Fiche de mathématiques
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Mathématiques Série E

Côte d'Ivoire 2020

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COEFFICIENT : 5

DURÉE : 4 HEURES



L'usage de la calculatrice scientifique est autorisé.


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Bac E Côte d'Ivoire 2020

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points

exercice 1

Soit ABC un triangle du plan.

1. a)  Nous devons déterminer et construire le point G, barycentre des points (A,1), (B,-1) et (C,1).
Par définition, nous obtenons : 
\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}- (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}}

Le point G est donc l'extrémité du vecteur  \overrightarrow{AG}  tel que  \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}  (construction en bleu dans la figure ci-dessous).

Bac E Côte d'Ivoire 2020 : image 9


1. b)  Nous devons déterminer et construire le point G', barycentre des points (A,1), (B,5) et (C,-2).
Par définition, nous obtenons : 
\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{G'B}-2\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow\overrightarrow{G'A}+5 (\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{AB})-2(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{G'A}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow4\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow4\overrightarrow{AG\,'}=5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG\,'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}

 Nous avons construit le point B' tel que  \overrightarrow{AB\,'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB} .
 Nous avons construit le point C' tel que  \overrightarrow{AC\,'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} .
Le point G' est l'extrémité du vecteur  \overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'} .
(La construction du point G' est réalisée en rouge sur la figure ci-dessus.)

2.  Soit J le milieu de [AB].

2. a)  Exprimons le vecteur  \overrightarrow{GG\,'} en fonction de  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}.  
\overrightarrow{GG\,'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG\,'} \\\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=\overrightarrow{CB}+(\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})\ \ \ \ (\text{par la question 1.}) \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+(\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{GG\,'}=\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}}

Exprimons le vecteur  \overrightarrow{JG\,'} en fonction de  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}.  
\overrightarrow{JG\,'}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AG\,'}. 
Puisque le point J est le milieu de [AB], nous savons que  \overrightarrow{JA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}. 
\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AG\,'} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG\,'}} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+(\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})}\ \ \ \ (\text{par la question 1. b}) \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{JG\,'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}

Nous devons en déduire que le point J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB).

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{GG\,'}=\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{JG\,'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{GG\,'}=3\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\\\\\overrightarrow{JG\,'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\overrightarrow{GG\,'}=3\overrightarrow{JG\,'}}
D'où les points G, G' et J sont alignés.
Le point J appartient donc à la droite (GG').
Puisque, par définition, J est le milieu de [AB], le point J appartient à la droite (AB).
Par conséquent, le point J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB).

2. b)  Nous devons montrer que le barycentre I des points pondérés (B,2) et (C,-1) appartient à (GG').

Par définition de I, nous obtenons : 
2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})-(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}

De plus,

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{G\,'I}=\overrightarrow{G\,'A}+\overrightarrow{AI}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overrightarrow{AG\,'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\ \ \ (\text{voir question 1. b})\\\overset{}{\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\ \ \ (\text{voir ci-dessus})\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.

\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}=(-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})+(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}) \\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\\overset{}{\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\overrightarrow{JG\,'}\ \ \ (\text{voir question 2. a})} \\\overset{}{\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GG\,'}\ \ \ (\text{voir question 2. a})} \\\\\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\overrightarrow{G\,'I}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GG\,'}}
Nous en déduisons que les points G, G' et I sont alignés.
Par conséquent, le barycentre I des points pondérés (B,2) et (C,-1) appartient à (GG').

3.  Soient D un point quelconque du plan n'appartenant pas à la droite (AC), O le milieu de [CD]
et K le milieu de [OA].

Bac E Côte d'Ivoire 2020 : image 7
3. a)  Nous devons déterminer trois nombres réels a , b  et c  tels que K soit le barycentre de (A,a ); (D,b ) et (C,c ).
  O est le milieu de [CD].
Donc O est le barycentre de (C,1); (D,1).
  K est le milieu de [OA].
Donc K est le barycentre de (O,1); (A,1).
Par la propriété d'homogénéité, nous déduisons que K est le barycentre de (O,2); (A,2).
  Par la propriété d'associativité, nous déduisons que K est le barycentre de (C,1); (D,1); (A,2).

