Fiche de mathématiques

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Bac spécialité maths 2025

Amérique du Sud

(remplacement)

Jour 2

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire "type collège" est autorisé.

6 points

exercice 1

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

${\white{ww}}\bullet{\white w}$ $S$ : « Abel réussit son premier service »
${\white{ww}}\bullet{\white w}$ $G$ : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l'événement $\overline S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(S \cap G)$ .

3. Justifier que la probabilité de l'événement $G$ est égale à 0,695.

4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?

5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

1. a. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.

1. b. Calculer $P(X \le 18)$ .

1. c. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ?

1. d. Déterminer l'espérance de $X$ .

2. On teste maintenant n balles successivement. On considère les n tests comme un échantillon de n variables aléatoires $X_i$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,85.

On considère la variable aléatoire $M_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}$

2. a. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$ .

2. b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n,\; P(0,75 < M_n < 0,95) \ge 1 - \dfrac{12,75}{n}$ .

2. c. En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

4 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite $\Delta _1$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 1-3t& \\ y& = & 4+2t\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & t & \end{matrix}\right.$

ainsi que la droite $\Delta _2$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& =& -4+s & \\ y& =& 2+2s\, & \text{ où } s\in\mathbb R\\ z& = & -1+s & \end{matrix}\right.$

1. a. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
1. b. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
1. c. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 1+t& \\ y& = & 3-t\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & 1+2t & \end{matrix}\right.$
et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0$ .

2. a. La droite d est incluse dans le plan P.
2. b. La droite d est parallèle strictement au plan P.
2. c. La droite d est sécante au plan P.

3. On considère les points $A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3 ; 1), C(-1 ; 4 ; 5) \text{ et } D(-3 ; 3 ; 5)$ .

3. a. Les points $A, B, C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
3. b. Les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
3. c. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

$\text{[math]}$ 4. On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$ .

4. a. Le point $R(1 ; 1 ; -2)$ appartient aux deux plans.
4. b. Les deux plans sont orthogonaux.
4. c. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & t& \\ y& = & 7t+4\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & 11t+7 & \end{matrix}\right.$

4 points

exercice 3

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$\left\lbrace\begin{matrix} v_0& = & \ln \,(4)& & \\ & & & \text{ et } & w_n=-1+\text e^{v_n}\\ v_{n+1}&= & \ln\, (-1+2\text e^{v_n}) & & \end{matrix}\right.$

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$ .

2. a. Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-après.

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Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

Formule 1 : LN(-1 + 2 * EXP(B2))
Formule 2 : = LN(-1 + 2 * EXP(B2))
Formule 3 : = LN(-1 + 2 * EXP(A2))

2. b. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$ .

2. c. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$ .

3. a. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.

3. b. En déduire que pour tout entier naturel $n\,,\, v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)$ .

3. c. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ .

4. Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

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6 points

exercice 4

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Amérique du Sud (remplacement)

Jour 2

6 points

exercice 1

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.
En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.
En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.
Abel est au service.

On considère les événements suivants :

$\overset{ { \white{ _. } } } { {\white{ww}}\bullet{\white w} S }$ : « Abel réussit son premier service »

$\overset{ { \white{ _. } } } { {\white{ww}}\bullet{\white w} G }$ : « Abel gagne le point ».

1. Nous devons décrire l'événement $\overset{ { \white{ } } } { \overline S }$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

L'événement $\overset{ { \white{ } } } { \overline S }$ est : « Abel ne réussit pas son premier service »

Arbre pondéré modélisant la situation.

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2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S \cap G) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(S \cap G)=P(S)\times P_S(G) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S \cap G)}=0,7\times 0,8} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S \cap G)}=0,56} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(S \cap G)=0,56}$

3. Nous devons justifier que la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ est égale à 0,695.

Les événements   $\overset{{\white{_.}}}{S}$ et   $\overset{{\white{}}}{\overline{S}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(G)=P(S\cap G)+P(\overline {S}\cap G) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(G)}=0,56+P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(G) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(G)}=0,56+0,3\times 0,45 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(G)}=0,695 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(G)=0,695}$

4. Abel a gagné le point. Nous devons déterminer quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_G(S) }$

${ \white{ xxi } }$ $P_G(S)=\dfrac{P(S\cap G)}{P(G)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_G(S)}=\dfrac{0,56}{0,695}=\dfrac{112}{139} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_G(S)=\dfrac{112}{139}\approx0,806 }$

Par conséquent, sachant que Abel a gagné le premier point, la probabilité qu'il ait réussi son premier service est d'environ 0,806

5. Déterminons si les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ sont indépendants.

Les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ sont indépendants si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } {P(S\cap G)=P(S)\times P(G) }$ .

