } {B }$ étant positive et celle de    $\overset{ { \white{ _. } } } {D }$ étant négative.

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique : image 4

3. c) Nous devons montrer que le triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABD }$ est équilatéral.

Montrons que les trois côtés du triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABD }$ ont la même longueur.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $AB=|z_B-z_A| \\\phantom{AB}=|\sqrt 3+\text i+2\text i| \\\phantom{AB}=|\sqrt 3+3\text i| \\\phantom{AB}=\sqrt{(\sqrt 3)^2+3^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{3+9} \\\phantom{AB}=\sqrt{12} \\\phantom{AB}=2\sqrt{3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $AD=|z_D-z_A| \\\phantom{AD}=|-\sqrt 3+\text i+2\text i| \\\phantom{AD}=|-\sqrt 3+3\text i| \\\phantom{AD}=\sqrt{(-\sqrt 3)^2+3^2} \\\phantom{AD}=\sqrt{3+9} \\\phantom{AD}=\sqrt{12} \\\phantom{AD}=2\sqrt{3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $BD=|z_D-z_B| \\\phantom{BD}=|-\sqrt 3+\text i-\sqrt 3-\text i| \\\phantom{BD}=|-2\sqrt 3| \\\phantom{BD}=2\sqrt{3}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {AB=AD=BD=2\sqrt 3 }$

Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABD }$ est équilatéral.

4. La tangente $\overset{ { \white{ . } } } { T_1 }$ à $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et la tangente $\overset{ { \white{ . } } } { T_2 }$ à $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ se coupent en $\overset{ { \white{ . } } } { E\,. }$

4. a) Nous devons justifier que l'affixe du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ s'écrit comme $\overset{ { \white{ . } } } {z_E=x-2\text i }$ , où $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ est un réel.

Le point $\overset{ { \white{_. } } } { E }$ appartient à la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_1 }$ dont l'équation est : $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-2\,. }$
Donc l'ordonnée du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { y_E=-2. }$

Si $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ désigne l'abscisse du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E\,, }$ alors les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sont de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { (x\;;\;-2)\,.}$

D'où l'affixe du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ s'écrit sous la forme : $\overset{ { \white{ . } } } {z_E=x-2\text i }$ , où $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ est un réel.

4. b) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (z_E-z_B)\overline{z_B}=x\sqrt 3-6-\text i(x+2\sqrt 3)\, . }$

${ \white{ xxi } }$ $(z_E-z_B)\overline{z_B}=\Big(x-2\text i-(\sqrt 3+\text i)\Big)(\sqrt 3-\text i) \\\phantom{(z_E-z_B)\overline{z_B}}=(x-2\text i-\sqrt 3-\text i)(\sqrt 3-\text i) \\\phantom{(z_E-z_B)\overline{z_B}}=(x-\sqrt 3-3\text i)(\sqrt 3-\text i) \\\phantom{(z_E-z_B)\overline{z_B}}=x\sqrt 3-\text i x-3+\text i\sqrt 3-3\text i\sqrt 3-3 \\\phantom{(z_E-z_B)\overline{z_B}}=x\sqrt 3-6-\text i x-2\text i\sqrt 3 \\\phantom{(z_E-z_B)\overline{z_B}}=x\sqrt 3-6-\text i(x+2\sqrt 3) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(z_E-z_B)\overline{z_B}=x\sqrt 3-6-\text i(x+2\sqrt 3)}$

4. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ } } } { z_E=2\sqrt 3-2\text i\, . }$

Rappelons que la tangente en un point d'un cercle est la perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact.