Par conséquent, trois nombres réels a , b  et c  tels que K soit le barycentre de (A,a ); (D,b ) et (C,c ) sont :
a  = 2, b  = 1 et c  = 1.


3. b)  Soit E le point d'intersection des droites (DK) et (AC).
Nous devons démontrer que E est le barycentre des points pondérés (A,2) et (C,1).
En utilisant le résultat de la question 3. a), nous obtenons :  2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}

\text{Or }\ 2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow2(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EA})+\overrightarrow{KD}+(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow2\overrightarrow{KE}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow3\overrightarrow{KE}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow(3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD})+(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE}

Or les vecteurs  3\overrightarrow{KE}  et  \overrightarrow{KD}  dirigent la droite (DK) tandis que les vecteurs  2\overrightarrow{AE}  et  \overrightarrow{CE}  dirigent la droite (AC).
Puisque ces droites (DK) et (AC) sont sécantes, l'égalité  3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE}  ne sera vraie que si les vecteurs  3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD}  et  2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE}  sont nuls. 
2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow\boxed{2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}}
D'où, par définition de barycentre, le point E est le barycentre des points pondérés (A,2) et (C,1).

points

exercice 2

Soit la suite (un ) définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=\int\limits_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{u_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\ \ \ \ \ (n\in\N,n\ge1)}\end{matrix}\right.

1.  Soit f  la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :  f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2}).

1. a)  Déterminons l'expression de f' (x ).
f'(x)=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x'+(\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1+\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1+\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1}}  \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\times\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}

Nous devons en déduire la valeur de  u_0=\int\limits_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x.

u_0=\int\limits_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\overset{}{f(x)}\right]\limits_0^1=f(1)-f(0) \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{1+1^2})-\ln(0+\sqrt{1+0})} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})-\ln1=\ln(1+\sqrt{2})-0} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_0=\ln(1+\sqrt{2})}

1. b)  Nous devons calculer  u_1=\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x.

Remarque (\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Longrightarrow\boxed{(\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}
Dès lors,  u_1=\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\sqrt{1+x^2}\right]\limits_0^1=\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0}=\sqrt{2}-1
                      \Longrightarrow\boxed{u_1=\sqrt{2}-1}

2. a)  Nous devons démontrer que la suite (un ) est décroissante.
Pour tout entier naturel n  supegal 1,

u_{n+1}-u_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x-\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\\\phantom{u_{n+1}-u_n}=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}-x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\\\phantom{u_{n+1}-u_n}=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x

\text{Or }: 0\le x\le1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\x\le1\end{matrix}\right. \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x^n\ge0\\\sqrt{1+x^2}>0\\x-1\le0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow\dfrac{x^{n}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}\le0} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\le0} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}-u_n\le0}}
Par conséquent, la suite (un ) est décroissante.

Montrons ensuite que la suite (un ) converge.

0\le x\le1\Longrightarrow x\ge 0 \\\overset{}{\phantom{0\le x\le1}\Longrightarrow\dfrac{x^{n}}{\sqrt{1+x^2}}\ge0} \\\overset{}{\phantom{0\le x\le1}\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\ge0}}
Donc la suite (un ) est minorée par 0.
Par conséquent, la suite (un ) converge car elle est décroissante et minorée par 0.

2. b)  Pour tout nombre réel x  appartenant à l'intervalle [0 ; 1],
0\le x\le1\Longrightarrow 0\le x^2\le1 \\\overset{}{\phantom{0\le x\le1}\Longrightarrow 1\le x^2+1\le2} \\\overset{}{\phantom{0\le x\le1}\Longrightarrow\boxed{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}}

Nous en déduisons que pour tout entier naturel n  supegal 1,
1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\le1 \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\le \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\le x^n\ \ \ \ (\text{car }x^n\ge0) \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1x^n\,\text{d}x \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\left[\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)\sqrt{2}}\right]\limits_0^1\le u_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1

\text{D'où }\ \ \dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}-0\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}-0 \\\overset{}{\text{soit }\ \ \boxed{\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}}}

{\red{2.\ \text{c) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=0}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}

