Fiche de mathématiques

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Bac Général 2025 Polynésie Jour 2

Spécialité mathématiques

5 points

exercice 1

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : $0$ ou $1$ .

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue ( $1$ devient $1$ et $0$ devient $0$ ), soit de façon contraire ( $1$ devient $0$ et $0$ devient $1$ ).

La transmission est fidèle dans $90\%$ des cas, et donc contraire dans $10\%$ des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur $1$ .

Partie A

Pour tout entier naturel $n\ge 1$ , on note :

$\checkmark\quad\quad$ $V_n$ l'évènement : « la n-ième machine détient la valeur $1$ »;

$\checkmark\quad\quad$ $\overline{V_n}$ l'évènement : « la n-ième machine détient la valeur $0$ ».

1. a. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

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1. b.   Démontrer que $P(V_3)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

1. c.   Sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$ , calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$ .

2.    Pour tout entier naturel $n\ge 1$ , on note $p_n=P(V_n)$ .

La première machine a reçu la valeur $1$ , on a donc $p_1=1$ .

2. a.   Démontrer que pour tout entier naturel $n\ge 1$ : $p_{n+1}=0,8\,p_n+0,1$ .

2. b.   Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 1$ , $p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5$ .

2. c.   Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

PARTIE B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction $\texttt{simulation}$ qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction $\texttt{rand}()$ renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0;1[$ .

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Par exemple, $\texttt{simulation}(3)$ peut renvoyer $[1,0,0,1]$ .

Cette liste traduit :

$\checkmark\quad\quad$ qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;

$\checkmark\quad\quad$ la première machine qui détient la valeur $1$ a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine;

$\checkmark\quad\quad$ la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième;

$\checkmark\quad\quad$ la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.

2. Calculer la probabilité que $\texttt{simulation}(4)$ renvoie la liste $[1,1,1,1,1]$ et la probabilité que $\texttt{simulation}(6)$ renvoie la liste $[1,0,1,0,0,1,1]$ .

5 points

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ par $f(x)=x\ln(x-2)$ .

Une partie de la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous

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1.    Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

2.    Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]2 ; +\infty[$ .

3.    Calculer $\displaystyle\lim\limits_{\substack{x\to 2\\ x> 2}} f(x)$ .

Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?

4.    Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$ : $f'(x)=\ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}$ .

5.    On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ par $g(x)=f'(x)$ .

5. a.    Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$ , on a : $g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$

5. b.    On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et que $\lim\limits_{\substack{x\to 2\\x> 2}} g(x)=+\infty$ .

En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2 ; +\infty[$ . On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$ .

5. c.    En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$ , $g(x)>0$ .

5. d.   En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2 ; +\infty[$ .

6.    Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2 ; +\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$ .

7.    Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?

5 points

exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k)$ . On considère les points suivants :

$A(1 ; 3 ; 0)$ , $B(-1 ; 4 ; 5)$ , $C(0 ; 1 ; 0)$ et $D(-2 ; 2 ; 1)$ .

1.    Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ déterminent un plan.

2.    Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

3.    Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

3. a.    Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$ .

3. b.    Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : $2x - y + z + 1 = 0$ .

3. c.    Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .

4.    On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3}\right)$ .

Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}B \times h$ , où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ sa hauteur relative à cette base.

4. a.    Montrer que $DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ .

4. b.    En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$ .

On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

$\begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases}$ où $k$ décrit $\mathbb{R}$ .

La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?

5 points

exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \lbrace 1,2,3,4,5,6,7\rbrace$ et $F = \lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Affirmation n°1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$ .

2. Dans le repère orthonormé ci-après, on a représenté la fonction carré, notée $f$ , ainsi que le carré $ABCD$ de côté 3.

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Affirmation n°2 : La zone hachurée et le carré $ABCD$ ont la même aire.

3.    On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

$J = \displaystyle\int_1^2 x \ln(x) \, \text dx.$

Affirmation n°3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J = \dfrac{7}{11}$ .

4.    Sur $\mathbb{R}$ , on considère l'équation différentielle : $(E)\,:\,y' = 2y - e^x$

Affirmation n°4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x + e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

5.    Soit $x$ donné dans $[0;1[$ . On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = (x - 1)e^n + \cos(n).$

Affirmation n°5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ .