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { T_2 }$ est la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ , nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (OB)\perp (BE),.\ }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R\,. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_E-z_B}{z_B}\in\text i\R \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{(z_E-z_B)\overline{z_B}}{z_B\overline{z_B}}\in\text i\R \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad (z_E-_B)\overline{z_B}\;\in\text i\R\quad\text{car}\quad z_B\overline{z_B}\in\R \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \text{Re}\Big[(z_E-_B)\overline{z_B}\Big]=0 \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \text{Re}\Big[\Big((x-2\text i)-(\sqrt3+\text i)\Big)(\sqrt 3-\text i)\Big]=0 \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \text{Re}\Big[(x-\sqrt3-3\text i)(\sqrt 3-\text i)\Big]=0$

${ \white{ xxi } }$ $\\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt3x-3-3=0 \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt3x-6=0 \\\phantom{\dfrac{z_E-z_B}{z_B-z_O}\in\text i\R}\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3} \\\Longrightarrow\quad \boxed{x=2\sqrt3}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ z_E=2\sqrt 3-2\text i}\, . }$

5. a) Nous devons prouver que le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { AEBD }$ est un losange.

Montrons que le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { AEBD }$ possède quatre côtés de même longueur.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{AD=2\sqrt 3}\quad(\text{voir question 3. c}) \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{BD=2\sqrt 3}\quad(\text{voir question 3. c}) \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}AE=|z_E-z_A| \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}AE}=|2\sqrt 3-2\text i + 2\text i| \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}AE}=|2\sqrt 3| \\\Longrightarrow\quad \boxed{AE=2\sqrt 3} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}BE=|z_E-z_B| \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}BE}=|2\sqrt 3-2\text i -\sqrt 3-\text i| \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}BE}=|\sqrt 3-3\text i| \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}BE}=\sqrt{(\sqrt 3)^2+(-3)^2} \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}BE}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12} \\\Longrightarrow\quad \boxed{BE=2\sqrt 3}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { AD=BD=AE=BE=2\sqrt 3 }$

Par conséquent, le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { AEBD }$ est un losange.

5. b) Montrons que l'aire du losange $\overset{ { \white{ . } } } { AEBD\,, }$ en unité d'aire, est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { 6\sqrt 3 . }$

L'aire du losange $\overset{ { \white{ _. } } } { AEBD }$ est donnée par : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12\times AB\times DE. }$

Nous avons montré dans la question 3. c) que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{AB=2\sqrt 3}\,. }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { DE=|z_E-z_D|} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=|2\sqrt 3-2\text i+\sqrt3-\text i|} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=|3\sqrt 3-3\text i|} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=\sqrt{(3\sqrt 3)^2+(-3)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=\sqrt{27+9}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=\sqrt{36}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DE}=6} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{DE=6}$

Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12\times AB\times DE=\dfrac12\times2\sqrt 3\times6=6\sqrt 3\,. }$

Par conséquent, l'aire du losange $\overset{ { \white{ . } } } { AEBC\,, }$ en unité d'aire, est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { 6\sqrt 3 . }$

4 points

exercice 2

On considère dans $\overset{ { \white{ . } } } { \Z\times \Z\, , }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\;:\;4x-3y=6\, . }$

1. a) Vérifions que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (3\,,\,2) }$ est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { 4\times3-3\times2=12-6=6. }$

1. b) Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ . } } } { \Z\times \Z\, , }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E)\,. }$

Nous savons que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (3\,,\,2) }$ est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,, }$

$\left\lbrace\begin{matrix}4x-3y=6\\4\times3-3\times2=6\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad4(x-3)-3(y-2)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\quad\quad\quad4(x-3)=3(y-2)$

Donc l'entier 3 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } { 4(x-3)\,. }$
Or 3 et 4 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 3 divise $\overset{ { \white{ . } } } { (x-3) }$
Dès lors, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { x-3=3k\,, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x=3+3k}}\,.$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}4(x-3)=3(y-2)\phantom{xxxx}\\x=3+3k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4({\red{x-3}})=3(y-2)\quad\\ {\red{x-3}}=3k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad4\times3k=3(y-2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 4k=y-2 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=2+4k}}$

Donc, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x=3+3k\\y=2+4k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (3 + 3k\;;\; 2 + 4) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ pour tout entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } {k\,. }$
En effet, $\overset{{\white{.}}}{4(3+3k)-3(2+4k)=12+12k-6-12k=6.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(3+3k\,;\,2+4k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\,,\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right)\, , }$ on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(3\,,\,2) , B(7\,,\,-1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { M(x\,,\,y) }$ , où $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ sont deux entiers relatifs.