3.  Soit  I_n=\int\limits_0^1x^{n-2}\sqrt{1+x^2}\,\text{d}x\ \ \ \ \ (n\in\N,\ n\ge3)

3. a)  Pour tout entier naturel n  supegal 3,

u_n+u_{n-2}=\int\limits_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x+\int\limits_0^1 \dfrac{x^{n-2}}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=\int\limits_0^1 \dfrac{x^n+x^{n-2}}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=\int\limits_0^1 \dfrac{x^{n-2}(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=\int\limits_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+1}\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=I_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\ge3,\ u_n+u_{n-2}=I_n}

3. b)  A l'aide d'une intégration par parties, calculons  I_n=\int\limits_0^1x^{n-2}\sqrt{1+x^2}\,\text{d}x\ \ \ \ \ (n\in\N,\ n\ge3).
\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\sqrt{1+x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\\overset{}{v'(x)=x^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^{n-1}}{n-1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

\text{Dès lors, }I_n=\int\limits_0^1x^{n-2}\sqrt{1+x^2}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1- \int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{2}\times\dfrac{1}{n-1}-0\right]-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{I_n=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n}

Or nous avons montré dans la question 3. a) que  I_n=u_n+u_{n-2}.
\text{Dès lors, }\ \ u_n+u_{n-2}=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n \\\overset{}{\Longleftrightarrow {\blue{(n-1)}}(u_n+u_{n-2})={\blue{(n-1)}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n\right)} \\\overset{}{\Longleftrightarrow (n-1)(u_n+u_{n-2})=\sqrt{2}-u_n} \\\Longleftrightarrow (n-1)u_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2}-u_n \\\Longleftrightarrow nu_n-u_n+u_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2} \\\overset{}{\Longleftrightarrow \boxed{nu_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2}}}

3. c)  Nous savons par la question 2. a) que la suite (un ) est décroissante.
Donc pour tout entier naturel n  supegal 3,
\left\lbrace\begin{matrix}nu_n+(n-1)u_{n-2}=\overset{.}{\sqrt{2}}\\u_n\le u_{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ nu_n+(n-1)u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ nu_n+nu_{n}-u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ 2nu_{n}-u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{(2n-1)u_{n}\le\sqrt{2}}

3. d)  Par la question 2. b), nous savons que pour tout entier naturel n  supegal 3,  \dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n.
Par la question 3. c), nous savons que pour tout entier naturel n  supegal 3,  (2n-1)u_{n}\le\sqrt{2}.
Or 2n  -1 > 0 car n  supegal 3.
Donc  (2n-1)u_{n}\le\sqrt{2}\Longleftrightarrow u_{n}\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1}.

Dès lors,
\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\\u_{n}\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1} \\\phantom{WWWWWWWw}\underset{(\text{car }n>0)}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \boxed{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}\le n\,u_n\le\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}}

Nous devons en déduire que la suite (nun ) converge.

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n}{n\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}}}\le n\,u_n\le{\red{\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}}}\\\lim\limits_{n\to+\infty}{\blue{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}{\red{\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(n\,u_n)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}
Par conséquent, la suite (nun ) converge vers  \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

points

probleme

n  est un entier naturel non nul.
Soit la fonction numérique fn  définie sur [0 ; 1] par :  \left\lbrace\begin{matrix}f_n(x)=x^2(\ln x)^n\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_n(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Partie A

1.  Démontrons que fn  est dérivable à droite de 0.

\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-0}{x-0} =\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)}{x} \\\\\phantom{WWWWWWWW}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^2(\ln x)^n}{x} =\lim\limits_{x\to0^+} x(\ln x)^n=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées}) \\\\\Longrifgtarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=0}
Par conséquent, fn  est dérivable à droite de 0 car  \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x}   existe et est réelle.

{\red{2.\ \text{a) }}}\ n>0\Longrightarrow-\dfrac{n}{2}<0 \\\overset {}{\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ n>0}\Longrightarrow\text{e}^{-\frac{n}{2}}<\text{e}^0}\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle est strictement croissante)} \\\overset{}{\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ n>0}\Longrightarrow\text{e}^{-\frac{n}{2}}<1} \\\\\text{Or }\text{e}^{-\frac{n}{2}}>0\ \ \ (\text{car toute fonction exponentielle est strictement positive).} \\\\\text{D'où }\boxed{\forall\,n>0,\ \ 0<\text{e}^{-\frac{n}{2}}<1}

2. b)  Nous devons résoudre dans ]0 ; 1], l'inéquation :  \ln x+\dfrac{n}{2}<0.