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Bac spécialité maths 2025

Polynésie Jour 2

5 points

exercice 1

Partie A

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\ge 1 }$ , on note :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark\quad\quad V_n }$ l'événement : '' la n-ième machine détient la valeur 1 '';

$\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark\quad\quad \overline{V_n} }$ l'événement : '' la n-ième machine détient la valeur 0 ''.

1. a) Arbre de probabilité illustrant la situation.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La première machine reçoit toujours la valeur 1.
${ \white{ xx } }$ D'où la position de $\overset{ { \white{ _. } } } { V_1. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La transmission est fidèle dans 90% des cas.
${ \white{ xx } }$ D'où les branches $\overset{ { \white{ _. } } } { V_1-V_2 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { V_2-V_3 }$ sont pondérées par 0,9.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La transmission est contraire dans 10% des cas.
${ \white{ xx } }$ D'où les branches $\overset{ { \white{ _. } } } { V_1-\overline{V_2} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overline{V_2}-V_3 }$ sont pondérées par 0,1.

Nous obtenons ainsi l'arbre pondéré ci-dessous :

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1. b) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(V_3)=0,82 }$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{V_2}$ et $\overline{V_2}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(V_3)=P(V_2\cap V_3)+P(\overline{V_2}\cap V_3) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_3)}=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_3)}=0,9\times0,9+0,1\times0,1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_3)}=0,82} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(V_3)=0,82}$

Par conséquent, la probabilité que la troisième machine détienne la valeur 1 est égale à 0,82.

1. c) Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, nous devons calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } {P_{V_3}(V_2). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{V_3}(V_2)=\dfrac{P(V_2 \cap V_3)}{P(V_3)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{V_3}(V_2)}=\dfrac{P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)}{P(V_3)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{V_3}(V_2)}=\dfrac{0,9\times0,9}{0,82} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{V_3}(V_2)}=\dfrac{0,81}{0,82}=\dfrac{81}{82} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{V_3}(V_2)}\approx0,988} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P_{V_3}(V_2)\approx0,988}$

Par conséquent, sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1 est environ égale à 0,988.

2. Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\ge 1 }$ , on note $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n=P(V_n) . }$

Nous obtenons ainsi l'arbre pondéré ci-dessous :

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 2 : image 15

2. a) Nous devons démontrer que pour tout entier $\overset{ { \white{ _. } } } { n\ge 1\; :\; p_{n+1}=0,8\,p_n+0,1 . }$

Les événements   $\overset{{\white{_.}}}{V_n}$ et   $\overline{V_n}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(V_{n+1})=P(V_n\cap V_{n+1})+P(\overline{V_n}\cap V_{n+1}) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_{n+1})}=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_{n+1})}=p_n\times0,9+(1-p_n)\times0,1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(V_{n+1})}=0,9p_n+0,1-0,1p_n} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V_{n+1})}=0,8p_n+0,1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_{n+1}=0,8p_n+0,1}$

2. b) Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 1 }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5 . }$

La première machine a reçu la valeur 1 , on a donc $\overset{ { \white{ _. } } } { p_1=1 }$ .
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=1, }$ soit que $\overset{{\white{.}}}{p_1=0,5\times 0,8^{1-1}+0,5.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}p_1=1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0,5\times 0,8^{1-1}+0,5=0,5\times1+0,5=1}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p_1=0,5\times 0,8^{1-1}+0,5}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n \geq 1 }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel    $\overset{ { \white{ . } } } { n\geq 1 }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ p_{n+1}=0,5\times 0,8^{n}+0,5 .}$

En effet, pour un nombre naturel    $\overset{ { \white{ . } } } { n\geq 1 }$ fixé,

${ \white{ xxi } }$ $p_{n+1}=0,8p_n+0,1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,8\times(0,5\times 0,8^{n-1}+0,5)+0,1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,8\times0,5\times 0,8^{n-1}+0,8\times0,5+0,1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,5\times 0,8^{n}+0,4+0,1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,5\times 0,8^{n}+0,5} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,n\ge1,\quad p_{n+1}=0,5\times 0,8^{n}+0,5}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\geq 1 }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5 . }$