Montrons que $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{AM} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ sont orthogonaux si et seulement si le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x\,,\,y) }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(3\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { M(x\;;\;y)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AM}\begin{pmatrix}x-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {y-2}\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(3\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(7\;;\;-1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}7-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1-2} \end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\quad \overrightarrow {AM}\perp\overrightarrow {AB}\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {AB}=0 \\\phantom{\text{D'où }\quad \overrightarrow {AM}\perp\overrightarrow {AB}}\quad\Longleftrightarrow\quad 4(x-3)-3(y-2)=0 \\\phantom{\text{D'où }\quad \overrightarrow {AM}\perp\overrightarrow {AB}}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x-12-3y+6=0 \\\phantom{\text{D'où }\quad \overrightarrow {AM}\perp\overrightarrow {AB}}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x-3y=6$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{AM} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ sont orthogonaux si et seulement si le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x\,,\,y) }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

3. Soit le point $\overset{ { \white{ . } } } { C\left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right) \,. }$

3. a) Vérifions que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { \left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $4\left(3+6\times 7^{1445}\right)-3\left(2+8\times 7^{1445}\right)=12+24\times 7^{1445}-6-24\times 7^{1445}=6 \\\\\Longrightarrow \boxed{4\left(3+6\times 7^{1445}\right)-3\left(2+8\times 7^{1445}\right)=6}$

Donc le couple $\overset{ { \white{ . } } } { \left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

3. b) Nous devons montrer que le triangle $\overset{ { \white{_. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ . } } } { A\,. }$

Nous savons montré que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { \left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

En utilisant la question 2., nous déduisons que $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} }$ sont orthogonaux.

Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ . } } } { A\,. }$

4. a) Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A }$ l'aire, en unité d'aire, du triangle $\overset{ { \white{ . } } } {ABC\,. }$
Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A=25\times 7^{1445} \,. }$

L'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A }$ , en unité d'aire, du triangle $\overset{ { \white{ . } } } {ABC\,. }$ est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal A=\dfrac12\times AB\times AC. }$

$\text{Or }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{4^2+(-3)^2} \\\phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{16+9} \\\phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{25} \\\phantom{\text{Or }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AB=5}$

$\text{De plus, }\quad\left\lbrace\begin{matrix}A(3\;;\;2)\phantom{WWWWWWWWW}\\C\left(3+6\times 7^{1445}\,,\,2+8\times 7^{1445}\right) \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}3+6\times 7^{1445}-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {2+8\times 7^{1445}-2}\end{pmatrix} \end{matrix}\right. \\\phantom{\text{OrWWWWWWWW }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}6\times 7^{1445}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {8\times 7^{1445}}\end{pmatrix}$

$\\\phantom{\text{OrWWWWWWWW }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{(6\times 7^{1445})^2+(8\times 7^{1445})^2} \\\phantom{\text{OrWWWWWWWW }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{36\times (7^{1445})^2+64\times (7^{1445})^2} \\\phantom{\text{OrWWWWWWWW }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AC=7^{1445}\sqrt{36 +64} \\\phantom{\text{OrWWWWWWWW }\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad AC=7^{1445}\sqrt{100} \\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AC=10\times7^{1445}}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A=\dfrac{1}{2}\times 5\times10\times7^{1445}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A=25\times7^{1445}}\,. }$

4. b) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } { 7^4\equiv 1\,[100] }$ et déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { 7^{1445}\equiv 7\,[100]\,. }$

$7^4=2401=24\times100+1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{7^4\equiv 1\,[100]}$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $7^{1445}=7^{4\times361+1} \\\phantom{7^{1445}}=(7^4)^{361}\times7 \\\phantom{7^{1445}}\equiv1^{361}\times7\,[100] \\\phantom{7^{1445}}\equiv7\,[100] \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{7^{1445}\equiv7\,[100]}$