\ln x+\dfrac{n}{2}<0\Longleftrightarrow \ln x<-\dfrac{n}{2}\Longleftrightarrow  x<\text{e}^{-\dfrac{n}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\ln x+\dfrac{n}{2}<0\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{-\dfrac{n}{2}}}
Ces valeurs de x  appartiennent bien à l'intervalle ]0 ; 1] (voir question 2. a).
Par conséquent, l'ensemble S  des solutions dans ]0 ; 1] de l'inéquation :  \ln x+\dfrac{n}{2}<0  est  \boxed{S=\,]0\,;\text{e}^{-\frac{n}{2}}[.}

{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=(x^2)' \times(\ln x)^n+x^2\times[(\ln x)^n]' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x\times(\ln x)^n+x^2\times[n\times(\ln x)'\times(\ln x)^{n-1}] \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+x^2\times[n\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^{n-1}] \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+nx(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+\dfrac{n}{2}\times 2x(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)}}

3. b)  Etudions suivant les valeurs de n , les variations de fn .
Distinguons trois cas :

Premier cas : n  = 1.

Dans ce cas,  \left\lbrace\begin{matrix}f_1(x)=x^2\,\ln x\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_1(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
et  \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_1(x)=2x\left(\ln x+\dfrac{1}{2}\right)}.

Le signe de f' (1)(x ) est le signe de \left(\ln x+\dfrac{1}{2}\right) car 2x  > 0 sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction f 1.

\begin{matrix}\ln x+\dfrac{1}{2}<0\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{-\frac{1}{2}}\\\\\ln x+\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}\ \ \ \ \ \\\\\ln x+\dfrac{1}{2}>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-\frac{1}{2}}\ \ \ \ \\\\\text{N.B.:}f(\text{e}^{-\frac{1}{2}})=(\text{e}^{-\frac{1}{2}})^2(-\dfrac{1}{2})\\\overset{}{\phantom{WWWWw}=\text{e}^{-1}(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2\text{e}}}\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{1}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\\ln x+\dfrac{1}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_1'(x)&||||&-&0&+&+\\&(0)&&&&\\\hline &0&&&&0 \\ f_1(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&-\dfrac{1}{2\text{e}}&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}

Deuxième cas : n  est pair.

Dans ce cas, n - 1 est impair et le signe de  (\ln x)^{n-1}  sur l'intervalle ]0 ; 1] est le signe de  \ln x , soit  (\ln x)^{n-1}\le0  sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction fn .

\begin{matrix}\ln x+\dfrac{n}{2}<0\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{-\frac{n}{2}}\\\\\ln x+\dfrac{n}{2}=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-\frac{n}{2}}\ \ \ \ \ \\\\\ln x+\dfrac{n}{2}>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-\frac{n}{2}}\ \ \ \ \\\\\text{N.B.:}f(\text{e}^{-\frac{n}{2}})=(\text{e}^{-\frac{n}{2}})^2(-\dfrac{n}{2})^n\\\phantom{WWWWW.WWw}=\text{e}^{-n}(\dfrac{n}{2})^n\ \ (n\ \text{est pair})\\\phantom{WWWWW.WWw}=\left(\text{e}^{-1}\right)^n(\dfrac{n}{2})^n=\left(\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{n}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\ (\ln x)^{n-1}&||||&-&-&-&0\\\ln x+\dfrac{n}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_n'(x)&||||&+&0&-&0\\&(0)&&&&\\\hline &&&\left(\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n&& \\ f_n(x)&&\nearrow&&\searrow & \\ &0&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}

Troisième cas : n  est impair, n > 1.