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} P(S\cap G)=0,56\\P(S)=0,7\\P(G) = 0,695\\0,56\neq 0,7\times0,695 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(S\cap G)\neq P(S)\times P(G)} }$ .

Nous en déduisons que les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ ne sont pas indépendants.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

1. a) Déterminons quelle est la loi suivie par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ et quels sont ses paramètres.

Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' la balle est jugée conforme '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,85}$ ;
Echec : '' la balle n'est pas jugée conforme '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,15 }$ .
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    compte le nombre de balles conformes, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(20\,;\,0,85\right) }$ .

Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}20\\k\end{pmatrix}\times0,85^k\times0,15^{ 20-k } }$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X \leq 18) }$ .

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X \leq 18) \approx 0,824 }$ .

1. c) Nous devons déterminer quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées.

L'événement « au moins deux balles ne sont pas conformes parmi les 20 balles testées » est identique à l'événement « au plus 18 balles sont conformes parmi les 20 balles testées », ce qui correspond à $\overset{ { \white{ _. } } } { X\leq 18 }$ dont la probabilité a été calculée dans la question précédente.

Par conséquent, la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées est environ égale à 0,824 (valeur approchée au millième).

1. d) Déterminons l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X) }$ de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=np \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X) }=20\times0,85} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X) }=17} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=17}$

D'où l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est égale à 17.

2.   On teste maintenant $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ balles successivement. On considère les $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ tests comme un échantillon de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ variables aléatoires $\overset{ { \white{ _. } } } { X_i }$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,85.

Rappelons que si $\overset{ { \white{ _. } } } { X_i }$ est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre $\overset{ { \white{ m. } } } { p }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { E(X_i)=p }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V(X_i)=p(1-p) }$ .

On considère la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n} }$

2. a) Déterminer l'espérance et la variance de    $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { M_{n}. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(M_{n})=E\left(\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{n}}{n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{n})}=\dfrac{1}{n}E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{n})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{n})}=\dfrac{1}{n}\Big(E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{n})\Big)\quad\text{(par linéarité de l'espérance)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(M_{n})}=\dfrac{1}{n}\Big(n\times0,85\Big)\quad\Big(\text{car selon le rappel, }E(X_i)=0,85\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{n})}=0,85} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ E(M_{n})=0,85}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la variance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { M_{n}. }$

${ \white{ xxi } }$ $V(M_{n})=V\left(\dfrac{X_1 + X_2 +\cdots + X_{n}}{n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{n})}=\Big(\dfrac{1}{n}\Big)^2V(X_1 + X_2 + \cdots + X_{n})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{n0})}=\dfrac{1}{n^2}\Big(V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_{n})\Big)\quad\text{(car les variables sont indépendantes )} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ V(M_{n})}=\dfrac{1}{n^2}\Big(n\times0,1275\Big) \quad\Big(\text{car selon le rappel,}V(X_i)=p(1-p)= 0,85\times0,15=0,1275\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{n})}=\dfrac{0,1275}{n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ V(M_{n})=\dfrac{0,1275}{n}}$

2. b) Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrons que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\; P(0,75 < M_n < 0,95) \ge 1 - \dfrac{12,75}{n} }$ .

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,M_{n}-E(M_{n})\,|\geq a)\leq \dfrac{V(M_{n})}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

Nous observons que :

${ \white{ xxi } }$ $P(0,75 < M_{n} < 0,95)= P(-0,10 < M_{n}-0,85 < 0,10) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(0,75 < M_{n} < 0,95)}= P(\,|\,M_{n}-0,85\,|<0,10) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(0,75 < M_{n} < 0,95)}= 1-P(\,|\,M_{n}-0,85\,|\geq 0,10) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(0,75 < M_{n} < 0,95)= 1-P(\,|\,M_{n}-0,85\,|\geq 0,10) }$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en posant $\overset{ { \white{ . } } } { a=0,10 }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{\dfrac{0,1275}{n}}{0,10^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{0,1275}{0,01n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{\dfrac{0,1275}{n}}{0,10^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{12,75}{n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{\dfrac{0,1275}{n}}{0,10^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad -P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\geq -\dfrac{12,75}{n}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{\dfrac{0,1275}{n}}{0,10^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad 1 -P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\geq 1-\dfrac{12,75}{n}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{n} -0,85)\,|\geq 0,10)\leq \dfrac{\dfrac{0,1275}{n}}{0,10^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ P(0,75 < M_{n} < 0,95)\geq 1-\dfrac{12,75}{n} }}$

2. c) Nous devons en déduire un entier $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

Pour ce faire, complétons comme suit l'inégalité démontrée dans la question précédente.