4. c) Nous devons alors déterminer le chiffre des unités et celui des dizaines de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A \,. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A=25\times7^{1445} }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } { 7^{1445}\equiv 7\,[100]\,. }$

D'où nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A\equiv25\times7\,[100] \\\phantom{\mathcal A}\equiv175\,[100] \\\phantom{\mathcal A}\equiv75\,[100] \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal A\equiv75\,[100]}$

Par conséquent, le chiffre des unités de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { 5 }$ et le chiffre des dizaines est $\overset{ { \white{ . } } } { 7. }$

5 points

exercice 3

On considère les matrices $\overset{ { \white{ -. } } } { A=\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{pmatrix} }$ et $\overset{ { \white{ -. } } } { B=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -1\\ 20& -22 & 2\\ -17& -2 & 1\end{pmatrix} . }$

1. a) Montrons que la matrice $\overset{ { \white{ _{.} } } } { A }$ est inversible.

Montrons donc que le déterminant de la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est non nul.

$\det(A)=\begin{vmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{vmatrix} \\\phantom{\det(A)}=1\times\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 2& 1 \end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 23& 1 \end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 23& 2 \end{vmatrix} \\\phantom{\det(A)}=1\times(1-2)-0\times(3-23)+1\times(6-23) \\\phantom{\det(A)}=-1-17 \\\phantom{\det(A)}=-18 \\\\\Longrightarrow\boxed{\det(A)\neq 0}$

D'où la matrice $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ est inversible.

Nous noterons $A^{-1}$ la matrice inverse de $\overset{ { \white{ . } } } { A\,. }$

1. b) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { A\times B=-18\,I_3 . }$

$A\times B=\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}-1 & 2 & -1\\ 20& -22 & 2\\ -17& -2 & 1\end{pmatrix} \\\phantom{A\times B}=\begin{pmatrix} -1+0-17 &2+0-2 &-1+0+1 \\ -3+20-17& 6-22-2 &-3+2+1 \\ -23+40-17& 46-44-2& -23+4+1 \end{pmatrix} \\\phantom{A\times B}=\begin{pmatrix} -18 &0 &0 \\ 0& -18 &0 \\ 0& 0& -18 \end{pmatrix} \\\phantom{A\times B}=-18\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\\phantom{A\times B}=-18\,I_3 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A\times B=-18\,I_3}$

1. c) Déterminons la matrice $A^{-1}\, .$

D'une part, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { A\times B=-18\,I_3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A\times \left(-\dfrac{1}{18}\right)B=I_3}\,. }$

D'autre part, montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{1}{18}B\times A=I_3 }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $-\dfrac{1}{18}B\times A=-\dfrac{1}{18}\begin{pmatrix}-1 & 2 & -1\\ 20& -22 & 2\\ -17& -2 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{pmatrix} \\\phantom{B\times A}=-\dfrac{1}{18}\begin{pmatrix} -1+6-23 &0+2-2 &-1+2-1 \\ 20-66+46& 0-22+4 &20-22+2 \\ -17-6+23& 0-2+2& -17-2+1 \end{pmatrix} \\\phantom{B\times A}=-\dfrac{1}{18}\begin{pmatrix} -18 &0 &0 \\ 0& -18 &0 \\ 0& 0& -18 \end{pmatrix} \\\phantom{B\times A}=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{-\dfrac{1}{18}B\times A=I_3}}$

Par conséquent, la matrice inverse de la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { A^{-1}=-\dfrac{1}{18}B, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18} & -\dfrac{2}{18} & -\dfrac{1}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac{20}{18}}& \dfrac{22}{18} & -\dfrac{2}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{17}{18}}& \dfrac{2}{18} & -\dfrac{1}{18}\end{pmatrix} } }$

2. On considère le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\,:\,\left\lbrace\begin{matrix} x+z & =&3 \\ 3x+y+z&= & 23&\text{ où }x \,,\,y \text{ et }z\text{ sont des réels}.\\ 23x=2y+z & = &115 \end{matrix}\right. }$