Dans ce cas, n - 1 est pair et donc  (\ln x)^{n-1}\ge0  sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction fn .

\begin{matrix}\ln x+\dfrac{n}{2}<0\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{-\frac{n}{2}}\\\\\ln x+\dfrac{n}{2}=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-\frac{n}{2}}\ \ \ \ \ \\\\\ln x+\dfrac{n}{2}>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-\frac{n}{2}}\ \ \ \ \\\\\text{N.B.:}f(\text{e}^{-\frac{n}{2}})=(\text{e}^{-\frac{n}{2}})^2\left(-\dfrac{n}{2}\right)^n\\\phantom{WWw}=\text{e}^{-n}(-\dfrac{n}{2})^n\\\phantom{WWWWW.WW}=\left(\text{e}^{-1}\right)^n(-\dfrac{n}{2})^n=\left(-\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{n}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\ (\ln x)^{n-1}&||||&+&+&+&0\\\ln x+\dfrac{n}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_n'(x)&||||&-&0&+&0\\&(0)&&&&\\\hline &0&&&&0 \\ f_n(x)&&\searrow&&\nearrow & \\ &&&\left(-\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}

4. a)  Démontrons que toutes les courbes (Cn ) passent par deux points fixes.
Déterminons si les courbes (C1) et (C2) passent par deux points fixes.
Déterminons donc les valeurs de x dans l'intervalle [0 ; 1] telles que  f_1(x)=f_2(x).

Par définition de la fonction numérique fn , nous savons que  f_1(0)=f_2(0).
D'où les courbes (C1) et (C2) passent par le point fixe (0 ; 0).

\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_1(x)=f_2(x)\Longleftrightarrow x^2(\ln x)^1=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x^2\ln x=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=(\ln x)^2\ \ \ (\text{en divisant l'égalité précédente par }x^2\neq 0) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow (\ln x)^2-\ln x =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x(\ln x-1) =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x-1 =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x=1 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=\text{e} \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\  f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{car}\ \ \ \text{e}\notin\,]0\,;1], \\\\\text{N. B. : }\ f_1(1)=f_2(1)=0
D'où les courbes (C1) et (C2) passent par le point fixe (1 ; 0).

Montrons que les points A(0 ; 0) et B(1 ; 0) appartiennent à toutes les courbes (Cn ).
En effet,  \left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\phantom{=1^2(\ln 1)^n=1\times0.}\\f_n(1)=1^2(\ln 1)^n=1\times0=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\\f_n(1)=0\end{matrix}\right.
Par conséquent, toutes les courbes (Cn ) passent par les deux points fixes A(0 ; 0) et B(1 ; 0).

4. b)  Représentation graphique des courbes (C1) et (C2) dans le même repère.

Bac E Côte d'Ivoire 2020 : image 8


Partie B

Soit  I_n(t)=\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x\ \ \ (\text{où }\ t\in[0;1])  et  L_n=\int\limits_0^1f_n(x)\text{d}x.
Nous admettons que  L_n=\lim\limits_{t\to0}I_n(t).

1.  Soit F  la fonction dérivable et définie sur [0 ; 1] par  \left\lbrace\begin{matrix}F(x)=\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\F(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

1. a) Démontrons que pour tout x  dans [0 ; 1],  F'(x)=f_1(x).

  Premier cas : x appartient ]0 ; 1].

F'(x)=\left(\dfrac{x^3}{3}\right)'\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\ln x)'-\left(\dfrac{x^3}{9}\right)' \\\phantom{F'(x)}=\left(\dfrac{3x^2}{3}\right)\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\dfrac{1}{x})-\left(\dfrac{3x^2}{9}\right) \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x+\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^2}{3} \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x \\\phantom{F'(x)}=f_1(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,1],\ F'(x)=f_1(x)}

  Second cas : x = 0.

F\,'(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}-0}{x-0}} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}}{x}} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)-\dfrac{x^2}{9}\right)} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)\right)-\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{9}\right)} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)\right)=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{9}\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow F\,'(0)=0\\\\\Longrightarrow\boxed{F\,'(0)=f_1(0)}

D'où, pour tout x  dans [0 ; 1],  F'(x)=f_1(x).
Par conséquent, la fonction F  est une primitive de f 1.