${ \white{ xxi } }$ $P(0,75 < M_{n} < 0,95)\geq 1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9$ .

Déterminons le plus petit entier $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9\quad\Longleftrightarrow\quad 1-0,9 \geq \dfrac{12,75}{n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,1 \geq \dfrac{12,75}{n}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad n \geq \dfrac{12,75}{0,1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{12,75}{n} \geq 0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad n \geq 127,5}$

Le plus petit entier $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=128 }$ .

Par conséquent, il faut que l'échantillon ait une taille supérieure à 128 pour que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

4 points

exercice 2

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 1-3t& \\ y& = & 4+2t\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & t & \end{matrix}\right.$
ainsi que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& =& -4+s & \\ y& =& 2+2s\, & \text{ où } s\in\mathbb R\\ z& = & -1+s & \end{matrix}\right.$
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 1. a) :    Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ sont parallèles.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d}_1\,\begin{pmatrix}-3\\ {\red{2}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$ .
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d}_2\,\begin{pmatrix}1\\ {\red{2}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$ .
Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires car les ordonnées de ces vecteurs sont égales ainsi que les cotes, alors que les abscisses ne le sont pas   $\overset{ { \white{ _. } } } { (-3\neq1 ) }$ .
Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ ne sont pas parallèles.
L'affirmation 1. a) est fausse.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 1. b) :    Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ sont orthogonales.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Déterminons si les vecteurs directeurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d_1} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d_2} }$ de ces droites sont orthogonaux.

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{d_1}\cdot \overrightarrow{d_2}=-3\times1+2\times2+1\times1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{d_1}\cdot \overrightarrow{d_2}}=-3+4+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{d_1}\cdot \overrightarrow{d_2}}=2\neq 0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{d_1}\cdot \overrightarrow{d_2}\neq 0}$

Les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d_1} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{d_2} }$ ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ ne sont pas orthogonales.
L'affirmation 1. b) est fausse.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 1. c) :    Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ sont sécantes.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

L'énoncé stipule que pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Puisque les propositions 1. a) et 1. b) sont fausses, nous en déduisons que la proposition 1. c) est vraie.

Nous pouvons aisément montrer que le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (-2\;;\;6\;;\;1) }$ est le point commun aux deux droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta _2 }$ .
Il suffit de poser $\overset{ { \white{ _. } } } { t=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { s=2 }$ dans les représentations paramétriques respectives.

2. On considère la droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { d }$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 1+t& \\ y& = & 3-t\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & 1+2t & \end{matrix}\right.$
et le plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ d'équation cartésienne : $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { 4x + 2y - z + 3 = 0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 2. a) :    La droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { d }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M\,(x\;;\;y\;;\;z) }$ un point quelconque de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ .
Les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ peuvent donc s'écrire sous la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { (1+t\;;\;3-t\;;\;1+2t) }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in\R }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ appartient au plan    $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ si ses coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ .

Déterminons s'il existe un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 4(1+t)+2(3-t)-(1+2t)+3=0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $4(1+t)+2(3-t)-(1+2t)+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad 4+4t+6-2t-1-2t+3=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{4(1+y)+2(3-t)-(1+2t)+3=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0t+12=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{4(1+y)+2(3-t)-(1+2t)+3=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0t=-12} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{4(1+y)+2(3-t)-(1+2t)+3=0\quad\Longleftrightarrow}\quad {\red{\text{impossible}}}}$

Il n'existe donc pas de réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 4(1+t)+2(3-t)-(1+2t)+3=0 }$
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { d }$ est parallèle strictement au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ .
L'affirmation 2. a) est fausse.

2. b) La droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { d }$ est parallèle strictement au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ .
L'affirmation 2. b) est vraie (voir l'affirmation 2. a)

2. c) La droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { d }$ est sécante au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ .
L'affirmation 2. c) est fausse (voir l'affirmation 2. a)

3. On considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3 ; 1), C(-1 ; 4 ; 5) \text{ et } D(-3 ; 3 ; 5) }$ .

3. a. Les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A,B,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne sont pas coplanaires.