2. c) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n }$ lorsque $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ tend vers l'infini et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

${ \white{ xxi } }$ $0<0,8<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}0,8^{n-1}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}0,5\times0,8^{n-1}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}\Big(0,5\times0,8^{n-1}+0,5\Big)=0,5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}p_n=0,5 }}$

Cela signifie que si le nombre de machines transmettant une donnée à une autre machine est très élevé, soit à très long terme, la dernière machine détiendra la valeur 1 avec une probabilité proche de 50%.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction $\overset{ { \white{_. } } } { \texttt{simulation} }$ qui prend en paramètre un entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

${ \white{ WWWWWW } }$

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 2 : image 13

1. Nous devons déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.

Ligne 5 : l'instruction $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{rand}() }$ renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0;1[ .
Cette ligne 5 teste si un nombre aléatoire appartient à l'intervalle [0 ; 0,1[.
L'amplitude de l'intervalle [0 ; 0,1[ est égale à 0,1 fois l'amplitude de l'intervalle [0 ; 1[.
Dès lors, ce nombre aléatoire appartiendra à l'intervalle [0 ; 0,1[ avec une probabilité de 0,1.
Donc si la ligne 5 est exécutée, nous sommes donc dans le cas d'une transmission contraire.

Ligne 6 : Dans le cas où ce nombre appartient à l'intervalle [0 ; 0,1[, le rôle de la ligne 6 est de permuter la valeur de la donnée en passant de 0 à 1 ou de 1 à 0.

2. Nous devons calculer la probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(4) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,1,1,1,1] }$ et la probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(6) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,0,1,0,0,1,1] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(4) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,1,1,1,1] }$ correspond à $\overset{ { \white{ _. } } } { P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5)=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)\times P_{V_2\cap V_3}(V_4)\times P_{V_2\cap V_3\cap V_4}(V_5) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5) }=0,9\times 0,9\times 0,9\times0,9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5) }=0,9^4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5) }=0,6561 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5)= 0,6561}$

D'où la probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(4) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,1,1,1,1] }$ est environ égale à 0,656 (valeur arrondie à 10^-3 près)

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(6) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,0,1,0,0,1,1] }$ correspond à $\overset{ { \white{ _. } } } {P(\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}\cap V_5\cap \overline{V_6}\cap V_7) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}\cap V_5\cap \overline{V_6}\cap V_7) \\\overset{ { \white{ . } } } { =P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(\overline{V_3})\times P_{\overline{V_2}\cap \overline{V_3}}(\overline{V_4})\times P_{\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}}(V_5)\times P_{\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}\cap V_5}(\overline{V_6})\times P_{\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}\cap V_5\cap\overline{V_6}}(V_7)} \\\overset{ { \white{ . } } } { =0,1\times 0,1\times 0,1\times0,9\times0,1\times0,9 } \\\overset{ { \white{ . } } } {=0,1^4\times 0,9^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { = 0,000081 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(\overline{V_2}\cap \overline{V_3}\cap \overline{V_4}\cap V_5\cap \overline{V_6}\cap V_7)= 0,000081}$

D'où la probabilité que $\overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{simulation}(6) }$ renvoie la liste $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,0,1,0,0,1,1] }$ est environ égale à 0 (valeur arrondie à 10^-3 près)

5 points

exercice 2

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]2 ; +\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x\ln(x-2) }$ .

Une partie de la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ de la fonction f est donnée ci-dessous.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 2 : image 17

1. Nous devons conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

Par lecture graphique, nous pouvons conjecturer que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]2\;;\;+\infty[ }$ , que $\overset{ { \white{ \overline{\frac{2^2}{0}} } } } { \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}f(x)=-\infty }$ , que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty }$ .

En outre, nous pouvons également conjecturer que la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=2 }$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ .

2. Nous devons résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ . }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ln(x-2)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x-2)=0\quad \Big( \text{car }x\in\,]2\;;\;+\infty[\quad\Longrightarrow x\neq 0\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-2=\text e^0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-2=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=3}}$

D'où l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr S }$ des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \mathscr S=\lbrace 3\rbrace} }$ .

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ \frac{3^2}{0}. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}f(x) }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}(x-2)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}\ln(x-2)=-\infty \\ \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}(x-2)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}\Big(x\ln(x-2)\Big)=-\infty \quad\text{(car }\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}x=2) \\ \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}(x-2)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x > 2 }}f(x)=-\infty}$

Ce résultat confirme la conjecture faite à la question 1.

4. Nous devons démontrer que pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ \; : \; f'(x)=\ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2} }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x\ln(x-2)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= x'\times\ln(x-2) + x\times\Big(\ln(x-2)\Big)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= 1\times\ln(x-2) + x\times\dfrac{1}{x-2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \ln(x-2) + \dfrac{x}{x-2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]2\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=\ln(x-2) + \dfrac{x}{x-2} }$

5. On considère la fonction $\overset{ { \white{ +. } } } { g }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=f'(x) }$ .

5. a) Nous devons démontrer que pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{w } } } {]2 ; +\infty[}$ , on a : $\overset{ { \white{. } } } { g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2} }$

Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{w } } } {]2 ; +\infty[}$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=f''(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\Big(\ln(x-2) + \dfrac{x}{x-2}\Big)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x'\times (x-2)-x\times (x-2)'}{(x-2)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1\times (x-2)-x\times 1}{(x-2)^2} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x-2-x}{(x-2)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{(x-2)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= \dfrac{(x-2)-2}{(x-2)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g'(x) }= \dfrac{x-4}{(x-2)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]2\;;\;+\infty[,\quad g'(x)= \dfrac{x-4}{(x-2)^2} }$

5. b) On admet que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty }$ et que $\overset{ { \white{ \frac{2^2}{0}. } } } { \lim\limits_{\substack{x\to 2\\x> 2}} g(x)=+\infty . }$
${ \white{ wwv } }$ Nous devons en déduire le tableau des variations de la fonction $\overset{ { \white{ W. } } } { g }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ w } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{w } } } {]2 ; +\infty[,\quad (x-2)^2>0}$ .
Donc le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { x-4 }$ .
Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { g'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ w } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

${ \white{ WWWW } } \begin{matrix}x-4<0\quad\Longleftrightarrow x < 4\\\\x-4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\\\\x-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>4\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&2&&4&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\x-4&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\g'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ w. } } } { g }$   sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

${ \white{ WWWW } } \begin{matrix}g(4)=\ln(4-2)+\dfrac{4}{4-2}\\\\\Longrightarrow\quad g(4)=\ln(2)+2\phantom{wwwwx}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&2&&4&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\g'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty\\g&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&\ln(2)+2&&\\\hline \end{array}$

5. c) Nous devons en déduire que, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{. } } } {]2 ; +\infty[,\quad g(x)>0}$ .

Par le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ w. } } } { g }$ , nous observons que la fonction $\overset{ { \white{ w. } } } { g }$ admet un minimum égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2)+2. }$
Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2)+2\approx 2,7 }$ est strictement positif, nous en déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{. } } } {]2 ; +\infty[,\quad g(x)>0}$ .

5. d) Nous devons en déduire le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ w } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{. } } } {]2 ; +\infty[,\quad \begin{cases}g(x)=f'(x)\\g(x)>0 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)>0}$ .

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

6. Nous devons étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]2 ; +\infty[ }$ .

La convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est connue par le signe de la dérivée seconde $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ , soit par le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g'(x) }$   que nous avons déterminé dans la question 5. b).

Nous obtenions les résultats suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{tt}}g'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]2\;;\;4[ \\\\ \bullet{\white{tt}}g'(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]4\;;\;+\infty[ \\\\ \bullet{\white{tt}}g'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x= 4$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ - la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est concave sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]2\;;\;4[ }$
${ \white{ xxi } }$ - la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]4\;;\;+\infty[ }$
${ \white{ xxi } }$ - la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ admet un point d'inflexion de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (4\;;\;4\ln(2)) }$ .