{\red{1.\ \text{b) }}}\ L_1=\lim\limits_{t\to0}I_1(t) =\lim\limits_{t\to0}\int\limits_t^1f_1(x)\text{d}x=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_t^1 \\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}}\right]\limits_t^1 =\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(\dfrac{1^3}{3}(\ln 1)-\dfrac{1^3}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(0-\dfrac{1}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)\right)+\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{9}\right)

\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to0}\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)\right)=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)}\\\lim\limits_{t\to0}\left(\dfrac{t^3}{9}\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow L_1=-\dfrac{1}{9}-0+0\\\\\Longrightarrow\boxed{L_1=-\dfrac{1}{9}}

2.  Soit  \varphin  la fonction définie sur ]0 ; 1] par  \varphi_n(t) =-\dfrac{1}{3}\,t^3(\ln t)^n.

{\red{2.\ \text{a) }}}\ \lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=-\dfrac{1}{3}\times\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^n \\\\\text{Or }\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^n=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)} \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=-\dfrac{1}{3}\times0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=0}

{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ t\in[0;1], I_{n+1}(t)=\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x.

\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_t^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=(\ln x)^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=(n+1)\times(\ln x)'\times(\ln x)^n\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\ \ \ \ \ \\\overset{}{v'(x)=x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^3}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.

Dès lors,
\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\times\dfrac{x^3}{3}\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left((\ln 1)^{n+1}\times\dfrac{1^3}{3}\right)-\left((\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}\right)-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=0-(\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=-\dfrac{1}{3}t^3(\ln t)^{n+1}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t) \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{n+1}(t)=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t)}

{\red{2.\ \text{c) }}}\ L_{n+1}=\lim\limits_{t\to 0}I_{n+1}(t) \\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{t\to 0}\left(\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t)\right)\ \ \ \ (\text{voir question 2. b)} \\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{t\to 0}\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\lim\limits_{t\to 0}\,I_n(t) \\\overset{}{\phantom{WWWWw}={\blue{\lim\limits_{t\to 0}\varphi_{n+1}(t)}}-\dfrac{n+1}{3}L_n} \\\text{Or }\lim\limits_{t\to0}\varphi_{n+1}(t)=-\dfrac{1}{3}\times\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^{n+1} =0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)} \\\overset{}{\Longrightarrow{\blue{\lim\limits_{t\to0}\varphi_{n+1}(t)=0}}} \\\overset{}{\text{D'où  }L_{n+1}=0-\dfrac{n+1}{3}L_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{L_{n+1}=-\dfrac{n+1}{3}L_n}

2. d)  Démontrons par récurrence que :  \forall\,n\ge1,\ L_n=(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}}.

  Initialisation : Démontrons que la propriété est vraie pour n  = 1. 
Démontrons donc que  L_1=(-1)^1\times\dfrac{1!}{3^{2}}=-\dfrac{1}{9}.
La démonstration est évidente car nous avons montré dans la question 1. b) que  L_1=-\dfrac{1}{9}.
D'où l'initialisation est vraie.
  Hérédité : Si pour un entier n non nul fixé nous savons que :  L_n=(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}} , montrons que nous obtenons alors :  L_{n+1}=(-1)^{n+1}\,\dfrac{(n+1)!}{3^{n+2}}

L_{n+1}=-\dfrac{n+1}{3}\times L_n \\\\\phantom{L_{n+1}}=-\dfrac{n+1}{3}\times(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}} \\\\\phantom{L_{n+1}}=(-1)\times(-1)^n\,\dfrac{(n+1)\times n!}{3\times3^{n+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{L_{n+1}=(-1)^{n+1}\,\dfrac{(n+1)!}{3^{n+2}}}
D'où l'hérédité est vraie.
Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que :  \forall\,n\ge1,\ L_n=(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}}.

3.  La fonction fn  est continue en 0 puisqu'elle est dérivable en 0 (voir Partie A, 1.).
De plus, cette fonction fn  est continue sur l'intervalle ]0 ; 1]comme produit de fonctions continues sur ]0 ; 1].
En utilisant le tableau de variation de fn  (voir Partie A, 3. b), nous en déduisons que fn  supegal 0 si n  est pair et fn  infegal 0 si n  est impair.
Nous en déduisons que l'aire A (n ) de la partie du plan délimité par (Cn ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = 0 et x  = 1 est donnée par :  A(n)=\left|\int\limits_0^1f_n(x)\,\text{d}x\right|=\left|L_n\right|=\left|(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}}\right|=\left|\dfrac{n!}{3^{n+1}}\right|=\dfrac{n!}{3^{n+1}}
Par conséquent,  \boxed{A(n)=\dfrac{n!}{3^{n+1}}\ \text{u.a.}}
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