Les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A,B,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { s }$ tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC} }$

Or,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(3 ; 2 ; 1)\\ B(7 ; 3 ; 1) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}4\\ 1\\0\end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} A(3 ; 2 ; 1)\\ C(-1 ; 4 ; 5) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}-4\\ 2\\4\end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} A(3 ; 2 ; 1)\\ D(-3 ; 3 ; 5) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AD}\,\begin{pmatrix}-6\\ 1\\4\end{pmatrix} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-6\\ 1\\4\end{pmatrix} =r\begin{pmatrix}4\\ 1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\ 2\\4\end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}-6=4r-4s\\ 1=r+2s\\4=4s\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}-6=4r-4s\\ 1=r+2s\\s=1\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}-6=4r-4\\ 1=r+2\\s=1\end{cases} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}4r=-2\\ r=-1\\s=1\end{cases} } .\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}{\red{r=-\dfrac 12}}\\ {\red{r=-1}}\\s=1\end{cases} }\qquad {\red{\text{impossible}}}$

Il n'existe donc pas de réels $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { s }$ tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC} }$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A,B,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne sont pas coplanaires
L'affirmation 3. a) est vraie.

3. b) Les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sont alignés.
L'affirmation 3. b) est fausse car l'affirmation 3. a) est vraie.

3. c) Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{CD} }$ sont colinéaires.
L'affirmation 3. c) est fausse car l'affirmation 3. a) est vraie.

4. On considère les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ d'équation cartésienne respective $\overset{ { \white{ _. } } } { 3x - 2y + z + 1 = 0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { 4x + y - z + 3 = 0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 4. a) :    Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R(1 ; 1 ; -2) }$ appartient aux deux plans.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R(1 ; 1 ; -2) }$ appartient aux deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ si ses coordonnées vérifient les équations de ces plans.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons si le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .

${ \white{ xxi } }$ $3x_R - 2y_R + z_R + 1 = 3\times1-2\times1-2+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_R - 2y_R + z_R + 1 }= 3-2-2+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_R - 2y_R + z_R + 1 }= 0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{3x_R - 2y_R + z_R + 1 =0}$

D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons si le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .

${ \white{ xxi } }$ $4x_R +y_R - z_R + 3 = 4\times1+1-(-2)+3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4x_R +y_R - z_R + 3}= 4+1+2+3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4x_R +y_R - z_R + 3 }= 10} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{4x_R +y_R - z_R + 3=10\neq 0}$

D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .
L'affirmation 4. a) est fausse.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 4. b) :     Les deux plans sont orthogonaux.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}3\\ -2\\1\end{pmatrix} }$ et un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}'\,\begin{pmatrix}4\\ 1\\-1\end{pmatrix} }$ .
Vérifions si ces vecteurs sont orthogonaux.

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'=3\times4-2\times1+1\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'}=12-2-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'}=9\neq 0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'\neq 0}$

Nous en déduisons que les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n}'$ ne sont pas orthogonaux et par suite, les deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ ne sont pas orthogonaux.
L'affirmation 4. b) est fausse.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 4. c) :     Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ de représentation paramétrique

$\left\lbrace\begin{matrix} x& = & t& \\ y& = & 7t+4\,&\text{où } t\in\mathbb R\\ z& = & 11t+7 & \end{matrix}\right.$ ${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .
Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $3t- 2(7t+4) + (11t+7) + 1 = 3t-14t-8+11t+7+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3t- 2(7t+4) + (11t+7) + 1} =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in\R,\quad 3t- 2(7t+4) + (11t+7) + 1 =0}$
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .
Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $4t+(7t+4) - (11t+7) + 3 = 4t+7t+4-11t-7+3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3t- 2(7t+4) + (11t+7) + 1} =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in\R,\quad 4t+(7t+4) - (11t+7) + 3 =0}$
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ sont distincts.
En remplaçant $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ m. } } } { y }$ par 0 dans l'équation cartésienne de $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ , nous obtenons $\overset{ { \white{ _. } } } { z=-1 }$ .
Donc le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;0\;;\;-1) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .
Ce point n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .

Dès lors les deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ sont distincts.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons montré que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ est incluse aux deux plans distincts $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ .
Par conséquent, les deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q' }$ sont sécants avec pour intersection la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ .
L'affirmation 4. c) est vraie.

4 points

exercice 3

On considère les suites $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ définies pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} v_0 = \ln \,(4) \\v_{n+1}=\ln (-1+2\,\text e^{v_n})\end{cases} } { \white{ xxi } } et { \white{ xxi } } \overset{ { \white{ _. } } } { w_n=-1+\text e^{v_n} }$
On admet que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est bien définie et strictement positive.