7. Nous devons déterminer combien il existe de valeurs de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ pour lesquelles la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3.

Cela revient à déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=3 }$ , soit le nombre de solutions réelles de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=3 }$ en nous basant sur le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ établi dans la question 5. b).

Considérons l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]2\;;\;4] }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ est strictement décroissante et continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]2\;;\;4] }$   car elle y est dérivable.

$\text{Or }\quad\begin{cases}\lim\limits_{x\to2^+}f'(x)=+\infty \\f'(4)=\ln(2)+2\approx2,7\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 3\in \left[\ln(2)+2\;;\;\lim\limits_{x\to2^+}f'(x) \right[$

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=3 }$ admet une unique solution sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]2\;;\;4]. }$

Considérons l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [4\;;\;+\infty[ }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ est strictement croissante et continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [4\;;\;+\infty[ }$   car elle y est dérivable.

$\text{Or }\quad\begin{cases}f'(4)=\ln(2)+2\approx2,7\\\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 3\in \left[\ln(2)+2\;;\;\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x) \right[$

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=3 }$ admet une unique solution sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [4\;;\;+\infty[ . }$

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=3 }$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]2\;;\;+\infty[ . }$
Nous en déduisons qu'il existe exactement deux valeurs de x pour lesquelles la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3.

5 points

exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\;;\overrightarrow i\,,\overrightarrow j\,,\overrightarrow k) }$ .
On considère les points suivants : $\overset{ { \white{ _. } } } {A(1 ; 3 ; 0) , B(-1 ; 4 ; 5) , C(0 ; 1 ; 0) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D(-2 ; 2 ; 1) }$ .

1. Nous devons montrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ déterminent un plan.

Justifions que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Montrons donc que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(1;3;0)\\ B(-1;4;5) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-1\\4-3\\5-0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}} \\\\ \begin{cases} A(1;3;0)\\ C(0;1;0) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1\\1-3\\0-0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires (la troisième composante de l'un est nulle alors que la troisième composante de l'autre ne l'est pas).
Donc les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ déterminent un plan.

2. Nous devons montrer que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

Calculons le produit scalaire $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)\times(-1)+1\times(-2)+5\times 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=2-2+0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0}$

Donc les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} }$ sont orthogonaux.
Nous en déduisons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ la droite passant par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et de vecteur directeur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} }$ .

3. a) Nous devons démontrer que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u} }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AB} =2\times(-2)-1\times1+1\times5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =-4-1+5} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AB} =0}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AC} =2\times(-1)-1\times(-2)+1\times0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}} =-2+2+0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AC} =0}$

Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u} }$ est orthogonal au deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Puisque le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u} }$ dirige la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ , nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

3. b) Nous devons justifier que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ admet pour équation cartésienne : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x - y + z + 1 = 0 }$ .

Nous savons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x - y + z + d = 0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;3\;;\;0) }$ appartient à ce plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times1-3+0+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=1. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x - y + z + 1 = 0}\,. }$

3. c) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta}$ comprend le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D\,(-2;2;1) }$ et est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}. }$
Nous en déduisons qu'une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} x= -2+2\times t \\y=2-1\times t \quad\text{où }t\in \R \\z=1+1\times t \end{cases} }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\Delta: \begin{cases} x= -2+2 t \\y=2-t \quad\text{où }t\in \R \\z=1+t \end{cases}} }$

4. On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3}\right) }$ .

Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} D(-2;2;1)\\ H\overset{ { \white{ _. } } } { \left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3}\right) } \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-\dfrac23+2\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac43-2 }\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac53-1 }\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}\dfrac 43\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { -\dfrac23 }\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \dfrac 23 }\end{pmatrix}}$
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}\dfrac 43\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { -\dfrac23 }\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \dfrac 23 }\end{pmatrix}=\dfrac23\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{DH}=\dfrac 23 \overrightarrow{u}} }$
Dès lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $2x_H - y_H + z_H + 1 =2\times\left(-\dfrac23\right)-\dfrac 43+\dfrac 53+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_H - y_H + z_H + 1 }=-\dfrac43-\dfrac 43+\dfrac 53+\dfrac 33 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_H - y_H + z_H + 1 }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2x_H - y_H + z_H + 1 =0}$

D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous rappelons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ .

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ .

On sait que le volume d'un tétraèdre est donné par $\overset{ { \white{ _. } } } { V = \dfrac{1}{3}B \times h }$ , où $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ sa hauteur relative à cette base.

4. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} . }$
Nous avons montré dans la question 4. que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{DH}=\dfrac 23 \overrightarrow{u} }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $DH=\dfrac 23||\overrightarrow{u}|| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ DH}=\dfrac 23\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ DH}=\dfrac 23\sqrt{4+1+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ DH}=\dfrac 23\sqrt{6} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{DH=\dfrac{2\sqrt 6}{3}}$

4. b) Nous devons en déduire le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { ABCD }$ .

Le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { ABCD }$ est donné par $\overset{ { \white{ _. } } } { V = \dfrac{1}{3}\times\text{Aire du triangle }ABC \times DH }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}\quad\text{Aire du triangle }ABC=\dfrac{AB\times AC}{2}\quad\text{où}\quad\begin{cases} AB=\sqrt{(-2)^2+1^2+5^2}\\\phantom{AB}=\sqrt{4+1+25}\\\phantom{AB}=\sqrt{30}\\AC=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}\\\phantom{AC}=\sqrt{1+4}\\\phantom{AB}=\sqrt{5}\end{cases} \\\\\Longrightarrow\quad \text{Aire du triangle }ABC=\dfrac{\sqrt{30}\times \sqrt{5}}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow}\quad \text{Aire du triangle }ABC=\dfrac{\sqrt{150}}{2} }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}\quad DH=\dfrac{2\sqrt 6}{3}$

Dès lors, le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { ABCD }$ est donné par :

${ \white{ xxi } }$ $V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{150}}{2}\times \dfrac{2\sqrt 6}{3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V }=\dfrac{2\sqrt{900}}{18} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V }=\dfrac{30}{9} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V }=\dfrac{10}{3} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{V=\dfrac{10}{3}\text{u.v.}}$

On considère la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k\quad\text{où }k\in\R \\ z = 1 + k \end{cases} }$ .

Nous devons déterminer si la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ sont sécants ou parallèles .

Déterminons si le système constitué par la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ est compatible.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\2x - y + z + 1 =0 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\2(1-2k) - (-3k) +(1+k) + 1 =0 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\2x - y + z + 1 =0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\2-4k+3k +1+k + 1 =0 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\2x - y + z + 1 =0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k\\0k+4 =0 \longrightarrow\;{\red{\text{impossible}}}\end{cases} }$

Puisque le système est incompatible, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ sont strictement parallèles .

5 points

exercice 4

1. Soient $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ les ensembles $\overset{ { \white{ _. } } } { E = \lbrace 1,2,3,4,5,6,7\rbrace }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F = \lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ .

Affirmation n°1 :
Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ que de combinaisons à 4 éléments de $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ .
Affirmation FAUSSE.

Les 3-uplets d'éléments distincts de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sont des suites ordonnées de 3 éléments distincts choisis parmi les 7 éléments de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ .
Le nombre de ces 3-uplets est donné par $\overset{ { \white{ _. } } } { A_7^3 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $A_7^3=\dfrac{7!}{(7-3)!}=\dfrac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\quad\Longrightarrow\quad\boxed{A_7^3=210}$

Par conséquent, il existe $\overset{ { \white{ _. } } } { 210 }$ 3-uplets d'éléments distincts de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ .

Le nombre de combinaisons à 4 éléments choisis par les 10 éléments de $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est donné par $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} }$ .
${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}=\dfrac{10!}{4!\,(10-4)!}=\dfrac{10!}{4!\,6!}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2}=10\times3\times7=210\\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}=210}$

Par conséquent, il existe $\overset{ { \white{ _. } } } { 210 }$ combinaisons à 4 éléments de $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ .

Nous déduisons qu'il y a autant de 3-uplets d'éléments distincts de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ que de combinaisons à 4 éléments de $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ .
L'affirmation 1 est fausse.