2. a) En utilisant l'écriture matricielle du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\,, }$ nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\23 \\ 115 \end{pmatrix}. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\,:\,\left\lbrace\begin{matrix} x+z & =&3 \\ 3x+y+z&= & 23&\\ 23x+2y+z & = &115 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 3& 1 &1 \\ 23& 2& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix} }$

D'où le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ peut s'écrire sous la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { A\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix} }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $A\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}\quad \Longrightarrow\quad A^{-1}A\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix} \\\phantom{A\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}}\quad \Longrightarrow\quad I_3\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix} \\\phantom{A\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}}$

2. b) Résolvons alors le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S)\, . }$

$\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{18} & -\dfrac{2}{18} & \dfrac{1}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac{20}{18}}& \dfrac{22}{18} & -\dfrac{2}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{17}{18}}& \dfrac{2}{18} & -\dfrac{1}{18}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix} \\ \\\phantom{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix}\dfrac{3}{18} -\dfrac{46}{18}+\dfrac{115}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac{60}{18}}+\dfrac{506}{18} -\dfrac{230}{18}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{51}{18}}+ \dfrac{46}{18} -\dfrac{115}{18}\end{pmatrix} \\\phantom{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}}$

$\\\phantom{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= A^{-1}\begin{pmatrix} 3\\ 23 \\ 115 \end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}\dfrac{72}{18} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{216}{18}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac{18}{18}}\end{pmatrix} \\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\ 12\\ -1\end{pmatrix}}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{\lbrace(4\;;\;12\;;\;-1)\rbrace} }$

3. Soit la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \N }$ par $\left\lbrace\begin{matrix} u_0 & = &1 & \\ u_{n+1}&= & au_n+bn+c& ,\text{ pour tout }n\in \textbf N\,, \end{matrix}\right.$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a\,,\,b\,\text { et } c }$ sont trois réels.

$\textbf{ On donne : }u_1=3\;,\;u_2=23\;\text{ et } u_3=115 .$

3. a) Nous devons montrer que le triplet $\overset{ { \white{_. } } } { (a, b, c) }$ est la solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S). }$

En utilisant la définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)\,, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=au_0+b\times0+c\quad\Longleftrightarrow\quad 3=a\times1+b\times0+c \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=au_0+b\times0+c}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a+c=3} \\\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{2}=au_1+b\times1+c\quad\Longleftrightarrow\quad 23=a\times3+b\times1+c \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=au_0+b\times0+c}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{3a+b+c=23} \\\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{3}=au_2+b\times2+c\quad\Longleftrightarrow\quad 115=a\times23+b\times2+c \\\phantom{\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=au_0+b\times0+c}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{23a+2b+c=115}$

D'où le triplet $\overset{ { \white{ _. } } } { (a, b, c) }$ vérifie les trois équations du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S). }$
Par conséquent, le triplet $\overset{ { \white{ _. } } } { (a, b, c) }$ est la solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S). }$

3. b) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in \N}\,,\,u_{n+1}=4u_n+12n-1\, . }$

Nous avons montré dans la question 2. b) que la solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { (4\;;\;12\;;\;-1)\,. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { (a\;;\;b\;;\;c)=(4\;;\;12\;;\;-1)\,. }$

Par conséquent, par définition de $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1} }$ , nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\forall\, n\in \N\,,\,u_{n+1}=4u_n+12n-1}}\, . }$

4. Soit la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \N }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=u_n+4n+1\, . }$

4. a) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { 4\,. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}= u_{n+1}+4(n+1)+1 \\\phantom{v_{n+1}}= 4u_n+12n-1+4n+4+1 \\\phantom{v_{n+1}}= 4u_n+16n+4 \\\phantom{v_{n+1}}= 4(u_n+4n+1) \\\phantom{v_{n+1}}= 4v_n \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{v_{n+1}=4v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=u_{0}+4\times0+1=1+0+1\Longrightarrow\boxed{v_0=2}$