1. Nous devons donner les valeurs exactes de $\overset{ { \white{ . } } } { v_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { w_0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $v_{1}=\ln (-1+2\,\text e^{v_0}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1}}=\ln (-1+2\,\text e^{\ln(4)}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1}}=\ln (-1+2\times4) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1}}=\ln (7) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{v_1=\ln(7)}$

${ \white{ xxi } }$ $w_0=-1+\text e^{v_0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_0}=-1+\text e^{\ln(4)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_0}=-1+4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_0}=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{w_0=3}$

2. a) Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est reproduite ci-après.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Sud (remplacement) Jour 2 : image 4

La formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ dans la colonne B est la formule 2:= LN(-1 + 2 * EXP(B2)).

2. b) Nous devons conjecturer le sens de variation de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ .
La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ semble être croissante.

2. c) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est croissante.
Nous devons donc montrer par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } {n,\quad v_n<v_{n+1} }$ .

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que : $\overset{{\white{.}}}{v_0<v_1}$ .

C'est une évidence puisque selon la croissante de la fonction ln , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}v_0=\ln(4)\\v_1=\ln(7) \end{cases}} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_0<v_1}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { n+1 }$ .
Montrons donc que si pour un nombre entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ fixé, $\overset{ { \white{ -. } } } {v_n < v_{n+1}}$ , alors nous avons : $\overset{{\white{.}}}{v_{n+1} < v_{n+2} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $v_n<v_{n+1}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{v_{n}}<\text e^{v_{n+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<v_{n+1}}\quad\Longrightarrow\quad 2\text e^{v_{n}}< 2\text e^{v_{n+1}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<v_{n+1}}\quad\Longrightarrow\quad -1+2\text e^{v_{n}}< -1+2\text e^{v_{n+1}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<v_{n+1}}\quad\Longrightarrow\quad \ln(-1+2\text e^{v_{n}})< \ln(-1+2\text e^{v_{n+1}} ) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ v_n<v_{n+1}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_{n+1} < v_{n+2}}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad v_n<v_{n+1}}$ et par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { w_n }$ est croissante.

3. a) Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $w_{n+1}=-1+\text e^{v_{n+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=-1+\text e^{\ln(-1+2\,\text e^{v_n})} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=-1+(-1+2\,\text e^{v_n}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=-2+2\,\text e^{v_n}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=2\,(-1+\text e^{v_n})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=2\,w_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad w_{n+1}=2\,w_n}$

Remarque : $\overset{ { \white{ _. } } } { w_0=-1+\text e^{v_0}=-1+\text e^{\ln(4)}=-1+4\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_0=3} }$

Donc la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=2 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { w_0=3 }$ .

3. b) Nous devons en déduire que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } {n\,,\, v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n) . }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{w_n=w_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{w_n=3\times 2^n}}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} w_n=-1+\text e^{v_n} \\w_n=3\times 2^n \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad -1+\text e^{v_n}=3\times 2^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} w_n=-1+\text e^{v_n} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{v_n}=1+3\times 2^n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} w_n=-1+\text e^{v_n} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_n=\ln(1+3\times 2^n )} }$

3. c) Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $2>1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}3\times2^n=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}(1+3\times2^n)=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\ln(1+3\times2^n)=+\infty } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{2>1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty} }$

4. Nous devons justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Sud (remplacement) Jour 2 : image 5

Cet algorithme détermine tous les termes de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {(v_n) }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=\ln(4) }$ .
Puisque $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty }$ , la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {(v_n) }$ n'est pas majorée et par suite, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } {S }$ , il existe un entier $\overset{ { \white{ m. } } } { n_0 }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { v_{n_0}>S }$ .

Donc l'algorithme renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

6 points

exercice 4

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre -30 et 30 ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : {-30 ; -29 ; -28 ; ... -1 ; 1 ; ... ; 28 ; 29 ; 30}.
Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ puis un entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ .

1. Déterminons combien de couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (a\;;\;c) }$ différents on peut ainsi obtenir.

Nous avons 60 choix possibles pour l'entier $\overset{ { \white{ _. } } } { a }$ .
À chacun de ces choix, il nous reste 59 choix possibles pour l'entier $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ puisque la répétition du nombre choisi n'est pas permise.

Il y a donc $\overset{ { \white{ . } } } { 60\times59 }$ couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (a\;;\;c) }$ différents, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { 3540 }$ couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (a\;;\;c) }$ .

On considère l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ : « l'équation $\overset{ { \white{ } } } { ax^2 + 2x + c = 0 }$ possède deux solutions réelles distinctes », où $\overset{ { \white{ _. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Nous devons montrer que l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac< 1 }$ .

L'équation $\overset{ { \white{ } } } { ax^2 + 2x + c = 0 }$ possède deux solutions réelles distinctes si son discriminant $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est strictement positif.