2. Dans le repère orthonormé ci-après, on a représenté la fonction carré, notée $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , ainsi que le carré $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ de côté 3.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 2 : image 8

Affirmation n°2 :
La zone hachurée et le carré $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ ont la même aire.
Affirmation VRAIE.

D'une part, l'aire du carré $\overset{ { \white{ _. } } } { }$ ABCD est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 3^2=\boxed{9\text{ u.a.} } }$

D'autre part, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ étant positive et continue sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;3] }$ , l'aire de la partie hachurée est donnée par $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int _0^3x^2\,\text dx. }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int _0^3x^2\,\text dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3= \dfrac{3^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} =\dfrac{27}{3}-0 =9\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\displaystyle\int _0^3x^2\,\text dx=9\text{ u.a.}}$

Nous observons que les deux aires sont égales.
L'affirmation 2 est vraie.

3. On considère l'intégrale $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { J = \displaystyle\int_1^2 x \ln(x) \, \text dx }$ .

Affirmation n°3 :
Une intégration par parties permet d'obtenir : $\overset{ { \white{ _. } } } { J = \dfrac{7}{11} }$ .
Affirmation FAUSSE.

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { J = \displaystyle\int_1^2 x \ln(x) \, \text dx }$ .

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{2}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{2}- \displaystyle\int_1^{2}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases}u(x)=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac 1x \\\\v'(x)=x\phantom{W}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{x^2}{2}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { J = \displaystyle\int_1^2 x \ln(x) \, \text dx =\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^2-\displaystyle\int_1^2\dfrac 1x\times\dfrac{x^2}{2}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^2-\dfrac 12\displaystyle\int_1^2x\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^2-\dfrac 12\times\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}}\right]_1^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=(2\ln(2)-0)-\dfrac 12(2-\dfrac 12)}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=2\ln(2)-1+\dfrac14} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWW}=2\ln(2)-\dfrac34} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{J=2\ln(2)-\dfrac34\,{\red{\neq\dfrac{7}{11}}}}$
L'affirmation 3 est fausse.

4. Sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , on considère l'équation différentielle : $\overset{ { \white{ _. } } } { (E)\,:\,y' = 2y - e^x }$ .

Affirmation n°4 :
La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{R} }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = e^x + e^{2x} }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .
Affirmation VRAIE.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} f'(x)=(\text e^x +\text e^{2x})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\text e^x+2\text e^{2x}}\\\\2f(x)-\text e^x =2 (\text e^x +\text e^{2x})-\text e^x\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2f(x)-\text e^x }=2 \text e^x +2\text e^{2x}-\text e^x }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2f(x)-\text e^x }=\text e^x +2\text e^{2x} } \end{cases} \\\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=2f(x)-\text e^x}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{R} }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = e^x + e^{2x} }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .
L'affirmation 4 est vraie.

5. Soit $\overset{ { \white{o. } } } { x }$ donné dans $\overset{ { \white{ _. } } } {[0\;;\;1[ }$ . On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n = (x - 1)e^n + \cos(n) }$ .

Affirmation n°5 :
La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ diverge vers $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .
Affirmation VRAIE.

$\bullet{\white{x}}x\in[0\;;\;1[\quad\Longrightarrow x<1\quad\Longrightarrow\quad x-1<0 \\\\\bullet{\white{x}}\forall\,n\in\N,\quad \cos(n)\leq 1\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,\text e^n+\cos(n)\leq (x-1)\,\text e^n+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\white{x}}\forall\,n\in\N,\quad \cos(n)\leq 1 }\quad\Longrightarrow\quad u_n\leq (x-1)\,\text e^n+1 }$

$\text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^n=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}(x-1)\text e^n=-\infty\quad\text{car }x-1<0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^n=+\infty } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}[(x-1)\text e^n+1]=-\infty }$

$\text{D'où }\quad \begin{cases} u_n\leq (x-1)\,\text e^n+1\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}[(x-1)\text e^n+1]=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ diverge vers $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .
L'affirmation 5 est vraie.

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche.}

Publié par malou le 24-10-2025

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