D'où la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=4}$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=2\,.}$

4. b) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in \textbf N}\,,\,u_{n}=2\times 4^n-4n-1\, . }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,, }$ $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=2\times4^{n}}}$

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n+4n+1\\v_n=2\times4^{n}\phantom{WW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_n+4n+1=2\times4^{n} \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=2\times4^{n}-4n-1}$

6 points

exercice 4

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} f(x) & =& x\ln x+\text e^{1-x} &, & \text{si } x> 0\\ f(0)& = & \text e & \end{matrix}\right. }$

1. Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue à droite en $\overset{ { \white{ . } } } { 0\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(0)=\text e}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ P. } } } { \lim\limits_{x\to0^+}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\ln x+\text e^{1-x}\right) \\\\\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\quad(\text{croissances comparées})\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to0^+}\text e^{1-x}=\text e^{1-0}=\text e\phantom{WWWWWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\ln x+\text e^{1-x}\right)=\text e \\\\\text{D'où }\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\text e}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ P. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)}\,. }$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue à droite en 0.

2. a) La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[ }$ comme étant une somme de fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[\,. }$

2. b) Nous devons vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]0\;,\;+\infty[\;,\; \ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e ^x-1}{x}\right)=\dfrac{f(x)-\text e}{x}\, . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]0\;,\;+\infty[\;, }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{f(x)-\text e}{x}=\dfrac{x\ln x+\text e^{1-x}-\text e}{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-\text e}{x}}=\ln x+\dfrac{\text e^{1-x}-\text e}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-\text e}{x}}=\ln x+\dfrac{\text e^{1-x}-\text e^{1-x+x}}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-\text e}{x}}=\ln x+\dfrac{\text e^{1-x}-\text e^{1-x}\text e^x}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-\text e}{x}}=\ln x+\text e^{1-x}\left(\dfrac{1-\text e^x}{x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-\text e}{x}}=\ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e^x-1}{x}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e^x-1}{x}\right)=\dfrac{f(x)-\text e}{x}}$

2. c) Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ à droite en $\overset{ { \white{ . } } } { 0 }$ et interpréter graphiquement le résultat.

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-\text e}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\left[\ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e^x-1}{x}\right)\right]$

$\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\phantom{w}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to0^+}\text e^{1-x}=\text e}\phantom{Wx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\text e^x-1}{x}=1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left[\ln x-\text e^{1-x}\left(\dfrac{\text e^x-1}{x}\right)\right]=-\infty$

D'où    $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-\text e}{x}=-\infty} }$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ n'est pas dérivable à droite en 0.

Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ admet au point d'abscisse 0 une demi-tangente verticale orientée vers le bas.

3. Calculons $\overset{ { \white{ M. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) }$ et montrons que $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=+\infty\, . }$

$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \left(x\ln x+\text e^{1-x}\right)$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln x=+\infty\phantom{WWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} \text e^{1-x} =\lim\limits_{X\to-\infty} \text e^{X}=0 } \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty} \left(x\ln x+\text e^{1-x}\right)=+\infty$

D'où    $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} }$

$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x\ln x+\text e^{1-x}}{x} \\\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\ln x+\dfrac{\text e^{1-x}}{x}\right) \\\\\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\text e^{1-x}}{x}=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\ln x+\dfrac{\text e^{1-x}}{x}\right)=+\infty$

D'où    $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty} }$

Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ possède une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en     $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty\,. }$

4. Dans la figure ci-dessous, on a tracé dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\,,\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right)\,, }$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ de la fonction dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f\,. }$
La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ coupe l'axe des abscisses uniquement au point $\overset{ { \white{ . } } } { P(1\,,\,0) }$ et passe par le point $\overset{ { \white{ . } } } { Q(\alpha\,,\,2)\,, }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ est un réel.