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad \Delta > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^2-4ac>0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \Delta > 0 }\quad\Longleftrightarrow\quad 4-4ac>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \Delta > 0 }\quad\Longleftrightarrow\quad 4(1-ac)>0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \Delta > 0 }\quad\Longleftrightarrow\quad 1-ac>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \Delta > 0 }\quad\Longleftrightarrow\quad ac<1} \\\\\text{D'où}\quad\boxed{\Delta > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad ac<1}$

Par conséquent, l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac< 1 }$ .

3. Nous devons expliquer pourquoi l'événement contraire $\overset{ { \white{ } } } { \overline M }$ comporte 1740 issues.

Nous savons que l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac< 1 }$ .
Dès lors l'événement contraire $\overset{ { \white{ } } } { \overline M }$ a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac\geq1 }$ .
Or le produit $\overset{ { \white{ . } } } { ac }$ est supérieur à 1 si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ sont de même signe.

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet { \white{ x } }$ Il y a 30 choix possibles avec $\overset{ { \white{ _. } } } { a>0 }$ .
${ \white{ wwwx } }$ À chacun de ces choix, il nous reste 29 choix possibles pour $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ parmi les entiers positifs.
${ \white{ wwwx } }$ Dans ce cas, il y a donc $\overset{ { \white{ _. } } } { 30\times29=870 }$ couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (a\;;\;c) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ positifs.

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{ \white{ x } }$ De même, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 30\times29=870 }$ couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (a\;;\;c) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ négatifs.

Par conséquent, l'événement contraire $\overset{ { \white{ } } } { \overline M }$ comporte 870 + 870 = 1740 issues.

4. Déterminons la probabilité de l'évènement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ .

Nous savons que l'événement contraire $\overset{ { \white{ _. } } } { \overline M }$ comporte 1740 issues.
Dès lors, l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ comporte 3540 - 1740 = 1800 issues.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $P(M)=\dfrac{1800}{3540}=\dfrac{30}{59}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(M)\approx0,51}$ (valeur arrondie à $10^{-2}$ ).

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) :\, y' + 10y = (30x^2 + 22x - 8)\text e^{-5x+1} }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in \R }$ où $\overset{ { \white{ m. } } } { y }$ est une fonction définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

1. Nous devons résoudre sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ l'équation différentielle : $\overset{ { \white{ _. } } } {(E') : y' + 10y = 0 . }$ .

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y'+ay=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { y=k\,\text{e}^{-ax}\quad(k\in\R) }$ .

Dans le cas de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E') }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { a=10 }$ .
D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E') }$ est de la forme    $\overset{ { \white{ _. } } } { y(x)=k\,\text{e}^{-10x}\quad(k\in\R) }$   .

2. Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = (6x^2 + 2x - 2)e^{-5x+1} }$ .

On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une solution particulière de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) = (6x^2 + 2x - 2)'\times \text e^{-5x+1} +(6x^2 + 2x - 2)\times (\text e^{-5x+1})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} = (12x+2)\times \text e^{-5x+1} +(6x^2 + 2x - 2)\times (-5\,\text e^{-5x+1})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} = (12x+2)\times \text e^{-5x+1} -5(6x^2 + 2x - 2)\times \,\text e^{-5x+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} = (12x+2-30x^2-10x+10)\times \text e^{-5x+1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=(-30x^2+2x+12)\, \text e^{-5x+1} }$

Dès lors, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)+10f(x)=(-30x^2+2x+12)\, \text e^{-5x+1} +10(6x^2 + 2x - 2)\,\text e^{-5x+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)+10f(x)}=(-30x^2+2x+12+60x^2+20x-20)\, \text e^{-5x+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)+10f(x)}=(30x^2+22x-8)\, \text e^{-5x+1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)+10f(x)=(30x^2+22x-8)\, \text e^{-5x+1} }$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une solution particulière de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

3. Nous devons donner l'expression de toutes les solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est l'ensemble des fonctions s'écrivant comme somme d'une solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E') }$ et d'une solution particulière de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .
D'où l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est l'ensemble des fonctions de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x\mapsto k\text e^{-10x}+(6x^2 + 2x - 2)\,\text e^{-5x+1} } }$ .

Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ rencontrée à la partie B.2 .
On rappelle que, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x ,\quad f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\,\text e^{-5x+1} }$ .
On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans un repère du plan.

1. On admet que $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Déterminons la limite de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ non nul,
${ \white{ xxi } }$ $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\,\text e^{-5x+1} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x) =x^2\left (6 + \dfrac 2x - \dfrac{2}{x^2}\right)\,\text e^{-5x+1} }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty\\\lim\limits_{x\to -\infty} \left(6+\dfrac 2x- \dfrac{2}{x^2}\right)=6\\\lim\limits_{x\to -\infty} \text e^{-5x+1}=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}x^2 (6 + \dfrac 2x - \dfrac{2}{x^2})\,\text e^{-5x+1} =+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} \left(6+\dfrac 2x- \dfrac{2}{x^2}\right)=6\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) =+\infty } }$

2. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ coupe l'axe des abscisses en deux points.

Déterminons le nombre de solutions réelles de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f(x) =0 \quad\Longleftrightarrow\quad(6x^2 + 2x - 2)\,\text e^{-5x+1} =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) =0} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{6x^2 + 2x - 2 =0}\qquad(\text{car }\text e^{-5x+1}\neq 0)}$

Or l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 6x^2+2x-2=0 }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { ax^2+2x+c=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { a=6, c=-2 }$
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { ac=6\times(-2)=-12\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ac<1} }$

Nous avons montré dans la Partie A 2. que l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ : « l'équation $\overset{ { \white{ } } } { ax^2 + 2x + c = 0 }$ possède deux solutions réelles distinctes » a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac< 1 }$ , ce qui est le cas.

D'où, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ possède deux solutions réelles distinctes.
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ coupe l'axe des abscisses en deux points.

3. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ possède deux tangentes horizontales.

Nous avons montré dans la Partie B 2. que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x,\quad f'(x)=(-30x^2+2x+12)\, \text e^{-5x+1} }$ .

Déterminons le nombre de solutions réelles de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0 }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) =0 \quad\Longleftrightarrow\quad(-30x^2+2x+12)\, \text e^{-5x+1} =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) =0} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{-30x^2+2x+12 =0}\qquad(\text{car }\text e^{-5x+1}\neq 0)}$

Or l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { -30x^2+2x+12 }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { ax^2+2x+c=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { a=-30, c=12 }$
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { ac=-30\times12=-360\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ac<1} }$

Nous avons montré dans la Partie A 2. que l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ : « l'équation $\overset{ { \white{ } } } { ax^2 + 2x + c = 0 }$ possède deux solutions réelles distinctes » a lieu si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { ac< 1 }$ , ce qui est le cas.

D'où, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0 }$ possède deux solutions réelles distinctes.
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ possède deux tangentes horizontales.

4. Dressons le tableau de variation complet de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { -30x^2+2x+12. }$

Résolvons d'abord l'équation du deuxième degré : $\overset{ { \white{ _. } } } { -30x^2+2x+12=0. }$

Son discriminant est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta = 2^2-4\times (-30)\times12=1444=38^2 }$

Les racines de l'équation sont :

${ \white{ xxi } }$ $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{38^2}}{2\times(-30)}=\dfrac{-2+38}{-60}=-\dfrac{36}{60}=-\dfrac 35 \\\overset{ { \white{ . } } } { { x_2=\dfrac{-2-\sqrt{38^2}}{2\times(-30)}=\dfrac{-2-38}{-60}=\dfrac{-40}{-60}=\dfrac 23}}$

Le coefficient principal du polynôme $\overset{ { \white{ _. } } } { -30x^2+2x+12 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { -30<0 }$ .

Nous obtenons alors le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ et de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

$\begin{matrix}f\left(-\dfrac 35\right)=-\dfrac{26}{25}\,\text e^4\approx -56,78\\\\f\left(\dfrac 23\right)=\overset{ { \white{ _. } } } {2\,\text e^{-\frac 73}}\approx 0,19 \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline &&&&&&&&\\x&-\infty&&-\dfrac 35&&\dfrac 23&&&+\infty\\ &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&&-&&\\&&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&\overset{ { \white{ _. } } } {2\,\text e^{-\frac 73}}&&&\\f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\\&&&-\dfrac{26}{25}\,\text e^4&&&&0&\\\hline \end{array}$

5. Nous devons déterminer le nombre de solution(s) de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f (x) = 1 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=1 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { \left]-\infty\;;\;-\dfrac 35\right] }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { \left]-\infty\;;\;-\dfrac 35\right] }$ .
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f\left(-\dfrac 35\right)=-\dfrac{26}{25}\,\text e^4\approx -56,78}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad {1\in\;\left[\,f\left(-\dfrac 35\right)\;;\;\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\,\right[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha \in\; \left]-\infty\;;\;-\dfrac 35\right] }$   tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=1 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=1 }$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[-\dfrac 35\;;\;+\infty\right[ }$ .

Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[-\dfrac 35\;;\;+\infty\right[ }$ , la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ admet un maximum égal à $\overset{ { \white{ } } } { 2\,\text e^{-\frac 73} \approx 0,19}$ .
Puisque ce maximum est inférieur à 1, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=1 }$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[-\dfrac 35\;;\;+\infty\right[ }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=1 }$ admet une solution unique dans l'ensemble des nombres réels.

6. Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ strictement supérieur à 0,2, on définit $\overset{ { \white{ _. } } } { I_m }$ par $\overset{ { \white{ o. } } } { I_m = \displaystyle \int_{0,2}^m f(x)\,\text dx }$ .

6. a) Nous devons vérifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ par

$\overset{ { \white{ _. } } } { F(x) = \left(-\dfrac{6}{5}x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)e^{-5x+1} }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ m. } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x) = \left(-\dfrac{6}{5}x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)'\times\text e^{-5x+1}+ \left(-\dfrac{6}{5}x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\times\Big(\text e^{-5x+1}\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= \left(-\dfrac{12}{5}x - \dfrac{22}{25}\right)\times\text e^{-5x+1}+ \left(-\dfrac{6}{5}x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\times\Big(-5\text e^{-5x+1}\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= \left(-\dfrac{12}{5}x - \dfrac{22}{25}\right)\times\text e^{-5x+1}+ \left(6x^2 + \dfrac{22}{5}x - \dfrac{28}{25}\right)\times\text e^{-5x+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= \left(-\dfrac{12}{5}x - \dfrac{22}{25}+6x^2 + \dfrac{22}{5}x - \dfrac{28}{25}\right)\times\text e^{-5x+1} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= \left( 6x^2 + 2x - 2\right)\times\text e^{-5x+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

6. b) Déterminons s'il existe une valeur de $\overset{ { \white{. } } } { m }$ pour laquelle $\overset{ { \white{ _. } } } { I_m=0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $I_m = \displaystyle \int_{0,2}^m f(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m }=\Big[F(x)\Big]_{0,2}^m } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m }=F(m)-F(0,2) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m }=\left(-\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5m+1} -\left(-\dfrac{6}{5}\times(0,2)^2 - \dfrac{22}{25}\times0,2 + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5\times 0,2+1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_m }=\left(-\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5m+1} -\left(-\dfrac{6}{5}\times\dfrac {1}{25} - \dfrac{22}{25}\times\dfrac 15 + \dfrac{28}{125}\right)\text e^0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_m }=\left(-\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5m+1} -0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_m=\left(-\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5m+1} }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $I_m=0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(-\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}\right)\text e^{-5m+1} =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m=0}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{6}{5}m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125} =0 \qquad(\text{car }}\text e^{-5m+1}\neq0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m=0}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{150}{125}m^2 - \dfrac{110}{125}m + \dfrac{28}{125} =0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m=0}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{2}{125}(75m^2 + 55m -14) =0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_m=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 75m^2 + 55m -14 =0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_m=0\quad\Longleftrightarrow\quad 75m^2 + 55m -14 =0 }$

Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 75m^2 + 55m -14 =0 }$ .

Le discriminant de l'équation est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta=55^2-4\times75\times(-14)=3025+4200=7225=85^2 }$ .

Les solutions de l'équations sont :

${ \white{ xxi } }$ $m_1=\dfrac{-55-\sqrt{85^2}}{2\times75}=\dfrac{-55-85}{150}=\dfrac{-140}{150}=-\dfrac{14}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{m_1=-\dfrac{14}{15}} \\\\\overset{ { \white{ _. } } } { m_2=\dfrac{-55+\sqrt{85^2}}{2\times75}=\dfrac{-55+85}{150}=\dfrac{30}{150}=\dfrac{1}{5}=0,2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{m_2=0,2} }$

Or selon l'énoncé, le réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ doit être strictement supérieur à 0,2.
Nous en déduisons qu'il n'existe pas de valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ vérifiant l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 75m^2 + 55m -14 =0 }$ et par suite, il n'existe pas de valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ pour laquelle $\overset{ { \white{ _. } } } { I_m=0 }$ .

Géométriquement, $\overset{ { \white{ _. } } } { I_m }$ représente l'aire du domaine limité par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ , l'axe des abscisses , les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0,2 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=m }$ .

Nous avons donc montré qu'il n'existe pas de valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ pour laquelle cette aire est nulle c'est-à-dire pour laquelle l'aire du domaine situé au-dessus de l'axe des abscisses est égale à l'aire du domaine situé en dessous de l'axe des abscisses.
_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 25-01-2026

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