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique : image 7

4. a) En utilisant le graphique, nous devons déterminer le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]0\;;\;+\infty[ . }$

Nous observons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;1] }$ et est au-dessus de l'axe des abscisses sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[\,. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)<0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0\;;\;1] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)>0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]1\;;\;+\infty[\,. }$

4. b) En utilisant le graphique, nous devons justifier que la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ au point d'abscisse 1 est la seule tangente horizontale à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) \,. }$

La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ coupe l'axe des abscisses au point $\overset{ { \white{ . } } } { P(1\,,\,0)\,. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(1)=0\,,}$ soit que la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ au point d'abscisse 1 est horizontale.
Or ce point $\overset{ { \white{ . } } } { P(1\,,\,0) }$ est l'unique point d'intersection entre la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ et l'axe des abscisses.

Par conséquent, la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) }$ au point d'abscisse 1 est la seule tangente horizontale à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C) \,. }$

5. a) Dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ . } } } {f\,. }$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\f'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline &\text e&&&&&&+\infty\\f &&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow& \\&&&&1&&&\\\hline \end{array}$

5. b) Traçons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathcal C)\,. }$

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique : image 5

6. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]0\;,\;+\infty[\;,\; f'(x)=1+\ln x-\text e^{1-x}\, . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]0\;,\;+\infty[\;, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x\ln x+\text e^{1-x}\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=x'\times\ln x+x\times(\ln x)'+(1-x)'\,\text e^{1-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1\times\ln x+x\times\dfrac 1x+(-1)\times\,\text e^{1-x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\ln x+1-\text e^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;,\;+\infty[\;,\quad f'(x)=1+\ln x-\text e^{1-x}}$

6. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { \text e^{1-\alpha}=\ln (\alpha)-1\, . }$

$Q(\alpha\,,\,2)\in(\Gamma)\quad\Longleftrightarrow\quad f'(\alpha)=2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Q(\alpha\,,\,2)\in(\Gamma)}\quad\Longleftrightarrow\quad 1+\ln \alpha-\text e^{1-\alpha}=2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Q(\alpha\,,\,2)\in(\Gamma)}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln \alpha-1=\text e^{1-\alpha}}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\text e^{1-\alpha}=\ln \alpha-1}\,. }$

6. c) Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A }$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(\Gamma) \,, }$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\alpha\, . }$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A=(\alpha +1)\ln [\alpha)-2\, . }$

L'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A }$ est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A=\displaystyle\int_1^{\alpha}f'(x)\,\text dx \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A}=\Big[ f(x)\Big]_1^{\alpha}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A}=f(\alpha)-f(1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A}=\alpha\ln(\alpha)+\text e^{1-\alpha}-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A}=\alpha\ln(\alpha)+\ln (\alpha)-1-1}\quad(\text{voir exercice 6. b)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A}=(\alpha+1)\ln (\alpha)-2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A=(\alpha+1)\ln (\alpha)-2}$

6. d) Nous devons alors déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A' }$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ et le segment $\overset{ { \white{ . } } } { [PQ]\, . }$

Nous avons les points $\overset{ { \white{ . } } } { P(1\,,\,0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { Q(\alpha\,,\,2)\,, }$
Soit le point $\overset{ { \white{ . } } } { R(\alpha\,,\,0)\,. }$

Bac Tunisie 2024 Sciences de l'informatique : image 6

Dans ce cas, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A'=\mathcal A-\text{aire du triangle PQR } }$

$\text{Or }\quad\text{aire du triangle PQR }=\dfrac 12\times PR\times QR \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{aire du triangle PQRWWx }}=\dfrac 12\times(\alpha-1)\times 2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{aire du triangle PQRWWx }}=\alpha-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{aire du triangle PQR }=\alpha-1}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A'=\mathcal A-\text{aire du triangle PQR } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A'}=(\alpha+1)\ln (\alpha)-2-(\alpha-1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A'}=(\alpha+1)\ln (\alpha)-2-\alpha+1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\mathcal A'}=(\alpha+1)\ln (\alpha)-\alpha-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A'=(\alpha+1)\ln (\alpha)-\alpha-1}$

Publié par malou le 10-11-2024

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